パンルヴェの超越者

数学において、パンルヴェ超越関数（パンルヴェのちょうせつげん、英: Panlevé transcendents）とは、複素平面上の特定の非線形2階常微分方程式の解であり、パンルヴェ性（動かせる特異点は極のみ）を持つが、一般には初等関数では解けない。これらはエミール・ピカール （1889年）、 ポール・パンルヴェ （1900年、1902年）、 リヒャルト・フックス （1905年）、 ベルトラン・ガンビエ （1910年）によって発見され た。

歴史

起源

パンルヴェ超越関数は、微分方程式の解としてしばしば現れる特殊関数の研究、および線型微分方程式の等モノドロミック変形の研究に起源を持つ。最も有用な特殊関数のクラスの一つは楕円関数である。楕円関数は、特異点がパンルヴェ性質を持つ2階常微分方程式によって定義される。パンルヴェ性質とは、移動可能な特異点が単極のみである性質である。この性質は非線型方程式では稀である。

ポアンカレとラザラス・フックスは、パンルヴェ性質を持つ任意の1階方程式（つまり、1次導関数までしか含まない常微分方程式）はワイエルシュトラスの楕円方程式またはリカッチ方程式に変換でき、これらはすべて積分と既知の特殊関数を用いて明示的に解くことができることを示した。^{[ 1 ]}

エミール・ピカールは、1以上の次数では移動可能な本質的特異点が生じ得ることを指摘し、ピカール（1889）において、後にパンルヴVI方程式と呼ばれることになる特別な場合を見出した（下記参照）。（2以上の次数では、解は移動する自然境界を持つ可能性がある。）具体的には、が定義する楕円関数とし 、がその2つの半周期とする。すると、の場合には、任意定数を持つ関数はパンルヴVI方程式を満たす。^{[ 2 ]}${\textstyle \varphi }$ $${\displaystyle \varphi :y\mapsto \varphi (y,x),\qquad y=\int _{\infty }^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} z}{\sqrt {z(z-1)(zx)}}}}$$ ${\textstyle \omega _{1}(x),\omega _{2}(x)}$ $${\displaystyle u:x\mapsto u(x)=\varphi \left(2c_{1}\omega _{1}(x)+2c_{2}\omega _{2}(x),x\right)}$$ ${\textstyle \left(c_{1},c_{2}\right)}$ ${\textstyle \alpha =\beta =\gamma =\delta -1/2=0}$

分類

1900年頃、ポール・パンルヴェは、可動特異点を持たない二階微分方程式を研究した。彼は、特定の変換を除けば、次のような形式の方程式はすべて

${\displaystyle y^{\prime \prime }=R(y^{\prime },y,t)}$

(有理関数の場合) は、( 1956 年以降) に記載されている 50 種類の標準形のいずれかにすることができます。${\displaystyle R}$

パンルヴェ ( 1900 , 1902 ) は、50方程式のうち44方程式が既約であることを発見した。つまり、既知の関数を用いて解くことができ、解くために新たな特殊関数を導入する必要がある方程式は6方程式のみである。これら6つの2階非線形微分方程式はパンルヴェ方程式と呼ばれ、その解はパンルヴェ超越方程式と呼ばれる。しかし、いくつかの計算誤りがあり、その結果、パンルヴェはパンルヴェVIの一般形を含む3つの方程式を見逃していた。パンルヴェの弟子ベルトラン・ガンビエがこれらの誤りを修正し、分類を完成させた。

パンルヴェとガンビエとは独立して、方程式パンルヴェ VI は、リチャード フックスによってまったく異なる考察から発見されました。彼は、正則な特異点を持つ線型微分方程式の等モノドロミック変形を研究しました。

第六方程式の最も一般的な形はパンルヴェには見落とされていたが、1905年にリチャード・フックス（ラザラス・フックスの息子）によって、モノドロミー保存変形の下で射影直線 上に4つの正則特異点を持つ2階フックス方程式の特異点が満たす微分方程式として発見された。これはガンビエ（ 1910 ）によってパンルヴェのリストに加えられた。 ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$

その後の作業

これら 6 つの方程式が、パラメータの一般的な値に対しては本当に既約ではない (特殊なパラメータ値に対しては既約になることもあります。下記参照) ことを示すことは、長年議論を呼ぶ未解決問題でしたが、最終的に西岡 (1988) と梅村 浩 (1989) によって証明されました。

シャジー（1910、1911 ）はパンルヴェの研究を高次方程式に拡張し、パンルヴェ特性を持ついくつかの3次方程式を発見した 。

パンルヴェ方程式の一覧

伝統的にパンルヴェ I ～ VI と呼ばれているこれらの 6 つの方程式は次のとおりです。

• 私（パンルヴェ）：

  ${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=6y^{2}+t}$

• II（パンルヴェ）：

  ${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=2y^{3}+ty+\alpha }$

• III（パンルヴェ）：

  ${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {1}{y}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-{\frac {1}{t}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {1}{t}}(\alpha y^{2}+\beta )+\gamma y^{3}+{\frac {\delta }{y}}}$

• IV（ガンビエ）:

  ${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {1}{2y}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+{\tfrac {3}{2}}y^{3}+4ty^{2}+2(t^{2}-\alpha )y+{\frac {\beta }{y}}}$

• V（ガンビエ）：

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=\left({\frac {1}{2y}}+{\frac {1}{y-1}}\right)\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-{\frac {1}{t}}{\frac {dy}{dt}}\\&\quad +{\frac {(y-1)^{2}}{t^{2}}}\left(\alpha y+{\frac {\beta }{y}}\right)+\gamma {\frac {y}{t}}+\delta {\frac {y(y+1)}{y-1}}\\\end{aligned}}}$

• VI（リチャード・フックス）：

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{y}}+{\frac {1}{y-1}}+{\frac {1}{y-t}}\right)\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-\left({\frac {1}{t}}+{\frac {1}{t-1}}+{\frac {1}{y-t}}\right){\frac {dy}{dt}}\\&\quad +{\frac {y(y-1)(y-t)}{t^{2}(t-1)^{2}}}\left\{\alpha +\beta {\frac {t}{y^{2}}}+\gamma {\frac {t-1}{(y-1)^{2}}}+\delta {\frac {t(t-1)}{(y-t)^{2}}}\right\}\\\end{aligned}}}$

記号、、は複素数値定数を表します。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \delta }$

の場合、必要に応じてと を再スケールすることで、一般性を損なうことなくと を設定できます。およびの場合、一般性を損なうことなくと を設定できます。最後に、およびの場合、一般性を損なうことなくと を設定できます。 ${\textstyle \gamma \delta \neq 0}$ ${\textstyle \mathrm {P} _{\mathrm {III} }}$ ${\textstyle \gamma =1}$ ${\textstyle \delta =-1}$ ${\textstyle w}$ ${\textstyle z}$ ${\textstyle \gamma =0}$ ${\textstyle \alpha \delta \neq 0}$ ${\textstyle \mathrm {P} _{\mathrm {III} }}$ ${\textstyle \alpha =1}$ ${\textstyle \delta =-1}$ ${\textstyle \delta =0}$ ${\textstyle \beta \gamma \neq 0}$ ${\textstyle \beta =-1}$ ${\textstyle \gamma =1}$

の場合、一般性を失うことなく と設定できる。^{[ 3 ]}${\textstyle \delta \neq 0}$ ${\textstyle \mathrm {P} _{\mathrm {V} }}$ ${\textstyle \delta =-{\frac {1}{2}}}$

特異点

これらの方程式の解の特異点は

• ポイントは、${\displaystyle \infty }$
• タイプIII、V、VIのポイント0、および
• タイプVIのポイント1、および
• おそらく可動式のポール

タイプIの場合、特異点は留数0の（可動な）二重極であり、解はすべて複素平面上にそのような極を無限個持つ。 における二重極を持つ関数はローラン級数展開を 持つ。${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle (z-z_{0})^{-2}-{\frac {z_{0}}{10}}(z-z_{0})^{2}-{\frac {1}{6}}(z-z_{0})^{3}+h(z-z_{0})^{4}+{\frac {z_{0}^{2}}{300}}(z-z_{0})^{6}+\cdots }$

（ここでは任意の複素数）の近傍に収束する。極の位置は（Boutroux  1913 , 1914）によって詳細に記述されている。半径 の球面における極の数は、おおよそ定数倍に増加する。 ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{5/2}}$

タイプ II の場合、特異点はすべて (可動の) 単純な極です。

漸近解析

私

漸近放物線を伴う、さまざまな の値に対するおよびのパンルヴェ I 解。${\textstyle y(0)=0}$ ${\textstyle y(0)=0}$ ${\displaystyle k}$

パンルヴェIの解には、定数、および、となる解が存在する。また、摂動に対して不安定ではあるものの 、となる解も存在する。$${\displaystyle y(t)=-{\sqrt {{\tfrac {1}{6}}|t|}}+d|t|^{-1/8}\sin \left(\phi (t)-\theta _{0}\right)+o\left(|t|^{-1/8}\right)}$$ $${\displaystyle \phi (t)=(24)^{1/4}\left({\tfrac {4}{5}}|t|^{5/4}-{\tfrac {5}{8}}d^{2}\ln |t|\right)}$$ ${\textstyle d}$ ${\textstyle \theta _{0}}$ $${\displaystyle y(t)\sim {\sqrt {{\tfrac {1}{6}}|t|}}}$$

初期条件および（実数）が与えられたとき、は実軸上に少なくとも1つの極を持つ。、、には、 、という特性を持つ2つの特別な値があり、 の場合、解は を中心に振動し、 に漸近する。^{[ 4 ]}${\textstyle y(0)=0}$ ${\textstyle y^{\prime }(0)=k}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle y(t)}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle k_{1}}$ ${\textstyle k_{2}}$ ${\textstyle -0.451428<k_{1}<-0.451427}$ ${\textstyle 1.851853<k_{2}<1.851855}$ ${\displaystyle k\in (k_{1},k_{2})}$ ${\displaystyle -{\sqrt {|t|/6}}}$

退化

最初の5つのパンルヴェ方程式は、6番目の方程式の退化である。より正確には、これらの方程式のいくつかは、次の図（Clarkson (2006)、p. 380参照）に従って他の方程式の退化であり、これはガウス超幾何関数の対応する退化も示している（Clarkson (2006)、p. 372参照）。

				IIIベッセル
			${\displaystyle \nearrow }$		${\displaystyle \searrow }$
VIガウス	→	V・クンマー				IIエアリー	→	私はなし
			${\displaystyle \searrow }$		${\displaystyle \nearrow }$
				IVエルミート・ウェーバー

ハミルトン系

パンルヴェ方程式はすべてハミルトン系として表すことができます。

例:

${\displaystyle \displaystyle q=y,\quad p=y^{\prime }+y^{2}+t/2}$

次に、第2のパンルヴェ方程式

${\displaystyle \displaystyle y^{\prime \prime }=2y^{3}+ty+b-1/2}$

ハミルトン系に相当する

${\displaystyle \displaystyle q^{\prime }={\frac {\partial H}{\partial p}}=p-q^{2}-t/2}$

${\displaystyle \displaystyle p^{\prime }=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=2pq+b}$

ハミルトニアンの場合

${\displaystyle \displaystyle H=p(p-2q^{2}-t)/2-bq.}$

対称性

バックルンド変換とは、微分方程式の従属変数と独立変数を変換し、方程式を相似方程式に変換することです。パンルヴェ方程式はすべて、バックルンド変換の離散群を作用させており、これを用いて既知の解から新しい解を生成することができます。

例タイプI

I型パンルヴェ方程式の解の集合

${\displaystyle y^{\prime \prime }=6y^{2}+t}$

には 5 次対称性が作用します。ここでは 1 の 5 乗根です。この変換によって不変となる解は 2 つあり、1 つは 0 に 2 次極を持ち、もう 1 つは 0 に 3 次零点を持ちます。 ${\displaystyle y\to \zeta ^{3}y}$ ${\displaystyle t\to \zeta t}$ ${\displaystyle \zeta }$

例タイプII

II型パンルヴェ方程式のハミルトン形式において

${\displaystyle \displaystyle y^{\prime \prime }=2y^{3}+ty+b-1/2}$

と

${\displaystyle \displaystyle q=y,p=y^{\prime }+y^{2}+t/2}$

2 つの Bäcklund 変換は次のように与えられます。

${\displaystyle \displaystyle (q,p,b)\to (q+b/p,p,-b)}$

そして

${\displaystyle \displaystyle (q,p,b)\to (-q,-p+2q^{2}+t,1-b).}$

これらはどちらも位数2で、 Bäcklund変換の無限二面体群を生成します（これは実際には のアフィン・ワイル群です。下記参照）。の場合、方程式は解 を持ちます。Bäcklund変換を適用すると、 、、 などの解である有理関数の無限族が生成されます。${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle b=1/2}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle y=1/t}$ ${\displaystyle y=2(t^{3}-2)/t(t^{3}-4)}$

岡本は、各パンルヴェ方程式のパラメータ空間が半単純リー代数のカルタン部分代数と同一視できることを発見した。この場合、アフィン・ワイル群の作用は、これらの方程式のベックルンド変換にまで及ぶ。 、、、、のリー代数は、 0、、、、、 である。 ${\displaystyle P_{I}}$ ${\displaystyle P_{II}}$ ${\displaystyle P_{III}}$ ${\displaystyle P_{IV}}$ ${\displaystyle P_{V}}$ ${\displaystyle P_{VI}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{1}\oplus A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{3}}$ ${\displaystyle D_{4}}$

他の地域との関係

パンルヴェ方程式が研究される主な理由の一つは、正則特異点を持つ線型系のモノドロミーが極の軌跡の変化に対して不変であることとの関係です。特に、この関係に基づいて、リヒャルト・フックスによってパンルヴェVIが発見されました。この主題については、等モノドロミー変形に関する記事で解説されています。

パンルヴェ方程式はすべて積分可能な偏微分方程式の縮約である。MJ AblowitzとPA Clarkson（1991）を参照。

パンルヴェ方程式はすべて自己双対ヤン＝ミルズ方程式の縮約である。Ablowitz、Chakravarty、Halburd（2003）を参照。

パンルヴェ超越関数は、トレイシー・ウィドム分布の式におけるランダム行列理論、2次元イジングモデル、非対称単純排他過程、および2次元量子重力に現れます。

パンルヴェ2方程式は量子相転移の動的な過程を記述するために用いられ、励起の正確なスケーリングと積分可能な多状態ランダウ・ツェナー模型との関係を明らかにした。^{[ 5 ] [ 6 ]}この応用に基づいて、パンルヴェ2方程式の積分可能な一般化が見出された。^{[ 7 ]}

パンルヴェVI方程式は、2次元共形場理論に現れます。これは、との両方における共形ブロックの組み合わせによって従われます。ここで、はヴィラソロ代数の中心電荷です。 ${\displaystyle c=1}$ ${\displaystyle c=\infty }$ ${\displaystyle c}$

注記

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6. VG Sadhasivam; F. Suzuki; B. Yan; NA Sinitsyn (2024). 「超低温反応における量子相転移のパラメトリックチューニング」. Nature Communications : 10246. arXiv : 2403.09291 . doi : 10.1038/s41467-024-54489-3 .
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外部リンク

• クラークソン、PAパンルヴェ 超越関数、NISTデジタル数学関数ライブラリの第 32 章
• ジョシ、ナリニパンルヴェって何ですか？
• 高崎兼久パンルヴェ方程式
• ワイスタイン、エリック W. 「パンルヴェの超越関数」。MathWorld 。
• ワイスタイン、エリック W. 「ペインリーブ特性」。MathWorld 。