行列変量ベータ分布

行列変量ベータ分布
表記	${\displaystyle {\rm {B}}_{p}(a,b)}$
パラメータ	${\displaystyle a,b}$
サポート	${\displaystyle p\times p}$ 正定値と負定値の両方を持つ行列${\displaystyle U}$ ${\displaystyle I_{p}-U}$
PDF	${\displaystyle \left\{\beta _{p}\left(a,b\right)\right\}^{-1}\det \left(U\right)^{a-(p+1)/2}\det \left(I_{p}-U\right)^{b-(p+1)/2}.}$
CDF	${\displaystyle {}_{1}F_{1}\left(a;a+b;iZ\right)}$

統計学において、行列変量ベータ分布はベータ分布の一般化である。MANOVAアンサンブルやヤコビアンサンブルとも呼ばれる。

が行列変量ベータ分布に従う 正定値行列であり、が実パラメータである場合、 （ と表記されることもある）の確率密度関数は以下の通りである。${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p\times p}$ ${\displaystyle a,b>(p-1)/2}$ ${\displaystyle U\sim B_{p}\left(a,b\right)}$ ${\displaystyle B_{p}^{I}\left(a,b\right)}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle \left\{\beta _{p}\left(a,b\right)\right\}^{-1}\det \left(U\right)^{a-(p+1)/2}\det \left(I_{p}-U\right)^{b-(p+1)/2}.}$$

多変数ベータ関数は次のとおりです。 ${\displaystyle \beta _{p}\left(a,b\right)}$

${\displaystyle \beta_{p}\left(a,b\right)={\frac {\Gamma_{p}\left(a\right)\Gamma_{p}\left(b\right)}{\Gamma_{p}\left(a+b\right)}}}$

ここで、多変数ガンマ関数は次のように与えられる。 ${\displaystyle \Gamma _{p}\left(a\right)}$

${\displaystyle \Gamma_{p}\left(a\right)=\pi^{p(p-1)/4}\prod_{i=1}^{p}\Gamma\left(a-(i-1)/2\right).}$

定理

逆行列の分布

の密度は次のように与えられる。 ${\displaystyle U\sim B_{p}(a,b)}$ ${\displaystyle X=U^{-1}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\beta _{p}\left(a,b\right)}}\det(X)^{-(a+b)}\det \left(X-I_{p}\right)^{b-(p+1)/2}}$

ただし、 およびとする。 ${\displaystyle X>I_{p}}$ ${\displaystyle a,b>(p-1)/2}$

直交変換

が定数直交行列である場合、${\displaystyle U\sim B_{p}(a,b)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle p\times p}$ ${\displaystyle HUH^{T}\sim B(a,b).}$

また、が に依存しないランダム直交行列である場合、 はに依存しない分布になります。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle p\times p}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle HUH^{T}\sim B_{p}(a,b)}$ ${\displaystyle H}$

が任意の定数で階数の行列である場合、 は一般化行列変量ベータ分布(具体的には )に従います。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle q\times p}$ ${\displaystyle q\leq p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle AUA^{T}}$ ${\displaystyle AUA^{T}\sim GB_{q}\left(a,b;AA^{T},0\right)}$

分割された行列の結果

とすると、次のように 分割する。${\displaystyle U\sim B_{p}\left(a,b\right)}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}U_{11}&U_{12}\\U_{21}&U_{22}\end{bmatrix}}}$

ここで、はであり、シュアー補数を と定義すると、次の結果が得られます。 ${\displaystyle U_{11}}$ ${\displaystyle p_{1}\times p_{1}}$ ${\displaystyle U_{22}}$ ${\displaystyle p_{2}\times p_{2}}$ ${\displaystyle U_{22\cdot 1}}$ ${\displaystyle U_{22}-U_{21}{U_{11}}^{-1}U_{12}}$

• ${\displaystyle U_{11}}$ 独立している${\displaystyle U_{22\cdot 1}}$
• ${\displaystyle U_{11}\sim B_{p_{1}}\left(a,b\right)}$
• ${\displaystyle U_{22\cdot 1}\sim B_{p_{2}}\left(a-p_{1}/2,b\right)}$
• ${\displaystyle U_{21}\mid U_{11},U_{22\cdot 1}}$ 逆行列変量t分布を持ち、具体的には${\displaystyle U_{21}\mid U_{11},U_{22\cdot 1}\sim IT_{p_{2},p_{1}}\left(2b-p+1,0,I_{p_{2}}-U_{22\cdot 1},U_{11}(I_{p_{1}}-U_{11})\right).}$

ウィシャートの結果

ミトラは、行列変量ベータ分布の有用な性質を示す次の定理を証明している。独立なウィシャート行列とする。 が正定値行列であり、 であるとする。もし ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ ${\displaystyle p\times p}$ ${\displaystyle S_{1}\sim W_{p}(n_{1},\Sigma ),S_{2}\sim W_{p}(n_{2},\Sigma )}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle n_{1}+n_{2}\geq p}$

${\displaystyle U=S^{-1/2}S_{1}\left(S^{-1/2}\right)^{T},}$

ここでは行列変量ベータ分布 に従う。特に、は とは独立である。 ${\displaystyle S=S_{1}+S_{2}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle B_{p}(n_{1}/2,n_{2}/2)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Sigma }$

スペクトル密度

スペクトル密度はヤコビ多項式で表される。^{[ 1 ]}

極値分布

最大固有値の分布は、トレイシー・ウィダム分布の変換によってよく近似されます。^{[ 2 ]}

参照

• 行列変量ディリクレ分布

参考文献

1. (ポッターズ＆ブショー 2020 )
2. Johnstone, Iain M. (2008-12-01). 「多変量解析とヤコビアンサンブル：最大固有値、トレイシー・ウィダム限界、収束速度」 . 『統計年報』 . 36 (6). arXiv : 0803.3408 . doi : 10.1214/08-AOS605 . ISSN  0090-5364 .

• ポッターズ、マーク；ブショー、ジャン＝フィリップ（ 2020年11月30日）「7. ヤコビアンサンブル」ランダム行列理論入門：物理学者、エンジニア、データサイエンティスト向け。ケンブリッジ大学出版局。doi ： 10.1017 /9781108768900。ISBN 978-1-108-76890-0。
• フォレスター、ピーター (2010). 「3. ラゲール・アンサンブルとヤコビ・アンサンブル」.対数気体とランダム行列. ロンドン数学会モノグラフ. プリンストン: プリンストン大学出版局. ISBN 978-0-691-12829-0。
• アンダーソン, GW; ギオネ, A.; ゼイトゥニ, O. (2010). 「4. いくつかの一般論」.ランダム行列入門. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-19452-5。
• Mehta, ML (2004). 「19. 行列アンサンブルと古典直交多項式」.ランダム行列. アムステルダム: Elsevier/Academic Press. ISBN 0-12-088409-7。
• Gupta, AK; Nagar, DK (1999).行列変量分布. Chapman and Hall. ISBN 1-58488-046-5。
• カトリ, CG (1992). 「行列ベータ分布とその線形モデル、検定、歪度、尖度への応用」. ヴェヌゴパル, N. (編). 『確率論への貢献』 . John Wiley & Sons. pp.  26– 34. ISBN 0-470-22050-3。
• ミトラ, SK (1970). 「行列変量ベータ分布への密度フリーアプローチ」.インド統計ジャーナル. シリーズA (1961–2002). 32 (1): 81– 88. JSTOR  25049638 .