モジュラー不変理論

数学において、群のモジュラー不変量とは、正の標数（通常は群の位数を割り切る）のベクトル空間に作用する有限群の不変量である。モジュラー不変量の研究は、1914年頃にDickson (2004)によって始まった。

ディクソン不変量

Gが、環F q [ X 1 , ..., X n ]に自然に作用する、位数aの有限体F q上の有限一般線型群GL n ( F q )である場合、 Dickson (1911)は次のように不変量の完全な集合を発見した。[ e 1 , ..., e n ]を、 Xを要素とする行列の行列式と書く。q e j iここで、e 1 , ..., e nは非負整数である。例えば、 3次のムーア行列式[0,1,2]は

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1}&x_{1}^{q}&x_{1}^{q^{2}}\\x_{2}&x_{2}^{q}&x_{2}^{q^{2}}\\x_{3}&x_{3}^{q}&x_{3}^{q^{2}}\end{vmatrix}}}$

_{すると、 GL n} ( F _q )の元gの作用により、これらの行列式はすべて det( g ) 倍になるため、SL _n ( F _q ) の不変量となり、比 [ e ₁ , ..., e _n ] / [0, 1, ..., n − 1] は GL _n ( F _q ) の不変量となり、ディクソン不変量と呼ばれます。ディクソンは、不変量F _q [ X ₁ , ..., X _n ] ^{GL _n ( F _q )}の完全環が、i = 0, 1, ..., n − 1 のとき、nディクソン不変量 [0, 1, ..., i  − 1,  i  + 1, ...,  n ] / [0, 1, ...,  n −  1  ]上の多項式代数であることを証明しました。Steinberg (1987) は、ディクソンの定理のより簡潔な証明を与えました。

行列 [ e ₁ , ..., e _n ] は、有限体F _qに係数を持つ変数X _iのすべての非零線形形式で割り切れる。特に、ムーア行列式[0, 1, ...,  n  − 1] は、そのような線形形式の積であり、 体上の( n – 1) 次元射影空間の代表値1  + q +  q  2 ⁺  ... +  q ^{n  – 1に適用される。この因数分解は、}ヴァンデルモンド行列式の線形因数分解に類似している。

参照

• サンダーソンの定理

参考文献

• ディクソン、レナード・ユージン（1911）、「一般モジュラー線型群の不変量の基本体系と形式問題の解」、アメリカ数学会誌、12（1）：75–98、doi：10.2307/1988736、ISSN  0002-9947、JSTOR  1988736
• ディクソン、レナード・ユージン（2004）[1914]、「不変量と数論について」、ドーバー・フェニックス・エディションズ、ニューヨーク：ドーバー・パブリケーションズ、ISBN 978-0-486-43828-3、MR  0201389
• ラザフォード、ダニエル・エドウィン（2007）[1932]、モジュラー不変量、ケンブリッジ数学・数理物理学論文集、第27号、ラムゼイ・プレス、ISBN 978-1-4067-3850-6、MR  0186665
• サンダーソン、ミルドレッド（1913）、「二元モジュラー共変量への応用を伴う形式モジュラー不変量」、アメリカ数学会誌、14（4）：489-500、doi：10.2307/1988702、ISSN  0002-9947、JSTOR  1988702
• Steinberg, Robert (1987), 「​​Dicksonの不変量定理について」(PDF) ,東京大学理学部紀要. 第1部. 数学, 34 (3): 699– 707, ISSN  0040-8980 , MR  0927606 , 2012年3月5日アーカイブ, 2010年12月2日閲覧