マニントリプル

数学において、マニン三重項は 、非退化不変対称双線型形式を持つリー代数と、ベクトル空間として と の直和となるような2つの等方性部分代数および から構成される。密接に関連する概念として、（古典的な）ドリンフェルト二重項があり、これはマニン分解を許容する偶数次元リー代数である。 ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$

マニントリプルは1987年にウラジミール・ドリンフェルトによって導入され、ユーリ・マニンにちなんで名付けられました。^{[ 1 ]}

2001年にデロームは、複素簡約リー代数であるマニン三重項を分類した。^{[ 2 ]}${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

マニン三元数とリー双代数

有限次元マニン三重項と有限次元リー双代数の間には カテゴリの同値性があります。

より正確には、 が有限次元マニン三重項である場合、 は、ココミューテータ写像をリー括弧の双対とすることでリー双代数にすることができます（ 上の対称双線型形式が の双対と同一視されるという事実を利用します）。 ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\to {\mathfrak {p}}\otimes {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}\otimes {\mathfrak {q}}\to {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

逆に、 がリー双代数である場合、を の双対とし、 と の交換子を定義して の双線型形式を不変にすることで、マニン三重項を構築できます。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {p}}\oplus {\mathfrak {p}}^{*},{\mathfrak {p}},{\mathfrak {p}}^{*})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {p}}\oplus {\mathfrak {q}}}$

例

• が不変対称双線型形式 を持つ複素半単純リー代数であるとする。すると、を持つマニン三重体が存在し、 のスカラー積は で与えられる。部分代数は対角元 の空間であり、部分代数は固定されたボレル部分代数内のを持つ元 の空間であり、このボレル部分代数はカルタン部分代数 を含み、その逆ボレル部分代数内に を持ち、 と は において同じ成分を持つ。${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle ((w,x),(y,z))=(w,y)-(x,z)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle (x,x)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

参考文献

1. Drinfeld, VG (1987). Gleason, Andrew (編). 「量子群」(PDF) .国際数学者会議1986年議事録. 1.バークレー:アメリカ数学会: 798–820 . ISBN 978-0-8218-0110-9. MR  0934283 .
2. デローム、パトリック (2001-12-01)。「Manin pour les algèbres de Lie reductives complexes: Avec un appendice de Guillaume Macey」。代数ジャーナル。246 (1): 97–174 . arXiv : math/0003123。土井：10.1006/jabr.2001.8887。ISSN 0021-8693。MR 1872615。