マーギュリスの補題

微分幾何学において、マルグリスの補題（グリゴリー・マルグリスにちなんで名付けられた）は、非正曲率リーマン多様体（例えば双曲型n次元空間）の等長変換の離散部分群に関する帰結である。大まかに言えば、これは、通常マルグリス定数と呼ばれる一定の半径内では、そのような群の軌道の構造はそれほど複雑にならないことを述べている。より正確には、ある点の周りのこの半径内では、その軌道上のすべての点は、実際には冪零部分群（実際にはそのような部分群の有限個で有界）の軌道上にある。

非正曲率多様体に対するマーギュリスの補題

正式な声明

マーギュリスの補題は次のように定式化できる。^{[ 1 ]}

を非正の有界断面曲率の単連結多様体とする。以下の性質を持つ定数が存在する。および任意の の等長写像群の任意の離散部分群に対して、が集合であるとき： ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C,\varepsilon >0}$ ${\displaystyle \Gamma}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle F_{x}}$

${\displaystyle F_{x}=\{g\in \Gamma :d(x,gx)<\varepsilon \}}$

によって生成される部分群には、指数が 未満の冪零部分群が含まれます。これがリーマン計量によって誘導される 距離です。${\displaystyle F_{x}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle d}$

直ちに同等のステートメントは次のように与えられます:等長変換群の任意の部分集合が以下を満たす場合: ${\displaystyle F}$

• が存在する。${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \forall g\in F:d(x,gx)<\varepsilon }$
• によって生成される群は離散的である${\displaystyle \langle F\rangle }$ ${\displaystyle F}$

すると、インデックス の冪零部分群が含まれます。 ${\displaystyle \langle F\rangle }$ ${\displaystyle \leq C}$

マーギュリス定数

ステートメント内の最適な定数は、次元と曲率の下限のみに依存させることができます。通常、曲率が -1 から 0 の間になるように正規化されます。これは通常、次元の Margulis 定数と呼ばれます。 ${\displaystyle \varepsilon }$

特定の空間におけるマーギュリス定数を考えることもできます。例えば、双曲型空間（定曲率 -1）のマーギュリス定数を決定する重要な研究が行われてきました。例えば、

• 双曲面の最適定数は である。^{[ 2 ]}${\displaystyle 2\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {\frac {2\cos(2\pi /7)-1}{8\cos(\pi /7)+7}}}\right)\simeq 0.2629}$
• 一般に、双曲型空間のマルグリス定数は、ある に対して次の境界を満たすことが知られている。^{[ 3 ]}${\displaystyle \varepsilon _{n}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle c^{-n^{2}}}$$ ${\displaystyle 0<c<1,K>0}$

ザッセンハウス地区

負曲面多様体の例として特に研究されているのは、半単純リー群に付随する対称空間である。この場合、マルグリスの補題は、ハンス・ザッセンハウスに遡る、より代数的な以下の定式化で与えられる。^{[ 4 ]}

が半単純リー群である場合、および における単位群の近傍が存在し、によって生成される任意の離散部分群には指数 の冪零部分群が含まれます。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle \Gamma}$ ${\displaystyle \Gamma \cap \Omega }$ ${\displaystyle \leq C}$

このような近傍はにおけるザッセンハウス近傍と呼ばれる。がコンパクトである場合、この定理は有限線型群におけるジョルダンの定理に相当する。 ${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

厚い-薄い分解

をリーマン多様体とし、 とする。の薄い部分はにおけるの単射半径がより小さい点の部分集合であり、通常 と表記される。また、の厚い部分は の補集合であり、通常 と表記される。 は互いに素な和集合 への同語的分解を有する。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle M_{<\varepsilon }}$ ${\displaystyle M_{\geq \varepsilon }}$ ${\displaystyle M=M_{<\varepsilon }\cup M_{\geq \varepsilon }}$

が負の曲率を持ち、普遍被覆 のマルグリス定数 よりも小さい場合、薄い部分の成分の構造は非常に単純です。有限体積双曲型多様体の場合に限定しましょう。 が のマルグリス定数 よりも小さく、 が有限体積双曲型多様体であるとします。すると、その薄い部分は2種類の成分を持ちます。^{[ 5 ]}${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$

• カスプ: これらは境界のない成分であり、平坦な-多様${\displaystyle (n-1)}$ 体と直線の積に微分同相である。
• マーギュリス管：長さ の閉測地線の近傍。マーギュリス管は有界であり、（が向き付け可能であれば）円と円板の積に微分同相である。${\displaystyle <\varepsilon }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (n-1)}$

特に、完全な有限体積双曲多様体は、常にコンパクト多様体（空の境界を持つ可能性もある）の内部と微分同相である。

その他のアプリケーション

マーギュリスの補題は、負曲率を持つ多様体の研究において重要なツールです。厚-薄分解以外にも、以下のような応用があります。

• カラー補題：これは、薄片のコンパクト成分の記述をより正確に表現したものです。双曲面上の長さ の任意の閉測地線は、直径 のオーダーの埋め込まれた円筒内に含まれることを述べています。${\displaystyle \ell <\varepsilon }$ ${\displaystyle \ell^{-1}}$
• マーギュリスの補題は、双曲多様体間の最小共体積問題に即した定性的な解決を与える。マーギュリス管の体積は次元のみに依存する定数によって下界が定められていることが分かるので、任意のnに対して双曲n多様体の体積には正の下限値が存在することになる。^{[ 6 ]}
• ザッセンハウス近傍の存在は、カジダン・マルギュリス定理の証明における重要な要素である。
• ザッセンハウス近傍の存在に対する系として、ジョーダン・シュール定理を回復することができます。

参照

• ジョルゲンセンの不等式は、 3 次元双曲空間の等長変換群の離散部分群に対する定量的な記述を与えます。${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )}$

注記

1. Ballmann、Gromov、Schroeder 1985、定理9.5。
2. 山田明 (1981). 「フックス群のマルデン普遍定数について」 .古代数学誌. 4 ( 2): 266– 277. doi : 10.2996/kmj/1138036373 .
3. Belolipetsky, Mikhail (2014). 「小体積の双曲型オービフォールド」ICM 2014 論文集. Kyung Moon SA. arXiv : 1402.5394 .
4. Raghunathan 1972、定義8.22。
5. サーストン 1997、第4.5章。
6. ラトクリフ 2006、666ページ。

参考文献

• Ballmann, Werner; Gromov, Mikhail; Schroeder, Viktor (1985).非正曲率多様体. Birkhâuser.
• ミシシッピ州ラグナサン（1972年）。リー群の離散サブグループ。 Ergebnisse de Mathematik および ihrer Grenzgebiete。スプリンガー・フェルラーグ。MR  0507234。
• ラトクリフ、ジョン (2006). 『双曲多様体の基礎』第2版. シュプリンガー. pp. xii+779. ISBN 978-0387-33197-3。
• サーストン、ウィリアム (1997).三次元幾何学と位相幾何学. 第1巻. プリンストン大学出版局.