低度飽和

スケールフリーネットワークでは、次数分布はべき乗法則に従います。いくつかの経験的な例では、このべき乗法則は高次領域でのみ次数分布に適合します。一方、低次ノードでは経験的な次数分布がそれから外れます。例として、科学論文引用ネットワークを参照してください。^{[ 1 ]}低次領域での観測次数分布と理論予測のこのずれは、低次飽和と呼ばれることがよくあります。^{[ 2 ]}経験的な次数分布は通常、高次ノードに適合したべき乗法則から下方に外れます。これは、低次ノードが実際のデータでバラバシ–アルバートモデルによって予測されるよりも少ない頻度であることを意味します。^{[ 3 ]}

理論的基礎

BAモデルの重要な仮定の一つは、優先的接続です。これは、新規参入ノードから新しいリンクを獲得する確率は、各ノードの次数に比例することを示しています。言い換えれば、すべての新規参入ノードは、より高次数のノードへの接続を好むということです。正式には、

$${\displaystyle \Pi {\left(k_{i}\right)}={\frac {k_{i}}{\sum _{j}k_{j}}}}$$

次数 のノードがリンクを取得する確率はどこでしょうか。 ${\displaystyle \Pi {\left(k_{i}\right)}}$ ${\displaystyle k}$

この規則を少し修正すれば、初期魅力度（ ）と呼ばれる項を加えることで、低次飽和度を容易に予測できます。これは2000年にDorogovtsev、Mendes、Samukhinによって初めて導入されました。^{[ 4 ] [ 5 ]}${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \Pi \left(k_{i}\right)={\frac {A+k_{i}}{A+\sum \limits _{j}k_{j}}}}$$

この修正された接続規則により、低次数ノード（低い）は、元の設定と比較して、新しいリンクを獲得する確率が高くなります。したがって、 はより魅力的になります。したがって、このハンディキャップにより、実際のデータで観察されるように、低次数ノードが存在する可能性は低くなります。より正式には、これは次数分布を次のように修正します。 ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle p_{k}=C\left(k+A\right)^{-\gamma}$$

副作用として、元の BA モデルに比べて指数も増加します。

BAフレームワークでは、すべてのノードの次数が時間の経過とともに増加するため、これを初期魅力度と呼びます。そして、大きくなるにつれて、この固定された加法項の重要性は減少します。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (A)}$

意義

スケールフリーネットワークの特徴的な特性はすべて、極めて高い次数を持つノード（しばしば「ハブ」と呼ばれる）の存在に起因しています。これらのノードの存在は、次数のべき乗分布によって予測されます。低次数飽和は、この理論的な次数分布からの逸脱です。これは次数分布の下限を特徴付けるものであり、ハブの存在を否定するものではありません。したがって、低次数飽和を持つスケールフリーネットワークは、スモールワールド特性、堅牢性、低い攻撃耐性、拡散挙動といった特性をすべて実現できます。

初期の魅力度によって拡張された BA モデルを介してモデル化される場合、このソリューションは、元の BA モデルに比べて次数分布の指数にプラスの影響を与えるため、ハブのサイズを縮小します。

参照

• 最初の魅力

参考文献

1. Eom, Young-Ho; Fortunato, Santo (2011). 「引用ダイナミクスの特徴づけとモデリング」 . PLOS ONE . 6 (9) e24926. arXiv : 1110.2153 . Bibcode : 2011PLoSO...624926E . doi : 10.1371 / journal.pone.0024926 . PMC  3178574. PMID  21966387 .
2. バラバシ、アルバート＝ラスロー。ネットワーク科学。
3. バラバシ、アルバート＝ラスロー;アルバート、レカ (1999)。「ランダムネットワークにおけるスケーリングの出現」。科学。286 ( 5439 ): 509–512。arXiv : cond-mat/ 9910332 。Bibcode : 1999Sci...286..509B。土井：10.1126/science.286.5439.509。PMID 10521342。S2CID 524106。  
4. Dorogovtsev, Sergey N; Mendes, José Fernando F; Samukhin, Alexander N (2000). 「優先的なリンクを持つ成長するネットワークの構造」. Physical Review Letters . 85 (21): 4633– 4636. arXiv : cond - mat/0004434 . Bibcode : 2000PhRvL..85.4633D . doi : 10.1103/physrevlett.85.4633 . PMID 11082614. S2CID 118876189 .  
5. Godreche, C; Grandclaude, H; Luck, JM (2009). 「成長するネットワークの次数統計における有限時間変動」. Journal of Statistical Physics . 137 ( 5–6 ): 1117–1146 . arXiv : 0907.1470 . Bibcode : 2009JSP...137.1117G . doi : 10.1007/s10955-009-9847-5 . S2CID 14010514 .