地域に密着した空間

この位相空間では、Vはpの近傍であり、 pを含む連結された開集合 (濃い緑色の円) が含まれます。

位相幾何学や数学の他の分野において、位相空間X は、すべての点が開連結集合からなる近傍基底を許容する場合、局所連結であるとされます 。

より強い概念として、すべての点が開経路連結集合からなる近傍基底を許容する場合、空間Xは局所経路連結です。

背景

位相幾何学の歴史を通じて、連結性とコンパクト性は、最も広く研究されてきた位相的性質の 2 つである。実際、ユークリッド空間の部分集合においてもこれらの性質が研究され、それらがユークリッド計量の特定の形式から独立していることが認識されたことは、位相的性質、ひいては位相空間の概念を明確にする上で大きな役割を果たした。しかし、ユークリッド空間 のコンパクト部分集合の構造はハイン・ボレルの定理によってかなり早い時期に理解されていたのに対し、の連結部分集合( n > 1 の場合) ははるかに複雑であることが判明した。実際、任意のコンパクトハウスドルフ空間は局所的にコンパクト であるが、連結空間、さらにはユークリッド平面 の連結部分集合は、局所的に連結である必要はない (以下を参照)。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

このことが20世紀前半の豊かな研究の源となり、位相学者たちは局所連結空間という概念の、ますます微妙かつ複雑な変種間の関係を研究しました。例えば、ある点における「連結性（im kleinen）」という概念と、それが局所連結性との関係については、本稿の後半で考察します。

20世紀後半には、研究の潮流は、局所的にはよく理解されている（ユークリッド空間に局所的に同相である）ものの、大域的には複雑な振る舞いを示す多様体のような空間の研究へと移行した。これは、多様体の基本点集合位相は比較的単純である（概念のほとんどの定義によれば、多様体は本質的に計量化可能であるため）ものの、その代数的位相ははるかに複雑であることを意味する。この現代的な観点からは、局所経路連結性というより強い性質がより重要であることがわかる。例えば、空間が普遍被覆を許容するためには、その空間は連結かつ局所経路連結でなければならない。

空間が局所連結であるためには、任意の開集合Uに対して、 Uの連結成分（部分空間位相における）が開である必要がある。したがって、例えば、局所連結空間から完全に不連結な空間への連続関数は、局所的に一定でなければならない。実際、成分の開性は非常に自然なため、一般には当てはまらないことを念頭に置く必要がある。例えば、カントール空間は完全に不連結だが、離散的ではない。

定義

を位相空間とし、を点とする。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$

空間が^{[ 1 ]}において局所連結であるとは、のすべての近傍がの連結な開近傍を含む、すなわち、その点が連結な開集合からなる近傍基底を持つ場合をいう。局所連結空間^{[ 2 ] [ 1 ]}とは、その空間の各点において局所連結である空間のことである。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

局所的な連結性は連結性を意味するものではありません (たとえば、 の 2 つの互いに素な開区間を考えてみましょう)。また、連結性は局所的な連結性を意味するものではありません (位相幾何学者の正弦曲線を参照)。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

ある空間が^{[ 1 ]}において局所的に路連結であるとは、その点の任意の近傍が の路連結な開近傍を含む、すなわち、その点が路連結な開集合からなる近傍基底を持つ場合をいう。局所的に路連結な空間^{[ 3 ] [ 1 ]}とは、その空間の各点において局所的に路連結な空間のことである。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

局所的に路連結な空間は局所的に連結である。逆は成り立たない（単位正方形上の辞書式順序位相を参照）。

小さなつながり

空間が^{[ 4 ] [ 5 ]}において連結である、あるいは^{[ 6 ]}において弱局所連結であるとは、 のすべての近傍がの連結な（必ずしも開ではない）近傍を含む、すなわち、点が連結集合からなる近傍基底を持つときである。空間が弱局所連結であるとは、その各点において弱局所連結であるときである。以下に示すように、この概念は実際には局所連結であることと同じである。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

で局所連結な空間は、 でim kleinen 連結である。 逆は成り立たない。例えば、特定の点で im kleinen 連結だが、その点で局所連結ではない、減少するほうき空間の無限和で示される。 ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} しかし、空間がその各点で im kleinen 連結である場合、その空間は局所連結である。^{[ 10 ]}${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

空間が^{[ 5 ]}においてパス連結であるとは、のすべての近傍が のパス連結（必ずしも開ではない）近傍を含む場合、つまり、点がパス連結集合からなる近傍基数を持つ場合を言う。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

局所的に路連結な空間は、 で路連結なイム・クライネンである。 逆は成り立たない。これは、上記と同じ減少ほうき空間の無限和で示される。しかし、空間がその各点で路連結なイム・クライネンである場合、その空間は局所的に路連結である。^{[ 11 ]}${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

最初の例

1. 任意の正の整数nに対して、ユークリッド空間は局所的にパス連結であり、したがって局所的に連結であり、また連結でもある。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
2. より一般的には、各点には凸状の（したがって連結された）近傍の局所基底があるため、すべての局所凸位相ベクトル空間は局所連結です。
3. 実数直線の部分空間は局所的にパス連結だが連結ではない。${\displaystyle S=[0,1]\cup [2,3]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$
4. 位相幾何学者の正弦曲線はユークリッド平面の部分空間であり、連結ではあるが局所連結ではない。^{[ 12 ]}
5. 標準的なユークリッド位相を備えた有理数空間は、連結でも局所連結でもありません。${\displaystyle \mathbb {Q} }$
6. 櫛空間はパス連結ですが、局所的にはパス連結されておらず、局所的にも連結されていません。
7. 可算無限集合にコフィニティブ位相が備わっている場合、それは局所連結（超連結）であるが、局所パス連結ではない。^{[ 13 ]}
8. 単位正方形上の辞書式順序位相は連結かつ局所連結であるが、パス連結でも局所パス連結でもない。^{[ 14 ]}
9. キルヒ空間は連結かつ局所連結であるが、パス連結ではなく、またどの点においてもパス連結ではない。実際、キルヒ空間は完全にパス非連結である。

第一可算ハウスドルフ空間 が局所的にパス連結であることと、その空間がすべての連続パスの集合によって誘導される最終位相に等しいこととが等しいこととが同値である。${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C([0,1];X)}$ ${\displaystyle [0,1]\to (X,\tau ).}$

プロパティ

定理—空間が局所連結である場合、そしてその場合のみ、空間は弱局所連結である。^{[ 10 ]}

証拠

非自明な方向については、弱局所連結であると仮定する。局所連結であることを示すには、開集合の連結成分が開集合であることを示すだけで十分である。 ${\displaystyle X}$ がで開であり、が の連結成分であるとします。が の元であるとします。するとは の近傍であり、に含まれるの連結近傍が存在します。 は連結であり、 を含むので、 は（ を含む連結成分）の部分集合でなければなりません。したがって はの内点です。の任意の点はで開である ため、は局所連結です。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

1. 局所連結性は、定義により位相空間の局所的性質、すなわち位相的性質Pであって、空間Xが性質Pを持つための必要十分条件は、 X内の各点x が性質Pを持つ集合の近傍基底を持つ場合である。したがって、局所的性質が持つすべての「メタ性質」は、局所連結性にも当てはまる。具体的には、以下の通りである。
2. 空間が局所連結であるためには、(開)連結部分集合の基底を許容する必要がある。
3. 空間族の非結合和 が局所連結であるための必要十分条件は、各空間が局所連結である場合である。特に、1点は確実に局所連結であるため、任意の離散空間は局所連結である。一方、離散空間は完全に不連結であるため、高々1点しか存在しない場合にのみ連結である。${\displaystyle \coprod _{i}X_{i}}$ ${\displaystyle \{X_{i}\}}$ ${\displaystyle X_{i}}$
4. 逆に、完全に不連続な空間が局所連結であるための必要十分条件は、それが離散的であることである。これは、前述の有理数が局所連結ではないという事実を説明するのに用いることができる。
5. 空でない積空間が局所連結であるための必要十分条件は、各積が局所連結であり、かつ有限個を除いてすべてが連結である場合である。 ^{[ 15 ]}${\displaystyle \prod _{i}X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$
6. すべてのハイパーコネクテッド スペースはローカルに接続され、接続されています。

コンポーネントとパスコンポーネント

次の結果は定義からほぼすぐに得られますが、非常に役立ちます。

補題：X を空間とし、Xの部分集合族とする。X が空でないとする。このとき、各集合が連結（それぞれ、パス連結）であれば、その和集合も連結（それぞれ、パス連結）である。^{[ 16 ]}${\displaystyle \{Y_{i}\}}$ ${\displaystyle \bigcap _{i}Y_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle \bigcup _{i}Y_{i}}$

ここで位相 空間X上の2つの関係を考える:${\displaystyle x,y\in X,}$

${\displaystyle x\equiv_{c}y}$ xとy の両方を含むXの連結部分集合が存在する場合、そして

${\displaystyle x\equiv_{pc}y}$ xとyの両方を含むXのパス接続された部分集合がある場合。

明らかに、どちらの関係も反射的かつ対称的です。さらに、xとy が連結（それぞれパス連結）な部分集合Aに含まれ、yとzが連結（それぞれパス連結）な部分集合Bに連結されている場合、補題より はx、y、zを含む連結（それぞれパス連結）な部分集合であることが示されます。したがって、それぞれの関係は同値関係であり、 Xの同値類への分割を定義します。これらの2つの分割を順に考察します。 ${\displaystyle A\cup B}$

X内のxに対して、となるような点y全体の集合はxの連結成分と呼ばれる。^{[ 17 ]} 補題は がxを含むXの唯一の最大連結部分集合であることを意味している。^{[ 18 ]}の閉包もx を含む連結部分集合であるため、^{[ 19 ] [ 20 ]}は閉じていることがわかる。^{[ 21 ]}${\displaystyle C_{x}}$ ${\displaystyle y\equiv_{c}x}$ ${\displaystyle C_{x}}$ ${\displaystyle C_{x}}$ ${\displaystyle C_{x}}$

X が有限個の連結成分しか持たない場合、各成分は閉集合の有限和の補集合となり、したがって開集合となる。一般に連結成分は必ずしも開集合である必要はない。なぜなら、例えば、カントール空間のように離散的ではない、完全に連結されていない空間（すなわち、すべての点xに対して）が存在するからである。しかし、局所連結空間の連結成分も開集合となるため、閉開集合となる。^{[ 22 ]} したがって、局所連結空間Xはその相異なる連結成分の位相的に互いに素な和集合となる。逆に、 Xのすべての開部分集合Uに対して、 Uの連結成分が開集合となる場合、X は連結集合の基底を持つため、局所連結となる。^{[ 23 ]}${\displaystyle C_{x}=\{x\}}$ ${\displaystyle \coprod C_{x}}$

同様に、Xにおけるx 、すなわちxを含む点y全体の集合はxの経路成分と呼ばれる。^{[ 24 ]}上述のように、 x はx を含むXの経路連結な部分集合全体の和集合でもあるので、補題によりそれ自体も経路連結である。経路連結な集合は連結なので、すべての${\displaystyle PC_{x}}$ ${\displaystyle y\equiv _{pc}x}$ ${\displaystyle PC_{x}}$ ${\displaystyle PC_{x}\subseteq C_{x}}$ ${\displaystyle x\in X.}$

しかし、パス連結集合の閉包は必ずしもパス連結である必要はない。例えば、位相幾何学者の正弦曲線は、 x > 0を満たすすべての点(x,sin(x))からなる開部分集合Uの閉包であり、Uは実数直線上の区間に同相であるため、必ずパス連結である。さらに、位相幾何学者の正弦曲線Cのパス成分は、開いているが閉じていないUと、閉じているが開いていない Uである。 ${\displaystyle C\setminus U,}$

空間が局所的にパス連結であるための必要十分条件は、すべての開部分集合Uに対してUのパス成分が開集合であることだ。^{[ 24 ]}したがって、局所的にパス連結な空間のパス成分は、 Xを互いに素な対の開集合に分割する。したがって、局所的にパス連結な空間の開連結な部分空間は、必然的にパス連結である。^{[ 25 ]} さらに、空間が局所的にパス連結であれば、その空間は局所的にも連結であるため、すべて に対して は連結かつ開集合であり、したがってパス連結である 。つまり、局所的にパス連結な空間では、成分とパス成分は一致する。 ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle C_{x}}$ ${\displaystyle C_{x}=PC_{x}.}$

例

1. 辞書順序位相における集合 (ただし)は、連結であるため、ちょうど1つの成分を持ちますが、パス成分は無数に存在します。実際、 の形の任意の集合は、Iに属する各aに対してパス成分となります。${\displaystyle I\times I}$ ${\displaystyle I=[0,1]}$ ${\displaystyle \{a\}\times I}$
2. をから への連続写像（これは下限位相にある）とする。 は連結であり、連続写像 の下の連結空間の像は連結でなければならないので、の下のの像は連結でなければならない。したがって、の下のの像はの成分の部分集合でなければならない。この像は空でないため、 からへの連続写像は定数写像のみである。実際、連結空間から完全に非連結な空間への連続写像は定数でなければならない。${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{\ell}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }/$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell },}$

準コンポーネント

X を位相空間とする。X 上に第三の関係を定義する：Xが開集合AとBに分離されず、xがAの元であり、y がBの元であるような関係が存在しないとする。これはX上の同値関係であり、 xを含む同値類はxの準成分と呼ばれる。^{[ 18 ]}${\displaystyle x\equiv_{qc}y}$ ${\displaystyle QC_{x}}$

${\displaystyle QC_{x}}$ は、 Xのxを含むすべての閉開集合の共通部分集合としても特徴付けられる。^{[ 18 ]}従って、は閉じている。一般には開いている必要はない。 ${\displaystyle QC_{x}}$

明らかにすべての^{[ 18 ]}に対して、xにおけるパス成分、成分、および準成分の間には次の包含関係がある。 ${\displaystyle C_{x}\subseteq QC_{x}}$ ${\displaystyle x\in X.}$ $${\displaystyle PC_{x}\subseteq C_{x}\subseteq QC_{x}.}$$

Xが局所連結ならば、上記のように、はxを含む閉開集合なので、局所パス連結性は局所連結性を意味するので、局所パス連結空間の すべての点xにおいて、${\displaystyle C_{x}}$ ${\displaystyle QC_{x}\subseteq C_{x}}$ ${\displaystyle QC_{x}=C_{x}.}$ $${\displaystyle PC_{x}=C_{x}=QC_{x}.}$$

準成分が成分と一致する空間のもう一つのクラスは、コンパクトハウスドルフ空間のクラスである。^{[ 26 ]}

例

1. 準成分がその成分と等しくない空間の例として、二重極限点を持つ列が挙げられる。この空間は完全に不連続であるが、両方の極限点は同じ準成分に属する。なぜなら、どちらか一方を含む任意の閉開集合は列の末尾を必ず含み、したがってもう一方の点も必ず含むからである。
2. 空間は局所的にコンパクトかつハウスドルフですが、集合とは同じ準成分にある 2 つの異なる成分です。${\displaystyle (\{0\}\cup \{{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {Z} ^{+}\})\times [-1,1]\setminus \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle \{0\}\times [-1,0)}$ ${\displaystyle \{0\}\times (0,1]}$
3. アレンス・フォート空間は局所連結ではないが、それにも関わらず成分と準成分は一致する。実際、すべての点xに対して一致する。^{[ 27 ]}${\displaystyle QC_{x}=C_{x}=\{x\}}$

参照

• 局所的に単連結な空間
• 半局所単連結
• マンデルブロ集合は局所的に連結であると推測される

注記

1. ムンクレス 2000、p. 161。
2. ウィラード2004、199ページ、定義27.7。
3. ウィラード2004、199ページ、定義27.4。
4. ウィラード2004、p.201、定義27.14。
5. Björn, Anders; Björn, Jana; Shanmugalingam, Nageswari (2016)、「マズルキエヴィチ距離と境界で有限連結な集合」、Journal of Geometric Analysis、26 (2): 873– 897、arXiv : 1311.5122、doi : 10.1007/s12220-015-9575-9、S2CID  255549682、セクション2
6. Munkres 2000、p.162、演習6。
7. Steen & Seebach 1995、p.139、例119.4。
8. Munkres 2000、p.162、演習7。
9. 「Xがpにおいて局所連結ではないことを示す」、Math StackExchange
10. ウィラード 2004、p. 201、定理27.16。
11. 「局所的経路連結の定義」、Math StackExchange
12. スティーン＆シーバッハ 1995年、137～138頁。
13. スティーン＆シーバッハ 1995年、49～50頁。
14. Steen & Seebach 1995、73ページ、例48。
15. ウィラード 2004、p.201、定理27.13。
16. ウィラード 2004、p.192、定理26.7a。
17. ウィラード2004、194ページ、定義26.11。
18. ウィラード 2004、pp. 195–196、問題26B。
19. Kelley 1975、p.54、定理20。
20. ウィラード 2004、p.193、定理26.8。
21. ウィラード 2004、p.194、定理26.12。
22. ウィラード 2004、p. 200、系27.10。
23. ウィラード 2004、p.200、定理27.9。
24. ウィラード 2004、p. 202、問題27D。
25. ウィラード 2004、p.199、定理27.5。
26. Engelking 1989、357ページ、定理6.1.23。
27. スティーン＆シーバッハ 1995年、54～55頁。

参考文献

• Engelking、Ryszard (1989)、General Topology、Heldermann Verlag、ベルリン、ISBN 3-88538-006-4
• ケリー、ジョン・L. (1975) [1955]、一般位相幾何学、数学大学院テキスト、第27巻（第2版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90125-1、OCLC  1365153
• Munkres, James R. (2000), Topology (2nd ed.), Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc , ISBN 978-0-13-181629-9、OCLC  42683260
• スティーン、リン・アーサー；シーバッハ、J・アーサー・ジュニア（1995）[1978]、「位相幾何学における反例」（ 1978年版のドーバー再版）、ミネオラ、ニューヨーク州：ドーバー出版、ISBN 978-0-486-68735-3、MR  1382863
• ウィラード、スティーブン（2004）[1970]、一般位相幾何学、ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 978-0-486-43479-7、OCLC  115240

さらに読む

• コッピン, CA (1972)、「連結された局所連結空間から分散点を持つ連結空間への連続関数」、アメリカ数学会紀要、32 (2)、アメリカ数学会: 625– 626、doi : 10.1090/S0002-9939-1972-0296913-7、JSTOR  2037874ハウスドルフ空間においては、連結な局所連結空間から分散点を持つ連結空間への任意の連続関数は定数であることが示される。
• デイビス, HS (1968)、「小規模における連結性に関する注記」、アメリカ数学会誌、19 (5)、アメリカ数学会: 1237– 1241、doi : 10.1090/s0002-9939-1968-0254814-3、JSTOR  2036067。