測定レベル

測定レベルまたは測定尺度は、変数に割り当てられた値内の情報の性質を説明する分類です。[ 1 ]心理学者スタンレー・スミス・スティーブンスは、名義尺度、順序尺度、間隔尺度、比率の4つの測定レベルまたは尺度による最もよく知られた分類を開発しました。[ 1 ] [ 2 ]測定レベルを区別するこの枠組みは心理学に端を発し、その後複雑な歴史を辿り、一部の分野や学者によって採用・拡張され、また他の学者からは批判されたり拒絶されたりしてきました。[ 3 ]その他の分類には、モステラーとテューキーによる分類、[ 4 ]クリスマンによる分類などがあります。[ 5 ]

スティーブンスの類型論

概要

スティーブンスは、1946年のサイエンス誌に掲載された「測定尺度の理論について」という論文で、この類型論を提唱した。[ 2 ]この論文でスティーブンスは、科学におけるあらゆる測定は、彼が「名義尺度」、「順序尺度」、「間隔尺度」、「比率尺度」と呼ぶ4種類の尺度を用いて行われると主張し、「質的尺度」（スティーブンスの「名義尺度」で説明）と「量的尺度」（スティーブンスのその他の尺度は程度が異なる）を統合した。尺度類型の概念は、数理心理学者セオドア・アルパー（1985、1987）、ルイス・ナレンズ（1981a、b）、R・ダンカン・ルース（1986、1987、2001）の研究によって、当初は欠けていた数学的な厳密さを獲得した。ルース（1997、395ページ）は次のように述べている。

SSスティーブンス（1946、1951、1975）は、重要なのは間隔尺度または比率尺度を持つことであると主張しました。その後の研究はこの主張に意味を与えましたが、彼が尺度型の考え方を持ち出そうとしたことを考えると、彼自身がそれを理解していたかどうかは疑わしい…私が知る測定理論家は誰も、スティーブンスの測定の広範な定義を受け入れていません…私たちの見解では、「規則」の唯一の意味は、属性に関する経験的に検証可能な法則です。

名目レベル

名義尺度は、例えば「猫、犬、ウサギ」のように、複数の異なるクラスまたはカテゴリーのみで構成されます。他の尺度とは異なり、クラス間の関係性は信頼できません。したがって、名義尺度で測定することは、分類することと同等です。

名義尺度測定では、項目や対象を、その名称や（メタ）カテゴリー、あるいはそれらが属する他の質的分類のみに基づいて区別することがあります。そのため、二値データであっても構成主義的認識論に基づいていると主張されてきました。この場合、分類の例外の発見は進歩と見なすことができます。

変数を表すために数値を使用することもできますが、数値には数値や関係はありません。たとえば、グローバルに一意の識別子などです。

これらの分類の例としては、性別、国籍、民族、言語、ジャンル、スタイル、生物種、形態などが挙げられる。[ 6 ] [ 7 ]大学では、寮や学部の所属なども例として挙げられる。その他の具体的な例としては、

名義尺度はしばしば質的尺度と呼ばれ、質的尺度で行われた測定は質的データと呼ばれていました。しかし、質的研究の台頭により、この用法は混乱を招いています。名義尺度において数値がラベルとして割り当てられる場合、それらは特定の数値や意味を持ちません。名義尺度に対しては、いかなる形式の算術計算（+、-、×など）も実行できません。

数学演算

等価性、および不等性や集合のメンバーシップなど、等価性に基づいて定義できるその他の演算は、名目上の型のオブジェクトに一般的に適用される 唯一の非自明な演算です。

中心傾向

最頻値、つまり最も頻度の高い項目は、名義型の中心傾向の尺度として認められる。 [ 8 ]

順序尺度

順序型では、データの順位（1位、2位、3位など）をつけて並べ替えることができますが、データ間の相対的な差異の度合いは考慮されません。例としては、健康状態を測る際の「病気」と「健康」、裁判で判決を下す際の「有罪」と「無罪」、真理値を測る際の「間違っている／偽り」と「正しい／真」など、二分値（または二分化された）値を持つ二分データがあります。一方、意見を測る際の「完全に同意する」、「ほぼ同意する」、「ほぼ同意しない」、「完全に同意しない」など、値のスペクトルで構成される非二分データがあります。

順序尺度は、出来事を順序付けますが、何らかの規則に従って尺度の間隔を等しくする試みは行われません。順位は順序尺度を表し、質的現象に関連する調査で頻繁に使用されます。卒業クラスでの学生の順位には、順序尺度が使用されます。順序尺度に基づくスコアについての発言には、細心の注意が必要です。たとえば、クラスでの Devi の順位が 10 位で、Ganga の順位が 40 位の場合、Devi の順位は Ganga の 4 倍優れているとは言えません。順序尺度では、最高から最低の順序で項目をランク付けすることしかできません。順序尺度には絶対値がないため、隣接する順位間の実際の差は等しくない場合があります。言えることは、ある人がスケール上で他の人よりも高いか低いということだけであり、より正確な比較を行うことはできません。したがって、順序尺度の使用は、「より大きい」または「より小さい」（同等性を示す表現も許容されます）という表現を暗示するものの、どの程度大きいか小さいかを明確に示すことはできません。例えば、順位1と2の差は、順位5と6の差よりも大きい場合もあれば、小さい場合もあります。

中心傾向と分散

スティーブンスによれば、順序データの場合、中心傾向の適切な尺度は中央値であり（最頻値も許容されるが、平均値は許容されない）、分散の適切な尺度はパーセンタイルまたは四分位数である（標準偏差は許容されない）。これらの制約は、相関関係は順位付け法を用いてのみ評価でき、統計的有意性はノンパラメトリック法を用いてのみ評価できることを意味する（RM Kothari, 2004）。しかし、これらの制約は統計学者の間で広く支持されているわけではない。

1946年、スティーブンスは、意見の測定などの心理測定は通常順序尺度に基づいて行われることを観察しました。したがって、平均値と標準偏差は彼の規則によれば妥当性がありませんが、アンケートで使用される変数の操作化を改善する方法についてのアイデアを得るために使用できます。実際、認知能力やその他の能力を測定する心理測定機器やテストによって収集されたほとんどの心理データは順序尺度です（Cliff、1996年、Cliff＆Keats、2003年、Michell、2008年）。[ 9 ]特に、[ 10 ] IQスコアは順序尺度を反映しており、その中ではすべてのスコアが比較のみに意味を持ちます。[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]知能の欠如を表すゼロ点は存在せず、10ポイントの差はスケールの異なるポイントで異なる意味を持つ可能性があります。[ 14 ] [ 15 ]

間隔尺度

間隔型では、測定値間の差の度合いを定義できますが、測定値間の比率は定義できません。例としては、2 つの定義済みポイント（特定の条件における水の凝固点と沸点）があり、それを 100 の間隔に分割する摂氏目盛りを使用した温度スケール、任意の時代（西暦など）から測定された日付、直交座標での位置、真北または磁北からの度数で測定された方向などがあります。20 °C は 10 °C の「2 倍熱い」とは言えないため（ケルビンでの温度とは異なり）、比率は意味がありません。また、2 つの日付間で直接乗算/除算を行うこともできません。ただし、差の比率は表現できます。たとえば、1 つの差が別の差の 2 倍になる場合があります。たとえば、15 °C と 25 °C の 10 度の差は、17 °C と 22 °C の 5 度の差の 2 倍になります。

中心傾向と分散

スティーブンスによれば、モード、中央値、算術平均は間隔変数の中心傾向を測るのに使用できますが、統計的散布度の尺度には範囲と標準偏差が含まれます。差でしか割ることができないため、変動係数などの比率を必要とする尺度を定義することはできません。 さらに微妙な点として、原点の周りのモーメントを定義することはできますが、原点の選択は任意であるため、意味があるのは中心モーメントのみです。差の比率は意味があるため、標準化モーメントを定義することはできますが、平均は原点の周りのモーメントであり、標準偏差（中心モーメントの平方根）とは異なり、変動係数を定義することはできません。

比率スケール

参照:正の実数 § 比率スケール

比率型という名称は、測定が連続量の大きさと同種の測定単位との比率の推定であることに由来しています (Michell, 1997, 1999)。物理科学と工学における測定のほとんどは比率スケールで行われます。例としては、質量、長さ、持続時間、平面角、エネルギー、電荷などが挙げられます。間隔スケールとは異なり、比率は除算を使用して比較できます。比率スケールは、大きさの桁数 (温度)における温度など、大きさの桁数を表すためによく使用されます。

中心傾向と分散

スティーブンスによれば、中心傾向の測定には、最頻値、中央値、算術平均に加えて、幾何平均と調和平均が認められる。また、スチューデント化範囲と変動係数は、統計的分散の測定に認められる。比率尺度に必要な数学的演算はすべて定義されているため、すべての統計的尺度が認められる。

スティーブンスの類型論に関する議論

スティーブンスの類型論は広く採用されているが、特に名義型と順序型の場合には、他の理論家から異論が出ている（Michell, 1986）。[ 16 ]例えば、Duncan（1986）は名義型に関して 「測定」という言葉を使うことに反対し、Luce（1997）はスティーブンスの測定の定義に同意しなかった。

一方、スティーブンス（1975）は、自身の測定の定義について、「割り当てはどんな一貫した規則でも良い。唯一許されない規則はランダム割り当てである。なぜなら、ランダム性は事実上、規則ではないからである」と述べている。ハンドは、「心理学の基礎教科書はスティーブンスの枠組みから始まることが多く、その考え方は至る所で見受けられる。実際、彼の階層構造の本質的な妥当性は、数学者によって表現測定において確立されており、経験的システムから実数連続体への写像の不変性を決定づけている。確かに、その考え方は改訂、拡張、そして精緻化されてきたが、彼が利用できる形式的な装置が比較的限られていたこと、そして彼がそれを考案してから何十年も経過していることを考えると、彼の洞察力は特筆すべき点である」と述べている。[ 17 ]

順序型の中心傾向の尺度として平均値を用いることは、スティーブンスの類型論を受け入れる人々の間でも依然として議論の的となっている。多くの行動科学者は、順序型データに平均値を用いている。これは、行動科学における順序型が実際には真の順序型と間隔型の間に位置するという根拠に基づいて正当化されることが多い。2つの順序順位間の間隔の差は一定ではないものの、多くの場合、同じ桁数である。

例えば、教育分野における測定モデルの応用では、評価範囲全体にわたって、合計得点と測定値の間にかなり線形の関係があることがしばしば示されます。したがって、順序尺度ランク間の未知の間隔差があまり変動しない限り、平均値などの間隔尺度統計量は順序尺度変数に有意義に使用できると主張する人もいます。SPSSなどの統計解析ソフトウェアでは、ユーザーは各変数に対して適切な測定クラスを選択する必要があります。これにより、後続のユーザーエラーによって、無意味な分析（例えば、名義尺度レベルの変数との相関分析）が誤って実行されることが防止されます。

LL・サーストンは、比較判断の法則に基づき、間隔型を得るための根拠の構築に向けて進歩を遂げました。この法則の一般的な応用例は、階層分析法です。さらに進歩を遂げたのは、ジョージ・ラッシュ（1960年）です。彼は確率的ラッシュモデルを開発し、評価における合計得点などの観察結果から間隔レベルの測定値を得るための理論的根拠と根拠を提供しました。

他の提案された類型

スティーブンスの類型論以外にも類型論が提案されている。例えば、Mosteller and Tukey (1977) や Nelder (1990) [ 18 ]は、連続計数、連続比率、計数比率、そしてデータのカテゴリカルモードについて述べている。Chrisman (1998)、van den Berg (1991) も参照のこと。[ 19 ]

モステラーとテューキーの類型論（1977）

モステラーとテューキー[ 4 ]は、4つのレベルは網羅的ではないと指摘し、代わりに7つのレベルを提案した。

  1. 名前
  2. レベル（初級、中級、上級などの順序付けられたラベル）
  3. 順位（1 が最小または最大、2 が次に小さいまたは大きい、という順序）
  4. 数えられた分数（0と1で区切られる）
  5. カウント（非負の整数）
  6. 金額（非負の実数）
  7. 残高（任意の実数）

例えば、パーセンテージ（モステラー・テューキーの枠組みにおける分数のバリエーション）はスティーブンスの枠組みにはうまく適合しない。つまり、いかなる変換も完全には許容されないのである。[ 16 ]

クリスマンの類型論（1998）

ニコラス・R・クリスマン[ 5 ]は、従来の測定レベルの概念に必ずしも適合しない様々な測定レベルに対応するために、測定レベルの拡張リストを導入した。範囲と繰り返し（円周の度数、時計の時間など）に限定された測定、段階的な所属カテゴリー、その他の測定タイプはスティーブンスの元の研究には適合しなかったため、6つの新しい測定レベルが導入され、合計10の測定レベルとなった。

  1. 名目
  2. 会員資格の段階
  3. 序数
  4. 間隔
  5. ログ間隔
  6. 拡張比率
  7. 循環比率
  8. 導出比率
  9. カウント
  10. 絶対

拡張された測定レベルは学術的な地理学以外ではほとんど使用されていないと主張する人もいるが、[ 20 ]段階的メンバーシップはファジィ集合論の中心であり、絶対測定には確率やデンプスター・シェーファー理論における妥当性と無知が含まれる。周期的な比率測定には角度と時間が含まれる。カウントは比率測定のように見えるが、スケールは任意ではなく、分数カウントは一般的に意味をなさない。対数間隔測定は株式市場のグラフでよく表示される。これらのタイプの測定はすべて学術的な地理学以外で一般的に使用されており、スティーブンスの元の研究にはあまり適合しない。

尺度の種類とスティーブンスの「測定の操作理論」

尺度類型理論は、スティーブンスの「測定操作理論」の知的な従者であり、ミッチェルは自然科学における測定とは全く相容れないと指摘しているにもかかわらず（ミッチェル、1999）、心理学と行動科学において決定的な理論となった。本質的に、測定操作理論は、心理学と行動科学における真の科学的測定の可能性を調査するために1932年に英国科学振興協会によって設立された委員会の結論に対する反応であった。後にファーガソン委員会として知られるこの委員会は、最終報告書（ファーガソン他、1940、245ページ）を発表したが、その中でスティーブンスのソーン尺度（Stevens & Davis、1938）は批判の対象となった。

…感覚の強さと刺激の強さの間の量的関係を表現すると主張する法則は、感覚に適用される加法の概念に意味が与えられない限り、単に間違っているだけでなく、実際には意味がありません。

つまり、スティーブンスのソーン尺度が聴覚感覚の強度を真に測定するのであれば、そのような感覚が量的な属性であるという証拠を提示する必要があった。必要な証拠とは、ドイツの数学者オットー・ヘルダー（Hölder, 1901）が包括的に扱った概念である加法構造の存在であった。物理学者であり測定理論家でもあるノーマン・ロバート・キャンベルがファーガソン委員会の審議を支配していたことから、委員会は社会科学における測定は連結演算の欠如のために不可能であると結論付けた。この結論は後に、デブリュー（1960）とルース＆テューキー（1964）による共同測定理論の発見によって誤りであることが証明された。しかし、スティーブンスの反応は、感覚における加法構造の存在を検証する実験を行うことではなく、新しい測定理論を提唱することでファーガソン委員会の結論を無効にすることであった。

NR Campbell (最終報告書、340 ページ) を言い換えると、測定は、最も広い意味では、規則に従ってオブジェクトとイベントに数値を割り当てることとして定義されると言えます (Stevens、1946、677 ページ)。

スティーブンスは、ハーバード大学のもう一人の学者であるノーベル物理学者パーシー・ブリッジマン（1927）[ 21 ]の考えに大きな影響を受けました。スティーブンスはブリッジマンのオペレーショナル主義の教義を用いて測定を定義しました。例えば、スティーブンスの定義では、巻尺の使用によって長さ（測定対象）が測定可能（したがって、暗黙的に定量的）であると定義されます。オペレーショナル主義の批判者は、オペレーショナル主義が2つの物体または事象の関係を、物体または事象のいずれかの特性と混同していると批判しています（Moyer, 1981a, b; Rogers, 1989）。[ 22 ] [ 23 ]

カナダの測定理論家ウィリアム・ローズブームは、スティーブンスの尺度類型理論に対する初期の鋭い批判者であった。[ 24 ]

同じ変数でもコンテキストに応じてスケールタイプが異なる場合があります

もう一つの問題は、同じ変数であっても、測定方法や分析の目的によって異なる尺度タイプになる可能性があることです。例えば、髪の色は明確な順序付けがないため、通常は名義変数と考えられています。[ 25 ]しかし、色（髪の色を含む）を色相など様々な方法で順序付けることが可能です。これは測色法として知られています。色相は間隔水準変数です。

要約表

次の表は、さまざまな単純なデータ型、関連する分布、許容される演算などを分類しています。論理的に可能な値に関係なく、これらのデータ型はすべて、通常、実数を使用してコード化されます。これは、ランダム変数の理論では、データ型が実数を保持すると明示的に想定されていることが多いためです。

データ型
可能な値使用例
測定レベル
一般

配布

相対的な差異の尺度
許容される統計共通モデル
0, 1 (任意のラベル) バイナリ結果（「はい/いいえ」、「真/偽​​」、「成功/失敗」など） ベルヌーイモード、カイ二乗ロジスティック、プロビット
「name1」、「name2」、「name3」、...「nameK」（任意のラベル） 「ローマ」、「アムステルダム」、「マドリード」、「ロンドン」、「ワシントン」などの名前や場所を含むカテゴリ結果（特定の血液型、政党、単語など） カテゴリカル多項ロジット、多項プロビット
順序付けカテゴリまたは整数または実数（任意のスケール） 「Small」「Medium」「Large」などの順序付け副詞、相対スコア、ランキング作成にのみ重要 カテゴリカル
相対比較
順序回帰（順序ロジット、順序プロビット）
0, 1, ..., N N 個の可能な 投票のうち成功した数（例：賛成票）二項分布、ベータ二項分布
添加剤
平均、中央値、最頻値、標準偏差、相関二項回帰（ロジスティック、プロビット）
非負の整数(0, 1, ...) 指定された間隔/面積/体積内の アイテム数（電話、人、分子、出生、死亡など）ポアソン、負の二項分布
乗法
間隔尺度で許可されるすべての統計量に加えて、幾何平均、調和平均、変動係数ポアソン、負の二項回帰
実数値加法
実数摂氏または華氏での温度、相対距離、位置パラメータなど（またはおおよそ、大きなスケールで変化しないもの） 正規分布など（通常は平均を中心に対称）
添加剤
平均、中央値、最頻値、標準偏差、相関標準線形回帰
実数値乗法
正の実数ケルビン単位の温度、価格、収入、規模、尺度パラメータなど（特に大規模なスケールで変化するとき） 対数正規分布、ガンマ分布、指数分布など（通常は歪んだ分布）
乗法
間隔尺度で許可されるすべての統計量に加えて、幾何平均、調和平均、変動係数対数リンク を持つ一般化線形モデル

参照

参考文献

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さらに読む

以下の再版も参照:
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