マクスウェル・ブロッホ方程式

マクスウェル・ブロッホ方程式（光ブロッホ方程式とも呼ばれる）は、光共振器の電磁モードと相互作用する二状態量子系のダイナミクスを記述する。最初の定式化はティト・アレッキとロドルフォ・ボニファシオによって行われた^{[ 1 ]}。これらは、電磁場中の核磁気モーメントの運動を記述するブロッホ方程式に類似している（ただし全く同一ではない） 。これらの方程式は、半古典的に導出することも、特定の近似を行うことで場が完全に量子化された状態で 導出することもできる。

半古典的な定式化

半古典的光学ブロッホ方程式の導出は、二状態量子系を解くこととほぼ同じです（その議論を参照）。しかし、通常、これらの方程式は密度行列の形に変換されます。ここで扱う系は、波動関数で記述できます。

${\displaystyle \psi =c_{g}\psi _{g}+c_{e}\psi _{e}}$

${\displaystyle \left|c_{g}\right|^{2}+\left|c_{e}\right|^{2}=1}$

密度行列は

${\displaystyle \rho ={\begin{bmatrix}\rho _{ee}&\rho _{eg}\\\rho _{ge}&\rho _{gg}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{e}c_{e}^{*}&c_{e}c_{g}^{*}\\c_{g}c_{e}^{*}&c_{g}c_{g}^{*}\end{bmatrix}}}$

（他の慣例も可能であり、これはMetcalf (1999)の導出に従う）。^{[ 2 ]}これで、ハイゼンベルクの運動方程式を解くか、シュレーディンガー方程式を解いた結果を密度行列の形に変換することができる。自然放出を含む以下の方程式が得られる。

${\displaystyle {\frac {d\rho _{gg}}{dt}}=\gamma \rho _{ee}+{\frac {i}{2}}(\Omega ^{*}{\bar {\rho }}_{eg}-\Omega {\bar {\rho }}_{ge})}$

${\displaystyle {\frac {d\rho _{ee}}{dt}}=-\gamma \rho _{ee}+{\frac {i}{2}}(\Omega {\bar {\rho }}_{ge}-\Omega ^{*}{\bar {\rho }}_{eg})}$

${\displaystyle {\frac {d{\bar {\rho }}_{ge}}{dt}}=-\left({\frac {\gamma }{2}}+i\delta \right){\bar {\rho }}_{ge}+{\frac {i}{2}}\Omega ^{*}(\rho _{ee}-\rho _{gg})}$

${\displaystyle {\frac {d{\bar {\rho }}_{eg}}{dt}}=-\left({\frac {\gamma }{2}}-i\delta \right){\bar {\rho }}_{eg}+{\frac {i}{2}}\Omega (\rho _{gg}-\rho _{ee})}$

これらの式の導出において、およびを定義する。また、自然放出は減衰定数 を持つ係数の指数関数的減衰によって記述されると明示的に仮定した。はラビ周波数であり、これは ${\displaystyle {\bar {\rho }}_{ge}\equiv \rho _{ge}e^{-i\delta t}}$ ${\displaystyle {\bar {\rho }}_{eg}\equiv \rho _{eg}e^{i\delta t}}$ ${\displaystyle \rho _{eg}(t)}$ ${\displaystyle {\frac {\gamma }{2}}}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \Omega ={\vec {d_{g,e}}}\cdot {\vec {E_{0}}}/\hbar }$ 、

は離調であり、光周波数 が遷移 からどれだけ離れているかを表します。ここで、は遷移の遷移双極子モーメントであり、は（ の意味で）分極を含むベクトル電場振幅です。 ${\displaystyle \delta =\omega -\omega _{0}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle {\vec {d}}_{g,e}}$ ${\displaystyle g\rightarrow e}$ ${\displaystyle {\vec {E}}_{0}={\hat {\epsilon }}E_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {E}}={\frac {\vec {E_{0}}}{2}}e^{-i\omega t}+c.c.}$

空洞量子電磁力学からの導出

コヒーレント駆動によるジェインズ・カミングス・ハミルトニアンから始める

${\displaystyle H=\omega _{c}a^{\dagger }a+\omega _{a}\sigma ^{\dagger }\sigma +ig(a^{\dagger }\sigma -a\sigma ^{\dagger })+iJ(a^{\dagger }e^{-i\omega _{l}t}-ae^{i\omega _{l}t})}$

ここで、は空洞場に対する下降演算子であり、 はパウリ行列の組み合わせとして書かれた原子下降演算子である。時間依存性は波動関数を に従って変換することで除去でき、変換されたハミルトニアンが得られる。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{x}-i\sigma _{y}\right)}$ ${\displaystyle |\psi \rangle \rightarrow \operatorname {e} ^{-i\omega _{l}t\left(a^{\dagger }a+\sigma ^{\dagger }\sigma \right)}|\psi \rangle }$

${\displaystyle H=\Delta _{c}a^{\dagger }a+\Delta _{a}\sigma ^{\dagger }\sigma +ig(a^{\dagger }\sigma -a\sigma ^{\dagger })+iJ(a^{\dagger }-a)}$

ここで である。現状では、ハミルトニアンは4つの項を持つ。最初の2つは原子（または他の2準位系）の自己エネルギーと場である。3つ目の項はエネルギー保存相互作用項であり、これにより空洞と原子はポピュレーションとコヒーレンスを交換できる。これらの3つの項だけで、ドレス状態のジェインズ・カミングス・ラダーと、それに伴うエネルギースペクトルの非調和性が生じる。最後の項は、空洞モードと古典場、すなわちレーザーとの結合をモデル化する。駆動強度は、空の両面空洞を通過する電力で と表される。ここでは空洞の線幅である。これは、レーザーやその他のCQEDデバイスの動作における散逸の役割に関する重要な点を浮き彫りにする。散逸とは、システム（結合した原子/空洞）が環境と相互作用する手段である。このため、散逸は問題をマスター方程式で表すことで考慮される。マスター方程式の最後の2つの項はリンドブラッド形式である。${\displaystyle \Delta _{i}=\omega _{i}-\omega _{l}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J={\sqrt {2P(\Delta _{c}^{2}+\kappa ^{2})/(\omega _{c}\kappa )}}}$ ${\displaystyle 2\kappa }$

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-i[H,\rho ]+2\kappa \left(a\rho a^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(a^{\dagger }a\rho +\rho a^{\dagger }a\right)\right)+2\gamma \left(\sigma \rho \sigma ^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{\dagger }\sigma \rho +\rho \sigma ^{\dagger }\sigma \right)\right)}$

演算子の期待値の運動方程式は、マスター方程式から公式 および を用いて導出できる。 、、 、、空洞場、原子コヒーレンス、原子反転 の運動方程式はそれぞれ、${\displaystyle \langle O\rangle =\operatorname {tr} \left(O\rho \right)}$ ${\displaystyle \langle {\dot {O}}\rangle =\operatorname {tr} \left(O{\dot {\rho }}\right)}$ ${\displaystyle \langle a\rangle }$ ${\displaystyle \langle \sigma \rangle }$ ${\displaystyle \langle \sigma _{z}\rangle }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle a\rangle =i\left(-\Delta _{c}\langle a\rangle -ig\langle \sigma \rangle -iJ\right)-\kappa \langle a\rangle }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \sigma \rangle =i\left(-\Delta _{a}\langle \sigma \rangle -ig\langle a\sigma _{z}\rangle \right)-\gamma \langle \sigma \rangle }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \sigma _{z}\rangle =-2g\left(\langle a^{\dagger }\sigma \rangle +\langle a\sigma ^{\dagger }\rangle \right)-2\gamma \langle \sigma _{z}\rangle -2\gamma }$

この時点で、無限に続く連立方程式のうち3つを作成しました。3番目の方程式からわかるように、高次の相関が必要です。の時間発展に関する微分方程式には、演算子の高次積の期待値が含まれるため、無限の連立方程式の集合になります。演算子の積の期待値は、個々の演算子の期待値の積に等しいという近似を経験的に行います。これは、演算子が無相関であると仮定することと似ており、古典的極限では良好な近似です。結果として得られる方程式は、単一励起領域においても正しい定性的な挙動を示すことがわかります。さらに、方程式を簡略化するために、次の置き換えを行います。 ${\displaystyle \langle a^{\dagger }\sigma \rangle }$

${\displaystyle \langle a\rangle =(\gamma /{\sqrt {2}}g)x}$

${\displaystyle \langle \sigma \rangle =-p/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \langle \sigma _{z}\rangle =-D}$

${\displaystyle \Theta =\Delta _{c}/\kappa }$

${\displaystyle C=g^{2}/2\kappa \gamma }$

${\displaystyle y={\sqrt {2}}gJ/\kappa \gamma }$

${\displaystyle \Delta =\Delta _{a}/\gamma }$

そしてマクスウェル・ブロッホ方程式は最終的な形で次のように書ける。

${\displaystyle {\dot {x}}=\kappa \left(-2Cp+y-(i\Theta +1)x\right)}$

${\displaystyle {\dot {p}}=\gamma \left(-(1+i\Delta )p+xD\right)}$

${\displaystyle {\dot {D}}=\gamma \left(2(1-D)-(x^{*}p+xp^{*})\right)}$

応用：原子-レーザー相互作用

双極子近似と回転波近似では、レーザー場と相互作用する際の原子密度行列のダイナミクスは光ブロッホ方程式によって記述され、その効果は2つの部分に分けられます。^{[ 3 ]}光双極子力と散乱力^{[ 4 ] 。}

参照

• 原子電子遷移
• ローレンツ系
• 半導体ブロッホ方程式

参考文献

1. Arecchi, F.; Bonifacio, R. (1965). 「光メーザー増幅器の理論」. IEEE Journal of Quantum Electronics . 1 (4): 169– 178. doi : 10.1109/JQE.1965.1072212 . ISSN  0018-9197 .
2. メトカーフ、ハロルド.レーザー冷却とトラッピングSpringer 1999 pg. 24-
3. Roy, ​​Richard (2017). 「イッテルビウムとリチウムの量子ガス：異核分子とボーズ・フェルミ超流体混合物」（PDF） .ワシントン大学超冷原子分子研究.
4. フット、クリストファー（2005年）『原子物理学』オックスフォード大学出版局、  pp.137、198-199。