アルキメデスの性質

抽象代数学および解析学において、アルキメデスの性質（アルキメデスのせいかく、英: Archimedes の性質）は、古代ギリシャの数学者シラクサのアルキメデスにちなんで名付けられ、順序付き群やノルム群、体などの一部の代数構造が持つ性質である。典型的な解釈では、この性質は、2 つの正の数とが与えられたとき、となる整数が存在する、というもので、また、自然数の集合がの上に有界ではないことも意味する。^{[ 1 ]}大まかに言えば、無限に大きい元や無限に小さい元を持たないという性質である。アルキメデスの公理にこの名前をつけたのはオットー・シュトルツで、これはアルキメデスの『球面と円筒について』の公理 V として登場することからである。^{[ 2 ]}${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle nx>y}$

アルキメデスの性質の図解。

この概念は古代ギリシャの大きさの理論から生まれたもので、ダヴィド・ヒルベルトの幾何学の公理や、順序群、順序体、局所体の理論など、現代数学でも重要な役割を果たしています。

任意の2つの非ゼロ元が、どちらも他方に対して無限小ではないという意味で比較可能な代数構造は、アルキメデス的であると言われる。一方が他方に対して無限小である非ゼロ元のペアを持つ構造は、非アルキメデス的であると言われる。例えば、線型順序群でアルキメデス的であるものは、アルキメデス群である。

これは、様々な文脈において、わずかに異なる定式化によって明確に表現できます。例えば、順序体の文脈では、この性質を定式化するアルキメデスの公理が存在します。この場合、実数体はアルキメデス的である一方、実係数の有理関数体はそうではありません。

コンテンツ

• 1アルキメデスの性質の歴史と名称の由来
• 2線形順序群の定義
  • 2.1順序付きフィールド
• 3ノルム体の定義
• 4例と非例
  • 4.1実数のアルキメデスの性質
  • 4.2非アルキメデス順序体
  • 4.3非アルキメデス値体
  • 4.4アルキメデス順序体の同値な定義
• 5参照
• 6ノート
• 7参考文献

アルキメデスの土地の歴史と名前の由来

この概念は、古代ギリシャの幾何学者であり物理学者であるシラクサのアルキメデスにちなんで、オットー・シュトルツ（1880 年代）によって命名されました。

アルキメデスの性質はユークリッドの『原論』第5巻の定義4に次のように記されている。

大きさは互いに比率を持ち、掛け合わせると互いを超えることができると言われています。

アルキメデスがこれをクニドスのエウドクソスに帰したことから、「エウドクソスの定理」またはエウドクソスの公理としても知られています。^{[ 3 ]}

アルキメデスは、無限小値を発見的な議論に使用したが、それが数学的な証明として完成されていることを否定した。

線形順序群の定義

xとyを線型順序群Gの正の元とする。すると${\displaystyle x}$ は、${\displaystyle y}$ （または同等に、${\displaystyle y}$ に関して無限である${\displaystyle x}$ ）任意の自然数に対して${\displaystyle n}$ 、倍数${\displaystyle nx}$ より小さい${\displaystyle y}$ つまり、次の不等式が成り立ちます。 $${\displaystyle \underbrace {x+\cdots +x} _{n{\text{項}}y.\,}$$ 

この定義は、絶対値を取ることでグループ全体に拡張できます。

グループ${\displaystyle G}$ ペアがない場合はアルキメデスの定理である${\displaystyle (x,y)}$ そういう${\displaystyle x}$ は、${\displaystyle y}$ 。

さらに、もし${\displaystyle K}$ は単位（1）を持つ代数構造であり、例えば環である。同様の定義が${\displaystyle K}$ 。 もし${\displaystyle x}$ は、${\displaystyle 1}$ 、 それから${\displaystyle x}$ は無限小元である。同様に、${\displaystyle y}$ に関して無限である${\displaystyle 1}$ 、 それから${\displaystyle y}$ は無限元である。代数構造${\displaystyle K}$ 無限要素も無限小要素もない場合はアルキメデス的です。

順序付きフィールド

順序付きフィールドには、いくつかの追加プロパティがあります。

• 有理数は任意の順序体に埋め込まれます。つまり、任意の順序体は標数ゼロを持ちます。
• もし${\displaystyle x}$ 無限小であれば${\displaystyle 1/x}$ 無限体であれば無限であり、逆もまた同様である。したがって、体がアルキメデス的であることを確認するには、無限小元が存在しないことを確認するか、無限元が存在しないことを確認するだけで十分である。
• もし${\displaystyle x}$ は微小であり${\displaystyle r}$ が有理数であれば${\displaystyle rx}$ も無限小である。結果として、一般の要素${\displaystyle c}$ 、3つの数字${\displaystyle c/2}$ 、${\displaystyle c}$ 、 そして${\displaystyle 2c}$ すべて無限小であるか、すべて非無限小であるかのいずれかです。

この設定では、順序付き体Kは、アルキメデスの公理と呼ばれる次の命題が成り立つときに、まさにアルキメデス的になります。

させて${\displaystyle x}$ の要素のいずれか${\displaystyle K}$ すると自然数が存在する${\displaystyle n}$ そういう${\displaystyle n>x}$ 。

あるいは、次のような特徴付けも使用できます。 $${\displaystyle \forall \,\varepsilon \in K{\big (}\varepsilon >0\implies \exists \ n\in N:1/n<\varepsilon {\big )}.}$$ 

ノルム体の定義

「アルキメデス的」という修飾語は、階数1の体と階数1の体上のノルム空間の理論においても以下のように定式化される。${\displaystyle K}$ 絶対値関数、すなわち実数を関数で表す体である。${\displaystyle 0}$ 体元0を持ち、正の実数を関連付ける${\displaystyle |x|}$ ゼロ以外の値ごとに${\displaystyle x\in K}$ そして満足する ${\displaystyle |xy|=|x||y|}$ そして${\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|}$ 。 それから、${\displaystyle K}$ がアルキメデス的であるとは、任意の非ゼロの${\displaystyle x\in K}$ 自然数が存在する${\displaystyle n}$ そういう $${\displaystyle |\underbrace {x+\cdots +x} _{n{\text{項}}}|>1.}$$ 

同様に、ノルム空間がアルキメデス的であるとは、${\displaystyle n}$ 項はそれぞれ非ゼロベクトルに等しい${\displaystyle x}$ は、十分に大きい場合、ノルムが1より大きい${\displaystyle n}$ 絶対値体またはノルム空間は、アルキメデス的であるか、超距離三角不等式と呼ばれるより強い条件を満たすかのいずれかである。 $${\displaystyle |x+y|\leq \max(|x|,|y|),}$$  それぞれ超距離三角不等式を満たす体またはノルム空間は非アルキメデス的と呼ばれます。

非アルキメデス的ノルム線型空間の概念はAFモンナによって導入された。^{[ 4 ]}

例と非例

実数のアルキメデスの性質

有理数体には、自明な関数を含む様々な絶対値関数が存在する。${\displaystyle |x|=1}$ 、 いつ${\displaystyle x\neq 0}$ 、より一般的な${\textstyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$ 、そして${\displaystyle p}$ -進絶対値関数。オストロフスキーの定理によれば、有理数上のすべての非自明な絶対値は、通常の絶対値か、あるいは何らかの${\displaystyle p}$ -進絶対値。有理体（有理数体）は非自明な絶対値に関して完備ではない。自明な絶対値に関して、有理体（有理数体）は離散位相空間であるため、完備である。通常の絶対値（順序から）に関する完備化は実数体である。この構成により、実数体は順序体としてもノルム体としてもアルキメデス的である。^{[ 5 ]} 一方、他の非自明な絶対値に関する完備化はp進数の体を与える。ここで${\displaystyle p}$ は素数です（下記参照）。${\displaystyle p}$ -進絶対値が超計量性を満たす場合、${\displaystyle p}$ -進数体は、ノルム体としては非アルキメデス体です（順序付き体にすることはできません）。

実数の公理論では、非零無限小実数が存在しないことは、次のように最小上限性によって示される。${\displaystyle Z}$ すべての正の無限小からなる集合。この集合は、${\displaystyle 1}$ . ここで矛盾があると仮定する。${\displaystyle Z}$ は空ではない。その場合、最小の上限が存在する。${\displaystyle c}$ これも正なので、${\displaystyle c/2<c<2c}$ cは​​​${\displaystyle Z}$ そして${\displaystyle 2c}$ は、${\displaystyle c}$ 、${\displaystyle 2c}$ 正の無限小ではない。つまり、何らかの自然数が存在する。${\displaystyle n}$ そのために${\displaystyle 1/n<2c}$ 。 一方で、${\displaystyle c/2}$ は正の無限小である。なぜなら、最小上限の定義により、無限小が存在するはずだからである。${\displaystyle x}$ 間${\displaystyle c/2}$ そして${\displaystyle c}$ 、そしてもし${\displaystyle 1/k<c/2\leq x}$ それから${\displaystyle x}$ 無限小ではない。しかし${\displaystyle 1/(4n)<c/2}$ 、 それで${\displaystyle c/2}$ は無限小ではないので、これは矛盾である。つまり、${\displaystyle Z}$ 結局のところ空です。正の無限小の実数は存在しません。

実数のアルキメデスの性質は構成的解析でも成り立ちますが、その文脈では最小上限の性質が成り立たない場合もあります。

非アルキメデス順序体

アルキメデス流ではない順序体の例として、実係数を持つ有理関数体を挙げてみましょう。（有理関数とは、ある多項式を別の多項式で割ることで表せる関数のことです。以下では、分母の先頭の係数が正となるように割ったものと仮定します。）これを順序体にするには、加算と乗算の演算と互換性のある順序付けを割り当てる必要があります。さて、${\displaystyle f>g}$ もし、そして、もし、${\displaystyle fg>0}$ なので、どの有理関数が正とみなされるかだけを述べればよい。分子の係数が正であるとき、その関数は正であるとする。（この順序付けが適切に定義され、加算や乗算と互換性があることを確認する必要がある。）この定義によれば、有理関数は${\displaystyle 1/x}$ 正だが有理関数より小さい${\displaystyle 1}$ 実際、もし${\displaystyle n}$ は任意の自然数である。${\displaystyle n(1/x)=n/x}$ プラスだが、まだ${\displaystyle 1}$ 、どんなに大きくても${\displaystyle n}$ です。したがって、${\displaystyle 1/x}$ この分野では無限小です。

この例は他の係数にも一般化できます。実数係数の代わりに有理数係数を持つ有理関数を取ると、可算な非アルキメデス的順序体が生成されます。係数を異なる変数の有理関数とすると、例えば${\displaystyle y}$ は、異なる注文タイプの例を生成します。

非アルキメデス値体

p進計量を持つ有理数体と、その 完備化であるp進数体は、絶対値体としてのアルキメデス的性質を持たない。すべてのアルキメデス値体は、通常の絶対値の冪を持つ複素数の部分体と等長的に同型である。^{[ 6 ]}

アルキメデスの順序体の同等の定義

すべての線形順序フィールド${\displaystyle K}$ 有理数（の同型コピー）を順序付き部分体、すなわち乗法単位によって生成される部分体として含む${\displaystyle 1}$ の${\displaystyle K}$ は整数を順序付き部分群として含み、さらに自然数を順序付きモノイドとして含む。有理数の埋め込みは、有理数、整数、自然数について、${\displaystyle K}$ 以下はこれらの部分構造を用いたアルキメデス体の同等な特徴付けである。^{[ 7 ]}

1. 自然数は${\displaystyle K}$ つまり、${\displaystyle K}$ ある自然数よりも小さい。（無限元が存在する場合はこの限りではない。）したがって、アルキメデス体とは、その自然数が無限に増加する体である。
2. ゼロは最小値である${\displaystyle K}$ セットの${\displaystyle \{1/2,1/3,1/4,\dots \}}$ 。 （もし${\displaystyle K}$ 正の無限小が含まれていれば、それはその集合の下限となり、したがってゼロは最大の下限ではなくなる。
3. の要素の集合${\displaystyle K}$ 正の有理数と負の有理数の間の集合は非開集合である。これは、その集合がすべての無限小集合から成り、まさにその集合であるからである。${\displaystyle \{0\}}$ 非零無限小が存在しない場合には無限小集合は開集合であり、そうでない場合には最小の非零無限小も最大の非零無限小も存在しない。どちらの場合も、無限小集合は閉集合であることに注意されたい。後者の場合、(i) すべての無限小はすべての正の有理数よりも小さく、(ii) 最大無限小も最小の正の有理数も存在せず、(iii) その中間には何もない。したがって、アルキメデス的順序を持たない任意の体は不完全かつ不連結である。
4. いかなる${\displaystyle x}$ で${\displaystyle K}$ より大きい整数の集合${\displaystyle x}$ 最小の要素を持つ。（もし${\displaystyle x}$ もし負の無限量であれば、すべての整数はそれより大きくなります。
5. 空でない開区間${\displaystyle K}$ 有理数を含む。（もし${\displaystyle x}$ は正の無限小であり、開区間${\displaystyle (x,2x)}$ 無限小数は無限に含まれますが、有理数は 1 つも含まれません。
6. 論理的根拠は${\displaystyle K}$ supとinfの両方に関して。（つまり、${\displaystyle K}$ したがって、アルキメデス体とは、有理数体の任意の稠密な順序付き拡張であり、有理数元を稠密に埋め込む任意の順序付き体という意味です。

参照

• 0.999...  – 1の別の小数展開
• アルキメデス順序ベクトル空間 – 二項関係を持つベクトル空間
• 実数の構成

注記

1. 「Math 2050C Lecture」（PDF）cuhk.edu.hk . 2023年9月3日閲覧。
2. G. Fisher (1994)、P. Ehrlich(編)『実数、実数の一般化、連続体の理論』、107–145、Kluwer Academic
3. Knopp, Konrad (1951). 『無限級数の理論と応用』（英語第2版）. ロンドンおよびグラスゴー: Blackie & Son, Ltd. p.  7 .
4. AF、モンナ (1943)。 「Over een lineaire P -adische ruimte」。ネデル。アカド。ウェテンシュ。ヴァースラグ空軍ナチュルク。 ( 52 ) : 74–84。MR 0015678 。 
5. Neal Koblitz、「p-進数、p-進解析、ゼータ関数」、Springer-Verlag、1977年。
6. シェル、ニール、「位相的場と近傍評価」、デッカー、ニューヨーク、1990年。ISBN 0-8247-8412-X
7. シェクター 1997、§10.3

参考文献

• シェクター、エリック（1997年）『分析とその基礎ハンドブック』アカデミック・プレス、ISBN 0-12-622760-8. 2015年3月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。2009年1月30日閲覧。