ノモグラム

ノモグラム（ギリシャ語のνόμος (nomos) 「法則」とγράμμα ( gramma ) 「描かれたもの」に由来）は、ノモグラフ、アライメントチャート、またはabacとも呼ばれ、グラフィカルな計算デバイスであり、数学関数のおおよそのグラフィカル計算を可能にするために設計された2次元の図です。ノモグラフィーの分野は、フランスの技術者フィルベール・モーリス・ドカーニュ（1862年 - 1938年）によって1884年に発明され、長年にわたり広く使用され、技術者が複雑な数式を実用的な精度で高速にグラフィカルに計算できるようにしました。ノモグラムは、標準的な直交座標ではなく、ドカーニュが発明した平行座標系を使用します。

ノモグラムは、方程式の各変数に対応するn個のスケールのセットで構成されます。n-1個の変数の値が分かれば、未知の変数の値を求めることができます。また、いくつかの変数の値を固定することで、固定されていない変数間の関係を調べることができます。結果は、定規をスケール上の既知の値に当て、その変数のスケールと交差する位置から未知の値を読み取ることで得られます。定規によって描かれた仮想線、つまり描画線は、インデックスラインまたは等値線と呼ばれます。

ノモグラムは、ポケット電卓の時代以前に、迅速かつ正確な計算を可能にしたため、約 75 年間、さまざまな場面で普及しました。ノモグラムの結果は、1 つまたは複数の線を描くだけで、非常に迅速かつ確実に得られます。ユーザーは、代数方程式を解く方法、表のデータを検索する方法、計算尺を使用する方法、または結果を得るために方程式に数値を代入する方法を知る必要はありません。ユーザーは、ノモグラムが表す基礎方程式を知る必要さえありません。さらに、ノモグラムの設計には、暗黙的または明示的なドメイン知識が自然に組み込まれています。たとえば、精度を高めるために大きなノモグラムを作成する場合、ノモグラファーは通常、問題に対して妥当で重要なスケール範囲のみを含めます。多くのノモグラムには、参照ラベルや色付きの領域など、その他の便利なマークが含まれています。これらはすべて、ユーザーにとって便利なガイドポストとなります。

ノモグラムは、計算尺と同様に、グラフィカルなアナログ計算装置です。計算尺と同様に、その精度は、物理的な目盛りの描画、再現、表示、位置合わせの精度によって制限されます。汎用計算装置である計算尺とは異なり、ノモグラムは、機器の目盛りに組み込まれた値表を用いて特定の計算を実行するように設計されています。ノモグラムは通常、その精度レベルが十分かつ有用である用途で使用されます。また、より正確だが誤差が生じやすい計算によって得られた答えを検証するためにも、ノモグラムは使用できます。

切片図、三線図、六角形図などの他の種類のグラフ電卓は、ノモグラムと呼ばれることもあります。これらの機器は、1つ以上の等値線を用いて解を求めるグラフ電卓というノモグラムの定義を満たしていません。

説明

3変数方程式のノモグラムは通常、3つの独立したスケールを持ちますが、2つ、あるいは3つすべてのスケールを組み合わせたノモグラムもあります。この場合、2つのスケールは既知の値を表し、3つ目のスケールは結果を読み取るためのスケールです。最も単純な方程式は、3つの変数u ₁、u ₂、u _{3に対して}u ₁ + u ₂ + u ₃ = 0 です。このタイプのノモグラムの例を右側に示し、ノモグラムの各部分を説明する用語を注釈として示しています。

より複雑な方程式は、3つの変数の関数の和として表されることがあります。例えば、この記事の冒頭にあるノモグラムは、両辺の対数をとることでそのような和として表すことができるため、平行尺度ノモグラムとして構築できます。

未知変数のスケールは、他の2つのスケールの間、または外側に位置することができます。計算結果の既知の値は、それらの変数のスケール上にマークされ、これらのマークの間に線が引かれます。結果は、線がそのスケールと交差する点から未知のスケール上で読み取られます。スケールには、正確な数値の位置を示す「目盛り」が含まれ、ラベル付きの参照値が含まれる場合もあります。これらのスケールは、線形、対数、またはその他のより複雑な関係を持つ場合があります。

この記事の冒頭にあるノモグラムに赤で示されているサンプル等値線は、S = 7.30、R = 1.17のときのTの値を計算しています。等値線はTが4.65をわずかに下回るところでスケールと交差します。高解像度で紙に印刷された大きな数値であれば、T = 4.64という3桁の精度で表されます。任意の変数は他の2つの値から計算できることに留意してください。これはノモグラムの特徴であり、ある変数を他の変数から代数的に分離できない方程式で特に役立ちます。

直線スケールは比較的単純な計算には便利ですが、より複雑な計算には、単純または複雑な曲線スケールの使用が必要になる場合があります。3つ以上の変数のノモグラムは、2つの変数のスケールのグリッドを組み込むか、より少数の変数のノモグラムを連結して複合ノモグラムを作成することで作成できます。

アプリケーション

ノモグラムは幅広い用途で利用されてきました。例としては以下のようなものがあります。

d'Ocagne社によるオリジナルのアプリケーションは、フランス国鉄建設における土砂除去のための複雑な切盛計算の自動化でした。計算は単純ではなく、結果として時間、労力、そして費用の大幅な節約につながったため、これは重要な概念実証となりました。
水の流れを調節するための水路、パイプ、配線の設計。
ローレンス・ヘンダーソンの研究。血液生理学の様々な側面を相関させるためにノモグラムが用いられた。これはアメリカ合衆国におけるノモグラムの初めての本格的な使用であり、世界初の医療用ノモグラムでもあった。
薬学や腫瘍学などの医療分野。^{[ 1 ]}
射撃管制システムが登場する前の弾道計算では、計算時間が非常に重要でした。
機械工場における計算。設計図の寸法を変換し、材料の寸法と特性に基づいて計算を実行します。これらのノモグラムには、標準寸法と入手可能な製造部品のマークが含まれていることがよくあります。
統計学は、分布の特性に関する複雑な計算や、品質管理のための受け入れテストの設計を含むオペレーションズリサーチに使用されます。
オペレーションズ・リサーチは、さまざまな最適化問題で結果を得るためのものです。
化学と化学工学。特定の化合物に関する一般的な物理的関係と経験的データの両方をカプセル化します。
航空学では、ノモグラムが数十年にわたりあらゆる種類の航空機のコックピットで使用されていました。航法と飛行制御の補助として、ノモグラムは高速でコンパクト、そして使いやすい計算機でした。
スプートニク1号の打ち上げ後の軌道計算（PEエリアスバーグによる）のような天文学的な計算。^{[ 2 ]}
あらゆる種類のエンジニアリング作業: フィルターや伝送線路の電気設計、応力や負荷の機械計算、光学計算など。
軍事分野では、電気機器に依存せず、現場で複雑な計算を迅速かつ確実に実行する必要があります。
地震学では、地震の規模を推定し、確率論的地震ハザード解析の結果を提示するためのノモグラムが開発されている^{[ 3 ]}

例

並列抵抗/薄型レンズ

以下のノモグラムは計算を実行します。

$f(A,B)={\frac {1}{1/A+1/B}}={\frac {AB}{A+B}}$

このノモグラムは、直線の等間隔スケールのみを用いて、有用な非線形計算を実行するという点で興味深いものです。対角線のスケールは軸のスケールの1倍ですが、その上の数字はそのすぐ下または左の数字と完全に一致するため、グラフ用紙に対角線を引くだけで簡単に作成できます。 ${\sqrt {2}}$

AとBを水平軸と垂直軸のスケールに入力し、対角軸のスケールから結果を読み取ります。この式はAとBの調和平均に比例するため、様々な応用があります。例えば、電子工学における並列抵抗の式や、光学における薄レンズ方程式などです。

この例では、赤い線は56オームと42 オームの並列抵抗器の合成抵抗が24オームであることを示しています。また、焦点距離24cmのレンズから56cmの距離にある物体が42cmの距離に実像を形成することも示しています。

カイ二乗検定の計算

以下のノモグラムは、よく知られている統計検定であるピアソンのカイ二乗検定を実行する際に必要ないくつかの値を概算するために使用できます。このノモグラムは、不均等な間隔の目盛りを持つ曲線スケールの使用を示しています。

関連する表現は次のとおりです。

${\frac {(OBS-EXP)^{2}}{EXP}}$

上部のスケールは、観測値の5つの異なる範囲（A、B、C、D、E）で共有されます。観測値はこれらの範囲のいずれかに含まれ、そのスケールで使用される目盛りはそのすぐ上に表示されます。次に、期待値に使用される曲線スケールが、範囲に基づいて選択されます。例えば、観測値が9の場合、範囲Aの9の上の目盛りが使用され、期待値には曲線スケールAが使用されます。観測値が81の場合、範囲Eの81の上の目盛りが使用され、期待値には曲線スケールEが使用されます。これにより、5つの異なるノモグラムを1つの図に組み込むことができます。

このように、青い線は次の計算を示しています。

（9 − 5）² / 5 = 3.2

赤い線は次の計算を示しています。

（81 − 70）² / 70 = 1.7

この検定を行う際には、イェーツの連続性補正がよく適用されます。これは、観測値から0.5を引くだけの単純な方法です。イェーツ補正を適用した検定を行うためのノモグラムは、各「観測」スケールを半単位左にシフトするだけで作成できます。つまり、現在のチャートで0.5、1.5、2.5、…の値が表示されている場所に、1.0、2.0、3.0、…の目盛りが配置されることになります。

食品リスク評価

ノモグラムは数学的な関係を表しますが、すべてが数学的に導出されるわけではありません。以下のノモグラムは、数値ではなく主観的な単位での関係の積によって容易に定義できる適切な最終結果を得るために、グラフィカルに開発されました。非平行な軸を使用することで、非線形関係をモデルに組み込むことができました。

四角いボックス内の数字は、適切な評価後に入力が必要な軸を示します。

画像の上部にあるノモグラムのペアは、発生確率と可用性を決定し、それらは下部の多段階ノモグラムに組み込まれます。

8 行目と 10 行目は「タイライン」または「ピボットライン」であり、複合ノモグラムのステージ間の遷移に使用されます。

最後の2つの平行対数スケール（12）は、厳密にはノモグラムではなく、リスクスコア（11、非常に高いリスクから低いリスクまで）をサンプリング頻度に変換するための読み取りスケールです。このサンプリング頻度は、それぞれ安全性とその他の「消費者保護」の側面を考慮します。この段階では、コストとリスクのバランスをとるための政治的な「賛同」が必要です。例では、それぞれ3年ごとの最低頻度を使用していますが、スケールの高リスク側の値は2つの側面で異なるため、2つの側面の頻度は異なります。ただし、どちらの側面も、すべての食品について少なくとも3年に1回、すべての側面について最低限のサンプリングを行うことを条件としています。

このリスク評価ノモグラムは、英国食品基準庁の資金提供を受けて英国公的分析サービスによって開発されたもので、公式の食品管理の目的で食品のサンプリングと分析の適切な頻度を導くツールとして使用されており、すべての食品の潜在的な問題をすべて評価するために使用されることを目的としていますが、まだ採用されていません。

その他の簡単なノモグラム

定規を使うと、正弦定理の欠けている項や二次方程式、三次方程式の根を簡単に読み取ることができます。^{[ 4 ]}

正弦定理のノモグラム
^{二次方程式 x 2} +px+q=0を解くためのノモグラム
立方 x ³ +px+q=0を解くためのノモグラム

参照

参考文献

^ Ha, Yun-Sok; Kim, Tae-Hwan (2018)、「第30章筋層浸潤性膀胱癌（MIBC）のサーベイランス」、Ku, Ja Hyeon（編）、膀胱癌、Academic Press、pp. 553– 597、doi : 10.1016/b978-0-12-809939-1.00030-8、ISBN 978-0-12-809939-1
^ Yu.A.Mozzhorin Memories Archived 2007-10-18 at the Wayback Machine at the website for Russian state archive for scientific-technical documents
^ Douglas, John; Danciu, Laurentiu (2019-11-08). 「確率論的地震ハザードの説明に役立つノモグラム」 . Journal of Seismology . 24 (1): 221– 228. Bibcode : 2020JSeis..24..221D . doi : 10.1007/s10950-019-09885-4 . hdl : 20.500.11850/379252 . ISSN 1573-157X .
^シャルカイ、イシュトヴァーン;バリント、ローランド (2017-12-28)。「二次方程式と三次方程式のノモグラム (ハンガリー語)」(PDF)。ハラドヴァーニ・キアドヴァーニ。2017年。

さらに読む

DP Adams、『ノモグラフィー：理論と応用』（Archon Books）1964 年。
HJ Allcock, J. Reginald Jones, JGL Michel, 『ノモグラム：計算チャートの理論と実践的構築』第5版（ロンドン：Sir Isaac Pitman & Sons, Ltd.）1963年（初版1932年）
S. Brodestsky, A First Course in Nomography（ロンドン、G. Bell and Sons）1920年。
DS Davis, Empirical Equations and Nomography（ニューヨーク：McGraw-Hill Book Co.）1943年。
M. ドカーニュ: Traité de Nomographie、(ゴティエヴィラール、パリ) 1899 年。
M. d'Ocagne: (1900) Sur la résolution nomographique de l'équation du septième degré。 Comptes rendus (パリ)、131、522–524。
RD ダグラスと DP アダムス、『ノモグラフィーの要素』（ニューヨーク：マグロウヒル）1947 年。
RP Hoelscher 他著、「Graphic Aids in Engineering Computation」（ニューヨーク：McGraw-Hill）1952 年。
L. Ivan Epstein, Nomography（ニューヨーク：Interscience Publishers）1958年。
LHジョンソン、「ノモグラフィーと経験的方程式」（ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ）1952年。
M. KattanとJ. Marasco. (2010)真のノモグラムとは何か？、腫瘍学セミナー、37(1)、23–26。
AS Levens, Nomography、第2版、(ニューヨーク: John Wiley & Sons, Inc.) 1959年。
FT メイビス、「ノモグラフィックチャートの構築」(スクラントン、国際教科書) 1939 年。
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HAエヴェシャム『ノモグラフィーの歴史と発展』（ボストン：ドセント・プレス）2010年ISBN 9781456479626
TH Gronwall、R. Doerfler、A. Gluchoff、S. Guthery著『曲線の計算：TH Gronwallのノモグラフィック研究の数学的、歴史的、そして美的魅力』（ボストン：Docent Press）2012年。ISBN 9780983700432

外部リンク

「ノモグラフィの芸術」では、幾何学、行列式、変換を使用したノモグラムの設計について説明します。
「The Lost Art of Nomography」は、ノモグラフィーの分野を調査した数学ジャーナルの記事です。
ウォーゲーム用ノモグラムですが、一般的な興味の対象でもあります。
PyNomo – ノモグラムを構築するためのオープンソースソフトウェア。
シンプルなノモグラムを作成するためのJava アプレット (Wayback Machineに 2009-09-24アーカイブ)。
3 つの変数の関係を視覚化するノモグラム- useR!2011 における Jonathan Rougier の招待講演のビデオとスライド。

[1] Ha, Yun-Sok; Kim, Tae-Hwan (2018)、「第30章筋層浸潤性膀胱癌（MIBC）のサーベイランス」、Ku, Ja Hyeon（編）、膀胱癌、Academic Press、pp. 553– 597、doi : 10.1016/b978-0-12-809939-1.00030-8、ISBN 978-0-12-809939-1

[2] Yu.A.Mozzhorin Memories Archived 2007-10-18 at the Wayback Machine at the website for Russian state archive for scientific-technical documents

[3] Douglas, John; Danciu, Laurentiu (2019-11-08). 「確率論的地震ハザードの説明に役立つノモグラム」 . Journal of Seismology . 24 (1): 221– 228. Bibcode : 2020JSeis..24..221D . doi : 10.1007/s10950-019-09885-4 . hdl : 20.500.11850/379252 . ISSN 1573-157X .

[4] シャルカイ、イシュトヴァーン;バリント、ローランド (2017-12-28)。「二次方程式と三次方程式のノモグラム (ハンガリー語)」(PDF)。ハラドヴァーニ・キアドヴァーニ。2017年。

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