ニールセン実現問題

ニールセン実現問題は、写像類群の有限部分群が曲面上に作用できるかどうかというヤコブ・ニールセン（1932年、147～148頁）が提起した問題であり、スティーブン・ケルクホフ（1980年、1983年）によって肯定的に解答された。

声明

向き付けられた曲面が与えられたとき、その曲面自身への微分同相写像群であるDiff( S )群を同位類に分割することで、写像類群π ₀ (Diff( S ))を得ることができる。この予想は、曲面の写像類群の有限部分群が、その曲面上の双曲計量の等長変換群として実現できるかどうかを問うものである。

写像類群はタイヒミュラー空間に作用する。この問いを等価的に表現すると、写像類群の任意の有限部分群がタイヒミュラー空間のある点を固定するかどうかとなる。

ヤコブ・ニールセン ( 1932、147～148 ページ) は、写像類群の有限部分群が曲面に作用できるかどうかを問うた。クラベッツ (1959) はニールセン実現問題を解決したと主張したが、その証明は、タイヒミュラー空間(タイヒミュラー計量を持つ) が負に曲がっていることを示すことに依存していた。リンチ (1971)は議論のギャップを指摘し、マズア (1975) はタイヒミュラー空間が負に曲がっていないことを示した。スティーブン・ケルクホフ ( 1980、1983 ) は、左地震を用いて写像類群の有限部分群が曲面に作用できるという正しい証明を与えた。

Kerckhoff, Steven P. (1980)、「ニールセン実現問題」(PDF)、アメリカ数学会報、新シリーズ、2 (3): 452– 454、doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14764-3、ISSN 0002-9904、MR 0561531
Kerckhoff, Steven P. (1983)、「ニールセン実現問題」、Annals of Mathematics、第2シリーズ、117 (2): 235– 265、CiteSeerX 10.1.1.353.3593、doi : 10.2307/2007076、ISSN 0003-486X、JSTOR 2007076、MR 0690845
Kravetz, Saul (1959)「タイヒミュラー空間の幾何学とそのモジュラー群の構造について」Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. AI , 278 : 35, MR 0148906
リンチ、ミシェル・レジーナ（1971）「タイヒミュラー空間における計量について」、MR 2620985
マズア、ハワード（1975）、「タイヒミュラー空間における測地線の一種について」、Annals of Mathematics、第2集、102（2）：205–221、doi：10.2307/1971031、ISSN 0003-486X、JSTOR 1971031、MR 0385173
ニールセン、ヤコブ(1932)、「Untersuhungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flächen. III.」、Acta Math。 (ドイツ語)、58 (1): 87–167、doi : 10.1007/BF02547775、Zbl 0004.27501