偏微分

数学において、多変数関数の偏微分とは、関数の変数のうち1つについて、他の変数を一定に保った状態で微分したものです（全微分ではすべての変数が変化することが許されます）。偏微分はベクトル解析や微分幾何学で用いられます。

関数の変数に関する偏微分は、次のように表される。 ${\displaystyle f(x,y,\dots )}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle f_{x}}$ 、、、、、、 または。${\displaystyle f'_{x}}$ ${\displaystyle \partial_{x}f}$ ${\displaystyle \D_{x}f}$ ${\displaystyle D_{1}f}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}f}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$

これは、 - 方向の関数の変化率と考えることができます。 ${\displaystyle x}$

場合によっては、 について、の偏微分はと表記されます。偏微分は一般に元の関数と同じ引数を持つため、その関数従属関係は次のように という表記で明示的に示されることがあります。 ${\displaystyle z=f(x,y,\ldots )}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial z}{\partial x}}.}$

$${\displaystyle f'_{x}(x,y,\ldots ),{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y,\ldots ).}$$

偏微分を表す記号は∂である。数学におけるこの記号の最も古い使用例の一つは、1770年のコンドルセ侯爵によるもので^{[ 1 ]} 、偏微分を表すために使用された。現代の偏微分表記法はアドリアン＝マリー・ルジャンドル（1786年）によって考案されたが、後に彼はこれを放棄した。カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビは1841年にこの記号を再導入した^{[ 2 ]。}

意味

通常の微分と同様に、偏微分は極限として定義されます。Uをの開部分集合で関数とします。点fのi番目の変数x _iに関する偏微分は次のように定義されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{n})\in U}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial}{\partial x_{i}}}f(\mathbf {a} )&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1}\,\ldots ,a_{n})\ -f(a_{1},\ldots ,a_{i},\dots ,a_{n})}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {a} +h\mathbf {e} _{i})-f(\mathbf {a} )}{h}}\,.\end{aligned}}}$$

ここで、 はi番目の変数x _iの単位ベクトルです。与えられた点aにおいてすべての偏微分が存在するとしても、関数はそこで連続である必要はありません。しかし、すべての偏微分がaの近傍に存在し、そこで連続である場合、f はその近傍において全微分可能であり、全微分は連続です。この場合、fはC ¹関数と呼ばれます。これは、成分ごとの引数を注意深く用いることで 、ベクトル値関数 に一般化することができます。${\displaystyle \mathbf {e_{i}} }$ ${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}(a)}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}$

偏微分はU上で定義された別の関数とみなすことができ、再び偏微分することができます。微分の方向が繰り返されない場合、それは混合偏微分と呼ばれます。すべての混合2階偏微分が点（または集合）において連続である場合、fはその点（または集合）におけるC ²関数と呼ばれます。この場合、偏微分はクレローの定理によって交換できます。 ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}.}$$

表記

次の例では、f をx、y、zの関数とします。

1階偏微分:

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f'_{x}=\partial _{x}f.}$$

2階偏微分:

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f''_{xx}=\partial _{xx}f=\partial _{x}^{2}f.}$$

2階混合微分：

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)=(f'_{x})'_{y}=f''_{xy}=\partial _{yx}f=\partial _{y}\partial _{x}f.}$$

高階偏微分と混合微分：

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{i+j+k}f}{\partial x^{i}\partial y^{j}\partial z^{k}}}=f^{(i,j,k)}=\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}\partial _{z}^{k}f.}$$

多変数関数を扱う場合、これらの変数の一部は互いに関連している場合があり、曖昧さを避けるために、どの変数を一定に保っているかを明示的に指定する必要がある場合があります。統計力学などの分野では、 yとzを一定とした場合のfのxに関する偏微分は、しばしば次のように表されます 。

$${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z}.}$$

慣例的に、表記の明瞭性と簡略化のため、偏微分関数と特定の点における関数の値は、偏微分記号（ライプニッツ表記）を用いる際に関数の引数を含めることで統合される。したがって、次のような式は

$${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}}$$

関数には使用されますが、

$${\displaystyle {\frac {\partial f(u,v,w)}{\partial u}}}$$

は、点 における関数の値を表すのに用いられる。しかし、この慣習は、 のような点における偏微分を評価したい場合には当てはまらない。そのような場合、関数の評価は、次のように扱いにくい形で表現されなければならない。 ${\displaystyle (x,y,z)=(u,v,w)}$ ${\displaystyle (x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}$

$${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}(17,u+v,v^{2})}$$

または

$${\displaystyle \left.{\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}\right|_{(x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}}$$

ライプニッツ記法を用いるためには、 を用いる必要がある。したがって、このような場合には、i番目の変数に関する偏微分記号としてオイラー微分演算子記法を用いることが好ましいかもしれない。例えば、上記の例では と書き、 は最初の変数に関する偏微分関数を表す。 ^{[ 3 ]}${\displaystyle D_{i}}$ ${\displaystyle D_{1}f(17,u+v,v^{2})}$ ${\displaystyle D_{1}f}$

高階偏微分の場合、j番目の変数に関するの偏微分（関数）は と表記されます。つまり、 となり、変数は微分をとる順序で並べられ、したがって、演算子の合成を通常表記する方法とは逆の順序になります。もちろん、クレローの定理によれば、 fに関する比較的緩やかな正則性条件が満たされる 限り、となります。${\displaystyle D_{i}f}$ ${\displaystyle D_{j}(D_{i}f)=D_{i,j}f}$ ${\displaystyle D_{j}\circ D_{i}=D_{i,j}}$ ${\displaystyle D_{i,j}=D_{j,i}}$

勾配

多変数関数の重要な例として、ユークリッド空間上の定義域（例えば、または）上のスカラー値関数が挙げられます。この場合、f は各変数x _jについて偏微分を持ちます。点aにおいて、これらの偏微分はベクトル ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \partial f/\partial x_{j}}$

$${\displaystyle \nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right).}$$

このベクトルは、aにおけるfの勾配と呼ばれます。f がある領域内の任意の点で微分可能である場合、勾配はベクトル値関数∇ fであり、点aをベクトル∇ f ( a )に写します。したがって、勾配はベクトル場を生成します。

よくある表記法の誤用は、単位ベクトルを持つ3次元ユークリッド空間でデル演算子（∇ ）を次のように定義することです。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}}$

$${\displaystyle \nabla =\left[{\frac {\partial }{\partial x}}\right]{\hat {\mathbf {i} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial y}}\right]{\hat {\mathbf {j} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial z}}\right]{\hat {\mathbf {k} }}}$$

あるいは、より一般的には、座標と単位ベクトルを持つn次元ユークリッド空間の場合：${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1},\ldots ,{\hat {\mathbf {e} }}_{n}}$

$${\displaystyle \nabla =\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\left[{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+\left[{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+\dots +\left[{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{n}}$$

方向微分

の等高線図。黒で勾配ベクトル、オレンジで方向微分でスケーリングされた単位ベクトルを示しています。勾配ベクトルが長いのは、勾配が関数の最大増加率の方向を向いているためです。${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

スカラー関数の ベクトル方向 の方向微分は、極限^{[ 4 ]}によって定義される関数 である。$${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})}$$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}}$ $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h||\mathbf {v} ||}}=\left.{\frac {1}{||\mathbf {v} ||}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )\right|_{t=0}.}$$

この定義は、例えばベクトルのノルム（つまり単位ベクトル）が定義される場合など、幅広い文脈で有効です。 ^{[ 5 ]}

例

fが複数の変数の関数である と仮定する。例えば、

$${\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.}$$

z = x ² + xy + y ²のグラフ。yを一定とする(1, 1)における偏微分の場合、対応する接線はxz平面に平行になる。

上のグラフのy = 1におけるxz平面上の関数の断面。2つの軸は異なるスケールで示されています。接線の傾きは3です。

この関数のグラフはユークリッド空間における面を定義します。この面上のすべての点には、無数の接線が存在します。偏微分とは、これらの線のうち1本を選び、その傾きを求めることです。通常、最も注目される線は、 xz平面に平行な線とyz平面に平行な線です（それぞれyまたはxを一定に保った場合に得られます）。

P (1, 1)における関数の接線でxz平面に平行な傾きを求めるには、 y を定数として扱います。グラフとこの平面は右側に示されています。下図は、平面y = 1における関数の見え方を示しています。yを定数と仮定して方程式の導関数を求めると、点( x , y )におけるfの傾きは次のようになります。

$${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.}$$

したがって、 (1, 1)では、代入により傾きは3となる。したがって、

$${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=3}$$

点(1, 1)におけるzのxに関する偏微分はグラフに示すように 3である。

関数fは、他の変数によってインデックス付けされた 1 つの変数の関数の族として再解釈できます。

$${\displaystyle f(x,y)=f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.}$$

言い換えれば、yのあらゆる値はf _yと表記される関数を定義し、これは1つの変数xの関数である。^{[ 6 ]}つまり、

$${\displaystyle f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.}$$

このセクションでは、下付き文字の表記f _yは偏微分ではなく、 yの固定値に依存する関数を表します。

yの値をaとすると、f ( x , y )はxz平面上で曲線x ² + ax + a ²を描く関数f _aを決定します。

$${\displaystyle f_{a}(x)=x^{2}+ax+a^{2}.}$$

この式では、aは変数ではなく定数であるため、f _aはxという実変数1つのみの関数となります。したがって、1変数関数の微分の定義が適用されます。

$${\displaystyle f_{a}'(x)=2x+a.}$$

上記の手順は、任意のaに対して実行できます。導関数を関数にまとめると、x方向におけるfの変化を記述する関数が得られます。

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=2x+y.}$$

これはfのxに関する偏微分です。ここで「∂」は丸い「d」で、偏微分記号と呼ばれます。文字「d」と区別するために、「∂」は「partial」と発音されることがあります。

高階偏微分

2階以上の偏微分は、一変数関数の高階微分と同様に定義される。関数xに関する「自身の」2階偏微分は、単に偏微分（どちらもxに関する）の偏微分である：^{[ 7 ] : 316–318} ${\displaystyle f(x,y,...)}$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial x}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial x}}\equiv f_{xx}.}$$

xとyに関する交差偏微分は、fのxに関する偏微分をとり、その結果のyに関する偏微分をとって、次のように 得られる。

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial y}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial y}}\equiv f_{xy}.}$$

シュワルツの定理は、2階微分が連続であれば、どの変数について1階微分をとり、どの変数について2階微分をとるかによって、交差偏微分の式は影響を受けないことを述べています。つまり、

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}}$$

または同等${\displaystyle f_{yx}=f_{xy}.}$

自己偏微分と交差偏微分は、最適化問題における2階条件で使用されるヘッセ行列に現れる。高階偏微分は、逐次微分によって得られる。

反微分類似体

偏微分には、通常の微分における反微分に類似した概念があります。偏微分が与えられれば、元の関数を部分的に復元することが可能になります。

次の例を考えてみましょう

$${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.}$$

いわゆる偏積分は、xに関して行うことができます（偏微分と同様に、 y を定数として扱います）。

$${\displaystyle z=\int {\frac {\partial z}{\partial x}}\,dx=x^{2}+xy+g(y).}$$

ここで、積分定数はもはや定数ではなく、元の関数のxを除くすべての変数の関数になります。これは、偏微分をとる際に他のすべての変数が定数として扱われるため、偏微分をとるとx を含まない関数は消えてしまうためです。そのため、不定積分をとる際にはこの点を考慮する必要があります。これを表す最も一般的な方法は、定数を他のすべての変数の未知の関数として表すことです。

したがって、関数の集合（gは任意の 1 引数関数）は、変数x、yにおけるx偏導関数を生成する可能性のある関数の集合全体を表します。${\displaystyle x^{2}+xy+g(y)}$ ${\displaystyle 2x+y}$

関数のすべての偏微分が既知である場合（例えば、勾配）、上記のプロセスによって不定積分を対応させ、定数分を除いて元の関数を再構成することができます。しかし、一変数の場合とは異なり、すべての関数の集合が単一の関数のすべての（一次）偏微分の集合になるわけではありません。言い換えれば、すべてのベクトル場が保存的であるわけではありません。

アプリケーション

幾何学

円錐の体積は高さと半径に依存する

円錐の体積Vは、 円錐の高さhと半径rに依存し、次の式で表されます。

$${\displaystyle V(r,h)={\frac {\pi r^{2}h}{3}}.}$$

Vのrに関する偏微分は

$${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2\pi rh}{3}},}$$

これは、高さを一定に保ちながら半径を変化させた場合の円錐の体積変化率を表します。hに関する偏微分は に等しく、これは、半径を一定に保ちながら高さを変化させた場合の体積変化率を表します。 ${\textstyle {\frac {1}{3}}\pi r^{2}}$

対照的に、Vのrとhに関する全微分はそれぞれ

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dV}{dr}}&=\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}+\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}{\frac {dh}{dr}}\,,\\{\frac {dV}{dh}}&=\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}+\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}{\frac {dr}{dh}}\,.\end{aligned}}}$$

全微分と偏微分の違いは、偏微分では変数間の間接的な依存関係が排除される点です。

もし（何らかの理由で）円錐の比率が同じままで、高さと半径が固定比kである場合、

$${\displaystyle k={\frac {h}{r}}={\frac {dh}{dr}}.}$$

これはrに関する全微分を与える。

$${\displaystyle {\frac {dV}{dr}}={\frac {2\pi rh}{3}}+{\frac {\pi r^{2}}{3}}k\,,}$$

これは次のように単純化される

$${\displaystyle {\frac {dV}{dr}}=k\pi r^{2},}$$

同様に、 hに関する全微分は

$${\displaystyle {\frac {dV}{dh}}=\pi r^{2}.}$$

これら2つの変数のスカラー関数として意図された体積のrとhの両方 に関する全微分は、勾配ベクトル によって与えられる。

$${\displaystyle \nabla V=\left({\frac {\partial V}{\partial r}},{\frac {\partial V}{\partial h}}\right)=\left({\frac {2}{3}}\pi rh,{\frac {1}{3}}\pi r^{2}\right).}$$

最適化

偏微分は、複数の選択変数を持つ微積分ベースの最適化問題に必ず登場します。例えば、経済学において、企業は2種類の異なる出力の値xとyの選択に関して、利益π( x , y )を最大化したいと考えるかもしれません。この最適化の第一階条件はπ _x = 0 = π _yです。偏微分π _xとπ _yはどちらも、一般にxとyの両方の関数となるため、これら2つの第一階条件は、 2つの未知数を持つ2つの方程式からなる連立方程式を形成します。

熱力学、量子力学、数理物理学

偏微分は、ギブス・デュエム方程式のような熱力学方程式、シュレーディンガー波動方程式のような量子力学方程式、そして数理物理学の他の方程式に現れます。ここで偏微分において一定に保たれる変数は、三元混合系のギブスエネルギーに関する以下の例における モル分率x _iのような単純な変数の比です。

$${\displaystyle {\bar {G_{2}}}=G+(1-x_{2})\left({\frac {\partial G}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}}$$

ある成分のモル分率を、他の成分のモル分率と二成分モル比の関数として 表します。

${\textstyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {1-x_{2}}{1+{\frac {x_{3}}{x_{1}}}}}\\x_{3}&={\frac {1-x_{2}}{1+{\frac {x_{1}}{x_{3}}}}}\end{aligned}}}$

微分商は、上記のような定数比で形成されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}&=-{\frac {x_{1}}{1-x_{2}}}\\\left({\frac {\partial x_{3}}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}&=-{\frac {x_{3}}{1-x_{2}}}\end{aligned}}}$$

モル分率の比 X、Y、Z は、三成分系および多成分系では次のように表すことができます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}X&={\frac {x_{3}}{x_{1}+x_{3}}}\\Y&={\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}\\Z&={\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\end{aligned}}}$$

これは次のような偏微分方程式を解くのに使用できます。

$${\displaystyle \left({\frac {\partial \mu _{2}}{\partial n_{1}}}\right)_{n_{2},n_{3}}=\left({\frac {\partial \mu _{1}}{\partial n_{2}}}\right)_{n_{1},n_{3}}}$$

この等式は、片側にモル分率の微分商を持つように変形することができます。

画像のサイズ変更

偏微分は、ターゲット認識型画像リサイズアルゴリズムの鍵となります。シームカービングとして広く知られるこれらのアルゴリズムでは、画像内の各ピクセルに、直交する隣接ピクセルとの相違を表す数値的な「エネルギー」を割り当てます。そして、アルゴリズムはエネルギーが最も低い行または列を段階的に削除します。ピクセルのエネルギー（ピクセルにおける勾配の大きさ）を決定するために確立された式は、偏微分の構造に大きく依存しています。

経済

経済学では偏微分が重要な役割を果たしており、経済行動を記述する関数のほとんどは、その行動が複数の変数に依存すると仮定しています。例えば、社会的な消費関数は、消費財への支出額が所得と富の両方に依存すると記述することがあります。この場合、限界消費性向は消費関数の所得に関する偏微分となります。

参照

• ダランベール演算子
• チェーンルール
• カール（数学）
• 発散
• 外微分
• 反復積分
• ヤコビ行列と行列式
• ラプラス演算子
• 多変数微積分
• 2次導関数の対称性
• 三重積則、循環連鎖則とも呼ばれます。

注記

1. カジョリ、フロリアン（1952年）、数学表記法の歴史、第2巻（第3版）、オープンコート出版会社、596
2. ミラー、ジェフ（nd）「微積分記号の初期の使用」。ジョン・J・オコナー、エドマンド・F・ロバートソン（編）著。MacTutor数学史アーカイブ。セントアンドリュース大学。 2023年6月15日閲覧。
3. スピヴァック, M. (1965).多様体上の微積分. ニューヨーク: WA ベンジャミン. p. 44. ISBN 9780805390216。
4. R. Wrede; MR Spiegel (2010).上級微積分学（第3版）. Schaum's Outline Series. ISBN 978-0-07-162366-7。
5. 適用範囲は、計量を持たない空間上の関数や、一般相対論のような微分可能多様体にも及ぶ。
6. これは積空間と関数空間の構成間の随伴性として表現することもできます。
7. Chiang, Alpha C. (1984). 『数理経済学の基礎的手法』（第3版）. McGraw-Hill.

外部リンク

• 「偏微分」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• MathWorldの偏微分