模擬モジュラー形式

数学 において、模擬モジュラー形式は調和弱マース形式の正則部分であり、模擬シータ関数は本質的に重みの模擬モジュラー形式です1/2⁠。模擬シータ関数の最初の例は、シュリニヴァーサ・ラマヌジャンが1920年にGHハーディに宛てた最後の手紙と、失われたノートの中で記述されました。サンダー・ツヴェーガースは、特定の非正則関数をそれらに加えると、調和弱マース形式になることを発見しました。[ 1 ] [ 2 ]

歴史

「オイラー形式の関数があり、すべての点、あるいは無限個の点が指数特異点であると仮定し、またこれらの点において漸近形が(A)と(B)の場合と同じようにきれいに閉じると仮定する。問題は、その関数が、一方が通常のθ関数で、もう一方がすべての点e 2 m π i / nにおいてO(1)となる（自明な）関数である2つの関数の和であるか、ということである。…そうでない場合、その関数を模擬θ関数と呼ぶ。」

ラマヌジャンによる模擬シータ関数の元々の定義[ 3 ]

ラマヌジャンが1920年1月12日にハーディに宛てた手紙[ 3 ]には、彼が模擬シータ関数と呼んだ関数の例が17個挙げられており、彼の失われたノート[ 4 ]にはさらにいくつかの例が含まれていた。（ラマヌジャンは、今日でモジュラー形式と呼ばれるものを「シータ関数」と呼んでいた。）ラマヌジャンは、これらの関数は、重みのモジュラー形式と同様に、カスプで漸近展開すると指摘した。1/2⁠ は、おそらく尖点に極を持つが、「通常の」シータ関数では表現できない。彼は同様の性質を持つ関数を「模擬シータ関数」と呼んだ。ツヴェーガースは後に、模擬シータ関数と弱マース形式との関連性を発見した。

ラマヌジャンは、明確に定義されていなかった擬似シータ関数に順序を関連付けました。ツヴェーガースの研究以前には、既知の擬似シータ関数の順序には以下のようなものがありました。

3、5、6、7、8、10。

ラマヌジャンの秩序の概念は後に、重さのネベンティプス性質の導体に対応することが判明した。1/2⁠ラマヌジャンの模擬シータ関数をその正則射影として許容する調和マース形式。

その後数十年にわたり、ラマヌジャンの模擬シータ関数はワトソン、アンドリュース、セルバーグ、ヒッカーソン、チェイ、マッキントッシュらによって研究され、ラマヌジャンの主張を証明し、さらにいくつかの例や恒等式を発見した。（「新しい」恒等式や例のほとんどはラマヌジャンが既に知っていたもので、彼の失われたノートに再び現れた。）1936年、ワトソンはモジュラー群の元の作用下で、位数3の模擬シータ関数がほぼ重みのモジュラー形式のように変換することを発見した。1/2 （適切なqのべき乗を乗じたもの）ですが、関数方程式には「誤差項」があり、通常は明示的な積分として与えられます。[ 5 ] しかし、長年にわたり、模擬シータ関数の適切な定義はありませんでした。2001年にツヴェーガースが非正則モジュラー形式、レルヒ和、不定値シータ級数との関係を発見したことで、この状況は変わりました。ツヴェーガースは、ワトソンとアンドリュースの以前の研究を用いて、3、5、7次の模擬シータ関数は、重みの弱いマース形式の和として表せることを示しました1/2⁠そして測地線に沿って有界で、尖点で終わる関数である。[ 2 ]弱マース形式の固有値は⁠3/16双曲型ラプラシアン（重みの正則モジュラー形式と同じ値）の下では1/2⁠）ですが、カスプ付近では指数関数的に急速に増加するため、マース波形の通常の成長条件を満たしません。ツヴェーガースは、この結果を3つの異なる方法で証明しました。つまり、模擬シータ関数を2次元の不定格子のヘッケのシータ関数、アペル・レルヒ和、および有理型ヤコビ形式に関連付けたのです。

ツヴェーガースの基本結果は、模擬シータ関数が重みの実解析モジュラー形式の「正則部分」であることを示している⁠1/2⁠。これにより、モジュラー形式に関する多くの結果をモックシータ関数に拡張することができます。特に、モジュラー形式と同様に、モックシータ関数はすべて特定の明示的な有限次元空間に存在するため、それらの間の多くの恒等式の長く困難な証明が通常の線型代数に簡素化されます。初めて、モックシータ関数の無限の数の例を生成することが可能になりました。この研究以前は、約50の例しか知られていませんでした（そのほとんどはラマヌジャンによって最初に発見されました）。ツヴェーガースのアイデアのさらなる応用として、カトリン・ブリングマンとケン・オノは、ロジャース-ファイン基本超幾何級数から生じる特定のq級数が、重みの正則部分と関連していることを示しました⁠3/2⁠調和弱マース形式[ 6 ]を研究し、ジョージ・アンドリュース[ 7 ]とレイラ・ドラゴネット[ 8 ]が研究した3 次モック・シータ関数f ( q ) の係数の漸近級数が係数に収束することを示した。[ 9 ]特に、モック・シータ関数は、上半平面に作用するモジュラー群の尖点で漸近展開を持ち、これは重み⁠のモジュラー形式の漸近展開に似ている。1/2先端に極が ある

定義

模擬モジュラー形式は、調和 弱マース形式の「正則部分」として定義されます

重みkを固定する。通常は 2 k の整数とする。SL 2 ( Z )の部分群 Γ （またはkが半整数の場合はメタプレクティック群の部分群）と Γ の指標ρを固定する。この指標とこの群 Γ に対するモジュラー形式fは 、Γ の元に関して次のように変換される 。

f（aτ+bcτ+d)＝ρ（abcd)（cτ+d)kf（τ){\displaystyle f\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\rho {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}(c\tau +d)^{k}f(\tau )}

重みkの弱マース形式は、重みkのモジュラー形式のように変換される上半平面上の連続関数であり、重みk のラプラシアン演算子の固有関数であり、その固有値が( ⁠1 − k/2⁠ ) ⁠k/2⁠ [ 10 ]これは正則重みkモジュラー形式の固有値なので、これらはすべて調和弱マース形式の例です。（マース形式とは、カスプで急激に減少する弱マース形式です。）したがって、調和弱マース形式は微分作用素によって消滅します

∂∂τyk∂∂τ¯{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}y^{k}{\frac {\partial }{\partial {\overline {\tau }}}}}

Fが任意の調和弱マース形式である場合、関数gは次のように与えられる 。

g＝yk∂F¯∂τ＝∑nbnqn{\displaystyle g=y^{k}{\frac {\partial {\overline {F}}}{\partial \tau }}=\sum _{n}b_{n}q^{n}}

は正則関数であり、重みkのモジュラー形式のように変換されるが、尖点においては正則ではない可能性がある。同じ像gを持つ他の関数g *が見つかれば、F  −  g *は正則となる。そのような関数は、微分作用素を積分によって反転させることで与えられる。例えば、次のように定義できる。

g＊（τ)＝（私2)k−1∫−τ¯私∞（z+τ)−kg（−z¯)¯dz＝∑nnk−1bn¯βk（4ny)q−n+1{\displaystyle g^{*}(\tau )=\left({\frac {i}{2}}\right)^{k-1}\int _{-{\overline {\tau }}}^{i\infty }(z+\tau )^{-k}{\overline {g(-{\overline {z}})}}\,dz=\sum _{n}n^{k-1}{\overline {b_{n}}}\beta _{k}(4ny)q^{-n+1}}

ここで

βk（t)＝∫t∞u−ke−πudu{\displaystyle \displaystyle \beta _{k}(t)=\int _{t}^{\infty }u^{-k}e^{-\pi u}\,du}

は本質的に不完全ガンマ関数である。積分はg がi ∞の尖点で零点を持つときはいつでも収束し、不完全ガンマ関数は解析接続によって拡張できるため、この式はg がi ∞で有理型であってもFの正則部分g *を定義するのに使用できる。ただし、 kが 1 または整数でない場合、あるいはn = 0 の場合には注意が必要である。 微分演算子の逆は一意ではなく、任意の準同型関数をその像に影響を与えずにg *に加えることができるため、結果として関数g *は群 Γ について不変である必要はない。関数h = F  −  g *はFの正則部分と呼ばれる。

擬似モジュラー形式は、ある調和弱マース形式Fの正則部分h として定義される。したがって、擬似モジュラー形式hの空間から調和弱マース形式の部分空間への同型性が存在する。

模擬モジュラー形式hは正則だが完全にモジュラーではなく、h  +  g *はモジュラーだが完全に正則ではない。重みkの模擬モジュラー形式の空間には、重みkの近似モジュラー形式（「カスプで有理型である可能性のあるモジュラー形式」）の空間が部分空間として含まれる。商は、重み 2 − kの正則モジュラー形式の空間に（反線型的に）同型である 。模擬モジュラー形式hに対応する重み - (2 −  k ) モジュラー形式gは、そのシャドウと呼ばれる。異なる模擬シータ関数が同じシャドウを持つことはごく普通である。例えば、ラマヌジャンが発見した位数 5 の 10 個の模擬シータ関数は、5 ずつの 2 つのグループに分類され、各グループ内のすべての関数は同じシャドウを持つ（定数倍を除く）。

ドン・ザギエ[ 11 ]は、模擬シータ関数をq  = e 2 π i 𝜏の有理数乗に重みの模擬モジュラー形式を掛けたものと定義している。1/2⁠その影は、次の形のシータ級数である

∑n∈Zε（n)nqκn2{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }\varepsilon (n)nq^{\kappa n^{2}}}

正の有理数κと奇周期関数εに対して。（このようなシータ級数は重みのモジュラー形式である⁠3/2⁠ ）。q の有理数は歴史的な偶然です。

ほとんどの模擬モジュラー形式と弱マース形式は、カスプにおいて急激な増加を示す。カスプにおける増加速度が最大でも指数関数的であるという条件を課すのが一般的である（これは、模擬モジュラー形式の場合、カスプにおいて「有理型」であることを意味する）。カスプにおける増加が一定の指数関数によって制限される模擬モジュラー形式（与えられた重みと群を持つ）の空間は有限次元である。

アペル・レルヒ和

ランバート級数の一般化であるアペル・レルヒ和は、ポール・エミール・アペル[ 12 ]とマティアス・レルヒ[ 13 ]によって初めて研究されました。ワトソンは3次の模擬シータ関数をアペル・レルヒ和で表現して研究し、ツヴェーガースはそれを用いて模擬シータ関数が本質的に模擬モジュラー形式であることを示しました

アペル・レルヒ級数は

μ（u、v;τ)＝a12θ（v;τ)∑n∈Z（−b)nq12n（n+1)1−aqn{\displaystyle \mu(u,v;\tau)={\frac{a^{\frac{1}{2}}}{\theta(v;\tau)}}\sum_{n\in\mathbb{Z}}{\frac{(-b)^{n}q^{{\frac{1}{2}}n(n+1)}}}{1-aq^{n}}}}

ここで

q＝e2π私τ、a＝e2π私u、b＝e2π私v{\displaystyle \displaystyle q=e^{2\pi i\tau },\quad a=e^{2\pi iu},\quad b=e^{2\pi iv}}

と

θ（v、τ)＝∑n∈Z（−1)nbn+12q12（n+12)2。{\displaystyle \theta (v,\tau )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}b^{n+{\frac {1}{2}}}q^{{\frac {1}{2}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.}

修正級数

μ^（u、v;τ)＝μ（u、v;τ)−12R（u−v;τ){\displaystyle {\hat {\mu }}(u,v;\tau )=\mu (u,v;\tau )-{\frac {1}{2}}R(uv;\tau )}

ここで

R（z;τ)＝∑ν∈Z+12（−1)ν−12（s私gn（ν)−E[（ν+ℑ（z)y)2y])e−2π私νzq−12ν2{\displaystyle R(z;\tau )=\sum _{\nu \in \mathbb {Z} +{\frac {1}{2}}}(-1)^{\nu -{\frac {1}{2}}}\left({\rm {sign}}(\nu )-E\left[\left(\nu +{\frac {\Im (z)}{y}}\right){\sqrt {2y}}\right]\right)e^{-2\pi i\nu z}q^{-{\frac {1}{2}}\nu ^{2}}}

およびy = Im(𝜏)および

E（z)＝2∫0ze−πu2du{\displaystyle E(z)=2\int _{0}^{z}e^{-\pi u^{2}}\,du}

以下の変換特性を満たす

μ^（u+1、v;τ)＝a−1bq−12μ^（u+τ、v;τ)＝−μ^（u、v;τ)e28π私μ^（u、v;τ+1)＝μ^（u、v;τ)＝−（τ私)−12eπ私τ（u−v)2μ^（uτ、vτ;−1τ)。{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mu }}(u+1,v;\tau )&=a^{-1}bq^{-{\frac {1}{2}}}{\hat {\mu }}(u+\tau ,v;\tau )\\&{}=-{\hat {\mu }}(u,v;\tau )\\e^{{\frac {2}{8}}\pi i}{\hat {\mu }}(u,v;\tau +1)&={\hat {\mu }}(u,v;\tau )\\&{}=-\left({\frac {\tau }{i}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{{\frac {\pi i}{\tau }}(uv)^{2}}{\hat {\mu }}\left({\frac {u}{\tau }},{\frac {v}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }}\right).\end{aligned}}}

言い換えれば、修正アペル・レルヒ級数は𝜏に関してモジュラー形式のように変換されます。模擬シータ関数はアペル・レルヒ級数で表すことができるため、これは、模擬シータ関数に特定の非解析級数を加えた場合、モジュラー形式のように変換されることを意味します。

不定シータ級数

ジョージ・アンドリュース[ 14 ]は、ラマヌジャンの5階模擬シータ関数のいくつかが商に等しいことを示したΘ(𝜏)/θ (𝜏)⁠ここで、θ (𝜏) は重みのモジュラー形式です⁠1/2⁠そしてΘ(𝜏)は不定二項二次形式のシータ関数であり、ディーン・ヒッカーソン[ 15 ]は7次の模擬シータ関数に対して同様の結果を証明した。ツヴェーガースは不定シータ関数を完備化して実解析モジュラー形式を生成する方法を示し、これを用いて模擬シータ関数と弱マース波形の関係の別の証明を与えた

有理型ヤコビ形式

ジョージ・アンドリュース[ 16 ]は、ラマヌジャンの5階模擬シータ関数のいくつかがヤコビのシータ関数の商で表現できることを指摘しました。ツヴェーガースはこの考えを用いて、模擬シータ関数を有理型ヤコビ形式のフーリエ係数として表現しました

応用

例

  • 重みkの任意のモジュラー形式（カスプでのみ有理型である可能性もある）は、重みkの影0を持つ模擬モジュラー形式である
  • 準モジュラー・アイゼンシュタイン級数
E2（τ)＝1−24∑n＞0σ1（n)qn{\displaystyle \displaystyle E_{2}(\tau )=1-24\sum _{n>0}\sigma _{1}(n)q^{n}}
重み2とレベル1のモジュラー形式は重み2の擬似モジュラー形式で、シャドウは定数です。つまり、
E2（τ)−3πy{\displaystyle \displaystyle E_{2}(\tau )-{\frac {3}{\pi y}}}
重み2のモジュラー形式のように変換されます（ただし𝜏 = x  +  iy）。
  • ドン・ザギエ[ 21 ] [ 22 ]が研究した、虚数二次体のフルヴィッツ類数H ( N )であるフーリエ係数を持つ関数は、重みのモジュラー形式である。3/2⁠、レベル4、シャドウΣ  q n 2。対応する弱いマース波形は 
F（τ)＝∑NH（N)qn+y−1/2∑n∈Zβ（4πn2y)q−n2{\displaystyle F(\tau )=\sum _{N}H(N)q^{n}+y^{-1/2}\sum _{n\in Z}\beta (4\pi n^{2}y)q^{-n^{2}}}
ここで
β（x)＝116π∫1∞u−3/2e−xudu{\displaystyle \beta (x)={\frac {1}{16\pi }}\int _{1}^{\infty }u^{-3/2}e^{-xu}du}
y =  Im(𝜏)、q =  e 2 π i 𝜏

模擬シータ関数は重みの模擬モジュラー形式である⁠1/2その影は単項シータ関数で、 qの有理数乗（歴史的な理由により）を乗じたものです。ツヴェーガースの研究によって一般的な構築方法が確立される前は、ほとんどの例は基本的な超幾何関数として与えられていましたが、これは主に歴史的な偶然であり、ほとんどの模擬シータ関数はそのような関数で簡単に表現できるものが知られていません

「自明な」模擬シータ関数は、重みの（正則な）モジュラー形式である⁠1/2これらはセールとスターク[ 23 ]によって分類され、それらはすべて1次元格子のシータ関数で表すことができることが示されました。

次の例では、次のように定義される q-Pochhammer 記号( a ; q ) nを使用します。

（a;q)n＝∏0≤j<n（1−aqj)＝（1−a)（1−aq)⋯（1−aqn−1)。{\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{0\leq j<n}(1-aq^{j})=(1-a)(1-aq)\cdots (1-aq^{n-1}).}

2次

いくつかの2次模擬シータ関数はマッキントッシュによって研究されました。[ 24 ]

A（q)＝∑n≥0q（n+1)2（−q;q2)n（q;q2)n+12＝∑n≥0qn+1（−q2;q2)n（q;q2)n+1{\displaystyle A(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}^{2}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n+1}(-q^{2};q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}}（OEISの配列A006304）
B（q)＝∑n≥0qn（n+1)（−q2;q2)n（q;q2)n+12＝∑n≥0qn（−q;q2)n（q;q2)n+1{\displaystyle B(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)}(-q^{2};q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}^{2}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}(-q;q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}}（ OEISの 配列A153140）
μ（q)＝∑n≥0（−1)nqn2（q;q2)n（−q2;q2)n2{\displaystyle \mu (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n^{2}}(q;q^{2})_{n}}{(-q^{2};q^{2})_{n}^{2}}}}（ OEISの 配列A006306）

関数μはラマヌジャンが失くしたノートの中で発見しました。

これらは、8次関数のセクションで列挙されている関数と関連している。

U0（q)−2U1（q)＝μ（q){\displaystyle U_{0}(q)-2U_{1}(q)=\mu(q)}
V0（q)−V0（−q)＝4qB（q2){\displaystyle V_{0}(q)-V_{0}(-q)=4qB(q^{2})}
V1(q)+V1(−q)=2A(q2){\displaystyle V_{1}(q)+V_{1}(-q)=2A(q^{2})}

3次

ラマヌジャンはハーディへの手紙の中で4つの3次模擬シータ関数について言及し、さらに3つの失われたノートをリストアップしました。これらはG・N・ワトソンによって再発見されました。[ 5 ]ワトソンはラマヌジャンが述べたそれらの関係を証明し、またそれらをアペル・レルヒ和として表すことで、モジュラー群の元による変換を見つけました。ドラゴネット[ 8 ]はそれらの係数の漸近展開を記述しました。ツヴェーガース[ 1 ]はそれらを調和弱マース形式に関連付けました。ネイサン・ファインによるモノグラフも参照してください。[ 25 ]

ラマヌジャンによって与えられた7つの3次模擬シータ関数は

f(q)=∑n≥0qn2(−q;q)n2=2∏n>0(1−qn)∑n∈Z(−1)nqn(3n+1)/21+qn{\displaystyle f(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(-q;q)_{n}^{2}}}={\frac {2}{\prod _{n>0}(1-q^{n})}}\sum _{n\in \mathbf {Z} }{\frac {(-1)^{n}q^{n(3n+1)/2}}{1+q^{n}}}}、（OEISのシーケンスA000025）。
ϕ(q)=∑n≥0qn2(−q2;q2)n=1∏n>0(1−qn)∑n∈Z(−1)n(1+qn)qn(3n+1)/21+q2n{\displaystyle \phi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(-q^{2};q^{2})_{n}}}={\frac {1}{\prod _{n>0}(1-q^{n})}}\sum _{n\in \mathbf {Z} }{\frac {(-1)^{n}(1+q^{n})q^{n(3n+1)/2}}{1+q^{2n}}}}（ OEISの配列A053250）。
ψ(q)=∑n>0qn2(q;q2)n=q∏n>0(1−q4n)∑n∈Z(−1)nq6n(n+1)1−q4n+1{\displaystyle \psi (q)=\sum _{n>0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q^{2})_{n}}}={\frac {q}{\prod _{n>0}(1-q^{4n})}}\sum _{n\in \mathbf {Z} }{\frac {(-1)^{n}q^{6n(n+1)}}{1-q^{4n+1}}}}（ OEISの 配列A053251）。
χ(q)=∑n≥0qn2∏1≤i≤n(1−qi+q2i)=12∏n>0(1−qn)∑n∈Z(−1)n(1+qn)qn(3n+1)/21−qn+q2n{\displaystyle \chi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{\prod _{1\leq i\leq n}(1-q^{i}+q^{2i})}}={\frac {1}{2\prod _{n>0}(1-q^{n})}}\sum _{n\in \mathbf {Z} }{\frac {(-1)^{n}(1+q^{n})q^{n(3n+1)/2}}{1-q^{n}+q^{2n}}}}（ OEISの 配列A053252）。
ω(q)=∑n≥0q2n(n+1)(q;q2)n+12=1∏n>0(1−q2n)∑n≥0(−1)nq3n(n+1)1+q2n+11−q2n+1{\displaystyle \omega (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n(n+1)}}{(q;q^{2})_{n+1}^{2}}}={\frac {1}{\prod _{n>0}(1-q^{2n})}}\sum _{n\geq 0}{(-1)^{n}q^{3n(n+1)}{\frac {1+q^{2n+1}}{1-q^{2n+1}}}}}（ OEISの 配列A053253）。
ν(q)=∑n≥0qn(n+1)(−q;q2)n+1=1∏n>0(1−qn)∑n≥0(−1)nq3n(n+1)/21−q2n+11+q2n+1{\displaystyle \nu (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)}}{(-q;q^{2})_{n+1}}}={\frac {1}{\prod _{n>0}(1-q^{n})}}\sum _{n\geq 0}{(-1)^{n}q^{3n(n+1)/2}{\frac {1-q^{2n+1}}{1+q^{2n+1}}}}}（ OEISの 配列A053254）。
ρ(q)=∑n≥0q2n(n+1)∏0≤i≤n(1+q2i+1+q4i+2)=1∏n>0(1−q2n)∑n≥0(−1)nq3n(n+1)1−q4n+21+q2n+1+q4n+2{\displaystyle \rho (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n(n+1)}}{\prod _{0\leq i\leq n}(1+q^{2i+1}+q^{4i+2})}}={\frac {1}{\prod _{n>0}(1-q^{2n})}}\sum _{n\geq 0}{(-1)^{n}q^{3n(n+1)}{\frac {1-q^{4n+2}}{1+q^{2n+1}+q^{4n+2}}}}}（ OEISの 配列A053255）。

最初の4つは（定数分を除いて）同じ影を持つ群を形成し、最後の3つも同様です。より正確には、これらの関数は以下の関係式を満たします（ラマヌジャンによって発見され、ワトソンによって証明されました）。

2ϕ(−q)−f(q)=f(q)+4ψ(−q)=θ4(0,q)∏r>0(1+qr)−14χ(q)−f(q)=3θ42(0,q3)∏r>0(1−qr)−12ρ(q)+ω(q)=3(12q−38θ2(0,q32))2∏r>0(1−q2r)−1ν(±q)±qω(q2)=12q−14θ2(0,q)∏r>0(1+q2r)f(q8)±2qω(±q)±2q3ω(−q4)=θ3(0,±q)θ32(0,q2)∏r>0(1−q4r)−2f(q8)+qω(q)−qω(−q)=θ3(0,q4)θ32(0,q2)∏r>0(1−q4r)−2{\displaystyle {\begin{aligned}2\phi (-q)-f(q)&=f(q)+4\psi (-q)=\theta _{4}(0,q)\prod _{r>0}\left(1+q^{r}\right)^{-1}\\4\chi (q)-f(q)&=3\theta _{4}^{2}(0,q^{3})\prod _{r>0}\left(1-q^{r}\right)^{-1}\\2\rho (q)+\omega (q)&=3\left({\frac {1}{2}}q^{-{\frac {3}{8}}}\theta _{2}(0,q^{\frac {3}{2}})\right)^{2}\prod _{r>0}\left(1-q^{2r}\right)^{-1}\\\nu (\pm q)\pm q\omega \left(q^{2}\right)&={\frac {1}{2}}q^{-{\frac {1}{4}}}\theta _{2}(0,q)\prod _{r>0}\left(1+q^{2r}\right)\\f\left(q^{8}\right)\pm 2q\omega (\pm q)\pm 2q^{3}\omega \left(-q^{4}\right)&=\theta _{3}(0,\pm q)\theta _{3}^{2}\left(0,q^{2}\right)\prod _{r>0}\left(1-q^{4r}\right)^{-2}\\f(q^{8})+q\omega (q)-q\omega (-q)&=\theta _{3}(0,q^{4})\theta _{3}^{2}(0,q^{2})\prod _{r>0}\left(1-q^{4r}\right)^{-2}\end{aligned}}}

5階

ラマヌジャンは1920年にハーディに宛てた手紙の中で、5階の模擬シータ関数を10個書き留め、それらの間の関係を述べました。これはワトソンによって証明されました。[ 26 ]失われたノートには、これらの関数を関連付けるいくつかの恒等式が記されており、これは模擬シータ予想[ 27 ]と同等であり、ヒッカーソンによって証明されました。[ 28 ]アンドリュース[ 14 ]は、これらの関数の多くを、不定値シータ級数の重みのモジュラー形式による商として表現しました1/2⁠ .

f0(q)=∑n≥0qn2(−q;q)n{\displaystyle f_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(-q;q)_{n}}}}（OEISの配列A053256）
f1(q)=∑n≥0qn2+n(−q;q)n{\displaystyle f_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}+n}}{(-q;q)_{n}}}}（ OEISの配列A053257）
ϕ0(q)=∑n≥0qn2(−q;q2)n{\displaystyle \phi _{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{n^{2}}(-q;q^{2})_{n}}}（ OEISの配列A053258）
ϕ1(q)=∑n≥0q(n+1)2(−q;q2)n{\displaystyle \phi _{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{(n+1)^{2}}(-q;q^{2})_{n}}}（ OEISの配列A053259）
ψ0(q)=∑n≥0q(n+1)(n+2)/2(−q;q)n{\displaystyle \psi _{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{(n+1)(n+2)/2}(-q;q)_{n}}}（ OEISの配列A053260）
ψ1(q)=∑n≥0qn(n+1)/2(−q;q)n{\displaystyle \psi _{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{n(n+1)/2}(-q;q)_{n}}}（ OEISの配列A053261）
χ0(q)=∑n≥0qn(qn+1;q)n=2F0(q)−ϕ0(−q){\displaystyle \chi _{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q^{n+1};q)_{n}}}=2F_{0}(q)-\phi _{0}(-q)}（ OEISの配列A053262）
χ1(q)=∑n≥0qn(qn+1;q)n+1=2F1(q)+q−1ϕ1(−q){\displaystyle \chi _{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q^{n+1};q)_{n+1}}}=2F_{1}(q)+q^{-1}\phi _{1}(-q)}（ OEISの配列A053263）
F0(q)=∑n≥0q2n2(q;q2)n{\displaystyle F_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n^{2}}}{(q;q^{2})_{n}}}}（ OEISの配列A053264）
F1(q)=∑n≥0q2n2+2n(q;q2)n+1{\displaystyle F_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n^{2}+2n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}}（ OEISの配列A053265）
Ψ0(q)=−1+∑n≥0q5n2(1−q)(1−q4)(1−q6)(1−q9)...(1−q5n−1)(1−q5n+1){\displaystyle \Psi _{0}(q)=-1+\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{5n^{2}}}{(1-q)(1-q^{4})(1-q^{6})(1-q^{9})...(1-q^{5n-1})(1-q^{5n+1})}}}（ OEISの配列A053266）
Ψ1(q)=−1+∑n≥0q5n2(1−q2)(1−q3)(1−q7)(1−q8)...(1−q5n−2)(1−q5n+2){\displaystyle \Psi _{1}(q)=-1+\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{5n^{2}}}{(1-q^{2})(1-q^{3})(1-q^{7})(1-q^{8})...(1-q^{5n-2})(1-q^{5n+2})}}}（ OEISの配列A053267）

6階

ラマヌジャン[ 4 ]は、紛失したノートに7つの6階の模擬シータ関数を書き留め、それらの間に11の恒等式を述べました。これらはアンドリュースとヒッカーソン[ 29 ]によって証明されました。ラマヌジャンの恒等式のうち2つは、様々な変分におけるφとψを関連付け、4つはφとψをアペル・レルヒ級数で表現し、最後の5つの恒等式は残りの5つの6階の模擬シータ関数をφとψで表現します。ベルントとチャン[ 30 ]はさらに2つの6階関数を発見しました

6次の模擬シータ関数は次のとおりです。

ϕ(q)=∑n≥0(−1)nqn2(q;q2)n(−q;q)2n{\displaystyle \phi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n^{2}}(q;q^{2})_{n}}{(-q;q)_{2n}}}}（ OEISの配列A053268）
ψ(q)=∑n≥0(−1)nq(n+1)2(q;q2)n(−q;q)2n+1{\displaystyle \psi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{(n+1)^{2}}(q;q^{2})_{n}}{(-q;q)_{2n+1}}}}（ OEISの配列A053269）
ρ(q)=∑n≥0qn(n+1)/2(−q;q)n(q;q2)n+1{\displaystyle \rho (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)/2}(-q;q)_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}}（ OEISの配列A053270）
σ(q)=∑n≥0q(n+1)(n+2)/2(−q;q)n(q;q2)n+1{\displaystyle \sigma (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)(n+2)/2}(-q;q)_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}}（ OEISの配列A053271）
λ(q)=∑n≥0(−1)nqn(q;q2)n(−q;q)n{\displaystyle \lambda (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n}(q;q^{2})_{n}}{(-q;q)_{n}}}}（ OEISの配列A053272）
2μ(q)=∑n≥0(−1)nqn+1(1+qn)(q;q2)n(−q;q)n+1{\displaystyle 2\mu (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n+1}(1+q^{n})(q;q^{2})_{n}}{(-q;q)_{n+1}}}}（ OEISの配列A053273）
γ(q)=∑n≥0qn2(q;q)n(q3;q3)n{\displaystyle \gamma (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}(q;q)_{n}}{(q^{3};q^{3})_{n}}}}（ OEISの配列A053274）
ϕ−(q)=∑n≥1qn(−q;q)2n−1(q;q2)n{\displaystyle \phi _{-}(q)=\sum _{n\geq 1}{\frac {q^{n}(-q;q)_{2n-1}}{(q;q^{2})_{n}}}}（ OEISの配列A153251）
ψ−(q)=∑n≥1qn(−q;q)2n−2(q;q2)n{\displaystyle \psi _{-}(q)=\sum _{n\geq 1}{\frac {q^{n}(-q;q)_{2n-2}}{(q;q^{2})_{n}}}}（ OEISの配列A153252）

7次

ラマヌジャンは1920年にハーディに宛てた手紙の中で、7次の模擬シータ関数を3つ示しました。それらはセルバーグ[ 31 ]によって研究され、セルバーグはその係数の漸近展開を発見しました。また、アンドリュース[ 14 ]も研究しました。ヒッカーソン[ 15 ]は、これらの関数の多くを、不定値シータ級数を重みのモジュラー形式で商として表現することを発見しました1/2⁠ . Zwegers [ 1 ] [ 2 ]はそれらのモジュラー変換特性を説明した。

  • F0(q)=∑n≥0qn2(qn+1;q)n{\displaystyle \displaystyle F_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q^{n+1};q)_{n}}}}（ OEISの配列A053275）
  • F1(q)=∑n≥0qn2(qn;q)n{\displaystyle \displaystyle F_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q^{n};q)_{n}}}}（ OEISの配列A053276）
  • F2(q)=∑n≥0qn(n+1)(qn+1;q)n+1{\displaystyle \displaystyle F_{2}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)}}{(q^{n+1};q)_{n+1}}}}（ OEISの配列A053277）

これら3つの擬似シータ関数はそれぞれ異なる影を持つため、ラマヌジャンの3次関数や5次関数の場合とは異なり、通常のモジュラー形式との間には線型関係は存在しない。対応する弱マース形式は以下の通りである。

M1(τ)=q−1/168F1(q)+R7,1(τ)M2(τ)=−q−25/168F2(q)+R7,2(τ)M3(τ)=q47/168F3(q)+R7,3(τ){\displaystyle {\begin{aligned}M_{1}(\tau )&=q^{-1/168}F_{1}(q)+R_{7,1}(\tau )\\[4pt]M_{2}(\tau )&=-q^{-25/168}F_{2}(q)+R_{7,2}(\tau )\\[4pt]M_{3}(\tau )&=q^{47/168}F_{3}(q)+R_{7,3}(\tau )\end{aligned}}}

ここで

Rp,j(τ)=∑n≡jmodp(12n)sgn⁡(n)β(n2y6p)q−n2/24p{\displaystyle R_{p,j}(\tau )=\!\!\!\!\sum _{n\equiv j{\bmod {p}}}{\binom {12}{n}}\operatorname {sgn}(n)\beta \left({\frac {n^{2}y}{6p}}\right)q^{-n^{2}/24p}}

と

β(x)=∫x∞u−1/2e−πudu{\displaystyle \beta (x)=\int _{x}^{\infty }u^{-1/2}e^{-\pi u}\,du}

は多かれ少なかれ相補誤差関数です。メタプレクティック群の下では、これらの3つの関数は、メタプレクティック群の特定の3次元表現に従って次のように変換されます

Mj(−1τ)=τ7i∑k=132sin⁡(6πjk7)Mk(τ)M1(τ+1)=e−2πi/168M1(τ),M2(τ+1)=e−2×25πi/168M2(τ),M3(τ+1)=e−2×121πi/168M3(τ).{\displaystyle {\begin{aligned}M_{j}\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&={\sqrt {\frac {\tau }{7i}}}\,\sum _{k=1}^{3}2\sin \left({\frac {6\pi jk}{7}}\right)M_{k}(\tau )\\[6pt]M_{1}(\tau +1)&=e^{-2\pi i/168}M_{1}(\tau ),\\[6pt]M_{2}(\tau +1)&=e^{-2\times 25\pi i/168}M_{2}(\tau ),\\[6pt]M_{3}(\tau +1)&=e^{-2\times 121\pi i/168}M_{3}(\tau ).\end{aligned}}}

言い換えれば、それらは重みのレベル1ベクトル値調和弱マース形式の成分である ⁠1/2⁠ .

注文番号8

ゴードンとマッキントッシュ[ 32 ]は、8次の擬シータ関数を8つ発見した。彼らはそれらを含む5つの線型関係を発見し、そのうち4つの関数をアペル・レルヒ和として表現し、モジュラー群の下での変換を記述した。2つの関数V 1とU 0は、ラマヌジャン[ 33 ]が以前に紛失したノートの中で発見していたものである。

S0(q)=∑n≥0qn2(−q;q2)n(−q2;q2)n{\displaystyle S_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(-q^{2};q^{2})_{n}}}}（ OEISの 配列A153148）
S1(q)=∑n≥0qn(n+2)(−q;q2)n(−q2;q2)n{\displaystyle S_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+2)}(-q;q^{2})_{n}}{(-q^{2};q^{2})_{n}}}}（ OEISの 配列A153149）
T0(q)=∑n≥0q(n+1)(n+2)(−q2;q2)n(−q;q2)n+1{\displaystyle T_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)(n+2)}(-q^{2};q^{2})_{n}}{(-q;q^{2})_{n+1}}}}（ OEISの 配列A153155）
T1(q)=∑n≥0qn(n+1)(−q2;q2)n(−q;q2)n+1{\displaystyle T_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)}(-q^{2};q^{2})_{n}}{(-q;q^{2})_{n+1}}}}（ OEISの配列A153156）
U0(q)=∑n≥0qn2(−q;q2)n(−q4;q4)n{\displaystyle U_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(-q^{4};q^{4})_{n}}}}（ OEISの 配列A153172）
U1(q)=∑n≥0q(n+1)2(−q;q2)n(−q2;q4)n+1{\displaystyle U_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(-q^{2};q^{4})_{n+1}}}}（OEISの配列A153174）
V0(q)=−1+2∑n≥0qn2(−q;q2)n(q;q2)n=−1+2∑n≥0q2n2(−q2;q4)n(q;q2)2n+1{\displaystyle V_{0}(q)=-1+2\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n}}}=-1+2\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n^{2}}(-q^{2};q^{4})_{n}}{(q;q^{2})_{2n+1}}}}（ OEISの 配列A153176）
V1(q)=∑n≥0q(n+1)2(−q;q2)n(q;q2)n+1=∑n≥0q2n2+2n+1(−q4;q4)n(q;q2)2n+2{\displaystyle V_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n^{2}+2n+1}(-q^{4};q^{4})_{n}}{(q;q^{2})_{2n+2}}}} （OEISの配列A153178）

10次​​

ラマヌジャン[ 34 ]は、失われたノートに4つの10次模擬シータ関数を列挙し、それらの間のいくつかの関係を述べており、それはチェイによって証明された。[ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]

  • ϕ(q)=∑n≥0qn(n+1)/2(q;q2)n+1{\displaystyle \phi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)/2}}{(q;q^{2})_{n+1}}}}（ OEISの配列A053281）
  • ψ(q)=∑n≥0q(n+1)(n+2)/2(q;q2)n+1{\displaystyle \psi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)(n+2)/2}}{(q;q^{2})_{n+1}}}}（ OEISの配列A053282）
  • X(q)=∑n≥0(−1)nqn2(−q;q)2n{\displaystyle \mathrm {X} (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n^{2}}}{(-q;q)_{2n}}}}（ OEISの配列A053283）
  • χ(q)=∑n≥0(−1)nq(n+1)2(−q;q)2n+1{\displaystyle \chi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{(n+1)^{2}}}{(-q;q)_{2n+1}}}}（ OEISの配列A053284）

注記

  1. ^ a b cツヴェーガース 2001 .
  2. ^ a b cツヴェーガース 2002 .
  3. ^ a b Ramanujan 2000、付録II。
  4. ^ a bラマヌジャン 1988 .
  5. ^ a bワトソン 1936 .
  6. ^ブリングマン、フォルサム、オノ 2009 .
  7. ^アンドリュース 1966 .
  8. ^ a bドラゴネット 1952年。
  9. ^ブリングマン＆オノ 2006 .
  10. ^ブルーニエ＆フンケ 2004 .
  11. ^ザギエ 2007 .
  12. ^アペル 1884 .
  13. ^レルヒ 1892 .
  14. ^ a b cアンドリュース 1986 .
  15. ^ a bヒッカーソン 1988b .
  16. ^アンドリュース 1988 .
  17. ^ローレンス＆ザギエ 1999 .
  18. ^セミハトフ、タオルミーナ、ティプーニン 2005。
  19. ^トロースト 2010 .
  20. ^ダボルカー、ムルシー、ザギエル 2012 .
  21. ^ザギエ 1975 .
  22. ^ヒルゼブルッフ & ザギール 1976、2.2。
  23. ^セール＆スターク 1977 .
  24. ^マッキントッシュ 2007 .
  25. ^ファイン 1988 .
  26. ^ワトソン 1937年。
  27. ^アンドリュース＆ガーバン 1989 .
  28. ^ヒッカーソン 1988a .
  29. ^アンドリュース＆ヒッカーソン 1991 .
  30. ^ベルント＆チャン 2007 .
  31. ^セルバーグ 1938 .
  32. ^ゴードン＆マッキントッシュ 2000 .
  33. ^ラマヌジャン 1988、p. 8、式1; p. 29 式 6.
  34. ^ラマヌジャン 1988、9ページ。
  35. ^チェイ 1999 .
  36. ^チェイ 2000 .
  37. ^チェイ 2002 .
  38. ^チェイ 2007 .

参考文献

参考文献

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