ペル番号

銀色の螺旋を構成する正方形の辺はペル数である

数学において、ペル数とは、古代から知られている無限の整数列であり、 2の平方根に最も近い有理数近似値の分母を構成する。この近似列は、⁠1/1⁠、⁠3/2⁠、⁠7/5⁠、⁠17/12⁠、そして⁠41/29⁠なので、ペル数列は 1、2、5、12、29 で始まります。同じ近似数列の分子は、対応するペル数またはペル・ルーカス数の半分です。これらの数は、2、6、14、34、82 で始まる 2 番目の無限数列を形成します。

ペル数とその対となるペル数は、フィボナッチ数と同様の漸化式を用いて計算することができ、どちらの数列も白銀比1 +  √ 2のべき乗に比例して指数関数的に増加する。ペル数は2の平方根を近似するだけでなく、正方三角数を求めたり、直角二等辺三角形の整数近似値を構築したり、特定の組み合わせ列挙問題を解いたりするのにも使用できる。^{[ 1 ]}

ペル方程式と同様に、ペル数という名称は、レオンハルト・オイラーが方程式とそこから導かれる数をジョン・ペルのものと誤って解釈したことに由来する。ペル・ルーカス数もまた、この種の再帰によって定義される数列を研究したエドゥアール・ルーカスにちなんで名付けられている。ペル数とそれに付随するペル数はルーカス数列である。

ペル番号

ペル数は再帰関係によって定義されます。

${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

言葉で言えば、ペル数列は0と1から始まり、各ペル数は前のペル数の2倍とその前のペル数の和で表されます。数列の最初の数項は

0、1、2、5、12、29、70、169、408、985、2378、5741、13860、…（OEISのシーケンスA000129）。

ビネの公式と同様に、ペル数は閉じた形式の公式によっても表される。

${\displaystyle P_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.}}$

nの値が大きい場合、(1 + √ 2 ) ^{n の}項がこの式の大部分を占めるため、ペル数は白銀比1 + √ 2の累乗にほぼ比例します。これは、フィボナッチ数が黄金比の累乗として増加するのに似ています。

行列式 から3番目の定義も可能である。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}.}$

これらの定義から多くの恒等式が導出または証明できる。例えば、カシニのフィボナッチ数列の恒等式に類似した恒等式など。

${\displaystyle P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{n},}$

は行列式の直接的な帰結である（行列式の左辺と右辺の行列の行列式を考慮することによって求められる）。 ^{[ 2 ]}

2の平方根の近似値

ペル数から導出された座標を持つ、正八角形の有理近似値。

ペル数は歴史的に、そして最も顕著には⁠ ⁠の有理近似において現れた。2つの大きな整数xとyがペル方程式の解を形成する場合${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1,}$

それらの比⁠ ⁠は${\displaystyle x/y}$ ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ に近い近似値を与える。この形式の近似値の列は

${\displaystyle {\frac {1}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots }$

ここで、各分数の分母はペル数であり、分子はペル数とその前の数列の和である。つまり、解は以下の形をとる。

${\displaystyle {\frac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}.}$

近似値

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx {\frac {577}{408}}}$

このタイプの近似値は紀元前3世紀か4世紀のインドの数学者には知られていました。^{[ 3 ]}紀元前5世紀のギリシャの数学者もこの近似値列を知っていました。^{[ 4 ]}プラトンは分子を有理直径と呼んでいます。^{[ 5 ]}紀元2世紀にスミュルナのテオンは辺数と直径数という用語を使用して 、この数列の分母と分子を説明しました。^{[ 6 ]}

これらの近似は、の連分数展開から導くことができます。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}=[1;2,2,2,\ldots {}]=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{{\vphantom {x}} \atop \displaystyle \ddots }}}}}}}.}}$

この展開を任意の数の項に切り捨てると、この数列のペル数に基づく近似値の1つが生成されます。たとえば、7つの項の${\displaystyle 2}$ 場合、

${\displaystyle [1;2,2,2,2,2,2,2]={\frac {577}{408}}.}$

Knuth (1994) が述べているように、ペル数は⁠ ⁠を近似するため、頂点座標が${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ (± P _i , ± P _{i +1} )および(± P _{i +1} , ± P _i )である正八角形の正確な有理近似に使用できます。すべての頂点は原点から等距離にあり、原点の周りでほぼ均一な角度を形成します。あるいは、点 、、 は、頂点が原点からほぼ等距離にあり、均一な角度を形成する近似八角形を形成します。 ${\displaystyle (\pm (P_{i}+P_{i-1}),0)}$ ${\displaystyle (0,\pm (P_{i}+P_{i-1}))}$ ${\displaystyle (\pm P_{i},\pm P_{i})}$

素数と平方数

ペル素数とは、素数であるペル数のことである。最初のいくつかのペル素数は

2、5、29、5741、33461、44560482149、1746860020068409、68480406462161287469、...（OEISの配列A086383）。

これらの素数の、すべてのペル数の列内での添え字は

2、3、5、11、13、29、41、53、59、89、97、101、167、181、191、523、929、1217、1301、1361、2087、2273、2393、8093、…（OEISの配列A096650）

これらの添え字はすべて素数です。フィボナッチ数と同様に、ペル数P _{n は}n自身が素数である場合にのみ素数となります。なぜなら、dがnの約数であれば、P _dはP _nの約数となるからです。

ペル数のうち、平方数、立方数、あるいはそれ以上の整数の累乗となるのは0、1、そして169 = 13 ²のみです。^{[ 7 ]}

しかし、平方数や他の累乗数が非常に少ないにもかかわらず、ペル数は平方三角数と密接な関係があります。^{[ 8 ]}具体的には、これらの数はペル数の次の恒等式から生じます。

${\displaystyle {\bigl (}\left(P_{k-1}+P_{k}\right)\cdot P_{k}{\bigr )}^{2}={\frac {\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}\cdot \left(\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}-(-1)^{k}\right)}{2}}.}$

この恒等式の左側は平方数を表し、右側は三角数を表すので、結果は平方三角数になります。

ファルコンとディアス・バレロ（2006）は、ペル数と平方数を関連付ける別の恒等式を証明し、 P _{4 n +1}までのペル数の合計は常に平方数になることを示しました。

${\displaystyle \sum _{i=0}^{4n+1}P_{i}=\left(\sum _{r=0}^{n}2^{r}{2n+1 \choose 2r}\right)^{\!2}=\left(P_{2n}+P_{2n+1}\right)^{2}.}$

例えば、P ₅までのペル数の和0 + 1 + 2 + 5 + 12 + 29 = 49 は、 P ₂ + P ₃ = 2 + 5 = 7の平方です。これらの和の平方根となる 数P _{2 n} + P _{2 n +1は、}

1、7、41、239、1393、8119、47321、…（OEISの配列A002315）、

ニューマン・シャンクス・ウィリアムズ数（NSW）として知られています。

ピタゴラスの三つ組

ペル数から導き出された、ほぼ等しい辺を持つ整数直角三角形。

直角三角形の辺の長さが整数のa、b、c （ピタゴラスの定理a ² + b ² = c ²を満たす）のとき、（a、b、c ）はピタゴラスの三つ組と呼ばれます。マーティン（1875）が述べているように、ペル数は、aとbが1単位離れているピタゴラスの三つ組、つまりほぼ二等辺三角形を形成するために使用できます。このような三つ組はそれぞれ、

$2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{2},P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}=P_{2n+1}\right).$

このようにして形成されたピタゴラスの三つ組の列は

(4,3,5)、(20,21,29)、(120,119,169)、(696,697,985)、…

ペル・ルーカス数

伴ペル数またはペル・ルーカス数は、再帰関係によって定義される。

${\displaystyle Q_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\2&{\mbox{if }}n=1;\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

言葉で説明すると、数列の最初の 2 つの数は両方とも 2 で、後続の数はそれぞれ、前のペル・ルーカス数の 2 倍をその前のペル・ルーカス数に加えることによって形成されます。つまり、次のペル数を前のペル数に加えることによって形成されます。したがって、82 は 29 の対であり、82 = 2 × 34 + 14 = 70 + 12です。数列の最初のいくつかの項は、( OEISのA002203の数列) 、2、2、6、14、34、82、198、478、… です。

フィボナッチ数とルーカス数の関係のように、

${\displaystyle Q_{n}={\frac {P_{2n}}{P_{n}}}}$

すべての自然数nに対して。

伴ペル数は閉じた形式式で表すことができる。

${\displaystyle Q_{n}=\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}.}$

これらの数はすべて偶数です。それぞれの数は、上で説明した有理数近似値の 1 つにおける分子の 2 倍です。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

ルーカス数列と同様に、ペル・ルーカス数が1/2⁠ Q _nが素数である場合、 nは素数か2 のべき乗でなければならない。ペル・ルーカス素数は

3、7、17、41、239、577、…（OEISの配列A086395）。

これらのnは

2、3、4、5、7、8、16、19、29、47、59、163、257、421、…（OEISの配列A099088）。

計算と接続

次の表は、白銀比δ = δ _S = 1 +  √ 2とその共役δ = 1 −  √ 2の最初のいくつかの累乗を示しています。

n	(1 + √ 2 ) ^n	(1 − √ 2 ) ^n
0	1 + 0 √ 2 = 1	1 − 0 √ 2 = 1
1	1 + 1 √ 2 = 2.41421…	1 − 1 √ 2 = −0.41421…
2	3 + 2 √ 2 = 5.82842…	3 − 2 √ 2 = 0.17157…
3	7 + 5√2 = 14.07106 …	7 − 5 √ 2 = −0.07106…
4	17 + 12√2 = 33.97056 …	17 − 12 √ 2 = 0.02943…
5	41 + 29√2 = 82.01219 …	41 − 29 √ 2 = −0.01219…
6	99 + 70√2 = 197.9949 …	99 − 70 √ 2 = 0.0050…
7	239 + 169√2 = 478.00209 …	239 − 169 √ 2 = −0.00209…
8	577 + 408√2 = 1153.99913 …	577 − 408 √ 2 = 0.00086…
9	1393 + 985 √ 2 = 2786.00035…	1393 − 985 √ 2 = −0.00035…
10	3363 + 2378√2 = 6725.99985 …	3363 − 2378 √ 2 = 0.00014…
11	8119 + 5741 √ 2 = 16238.00006…	8119 − 5741 √ 2 = −0.00006…
12	19601 + 13860√2 = 39201.99997 …	19601 − 13860 √ 2 = 0.00002…

係数は半コンパニオンペル数H _nとペル数P _{nであり、これらは}H ² − 2 P ² = ±1の（非負の）解である。正方三角数は、

${\displaystyle N={\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2},}$

これはt次の三角数であり、かつs次の平方数でもある。ほぼ二等辺ピタゴラス数列は、 a + 1 = bのときa ² + b ² = c ²の整数解である。

次の表は、奇数H _{n を}ほぼ均等に半分に分けると、nが偶数の場合には正方三角数、nが奇数の場合にはほぼ二等辺ピタゴラス数が得られることを示しています。すべての解はこのようにして生じます。

n	H n	P n	t	t  + 1	s	1つの	b	c
0	1	0	0	1	0
1	1	1				0	1	1
2	3	2	1	2	1
3	7	5				3	4	5
4	17	12	8	9	6
5	41	29				20	21	29
6	99	70	49	50	35
7	239	169				119	120	169
8	577	408	288	289	204
9	1393	985				696	697	985
10	3363	2378	1681	1682	1189
11	8119	5741				4059	4060	5741
12	19601	13860	9800	9801	6930

定義

半コンパニオン ペル数H _nとペル数P _{n は}、いくつかの簡単に同等な方法で導くことができます。

累乗

${\displaystyle \left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}-P_{n}{\sqrt {2}}.}$

このことから、閉じた形式が存在することがわかります。

${\displaystyle H_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}.}$

そして

${\displaystyle P_{n}{\sqrt {2}}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}.}$

対になった再発

${\displaystyle H_{n}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}n=0;\\H_{n-1}+2P_{n-1}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\H_{n-1}+P_{n-1}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

逆数再帰式

nは少なくとも 2 とします 。

${\displaystyle H_{n}=(3P_{n}-P_{n-2})/2=3P_{n-1}+P_{n-2};}$

${\displaystyle P_{n}=(3H_{n}-H_{n-2})/4=(3H_{n-1}+H_{n-2})/2.}$

マトリックス定式化

${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}\\P_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}H_{n-1}\\P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}$

それで

${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}&2P_{n}\\P_{n}&H_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}.}$

近似値

H _nとP _n √ 2の差は

${\displaystyle \left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}\approx (-0.41421)^{n},}$

それは急速にゼロになります。

${\displaystyle \left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}}$

2 H _nに非常に近いです。

この最後の観察から、整数比は⁠H _n/P _n⁠急速に√2に近づく；そして⁠H _n/H _{n −1}⁠と⁠P _n/P _{n −1}⁠ 1 +  √ 2に急速に近づきます。

H ²  − 2 P ²  = ±1

√2は無理数なので、 ⁠H/P⁠  =  √ 2、すなわち、

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}}{P^{2}}}.}$

私たちが達成できる最高のものは

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}-1}{P^{2}}}\quad {\mbox{or}}\quad {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}+1}{P^{2}}}.}$

H ² − 2 P ² = 1の（非負）解は、nが偶数の（H _n、P _n）のペアと全く同じであり、 H ² − 2 P ² = −1の解は、nが奇数の（H _n、P _n）のペアと全く同じである。これを理解するには、まず次の点に注意する必要がある。

${\displaystyle H_{n+1}^{2}-2P_{n+1}^{2}=\left(H_{n}+2P_{n}\right)^{2}-2\left(H_{n}+P_{n}\right)^{2}=-\left(H_{n}^{2}-2P_{n}^{2}\right),}$

これらの違いはHから始まり、² ₀− 2 P² ₀= 1 は、交互に 1 と −1 となる。そして、すべての正の解は、より小さい整数の解からこのようにして得られることに注意されたい。

${\displaystyle (2P-H)^{2}-2(H-P)^{2}=-\left(H^{2}-2P^{2}\right).}$

小さい方の解も正の整数を持ちますが、唯一の例外はH = P = 1で、これはH ₀  = 1 およびP ₀ = 0から生じます 。

平方三角数

必要な方程式

${\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}}$

は、H  = 2 t  + 1とP  = 2 sを代入するとH ² = 2 P ² + 1 となる。したがって、n番目の解は ${\displaystyle 4t^{2}+4t+1=8s^{2}+1,}$

${\displaystyle t_{n}={\frac {H_{2n}-1}{2}}\quad {\mbox{and}}\quad s_{n}={\frac {P_{2n}}{2}}.}$

tとt + 1は互いに素であることに注目してください 。つまり、⁠t ( t  + 1 )/2⁠  =  s ^{2 は}、ちょうど隣接する整数、つまり一方が平方H ²でもう一方が平方 2 P ²の2倍であるときに起こります。この方程式の解はすべてわかっているので、

${\displaystyle t_{n}={\begin{cases}2P_{n}^{2}&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}};\\H_{n}^{2}&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd.}}\end{cases}}}$

そして${\displaystyle s_{n}=H_{n}P_{n}.}$

この代替表現は次の表に示されています。

n	H n	P n	t	t  + 1	s	1つの	b	c
0	1	0
1	1	1	1	2	1	3	4	5
2	3	2	8	9	6	20	21	29
3	7	5	49	50	35	119	120	169
4	17	12	288	289	204	696	697	985
5	41	29	1681	1682	1189	4059	4060	5741
6	99	70	9800	9801	6930	23660	23661	33461

ピタゴラスの三つ組

c ² = a ² + ( a + 1) ² = 2 a ² + 2 a + 1という等式は、 2 c ² = 4 a ² + 4 a + 2のときに成立します。これは、 H = 2 a + 1とP = cを代入すると、2 P ² = H ² + 1になります。したがって、n番目の解はa _n = ⁠です。H _{2 n +1} − 1/2⁠そしてc _n = P _{2 n +1}。

上の表は、 a _nとb _n = a _n + 1が、順序に関係なくH _n H _{n +1}および2 P _n P _{n +1}であるのに対し、c _n = H _{n +1} P _n + P _{n +1} H _nであることを示しています。

注記

1. 例えば、Sellers (2002) は、パスグラフとグラフK ₄  −  eの直積における完全マッチングの数は、ペル数と対応するフィボナッチ数の積として計算できることを証明しています。
2. 行列式とその帰結については、Ercolano (1979) および Kilic and Tasci (2005) を参照。ペル数の追加の恒等式は、Horadam (1971) および Bicknell (1975) に列挙されている。
3. シュルバ・スートラに記録されているとおり。この情報については、例えばThibaut (1875)を引用しているDutka (1986)を参照。
4. 5世紀の日付についてはKnorr (1976)を参照。これは、辺数と直径数がピタゴラス学派によって発見されたとするプロクロスの主張と一致する。後代のギリシャ人がこれらの数について知っていたことについては、Thompson (1929)、Vedova (1951)、Ridenhour (1986)、Knorr (1998)、およびFilep (1999)を参照。
5. 、前の注釈のいくつかの参考文献が指摘しているように、プラトンの『国家』には「有理直径5」という記述があり、プラトンはこれを近似値の分子である7を意味している。7/5⁠そのうち 5 が分母です。
6. ヒース、トーマス・リトル（1921年）『ギリシャ数学史』第1巻『タレスからユークリッドまで』オックスフォード大学出版局、112ページドーバー復刻版、ISBN 9780486240732。
7. Pethő (1992); Cohn (1996)。フィボナッチ数はペル数と非常によく似た再帰性によって定義されるが、Cohnはフィボナッチ数に対する同様の結果を証明するのははるかに困難であるように思われると述べている。（しかし、これは2006年にBugeaudらによって証明されている。）
8. Sesskin (1962).より詳細な導出については、平方三角数の記事を参照。

参考文献

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外部リンク

• ワイスタイン、エリック W. 「ペル数」。MathWorld 。
• OEISシーケンスA001333（sqrt(2)に収束する連分数の分子） —同じ近似シーケンスの分子