A¹ホモトピー理論

数学の一分野である代数幾何学と代数位相幾何学 において、A ¹ホモトピー理論またはモティヴィックホモトピー理論は、代数位相幾何学、特にホモトピーの手法を代数多様体、より一般的にはスキームに適用する方法である。この理論は、ファビアン・モレルとウラジミール・ヴォエヴォツキーによるものである。基本的な考え方は、代数多様体ではない単位区間[0, 1] を代数多様体であるアフィン直線A ¹に置き換えることによって、ホモトピー理論への純粋に代数的なアプローチを開発できるはずであるというものである。この理論は、ヴォエヴォツキーによる混合モチーフの導来カテゴリーの構築や、ミルナー予想とブロッホ-カトー予想の証明など、目覚ましい応用が見られてきた。また、最近では列挙幾何学の問題の理論にも革命をもたらした。

工事

A ^{1ホモトピー理論は、} A ¹ホモトピー圏と呼ばれる圏に基づいています。簡単に言えば、 A ¹ホモトピー圏、あるいはむしろ標準関数とは、滑らかな -スキームの圏からニスネヴィッチ降下を満たす無限圏への普遍関数であり、アフィン直線A ¹は縮約可能となります。ここでは、事前に選択された基底スキーム（例えば、複素数 のスペクトル）を示します。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}(S)}$ ${\displaystyle Sm_{S}\to {\mathcal {H}}(S)}$ ${\displaystyle Sm_{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Spec(\mathbb {C} )}$

この普遍的性質による定義は、無限圏なしには不可能である。無限圏は90年代には存在せず、元の定義はQuillenのモデル圏理論を経由する。別の見方をすれば、Morel-Voevodskyの元の定義は、無限圏（のホモトピー圏）の具体的なモデルを生み出すと言える。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}(S)}$

より具体的な構造を以下にスケッチします。

ステップ0

基底スキーム を選択する。古典的にははネーター的であることが求められるが、Marc Hoyois などの現代の多くの著者は準コンパクト準分離基底スキームを用いている。いずれにせよ、複素数など多くの重要な結果は完全基底体上でのみ知られているため、ここでは完全基底体の場合のみを考慮する。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

ステップ1

ステップ1a：ニスネビッチ層。古典的には、上の滑らかなスキームの圏におけるニスネビッチ層の圏から構築が始まる。経験的に、これは（そして正確な技術的な意味では であるが）すべての余極限を隣接させ、ニスネビッチ降下を満たすようにすることで得られる の普遍拡大とみなされるべきである。 ${\displaystyle Shv_{Nis}(Sm_{S})}$ ${\displaystyle Sm_{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Sm_{S}}$

ステップ1b：単体層。ホモトピー極限やホモトピー極限などの標準的なホモトピー理論的手順をより簡単に実行するために、以下の単体層のカテゴリに置き換えます。 ${\displaystyle Shv_{Nis}(Sm_{S})}$

Δを単体カテゴリ、つまり、その対象が集合であるカテゴリ とする。

{0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, ...,

および、その射が順序保存関数である。関数手の圏を と表記する。つまり、は 上の単体対象の圏である。このような対象は上の単体層とも呼ばれる。 ${\displaystyle \Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}}$ ${\displaystyle \Delta ^{op}\to Shv(Sm_{S})_{Nis}}$ ${\displaystyle \Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}}$ ${\displaystyle Shv(Sm_{S})_{Nis}}$ ${\displaystyle Sm_{S}}$

ステップ1c：ファイバー関数。任意の滑らかな-スキーム、任意の点、任意の層に対して、の小さなニスネビッチサイトへの制限の茎 を と書きます。明示的に、ここで余極限はエタール射 を介して標準包含の因数分解上にあります。この集合はに対するファイバー関数の保存的な族です。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x^{*}F}$ ${\displaystyle F|_{X_{Nis}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x^{*}F=colim_{x\to V\to X}F(V)}$ ${\displaystyle x\to V\to X}$ ${\displaystyle x\to X}$ ${\displaystyle V\to X}$ ${\displaystyle \{x^{*}\}}$ ${\displaystyle Shv(Sm_{S})_{Nis}}$

ステップ1d: 閉モデル構造。ファイバー関数を用いて上の閉モデル構造を定義します。を単体層の射とします。以下が成り立ちます。 ${\displaystyle \Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$

• fが弱同値であるとは、 Tの任意のファイバー関数xに対して、単体集合の射影が弱同値であることを意味する。 ${\displaystyle x^{*}f:x^{*}{\mathcal {X}}\to x^{*}{\mathcal {Y}}}$
• fは単射であればコファイブレーションである。
• fは、弱同値である任意のコファイブレーションに対して正しい持ち上げ特性を持つ場合、ファイブレーションである。

このモデル構造のホモトピーカテゴリは と表記されます。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}(T)}$

ステップ2

このモデル構造はニスネヴィッチ降下法に従うが、アフィン直線を縮約しない。単体層は、任意の単体層に対して写像 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$

${\displaystyle {\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}(T)}({\mathcal {Y}}\times \mathbb {A} ^{1},{\mathcal {X}})\to {\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}(T)}({\mathcal {Y}},{\mathcal {X}})}$

によって誘導される は一対一である。ここでは、米田埋め込みと定数単体オブジェクト関手を介して を層として考えている。 ${\displaystyle i_{0}:\{0\}\to \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle Shv(Sm_{S})_{Nis}\to \Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}}$

射が-弱同値性を持つとは、任意の-局所に対して、誘導写像 ${\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$

${\displaystyle {\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}(T)}({\mathcal {Y}},{\mathcal {Z}})\to {\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}(T)}({\mathcal {X}},{\mathcal {Z}})}$

は一対一である。-局所モデル構造は、上記のモデルの-弱同値性に関する局所化である。 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

正式な定義

最後に、 A ¹ホモトピーカテゴリ を定義します。

定義．Sを有限次元ノイザンスキーム（例えば複素数のスペクトル）とし、Sm / S を S 上の滑らかなスキームの圏とする。Sm / _Sにニスネビッチ位相を与えて_、サイト( Sm / S ) Nis を得る。上_の-局所_モデル構造に関連付けられたホモトピー圏（または無限大圏）は、 A ¹ -ホモトピー圏と呼ばれる。これは と表記される。同様に、尖った単体層には、尖ったホモトピー圏が関連付けられる。${\displaystyle S=Spec(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \Delta ^{op}Shv_{*}(Sm_{S})_{Nis}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}}$ ${\displaystyle \Delta ^{op}Shv_{*}(Sm_{S})_{Nis}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s,*}}$

構成上、Sm _{/ S}の任意のXに対して同型が存在する ことに注意する。

X × _S A¹
_秒≅ X、

ホモトピーカテゴリにおいて。

理論の特性

単体（前）層の楔積と粉砕積

-ホモトピー圏を構築するために単体モデル圏から出発したため、単体モデル圏の抽象理論から継承された構造がいくつか存在する。特に、 の尖った単体層に対しては、楔積を余極限として形成することができる。${\displaystyle \mathbf {A} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}},{\mathcal {Y}}}$ ${\displaystyle \Delta ^{op}{\text{Sh}}_{*}({\text{Sm}}/S)_{nis}}$

${\displaystyle {\mathcal {X}}\vee {\mathcal {Y}}={\underset {\to }{\text{colim}}}\left\{{\begin{matrix}*&\to &{\mathcal {X}}\\\downarrow &&\\{\mathcal {Y}}\end{matrix}}\right\}}$

そしてスマッシュプロダクトは次のように定義される。

${\displaystyle {\mathcal {X}}\wedge {\mathcal {Y}}={\mathcal {X}}\times {\mathcal {Y}}/{\mathcal {X}}\vee {\mathcal {Y}}}$

ホモトピー理論における古典的な構成のいくつかを復元する。加えて、単体（前）層の錐と射の錐が存在するが、これらを定義するには単体球面の定義が必要である。

単体球

単体モデルカテゴリから始めるという事実から、これは余単体関手が存在することを意味する。

${\displaystyle \Delta ^{\bullet }:\Delta \to \Delta ^{op}{\text{Sh}}_{*}({\text{Sm}}/S)_{nis}}$

における単体を定義する。代数的n単体は -スキームによって与えられることを思い出す。${\displaystyle \Delta ^{op}{\text{Sh}}_{*}({\text{Sm}}/S)_{nis}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \Delta ^{n}={\text{Spec}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{S}[t_{0},t_{1},\ldots ,t_{n}]}{(t_{0}+t_{1}+\cdots +t_{n}-1)}}\right)}$

これらのスキームを定数前層として埋め込み、層化すると 内の対象が得られ、これを と表記する。これらは の像内の対象、すなわち である。次に、抽象単体ホモトピー理論を用いて、単体球面を得る。${\displaystyle \Delta ^{op}{\text{Sh}}_{*}({\text{Sm}}/S)_{nis}}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle \Delta ^{\bullet }([n])}$ ${\displaystyle \Delta ^{\bullet }([n])=\Delta ^{n}}$

${\displaystyle S^{n}=\Delta ^{n}/\partial \Delta ^{n}}$

すると、単体的（前）層の円錐は次のように形成される。

${\displaystyle C({\mathcal {X}})={\mathcal {X}}\wedge \Delta ^{1}}$

そして、図の余極限として射の円錐を形成する ${\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$

${\displaystyle C(f)={\underset {\to }{\text{colim}}}\left\{{\begin{matrix}{\mathcal {X}}&\xrightarrow {f} &{\mathcal {Y}}\\\downarrow &&\\C({\mathcal {X}})\end{matrix}}\right\}}$

さらに、 のコファイバーは単にサスペンションである。尖端ホモトピーカテゴリには、サスペンションファンクタも存在する。${\displaystyle {\mathcal {Y}}\to C(f)}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}\wedge S^{1}=\Sigma {\mathcal {X}}}$

${\displaystyle \Sigma :{\mathcal {H}}_{s,*}(Sm/S)_{Nis}\to {\mathcal {H}}_{s,*}(Sm/S)_{Nis}}$ 与えられた${\displaystyle \Sigma ({\mathcal {X}})={\mathcal {X}}\wedge S^{1}}$

そしてその右随伴項

${\displaystyle \Omega :{\mathcal {H}}_{s,*}(Sm/S)_{Nis}\to {\mathcal {H}}_{s,*}(Sm/S)_{Nis}}$

ループ空間関数と呼ばれます。

備考

設定、特にニスネヴィッチ位相は、代数 K 理論をスペクトルで表現できる ようにするために選択され、いくつかの側面ではブロッホ-カトー予想の証明を可能にします。

モレル＝ヴォヴォドスキー構成の後、A ¹ホモトピー理論に対して、他のモデル圏構造を用いたり、ニスネヴィッチ層以外の層（例えばザリスキ層や全ての前層）を用いたりする、様々なアプローチが試みられてきた。これらの構成はいずれも同じホモトピー圏を生み出す。

理論には2種類の球面が存在する。位相幾何学における1 -球面の役割を果たす乗法群から生じる球面と、単体球面（定数単体層として考えられる）から生じる球面である。これは、2つの添字を持つモティヴィック球面S ^{p , q}の理論につながる。モティヴィック球面のホモトピー群を計算すると、球面の古典的な安定ホモトピー群も得られるため、この点においてA ¹ホモトピー理論は古典的なホモトピー理論と少なくとも同程度に複雑である。

用途

数学者は最近、非常に一般的な方法で数え上げ幾何学の問題にモティヴィックホモトピー理論を適用する方法を発見しました。これは、数え上げ幾何学の問題から二次形式を生成し、あらゆる数体系における解に関する情報を導き出すのに使用できる方法です。^[1]

動機の類推

アイレンバーグ・マクレーン空間

アーベル群に対して、滑らかなスキームの -モティヴィックコホモロジーは、層ハイパーコホモロジー群によって与えられる。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle H^{p,q}(X,A):=\mathbb {H} ^{p}(X_{nis},A(q))}$

に対してである。このコホモロジーは、に対応する単体アーベル層で表される。これは、尖端モティヴィックホモトピー圏 の対象として考えられる。すると、滑らかなスキームに対して、同値性が得られる。${\displaystyle A(q)=\mathbb {Z} (q)\otimes A}$ ${\displaystyle K(p,q,A)}$ ${\displaystyle A(q)[+p]}$ ${\displaystyle H_{\bullet }(k)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\text{Hom}}_{H_{\bullet }(k)}(X_{+},K(p,q,A))=H^{p,q}(X,A)}$

これらの層がモチーフアイレンバーグ・マクレーン空間を表すことを示している^{[2] 3ページ}。

安定ホモトピー圏

A ¹ -ホモトピー理論における更なる構成は、SH( S )という圏である。これは、上記の不安定圏から、G _mとのスマッシュ積を逆とするように強制することで得られる。この過程は、いわゆるG _m -スペクトルを用いたモデル圏的構成、あるいは無限圏を用いて行うことができる。

実数体のスペクトル S = Spec ( R )に対して、関数が存在する。

${\displaystyle SH(\mathbf {R} )\to SH}$

代数位相幾何学から安定ホモトピー圏への写像。この関数は、滑らかなスキームX / RをXに付随する実多様体へ送ることで特徴付けられる。この関数は、写像

${\displaystyle \rho :S^{0}\to \mathbf {G} _{m},i.e.,\{-1,1\}\to Spec\mathbf {R} [x,x^{-1}]}$

はホモトピーが2点集合と同値である ため、同値となる。Bachmann (2018)は、結果として得られる関数が${\displaystyle \mathbf {R} ^{\times }}$

${\displaystyle SH(\mathbf {R} )[\rho ^{-1}]\to SH}$

同値です。

参考文献

1. ジョセフ・ハウレット（2025年9月26日）「新しい数学が幾何学の最も古い問題を復活させる」Quanta Magazine . 2025年9月26日閲覧。
2. Voevodsky, Vladimir (2001年7月15日). 「モティヴィックコホモロジーにおけるべき乗演算の削減」. arXiv : math/0107109 .

調査記事と講演

• モレル（2002）A1-ホモトピー理論入門
• アンティオー、ベンジャミン；エルマント、エルデン（2016）「不安定モティヴィックホモトピー理論入門」arXiv：1605.00929 [math.AG]

モチーフホモトピー

基礎

• イサクセン、ダニエル C. Paul Arne Østvær (2018)、「モーティビック安定ホモトピー群」、arXiv : 1811.05729 [math.AT]
• モレル、ファビアン。Voevodsky、Vladimir (1999)、「スキームの A1-ホモトピー理論」(PDF)、Publications Mathématiques de l'IHÉS、90 (90): 45–143、doi :10.1007/BF02698831、MR  1813224、S2CID  14420180 、取得済み2008 年5 月 9 日
• Voevodsky, Vladimir (1998)、「A1-ホモトピー理論」（PDF）、Documenta Mathematica、国際数学者会議紀要、第1巻（ベルリン、1998年）：579–604、ISSN  1431-0635、MR  1648048
• Voevodsky, Vladimir (2008)、「ニスネヴィッチ位相とCDH位相における不安定なモティヴィックホモトピーカテゴリ」、arXiv : 0805.4576 [math.AG]

モチーフ・スティーンロッド代数

• Voevodsky, Vladimir (2001)、「モティヴィックコホモロジーにおけるべき乗演算の削減」、arXiv : math/0107109
• Voevodsky, Vladimir (2008)、「Motivic Eilenberg-Maclane spaces」、arXiv : 0805.4432 [math.AG]

モチーフ・アダムスのスペクトル列

• モチーフアダムススペクトル列
• モチーフ彩色ホモトピー理論

スペクトラ

• ジャーディン（1999）モティヴィック対称スペクトル

ブロッホ＝カトー

• ミルナーK理論におけるゲルステン予想
• テイトツイストとP1のコホモロジー

アプリケーション

• Hoyois, Marc; Kelly, Shane; Paul Arne Østvær (2013)「正特性におけるモティヴィック・スティーンロッド代数」arXiv : 1305.5690 [math.AG]
• イサクセン、ダニエル C. Paul Arne Østvær (2018)、「モーティビック安定ホモトピー群」、arXiv : 1811.05729 [math.AT]
• モレル、ファビアン (2004). 「球面スペクトルのモティヴィックπ _{0について」.}公理的、強化的、モティヴィック・ホモトピー理論. pp.  219– 260. doi :10.1007/978-94-007-0948-5_7. ISBN 978-1-4020-1834-3。
• Röndigs, Oliver; Spitzweck, Markus; Paul Arne Østvær (2016), 「モティヴィック球面の最初の安定ホモトピー群」, arXiv : 1604.00365 [math.AT]
• Voevodsky, Vladimir (2003)、「球面スペクトルのゼロスライスについて」、arXiv : math/0301013
• Ormsby, Kyle; Röndigs, Oliver; Paul Arne Østvær (2017)「安定なモティヴィックホモトピー層における消失」arXiv : 1704.04744 [math.AT]

参考文献

• バッハマン、トム (2018)、「モティヴィックおよび実エタール安定ホモトピー理論」、コンポジット数学、154 (5): 883– 917、arXiv : 1608.08855、doi :10.1112/S0010437X17007710、S2CID  119305101