対数スケール

対数スケールで表された、インターネットホスト数の経時的変化を示す片対数プロット

対数スケール(またはlog スケール) は、特に関係する数値の大きさに大きな差がある場合に、広い範囲の値にわたる数値データを表示するために使用される方法です。

線形スケールでは距離の各単位が同じ増分に対応しますが、対数スケールでは長さの各単位は、ある基本値の累乗であり、スケール内の前の値に基本値を乗じた値に対応します。一般的に、対数スケールは（特に指定がない限り）10を底とします。

対数スケールは非線形であるため、1、2、3、4、5 のように等間隔の数値は等間隔ではありません。対数スケール上の等間隔の値は、指数が均一に増加します。等間隔の値の例としては、10、100、1000、10000、100000（つまり、10 ¹、10 ²、10 3 、10 ⁴、10 ⁵）や、2、4、8、16、32（つまり、2 ¹、2 2 、2 ³、2 ⁴、2 ^{5 ）などがあり}ます。

指数関数的成長曲線は、対数目盛りのグラフで表すことが多いです。

0.1から100までの対数スケール

計算尺の2つの対数目盛り

一般的な用途

計算尺の目盛りは対数目盛りに配置されており、目盛り上の長さを加算または減算することで、数値を乗算または除算できます。

以下は、数量が大きいほど値が大きくなる、一般的に使用される対数スケールの例です。

• 経済成長
• 地震の強さと地球の動きを表すリヒターマグニチュードスケールとモーメントマグニチュードスケール（MMS）

対数スケールを使用すると、このマップのように、広い範囲にわたる値を簡単に比較できます。

• 音量レベル（単位はデシベル）
• 振幅、場、および電力量のネパー
• 音楽における音符の相対的な高さを表す周波数レベル。単位はセント、短2度、長2度、オクターブ。
• 統計におけるオッズのロジット
• パレルモ技術的影響危険度スケール
• 対数タイムライン
• 写真露出比のF値を計算する
• 低確率を評価するために使用される9のルール
• 熱力学におけるエントロピー
• 情報理論における情報
• 土壌の粒度分布曲線

太陽系の地図とプロキシマ・ケンタウリまでの距離。対数スケールを使用し、天文単位で測定されています。

以下は、一般的に使用される対数スケールの例です。量が大きいほど、値は低くなります (負の値になります)。

• 酸性度のpH
• 恒星の明るさを表す恒星等級
• 地質学における粒子サイズのクルムバインスケール
• 透明サンプルによる光の吸収

私たちの感覚の中には対数的に働くもの（ウェーバー・フェヒナーの法則）があり、これらの入力量には対数尺度が特に適しています。特に、聴覚は周波数の比率が等しい場合、音程の差が等しいと認識します。さらに、孤立した部族の幼児を対象とした研究では、一部の文化において対数尺度が最も自然な数値表示であることが示されています。^{[ 1 ]}

グラフィック表現

様々なスケール：lin–lin、lin–log、log–lin、log–log。プロットされたグラフは、y  = 10 ^x（赤）、y  =  x（緑）、y  = log _e ( x )（青）。 

左上のグラフは、X 軸と Y 軸が直線で、Y 軸の範囲は 0 から 10 です。左下のグラフの Y 軸には 10 を底とする対数スケールが使用され、Y 軸の範囲は 0.1 から 1000 です。

右上のグラフでは、X 軸のみに log-10 スケールが使用されており、右下のグラフでは、X 軸と Y 軸の両方に log-10 スケールが使用されています。

対数スケールでデータを表示すると、次のような場合に役立ちます。

• 実際の値ではなく値の対数を使用することで、広い範囲をより扱いやすいサイズに縮小するため、広い範囲の値をカバーします。
• 指数法則やべき乗法則が含まれる場合があります。これらは直線として表示されます。

計算尺には対数目盛りがあり、ノモグラムでもしばしば対数目盛りが用いられます。2つの数値の幾何平均は、その数値の中央にあります。コンピュータグラフィックスが登場する以前は、対数グラフ用紙は科学的なツールとして広く使用されていました。

対数対数プロット

両軸に沿って1桁以上にわたる情報を凝縮した対数対数プロット

プロットの縦軸と横軸の両方が対数的にスケーリングされている場合、そのプロットはlog-log プロットと呼ばれます。

片対数プロット

縦軸または横軸のみが対数的にスケーリングされている場合、そのプロットは片対数プロットと呼ばれます。

拡張機能

負の入力（ y < 0）に対しては、修正対数変換を定義して、ゼロ入力（ y = 0）の特異点を回避し、対称的な対数プロットを生成することができる：^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle Y=\operatorname {sgn}(y)\cdot \log _{10}(1+|y/C|)}$

定数C =1/ln(10)である。

対数単位

対数単位とは、ある量（物理的または数学的）を対数スケールで表すために用いられる単位です。つまり、ある量と、同じ種類の基準量との比に対数関数を適用した値に比例するものとして表す単位です。単位の選択は、一般的に、量の種類と対数の底を示します。

例

対数単位の例としては、情報量と情報エントロピーの単位（nat、shannon、ban）、信号レベルの単位（dB、bel、neper）などがあります。 周波数レベル、つまり対数周波数量には様々な単位があり、電子工学（decade、octave）や音楽の音程（ octave 、 semitone 、 centなど）に用いられています。その他の対数尺度単位としては、地震のマグニチュードを表すリヒタースケールや、酸性度または塩基性度を表すpH値などがあります。

さらに、ワイヤや針に使用される ほとんどのワイヤゲージなど、一部の工業用測定単位は対数です。

情報の単位

• ビット、バイト
• ハートリー
• ナット
• シャノン

レベルまたはレベル差の単位

• ベル、デシベル
• ネパー

周波数レベルの単位

• 10年、決定10年、サバール
• オクターブ、全音、半音、セント

例の表

ユニット	対数の底	基礎量	解釈
少し	2	可能なメッセージの数	情報量
バイト	2 ^8 = 256	可能なメッセージの数	情報量
デシベル	10 ^(1/10) ≈ 1.259	任意の電力量（たとえば 音響パワー）	音響出力レベル（例）
デシベル	10 ^(1/20) ≈ 1.122	任意のルートパワー量（例えば 音圧）	音圧レベル（例）
半音	2 ^(1/12) ≈ 1.059	音の周波数	ピッチ間隔

デシベルの2つの定義は同等である。なぜなら、電力量の比は、対応するルート電力量の比の2乗に等しいからである。^{[ 4 ]}

参照

• アレクサンダー・グラハム・ベル
• ボード線図
• 幾何平均（対数スケールの算術平均）
• ジョン・ネイピア
• レベル（対数量）
• 対数対数プロット
• 対数
• 対数平均
• ログセミリング
• 希望番号
• 片対数プロット

規模

• 桁違い

アプリケーション

• エントロピ
• エントロピー（情報理論）
• pH
• リヒターマグニチュードスケール

参考文献

1. 「計算尺の感覚：アマゾン先住民文化が数字を空間に普遍的にマッピングする様子を実証」 ScienceDaily 2008年5月30日2008年5月31日閲覧。
2. Webber, J Beau W (2012-12-21). 「広範囲データのための双対称対数変換」(PDF) .計測科学技術. 24 (2) 027001. IOP Publishing. doi : 10.1088/0957-0233/24/2/027001 . ISSN 0957-0233 . S2CID 12007380 .  
3. 「Symlogデモ」 . Matplotlib 3.4.2ドキュメント. 2021年5月8日. 2021年6月22日閲覧。
4. Ainslie, MA (2015). 『ソナーの世紀：惑星海洋学、水中騒音監視、そして水中音響の用語』

さらに読む

• スタニスラス・ドゥハーン；ヴェロニク・イザール；エリザベス・スペルケ；ピエール・ピカ(2008). 「対数か線形か？西洋とアマゾンの先住民文化における数の尺度に関する異なる直観」. Science . 320 ( 5880): 1217–20 . Bibcode : 2008Sci...320.1217D . doi : 10.1126/science.11 ​​56540. PMC  2610411. PMID  18511690 .
• タフントザマー、カール。シューマッハ、P. (1953)。 「Normzahlen – die einstellige Logarithmentafel des Ingenieurs」[推奨される数値 - エンジニアの一桁の対数表]。Werkstattechnik und Maschinenbau (ドイツ語)。43 (4)：156．
• タフントザマー、カール (1956)。 「Das Dezilog, eine Brücke zwischen Logarithmen, Dezibel, Neper und Normzahlen」 [デシログ、対数、デシベル、ネーパー、優先数字の間の橋]。VDI-Zeitschrift (ドイツ語)。98 : 267–274 .
• リース、クレメンス (1962)。Normung nach Normzahlen [優先番号による標準化] (ドイツ語) (第 1 版)。ドイツ、ベルリン: ダンカー & フンブロット フェルラーク。ISBN 978-3-42801242-8。（135ページ）
• ポーリン、オイゲン (2007-09-01)。Logarithmen、Normzahlen、Dezibel、Neper、Phon - natürlich verwandt! [対数、優先数字、デシベル、ネーパー、フォン - 当然関連しています! ] (PDF) (ドイツ語)。2016 年 12 月 18 日にオリジナルからアーカイブ(PDF)されました。2016 年 12 月 18 日に取得。

外部リンク

• 「GNU Emacs Calcマニュアル: 対数単位」 . Gnu.org . 2016年11月23日閲覧。