非線形制御
フィードバック制御システム。システム（多くの場合、プラントと呼ばれる）の出力が所望の参照信号に従うように制御することが望まれます。センサーは出力を監視し、コントローラは所望の参照出力から実際の出力を減算し、この誤差信号をシステムに適用して出力を参照に近づけます。非線形制御システムでは、システム、センサー、またはコントローラの少なくとも1つのブロックが非線形です

非線形制御理論は、非線形、時変、またはその両方であるシステムを取り扱う制御理論の一分野です。制御理論は、入力を持つ動的システムの挙動、およびフィードバック、フィードフォワード、または信号フィルタリングを用いて入力の変化によって出力をどのように修正するかを扱う、工学と数学の学際的な分野です。制御対象となるシステムは「プラント」と呼ばれます。システムの出力を所望の参照信号に追従させる一つの方法は、プラントの出力を所望の出力と比較し、プラントにフィードバックを与えて出力を修正し、所望の出力に近づけることです。

制御理論は2つの分野に分かれています。 線形制御理論は、重ね合わせの原理に従う装置で構成されるシステムに適用されます。これらのシステムは、線形微分方程式によって支配されます。主要なサブクラスは、時間とともに変化しないパラメータを持つシステムであり、線形時不変（LTI）システムと呼ばれます。これらのシステムは、ラプラス変換、フーリエ変換、Z変換、ボード線図、根軌跡、ナイキスト安定条件など、汎用性の高い強力な周波数領域数学的手法によって解くことができます。

非線形制御理論は、重ね合わせの原理に従わないより広いクラスのシステムをカバーします。すべての実際の制御システムは非線形であるため、この理論はより現実的なシステムに適用されます。これらのシステムは、多くの場合、非線形微分方程式によって支配されます。これらを扱うために開発された数学的手法は、より厳密で汎用性が低く、多くの場合、狭いカテゴリのシステムにのみ適用されます。これらには、リミットサイクル理論、ポアンカレ写像、リアプノフの安定性理論、および記述関数が含まれます。安定点付近の解だけに関心がある場合は、非線形システムを、非線形解を級数展開して得られる線形システムで近似することによって線形化できることが多く、その後、線形手法を使用できます。[ 1 ] 非線形システムは、多くの場合、コンピュータ上で数値的手法を使用して解析されます。たとえば、シミュレーション言語を使用して動作をシミュレートします。プラントが線形であっても、非線形コントローラは、より簡単な実装、より高速、より正確、または制御エネルギーの削減などの魅力的な機能を備えている場合が多く、より困難な設計手順を正当化します。

非線形制御システムの一例として、サーモスタット制御の暖房システムが挙げられます。炉などの建物暖房システムは、温度変化に対して非線形応答を示します。つまり、「オン」または「オフ」のいずれかの状態であり、比例（線形）デバイスのように温度差に応じて細かく制御することはできません。そのため、炉はサーモスタットの「オン」設定温度を下回るまでオフの状態です。サーモスタットの「オン」設定温度を下回ると、炉はオンになります。炉によって加えられる熱によって温度は上昇し、サーモスタットの「オフ」設定温度に達すると炉はオフになり、このサイクルが繰り返されます。この目標温度付近での温度の循環はリミットサイクルと呼ばれ、非線形制御システムの特徴です。

非線形システムの性質

非線形動的システムのいくつかの特性は

非線形システムの解析と制御

非線形フィードバック システムを解析するための、よく開発された手法がいくつかあります。

非線形システムの制御設計手法も存在します。これらは、限られた動作範囲においてシステムを線形システムとして扱い、各領域に対して（よく知られた）線形設計手法を使用する手法に細分化できます

制御設計の目的でシステムを線形として扱えるように、補助的な非線形フィードバックを導入しようとするもの：

リアプノフ法に基づく方法：

非線形フィードバック解析 - ルアー問題

ルアー問題のブロック図

初期の非線形フィードバックシステム解析問題は、AI Lur'eによって定式化されました。Lur'e 問題によって記述される制御システムは、線形かつ時間不変のフォワードパスと、メモリレスで時間変動の可能性がある静的非線形性を含むフィードバックパスを持ちます。

線形部分は4つの行列（A、B、C、D）で特徴付けられますが、非線形部分は（セクター非線形性） を持つΦ( y )です。Φ（y）y∈[あ、い]、あ<いたy{\displaystyle {\frac {\Phi (y)}{y}}\in [a,b],\quad a<b\quad \forall y}

絶対安定性の問題

考察:

  1. ( A , B ) は制御可能であり、( C , A ) は観測可能である
  2. 2つの実数a、b（a  <  b ）は関数 Φ の扇形を定義する。

Lur'e問題（絶対安定性問題とも呼ばれる）は、x = 0がシステムの大域的に均一な漸近安定平衡となるような、転送行列H ( s )と{ a、b }のみを含む条件を 導出することです。

絶対安定性の問題に関して、よく知られた誤った推測が 2 つあります。

グラフ的に、これらの予想は、Φ( y ) x yのグラフ、またはd Φ/ dy x Φ/ yのグラフ上のグラフ制約の観点から解釈することができます。[ 2 ]アイザーマンとカルマンの予想には、非線形性が線形安定性のセクターに属し、唯一の安定平衡が安定した周期解、つまり隠れた振動と共存するという反例があります。

ルレ問題に関しては絶対安定性の十分条件を与える 2 つの主要な定理があります。

非線形制御における理論的結果

フロベニウスの定理

フロベニウスの定理は微分幾何学における深い帰結です。非線形制御に適用すると、次のようになります。次の形式のシステムが与えられたとき

×˙＝∑i＝1kfi（×）ui（t）{\displaystyle {\dot {x}}=\sum _{i=1}^{k}f_{i}(x)u_{i}(t)\,}

ここで、 、 は分布に属するベクトル場であり、は制御関数であり、が反転分布である場合、 の積分曲線は次元の多様体に制限されます。 ×∈Rn{\displaystyle x\in R^{n}}f1、…、fk{\displaystyle f_{1},\dots,f_{k}}Δ{\displaystyle \Delta}ui（t）{\displaystyle u_{i}(t)}×{\displaystyle x}m{\displaystyle m}範囲⁡（Δ）＝m{\displaystyle \operatorname {span} (\Delta )=m}Δ{\displaystyle \Delta}

参照

参考文献

  1. ^トリムポイント
  2. ^ Naderi, T.; Materassi, D.; Innocenti, G.; Genesio, R. (2019). 「グラフィカル解釈によるカルマン予想とアイザーマン予想の再考」. IEEE Transactions on Automatic Control . 64 (2): 670– 682. doi : 10.1109/TAC.2018.2849597 . ISSN  0018-9286 . S2CID  59553748 .

さらに詳しい文献

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