オープンマップとクローズドマップ

数学、より具体的には位相幾何学において、開写像とは、2つの位相空間の間の開集合を開集合に写像する関数である。[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] つまり、関数は、像内の任意の開集合に対してが開いている場合、開いている。同様に、閉写像とは、閉集合を閉集合に写像する 関数である。 [ 3 ] [ 4 ]写像は、開いて いる場合も、閉じている場合も、その両方である場合も、どちらでもない場合もある。 [ 5 ]特に、開写像は必ずしも閉じている必要はなく、その逆も同様である。[ 6 ]f:X→はい{\displaystyle f:X\to Y}あなた{\displaystyle U}X、{\displaystyle X,}f（あなた）{\displaystyle f(U)}はい。{\displaystyle Y.}

開写像[ 7 ]と閉写像[ 8 ]は必ずしも連続ではない。[ 4 ]さらに、一般の場合、連続性は開写像や閉写像とは独立しており、連続関数は、一方の性質、両方の性質、あるいはどちらの性質も持たない可能性がある。[ 3 ]この事実は、距離空間に制限した場合でも成り立つ。[ 9 ] 開写像と閉写像の定義はより自然に思えるが、連続写像ほど開写像と閉写像は重要度が低い。定義により、関数が連続であるための必要条件は、のすべての開集合の逆像がにおいて開いていること[ 2 ]（同様に、 のすべての閉集合の逆像がにおいて閉じていることも必要条件）である。 f:X→はい{\displaystyle f:X\to Y}はい{\displaystyle Y}X。{\displaystyle X.}はい{\displaystyle Y}X{\displaystyle X}

オープンマップの初期の研究は、シミオン・ストイロウとゴードン・トーマス・ワイバーンによって開拓されました。[ 10 ]

定義と特徴

が位相空間の部分集合であるとき、 と（それぞれ）をその空間におけるの閉包（それぞれ内部）を表すものとする。 を位相空間間の写像とする。が任意の集合であるとき、はの像と呼ばれる。S{\displaystyle S}S¯{\displaystyle {\overline {S}}}塩素⁡S{\displaystyle \operatorname {Cl} S}中位⁡S{\displaystyle \operatorname {Int} S}S{\displaystyle S}f:X→はい{\displaystyle f:X\to Y}S{\displaystyle S}f（S）:={f（s） : s∈S∩ドメイン⁡f}{\displaystyle f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}}S{\displaystyle S}f。{\displaystyle f.}

競合する定義

「開写像」には、広く用いられている2つの異なる、しかし密接に関連した定義があり、どちらも「開集合を開集合へ写像する」と要約できます。以下の用語は、2つの定義を区別するために用いられることがあります。

地図は f:X→はい{\displaystyle f:X\to Y}

  • 「強開写像」 が定義域の開部分集合であるときはいつでも、はの余域の開部分集合であるあなた{\displaystyle U}X{\displaystyle X}f（あなた）{\displaystyle f(U)}f{\displaystyle f}はい。{\displaystyle Y.}
  • 「相対的に開いた写像「が定義域の開集合である、はの像の開集合である。ここで、通常通り、この集合はの余域その上に誘導される部分空間位相を備えている[ 11 ]あなた{\displaystyle U}X{\displaystyle X}f（あなた）{\displaystyle f(U)}f{\displaystyle f}私は⁡f:=f（X）、{\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X),}f{\displaystyle f}はい。{\displaystyle Y.}

強開写像はすべて相対開写像である。しかし、これらの定義は一般には同値ではない。

警告：多くの著者は「オープンマップ」を「比較的オープンなマップ」と定義しています（例えば、『数学百科事典』）。一方、「オープンマップ」を「強くオープンなマップ」と定義する著者もいます。一般的に、これらの定義は同等ではないため、著者が「オープンマップ」の定義をどのように使用しているかを常に確認することをお勧めします。

射影写像が相対的に開いていることと、それが強開であることは同値である。したがって、この重要な特殊なケースにおいては、定義は同値である。より一般的には、射影写像が強開写像である 場合と、それが相対的に開いていることは同値である。f:X→はい{\displaystyle f:X\to Y}f:X→f（X）{\displaystyle f:X\to f(X)}

は常に強開写像の像の開部分集合であるので、強開写像はその余域の開部分集合でなければならない。実際、相対開写像が強開写像となるのは、その像がその余域の開部分集合である場合に限る。まとめると、 X{\displaystyle X}X、{\displaystyle X,}f（X）＝私は⁡f{\displaystyle f(X)=\operatorname {Im} f}f:X→はい{\displaystyle f:X\to Y}はい。{\displaystyle Y.}

マップが強開となるのは、マップが相対的に開であり、その像がその余域の開集合である場合に限ります。

この特徴付けを使用すると、「オープン マップ」の 2 つの定義のいずれかに関連する結果を、他の定義に関連する状況に適用することが簡単になることがよくあります。

上記の議論は、「open」という単語をそれぞれ「closed」という単語に置き換えれば、閉じたマップにも適用されます。

オープンマップ

地図はf:X→はい{\displaystyle f:X\to Y}オープンマップまたは次の同等の条件のいずれかを満たす場合、 マップは強くオープンになります。

  1. 定義：の開集合をその余域の開集合に写す。つまり、 の任意の開集合に対して、は の開集合である。f:X→はい{\displaystyle f:X\to Y}あなた{\displaystyle U}X{\displaystyle X}f（あなた）{\displaystyle f(U)}はい。{\displaystyle Y.}
  2. f:X→はい{\displaystyle f:X\to Y}は比較的開いた写像であり、その像はその余域の開いた部分集合である私は⁡f:=f（X）{\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X)}はい。{\displaystyle Y.}
  3. のあらゆる近傍（どんなに小さくても）に対して、は の近傍である。この条件において、「近傍」という単語の最初の部分または両方の部分を「開近傍」に置き換えても、結果は同じ条件となる。 ×∈X{\displaystyle x\in X}北{\displaystyle N}×{\displaystyle x}f（北）{\displaystyle f(N)}f（×）{\displaystyle f(x)}
    • のすべての開近傍に対して、は の近傍です。×∈X{\displaystyle x\in X}北{\displaystyle N}×{\displaystyle x}f（北）{\displaystyle f(N)}f（×）{\displaystyle f(x)}
    • のすべての開近傍に対して、は の開近傍です。×∈X{\displaystyle x\in X}北{\displaystyle N}×{\displaystyle x}f（北）{\displaystyle f(N)}f（×）{\displaystyle f(x)}
  4. f（中位X⁡あ）⊆中位はい⁡（f（あ））{\displaystyle f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {Int} _{Y}(f(A))}のすべての部分集合に対して、は集合の位相的な内部を表す。あ{\displaystyle A}X、{\displaystyle X,}中位{\displaystyle \operatorname {Int} }
  5. が の閉部分集合であるときはいつでも、集合はの閉部分集合である。C{\displaystyle C}X{\displaystyle X}{y∈はい : f−1（y）⊆C}{\displaystyle \left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}}はい。{\displaystyle Y.}
    • これはすべての部分集合に当てはまる恒等式 の結果である。f（X∖R）＝はい∖{y∈はい:f−1（y）⊆R}、{\displaystyle f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\},}R⊆X。{\displaystyle R\subseteq X.}

が の根拠である場合、次のものをこのリストに追加できます。 B{\displaystyle {\mathcal {B}}}X{\displaystyle X}

  2. f{\displaystyle f}は、基本開集合をその共域内の開集合に写像します（つまり、任意の基本開集合に対して は の開集合の部分集合です）。B∈B、{\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}f（B）{\displaystyle f(B)}はい{\displaystyle Y}

閉じた地図

地図はf:X→はい{\displaystyle f:X\to Y}相対的に閉じた写像が定義域の閉部分集合であるときはいつでもはの像の閉部分集合である。ここで通常通り、この集合はの余域その上に誘導される部分空間位相C{\displaystyle C}X{\displaystyle X}f（C）{\displaystyle f(C)}f{\displaystyle f}私は⁡f:=f（X）、{\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X),}f{\displaystyle f}はい。{\displaystyle Y.}

地図はf:X→はい{\displaystyle f:X\to Y}閉じた地図または次の同等の条件のいずれかを満たす場合、 強く閉じたマップとなります。

  1. 定義:の閉部分集合をその余域の閉部分集合に写す。つまり、 の任意の閉部分集合は の閉部分集合である。f:X→はい{\displaystyle f:X\to Y}C{\displaystyle C}X、{\displaystyle X,}f（C）{\displaystyle f(C)}はい。{\displaystyle Y.}
  2. f:X→はい{\displaystyle f:X\to Y}は比較的閉じた写像であり、その像はその余域の閉じた部分集合である私は⁡f:=f（X）{\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X)}はい。{\displaystyle Y.}
  3. f（あ）¯⊆f（あ¯）{\displaystyle {\overline {f(A)}}\subseteq f\left({\overline {A}}\right)}すべてのサブセットについてあ⊆X。{\displaystyle A\subseteq X.}
  4. f（C）¯⊆f（C）{\displaystyle {\overline {f(C)}}\subseteq f(C)}すべての閉集合に対してC⊆X。{\displaystyle C\subseteq X.}
  5. が の開部分集合であるときはいつでも、集合はの開部分集合である。あなた{\displaystyle U}X{\displaystyle X}{y∈はい : f−1（y）⊆あなた}{\displaystyle \left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq U\right\}}はい。{\displaystyle Y.}
  6. が のネットであり、がにおける点である場合、 は の集合に収束する。×∙{\displaystyle x_{\bullet}}X{\displaystyle X}y∈はい{\displaystyle y\in Y}f（×∙）→y{\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to y}はい、{\displaystyle Y,}×∙{\displaystyle x_{\bullet}}X{\displaystyle X}f−1（y）。{\displaystyle f^{-1}(y).}
    • 収束とは、の開集合のすべてが、十分に大きなインデックスに対して を含むことを意味する。×∙→f−1（y）{\displaystyle x_{\bullet }\to f^{-1}(y)}X{\displaystyle X}f−1（y）{\displaystyle f^{-1}(y)}×j{\displaystyle x_{j}}j。{\displaystyle j.}

射影写像が強閉写像であるための必要十分条件は、それが相対的に閉写像である場合である。したがって、この重要な特殊なケースにおいては、2つの定義は同値である。定義により、写像が相対的に閉写像であるための必要十分条件は、射影写像が強閉写像である場合である。 f:X→はい{\displaystyle f:X\to Y}f:X→私は⁡f{\displaystyle f:X\to \operatorname {Im} f}

開集合における「連続写像」の定義（「開集合のすべての原像は開である」という命題）において、「開」という語の両方を「閉」に置き換えると、結果として得られる命題（「閉集合のすべての原像は閉である」）は連続性と等しくなります。しかし、「開写像」の定義（「開集合のすべての像は開である」）では、この定義は成立しません。なぜなら、結果として得られる命題（「閉集合のすべての像は閉である」）は「閉写像」の定義であり、これは一般に開性とは等しくないからです。閉写像であっても閉じていないものも存在し、また、閉写像であっても開いていないものも存在します。開写像／閉写像と連続写像のこの違いは、最終的には、任意の集合についてのみ一般に等式が保証されるのに対し、原像については常に等式が成立するという事実に起因します。 S、{\displaystyle S,}f（X∖S）⊇f（X）∖f（S）{\displaystyle f(X\setminus S)\supseteq f(X)\setminus f(S)}f−1(Y∖S)=f−1(Y)∖f−1(S){\displaystyle f^{-1}(Y\setminus S)=f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(S)}

例

で定義される関数は連続、閉、相対的に開いているが、（強く）開いているわけではない。これは、が の定義域内のを含まない任意の開区間である場合、となり、この開区間は と の両方の開部分集合となるためである。しかし、が に含まれる任意の開区間である場合、は の余域の開部分集合ではなくの開部分集合となる。 のすべての開区間の集合は 上のユークリッド位相の基底となるため、は相対的に開いているが、（強く）開いているわけではないことがわかる。 f:R→R{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }f(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}}U=(a,b){\displaystyle U=(a,b)}f{\displaystyle f}R{\displaystyle \mathbb {R} }0{\displaystyle 0}f(U)=(min{a2,b2},max{a2,b2}),{\displaystyle f(U)=(\min\{a^{2},b^{2}\},\max\{a^{2},b^{2}\}),}R{\displaystyle \mathbb {R} }Im⁡f:=f(R)=[0,∞).{\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(\mathbb {R} )=[0,\infty ).}U=(a,b){\displaystyle U=(a,b)}R{\displaystyle \mathbb {R} }0{\displaystyle 0}f(U)=[0,max{a2,b2}),{\displaystyle f(U)=[0,\max\{a^{2},b^{2}\}),}f{\displaystyle f}R{\displaystyle \mathbb {R} }Im⁡f=[0,∞).{\displaystyle \operatorname {Im} f=[0,\infty ).}R{\displaystyle \mathbb {R} }R,{\displaystyle \mathbb {R} ,}f:R→R{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }

が離散位相を持つ場合（つまり、すべての部分集合が開かつ閉である場合）、すべての関数は開かつ閉である（ただし、必ずしも連続である必要はない）。例えば、からへの床関数は開かつ閉であるが、連続ではない。この例は、開写像または閉写像の下での連結空間の像が必ずしも連結である必要はない ことを示している。Y{\displaystyle Y}f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}R{\displaystyle \mathbb {R} }Z{\displaystyle \mathbb {Z} }

位相空間の積があるときはいつでも、自然な射影は開写像である[ 12 ] [ 13 ] （連続でもある）．ファイバー束と被覆写像の射影は積の局所的に自然な射影であるので，これらも開写像である．しかし，射影は必ずしも閉じている必要はない．例えば，最初の成分への射影を考えてみよう．すると，集合はでは閉じているが では閉じていない． しかし，コンパクト空間では射影は閉じている．これは本質的にはチューブ補題である． X=∏Xi,{\textstyle X=\prod X_{i},}pi:X→Xi{\displaystyle p_{i}:X\to X_{i}}p1:R2→R{\displaystyle p_{1}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }A={(x,1/x):x≠0}{\displaystyle A=\{(x,1/x):x\neq 0\}}R2,{\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}p1(A)=R∖{0}{\displaystyle p_{1}(A)=\mathbb {R} \setminus \{0\}}R.{\displaystyle \mathbb {R} .}Y,{\displaystyle Y,}X×Y→X{\displaystyle X\times Y\to X}

単位円上のすべての点について、正の - 軸の角度を、その点と原点を結ぶ直線に関連付けることができます。単位円から半開区間[0,2π) へのこの関数は、全単射で、開写像であり、閉写像ですが、連続ではありません。これは、開写像または閉写像の下でのコンパクト空間の像が必ずしもコンパクトである必要はないことを示しています。また、これを単位円から実数への関数として考えると、開写像でも閉写像でもないことに注意してください。余域を指定することが重要です。 x{\displaystyle x}

十分な条件

すべての同相写像は開写像、閉写像、連続写像である。実際、連続一対一写像が同相写像となるのは、それが開写像である場合と同値であり、また、同値として、それが閉写像である場合と同値である。

2つの（強く）開いた写像の合成は開いた写像であり、2つの（強く）閉じた写像の合成は閉じた写像である。[ 14 ] [ 15 ]しかし、2つの相対的に開いた写像の合成は相対的に開いている必要はなく、2つの相対的に閉じた写像の合成は相対的に閉じている必要はない。が強く開いていて（それぞれ、強く閉じている）、が相対的に開いている（それぞれ、相対的に閉じている）場合、は相対的に開いている（それぞれ、相対的に閉じている）。 f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}g:Y→Z{\displaystyle g:Y\to Z}g∘f:X→Z{\displaystyle g\circ f:X\to Z}

を写像とする。任意の部分集合 が与えられたとき、が相対的に開いている（それぞれ、相対的に閉じている、強く開いている、強く閉じている、連続している、射影的である）場合、その-飽和部分集合 への制限についても同様である 。 f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}T⊆Y{\displaystyle T\subseteq Y}f{\displaystyle f}f|f−1(T) : f−1(T)→T{\displaystyle f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T}f{\displaystyle f}f−1(T){\displaystyle f^{-1}(T)}

2つの開写像の圏的和は開写像であり、2つの閉写像の圏的和は閉写像である。[ 15 ] 2つの開写像の圏的積も開写像である。しかし、2つの閉写像の圏的積は必ずしも閉写像である必要はない。[ 14 ] [ 15 ]

全単射写像が開写像であるためには、それが閉写像でなければならない。連続全単射の逆は、開かつ閉の全単射である（逆もまた同様）。開全射は必ずしも閉である必要はなく、閉全射は必ずしも開である必要もない。多様体上のすべての座標チャートやすべての被覆写像を含む、すべての局所同相写像は開写像である。

閉写像の補題—コンパクト空間からハウスドルフ空間へのすべての連続関数は閉じており、適切である（つまり、コンパクト集合の原像はコンパクトである）。 f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}X{\displaystyle X}Y{\displaystyle Y}

閉写像補題の変形は、局所コンパクトハウスドルフ空間間の連続関数が適切である場合、その関数も閉じていることを述べています。

複素解析において、同じ名前の開写像定理は、複素平面の連結した開部分集合上で定義されたすべての非定数正則関数は開写像であると述べます。

領域不変性定理は、2次元位相多様体間の連続かつ局所的に入射する関数は開関数でなければならないことを述べています。 n{\displaystyle n}

定義域の不変性—が の開部分集合であり、が連続写像である場合、 はにおいて開集合であり、と の間の同相写像です。 U{\displaystyle U}Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}f:U→Rn{\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}V:=f(U){\displaystyle V:=f(U)}Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}f{\displaystyle f}U{\displaystyle U}V{\displaystyle V}

関数解析学において、開写像定理は、バナッハ空間間のすべての連続線型射影は開写像であることを述べています。この定理は、バナッハ空間だけでなく、 位相ベクトル空間にも一般化されています。

射影写像はほぼ開写像と呼ばれるf:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}任意の に対して、が存在するとすれば、y∈Y{\displaystyle y\in Y}x∈f−1(y){\displaystyle x\in f^{-1}(y)}x{\displaystyle x}の開点 は、定義により のすべての開近傍に対して、 が における の近傍であることを意味します(近傍は開近傍である必要はないことに注意)。すべての開全射はほぼ開写像ですが、その逆は偽です。全射がほぼ開写像である場合の位相にまったく依存しない条件) を満たすとき、それは開写像です。と が(つまり、の同じファイバー、のとなるようなの近傍が存在します。写像が連続である場合、上記の条件は写像が開であるためにも必要です。つまり、 が連続全射である場合、それがほぼ開いており、かつ上記の条件を満たすときのみ、それが開写像です。 f{\displaystyle f}U{\displaystyle U}x{\displaystyle x}f(U){\displaystyle f(U)}f(x){\displaystyle f(x)}Y{\displaystyle Y}f(U){\displaystyle f(U)}f:(X,τ)→(Y,σ){\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}Y{\displaystyle Y}σ{\displaystyle \sigma }m{\displaystyle m}n∈X{\displaystyle n\in X}f{\displaystyle f}f(m)=f(n){\displaystyle f(m)=f(n)}U∈τ{\displaystyle U\in \tau }m{\displaystyle m}V∈τ{\displaystyle V\in \tau }n{\displaystyle n}F(V)⊆F(U){\displaystyle F(V)\subseteq F(U)}f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}

プロパティ

連続したオープンマップまたはクローズドマップ

が連続写像であり、かつ開写像または閉写像である場合、次のようになります。 f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}

  • が全射ならばそれは商写像であり、遺伝的に商写像でもある。 f{\displaystyle f}
    • 射影写像は、あらゆる部分集合に対して制約が商写像である場合、遺伝的に商写像であると呼ばれます。f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}T⊆Y{\displaystyle T\subseteq Y}f|f−1(T) : f−1(T)→T{\displaystyle f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T}
  • が注入である場合、それは位相的埋め込みです。f{\displaystyle f}
  • が全単射であれば、同相写像です。f{\displaystyle f}

最初の2つのケースでは、開いているか閉じているかは、それに続く結論を導くための十分な条件に過ぎません。3番目のケースでは、それは必要条件でもあります。

連続マップを開く

が連続（強）開写像である場合、次のようになります。 f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}A⊆X,{\displaystyle A\subseteq X,}S⊆Y,{\displaystyle S\subseteq Y,}

  • f−1(BdY⁡S)=BdX⁡(f−1(S)){\displaystyle f^{-1}\left(\operatorname {Bd} _{Y}S\right)=\operatorname {Bd} _{X}\left(f^{-1}(S)\right)}ここで、 は集合の境界を表します。Bd{\displaystyle \operatorname {Bd} }
  • f−1(S¯)=f−1(S)¯{\displaystyle f^{-1}\left({\overline {S}}\right)={\overline {f^{-1}(S)}}}ここで、集合の閉包を表します。S¯{\displaystyle {\overline {S}}}
  • が集合の 内部を表すとき、この 集合は必然的に正則閉集合（）となる。[注 1 ]特に、が正則閉集合であれば も正則閉集合となる。が正則開集合であれば も正則開集合となる。A¯=IntX⁡A¯,{\displaystyle {\overline {A}}={\overline {\operatorname {Int} _{X}A}},}Int{\displaystyle \operatorname {Int} }IntY⁡f(A)¯=f(A)¯=f(IntX⁡A)¯=f(IntX⁡A¯)¯{\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} _{Y}f(A)}}={\overline {f(A)}}={\overline {f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)}}={\overline {f\left({\overline {\operatorname {Int} _{X}A}}\right)}}}f(A)¯{\displaystyle {\overline {f(A)}}}Y{\displaystyle Y}A{\displaystyle A}f(A)¯{\displaystyle {\overline {f(A)}}}A{\displaystyle A}Y∖f(X∖A)¯.{\displaystyle Y\setminus {\overline {f(X\setminus A)}}.}
  • 連続開写像も射影的であれば、さらに、が の正則開（正則閉）[注 1 ]部分集合である場合、かつ が の正則開（正則閉）部分集合である場合に限ります。 f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}IntX⁡f−1(S)=f−1(IntY⁡S){\displaystyle \operatorname {Int} _{X}f^{-1}(S)=f^{-1}\left(\operatorname {Int} _{Y}S\right)}S{\displaystyle S}Y{\displaystyle Y}f−1(S){\displaystyle f^{-1}(S)}X{\displaystyle X}
  • ネットが 点に収束し、連続開写像が射影的である場合、任意の に対して、（何らかの有向集合によってインデックス付けされた）にネットが存在し、においてがのサブネットとなる。さらに、インデックス集合はの積の順序を持つ とすることができる。ここで、は によって方向付けられたの任意の近傍基数である[注 2 ]y∙=(yi)i∈I{\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i\in I}}Y{\displaystyle Y}y∈Y{\displaystyle y\in Y}f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}x∈f−1(y){\displaystyle x\in f^{-1}(y)}x∙=(xa)a∈A{\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}X{\displaystyle X}A{\displaystyle A}x∙→x{\displaystyle x_{\bullet }\to x}X{\displaystyle X}f(x∙):=(f(xa))a∈A{\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right):=\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}}y∙{\displaystyle y_{\bullet }}A{\displaystyle A}A:=I×Nx{\displaystyle A:=I\times {\mathcal {N}}_{x}}Nx{\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}x{\displaystyle x}⊇.{\displaystyle \,\supseteq .\,}

参照

注記

  1. ^ a b部分集合はaと呼ばれるS⊆X{\displaystyle S\subseteq X}正則閉集合 の場合、または同値の場合、 の場合、ここで（それぞれ）における位相境界（それぞれ内部、閉包）この集合は と呼ばれる。Int⁡S¯=S{\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} S}}=S}Bd⁡(Int⁡S)=Bd⁡S,{\displaystyle \operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S,}Bd⁡S{\displaystyle \operatorname {Bd} S}Int⁡S,{\displaystyle \operatorname {Int} S,}S¯{\displaystyle {\overline {S}}}S{\displaystyle S}X.{\displaystyle X.}S{\displaystyle S}の閉部分集合の内部（ に含まれる）は常にの正則開部分集合である。の開部分集合の閉包（ に含まれるは常に の正則閉部分集合である。Int⁡(S¯)=S{\displaystyle \operatorname {Int} \left({\overline {S}}\right)=S}Bd⁡(S¯)=Bd⁡S.{\displaystyle \operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S.}X{\displaystyle X}X{\displaystyle X}X.{\displaystyle X.}X{\displaystyle X}X{\displaystyle X}X.{\displaystyle X.}
  2. ^明示的には、任意の に対して となる任意のを選び、 を任意の とします。この割り当てが の共終部分集合となるような順序射が定義されます。したがって、は のウィラードサブネットですa:=(i,U)∈A:=I×Nx,{\displaystyle a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},}ha∈I{\displaystyle h_{a}\in I}i≤ha and yha∈f(U){\displaystyle i\leq h_{a}{\text{ and }}y_{h_{a}}\in f(U)}xa∈U∩f−1(yha){\displaystyle x_{a}\in U\cap f^{-1}\left(y_{h_{a}}\right)}a↦ha{\displaystyle a\mapsto h_{a}}h:A→I{\displaystyle h:A\to I}h(A){\displaystyle h(A)}I{\displaystyle I}f(x∙){\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)}y∙.{\displaystyle y_{\bullet }.}

引用

  1. ^マンクレス、ジェームズ・R. (2000).トポロジー（第2版）.プレンティス・ホール. ISBN 0-13-181629-2。
  2. ^ a bメンデルソン、バート (1990) [1975].位相幾何学入門（第3版）. ドーバー. p. 89. ISBN 0-486-66352-3定理5.3は、関数が連続であるためには、各開集合の逆像が開集合となる必要があることを述べていることを覚えておくことが重要です。この連続性の特徴付けは、関数が持つ場合と持たない場合がある別の性質、すなわち各開集合の像が開集合となるという性質（このような関数は開写像と呼ばれます）と混同してはいけません。f{\displaystyle f}
  3. ^ a b c Lee, John M. (2003).滑らかな多様体入門. 大学院数学テキスト. 第218巻. Springer Science & Business Media. p. 550. ISBN 9780387954486写像（連続写像または非連続写像）は、任意の閉部分集合に対して がにおいて開いているとき開写像と言われ、任意の閉部分集合に対して が において閉じているとき閉写像と言われます。連続写像は、平面の部分集合を含む簡単な例を調べるとわかるように、開いている場合も、閉じている場合も、その両方である場合も、どちらでもない場合もあります。F:X→Y{\displaystyle F:X\to Y}U⊆X,{\displaystyle U\subseteq X,}F(U){\displaystyle F(U)}Y,{\displaystyle Y,}K⊆U,{\displaystyle K\subseteq U,}F(K){\displaystyle F(K)}Y.{\displaystyle Y.}
  4. ^ a bルドゥ、アンドレイ（ 2012年1月15日）。『等高線と閉曲面上の非線形波とソリトン』 Springer Series in Synergetics、p. 15。ISBN 9783642228940開写像とは、2つの位相空間間の開集合を開集合に写す写像です。同様に、閉写像とは閉集合を閉集合に写す写像です。開写像と閉写像は必ずしも連続ではありません。
  5. ^ Sohrab, Houshang H. (2003). Basic Real Analysis . Springer Science & Business Media. p. 203. ISBN 9780817642112これで、関数が閉じていなくても開いている場合もあれば、開いていなくても閉じている場合もあることを示す例題の準備ができました。また、関数は開いていると同時に閉じている場合もあれば、開いても閉じてもいない場合もあります。(引用した文は距離空間の文脈で述べられていますが、位相空間は距離空間の一般化として生じるため、この文はそこでも当てはまります。)
  6. ^ Naber, Gregory L. (2012).ユークリッド空間における位相幾何学的手法. Dover Books on Mathematics (復刻版). Courier Corporation. p. 18. ISBN 9780486153445演習1-19.射影写像π 1 : X 1 × ··· × X k → X iは開写像であるが、必ずしも閉写像である必要はないことを示せ。ヒント：R 2のへの射影は閉写像ではない。同様に、任意の定数写像は閉写像であるので、閉写像は必ずしも開写像である必要はない。ただし、1対1かつ全写像である写像の場合、「開」と「閉」の概念は同義である。πi:Xi×⋯×Xk→Xi{\displaystyle \pi _{i}:X_{i}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}}R{\displaystyle \mathbb {R} }
  7. ^メンデルソン、バート (1990) [1975].位相幾何学入門（第3版）. ドーバー. p. 89. ISBN 0-486-66352-3関数が、集合の各開集合に対して の開集合でありながら連続ではないという性質を持つ状況は数多くあります。f:(X,τ)→(Y,τ′){\displaystyle f:\left(X,\tau \right)\to \left(Y,\tau '\right)}A{\displaystyle A}X,{\displaystyle X,}f(A){\displaystyle f(A)}Y,{\displaystyle Y,}f{\displaystyle f}
  8. ^ブース、ヨハン（2000年）『要約可能性における古典的および現代的な手法』オックスフォード大学出版局、332ページ。ISBN 0-19-850165-Xさて、最後の命題が一般に真であるかどうか、つまり閉写像が連続であるかどうかという疑問が生じます。次の例が証明するように、これは一般には成り立ちません。
  9. ^ Kubrusly, Carlos S. (2011). 『作用素理論の要素』 Springer Science & Business Media. p.  115. ISBN 9780817649982一般に、距離空間から距離空間への写像は、「連続」、「開」、「閉」の属性の任意の組み合わせを持つことができます（つまり、これらは独立した概念です）。F:X→Y{\displaystyle F:X\to Y}X{\displaystyle X}Y{\displaystyle Y}
  10. ^ハート、KP;永田、J.ヴォーン、JE、編。 (2004)。一般トポロジーの百科事典。エルゼビア。 p.  86．ISBN 0-444-50355-2開（内部）地図の研究は、S.ストイロウの論文[13,14]から始まったようです。地図の開性は、 GTホワイバーン[19,20]によって初めて広範囲に研究されたことは明らかです。
  11. ^ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、225–273頁。
  12. ^ウィラード、スティーブン (1970).一般位相幾何学. アディソン・ウェスレー. ISBN 0486131785。
  13. ^ Lee, John M. (2012).滑らかな多様体入門. 大学院数学テキスト 第218巻（第2版）. p. 606. doi : 10.1007/978-1-4419-9982-5 . ISBN 978-1-4419-9982-5.オリジナルから2022年10月13日にアーカイブ。2021年9月12日閲覧。演習A.32.が位相空間であるとする。それぞれの射影が開写像であることを示せ。X1,…,Xk{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}πi:X1×⋯×Xk→Xi{\displaystyle \pi _{i}:X_{1}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}}
  14. ^ a bバウエス、ハンス＝ヨアヒム;キンテロ、アントニオ (2001)。無限ホモトピー理論。K - 数学のモノグラフ。 Vol. 6.p. 53.ISBN​ 9780792369820開写像の合成は開写像であり、閉写像の合成は閉写像である。また、開写像の積は開写像である。一方、閉写像の積は必ずしも閉写像とは限らない。
  15. ^ a b c James , IM (1984).一般位相幾何学とホモトピー理論. Springer-Verlag. p.  49. ISBN 9781461382836……開写像の合成は開写像であり、閉写像の合成は閉写像であることを思い出しましょう。また、開写像の和は開写像であり、閉写像の和は閉写像です。しかし、開写像の積は開写像であっても、閉写像の積は必ずしも閉写像であるとは限りません。

参考文献

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