梱包寸法

数学において、パッキング次元は、距離空間の部分集合の次元を定義するために用いられる概念の一つです。パッキング次元は、ある意味でハウスドルフ次元と双対です。パッキング次元は、与えられた部分集合内に小さな開球を「詰め込む」ことによって構成されるのに対し、ハウスドルフ次元は、与えられた部分集合をそのような小さな開球で覆うことによって構成されるからです。パッキング次元は、1982年にC.トリコ・ジュニアによって導入されました。

定義

( X ,  d ) を部分集合S  ⊆  Xを持つ距離空間とし、s  ≥ 0 を実数とする。Sのs次元パッキング前測度は次のように定義される。

${\displaystyle P_{0}^{s}(S)=\limsup _{\delta \downarrow 0}\left\{\left.\sum _{i\in I}\mathrm {diam} (B_{i})^{s}\right|{\begin{matrix}\{B_{i}\}_{i\in I}{\text{ is a countable collection}}\\{\text{of pairwise disjoint closed balls with}}\\{\text{diameters }}\leq \delta {\text{ and centres in }}S\end{matrix}}\right\}.}$

残念ながら、これは単なる前測度であり、 Xの部分集合に対する真の測度ではありません。これは、稠密な可算部分集合を考えれば明らかです。しかし、前測度は真の測度につながります。Sのs次元パッキング測度は次のように定義されます 。

${\displaystyle P^{s}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{j\in J}P_{0}^{s}(S_{j})\right|S\subseteq \bigcup _{j\in J}S_{j},J{\text{ countable}}\right\},}$

つまり、 Sのパッキング測度は、Sの可算被覆のパッキング前測度の下限です。

これを実行すると、Sのパッキング次元dim _P ( S )はハウスドルフ次元と同様に定義されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\dim _{\mathrm {P} }(S)&{}=\sup\{s\geq 0|P^{s}(S)=+\infty \}\\&{}=\inf\{s\geq 0|P^{s}(S)=0\}.\end{aligned}}}$

例

次の例は、ハウスドルフ寸法と梱包寸法が異なる可能性がある最も単純な状況です。

かつとなるような列を固定します。実数直線 のコンパクト部分集合の入れ子になった列を次のように帰納的に定義します。 とします。 の各連結成分（必然的に長さ の区間）について、長さ の中央の区間を削除して、長さ の区間を 2 つ取得します。これらが の連結成分となります。次に、 を定義します。するとは位相的にカントール集合（すなわち、コンパクトで完全に分離した完全空間）になります。例えば、 の場合には は通常の中央 3 分の 1 のカントール集合になります。 ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle a_{0}=1}$ ${\displaystyle 0<a_{n+1}<a_{n}/2}$ ${\displaystyle E_{0}\supset E_{1}\supset E_{2}\supset \cdots }$ ${\displaystyle E_{0}=[0,1]}$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}-2a_{n+1}}$ ${\displaystyle a_{n+1}}$ ${\displaystyle E_{n+1}}$ ${\displaystyle K=\bigcap _{n}E_{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle a_{n}=3^{-n}}$

セットのハウスドルフ次元とパッキング次元はそれぞれ次のように与えられることが示せます。 ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\dim _{\mathrm {H} }(K)&{}=\liminf _{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a_{n}}}\,,\\\dim _{\mathrm {P} }(K)&{}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a_{n}}}\,.\end{aligned}}}$

数が与えられれば、関連する（位相的）カントール集合がハウスドルフ次元とパッキング次元を持つような上記のようなシーケンスを選択できることは容易にわかります。 ${\displaystyle 0\leq d_{1}\leq d_{2}\leq 1}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$

一般化

「 sの直径」よりも一般的な次元関数を考えることができる。任意の関数h  :[0,+∞)→[0,+∞]に対して、次元関数hを持つSのパッキング前測度は次のように与えられる 。

${\displaystyle P_{0}^{h}(S)=\lim _{\delta \downarrow 0}\sup \left\{\left.\sum _{i\in I}h{\big (}\mathrm {diam} (B_{i}){\big )}\right|{\begin{matrix}\{B_{i}\}_{i\in I}{\text{ is a countable collection}}\\{\text{of pairwise disjoint balls with}}\\{\text{diameters }}\leq \delta {\text{ and centres in }}S\end{matrix}}\right\}}$

そして次元関数hを持つSのパッキング尺度を 次のように 定義する。

${\displaystyle P^{h}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{j\in J}P_{0}^{h}(S_{j})\right|S\subseteq \bigcup _{j\in J}S_{j},J{\text{ countable}}\right\}.}$

P ^h ( S ) が有限かつ厳密に正である 場合、関数hはSの正確な（パッキング）次元関数であると言われます。

プロパティ

• Sが通常の計量を持つn次元ユークリッド空間R ⁿのサブセットである場合、 Sのパッキング次元はSの上部修正ボックス次元に等しくなります。この結果は、測度から導出された次元 (パッキング次元) が測度を使用せずに導出された次元 (修正ボックス次元) とどのように一致するかを示しているため興味深いものです。$${\displaystyle \dim _{\mathrm {P} }(S)={\overline {\dim }}_{\mathrm {MB} }(S).}$$

ただし、パッキング次元はボックス次元と等しくないことに注意してください。例えば、有理数 集合Qはボックス次元が1で、パッキング次元が0です。

参照

• ハウスドルフ次元
• ミンコフスキー・ブーリガン次元

参考文献

• トリコ, クロード・ジュニア (1982). 「分数次元の2つの定義」.ケンブリッジ哲学協会数学紀要. 91 (1): 57– 74. doi : 10.1017/S0305004100059119 . S2CID  122740665 .MR  0633256