ポール・コーエン
ポール・J・コーエン
ポール・J・コーエン
生まれる(1934-04-02)1934年4月2日
ロングブランチ、ニュージャージー州、米国
死亡2007年3月23日(2007-03-23)（72歳）
スタンフォード、カリフォルニア州、米国
母校シカゴ大学（修士、博士）
知られているコーエン強制連続体仮説
受賞歴ボッチャー賞（1964年）フィールズ賞（1966年）アメリカ国家科学賞（1967年）
科学者としてのキャリア
フィールド数学
機関スタンフォード大学
論文三角級数の一意性理論に関するトピックス （1958年）
博士課程の指導教員アントニ・ジグムント
博士課程の学生ピーター・サーナック

ポール・ジョセフ・コーエン（1934年4月2日 - 2007年3月23日）はアメリカの数学者であり、連続体仮説と選択公理がツェルメロ・フランケル集合論から独立していることを証明したことで最もよく知られており、その功績によりフィールズ賞を受賞した。[ 1 ] [ 2 ]

幼少期と教育

コーエンは1934年にニュージャージー州ロングブランチで、現在のポーランドからアメリカに移住したユダヤ人の家庭に生まれ、ブルックリンで育った。[ 3 ] [ 4 ]彼は1950年、16歳でニューヨーク市のスタイヴェサント高校を卒業した。 [ 1 ] [ 4 ]

コーエンは1950年から1953年までブルックリン・カレッジで学んだが、シカゴ大学でわずか2年間の大学生活で大学院課程を開始できることを知り、学士号を取得せずに退学した。シカゴ大学では、アントニ・ジグムントの指導の下、1954年に数学の修士号、1958年に哲学博士号を取得した。博士論文のタイトルは「三角級数の一意性理論に関する諸問題」であった。[ 5 ] [ 6 ]

1957年、博士号取得前のコーエンは、ロチェスター大学の数学講師に1年間就任した。その後、1958年から1959年にかけてマサチューセッツ工科大学に在籍し、1959年から1961年にかけてプリンストン高等研究所の研究員を務めた。この時期にコーエンは数々の重要な数学的ブレークスルーを達成した。 1959年の「群代数の因数分解」では、局所コンパクト群上の任意の可積分関数は2つのそのような関数の畳み込みであることを示し、ウォルター・ルーディンが提起した問題を解いた。1960年の「群代数の因数分解」では、リトルウッド予想の解決において重要なブレークスルーを達成した。[ 7 ]

コーエンはアメリカ芸術科学アカデミー[ 8 ]、米国科学アカデミー[ 9 ]、アメリカ哲学協会[ 10 ]の会員であった。1995年6月2日、コーエンはスウェーデンのウプサラ大学理工学部から名誉博士号を授与された。[ 11 ]

キャリア

コーエンは強制法と呼ばれる数学的手法を開発したことで知られ、これを用いて連続体仮説(CH) も選択公理も集合論の標準的なツェルメロ・フランケル公理​​ (ZF)からは証明できないことを証明した。ゲーデルの以前の研究と併せて、これはこれらの命題がZF公理とは論理的に独立であることを示した。つまり、これらの命題はこれらの公理から証明することも反証することもできないということである。この意味で、連続体仮説は決定不可能であり、集合論の標準的なZF公理から独立した自然な命題の最も広く知られた例である。

連続体仮説に関する成果により、コーエンは1966年に数学分野でフィールズ賞を受賞し、1967年にはアメリカ国家科学賞も受賞した。 [ 12 ]コーエンが受賞したフィールズ賞は、2022年現在も数理論理学の研究で授与される唯一のフィールズ賞である。

集合論における業績に加え、コーエンは解析学にも多くの貴重な貢献を残した。 1964年には論文「リトルウッドの予想と冪等測度について」[ 13 ]により解析学におけるボッチャー記念賞を受賞し、コーエン＝ヒューイット因数分解定理にもその名を冠している。

コーエンはスタンフォード大学の数学教授であった。 1962年にはストックホルム、1966年にはモスクワで開催された 国際数学者会議（ICM）に招待講演者として招かれた。

ロンドン大学クイーン・メアリー校のアンガス・マッキンタイアは、コーエンについて次のように述べています。「彼は驚くほど賢く、60年代に私が知っていたポールに『最も難しい問題』を突きつけるには、世間知らずか、並外れた利他主義でなければならなかったでしょう。」彼はさらにコーエンをクルト・ゲーデルと比較し、「この分野の歴史において、彼らの仕事ほど劇的なことは何も起こっていない」と述べています。[ 14 ]ゲーデル自身も1963年にコーエンに手紙を書いており、その草稿には次のように記されています。「繰り返しますが、連続体仮説の独立性に関するあなたの証明を読むのは本当に楽しいです。あらゆる本質的な点において、あなたは可能な限り最高の証明を与えたと思います。そして、これはめったにありません。あなたの証明を読むことは、本当に素晴らしい演劇を見るのと同じくらい楽しい影響を与えました。」[ 15 ]

連続体仮説

連続体仮説を研究していた1985年、コーエンは「集合論のモデルを構築する新しい方法がないため、人々はこの問題は絶望的だと考えているように感じていた。実際、この問題について考えるには少し頭がおかしいと思われていた」と述べたと伝えられている。[ 16 ]

著者 [コーエン] が最終的には受け入れられるようになるだろうと感じている観点は、CH が明らかに誤りであるというものです。無限公理を受け入れる主な理由は、一度に 1 つのセットを追加するプロセスだけで宇宙全体を網羅できると考えるのは不合理だと感じることでしょう。高次の無限公理についても同様です。ここで は可算順序数のセットの基数であり、これは単に高次の基数を生成する特別で最も簡単な方法です。これに対して、セット [連続体] はまったく新しいより強力な原理、つまりべき集合公理によって生成されます。置き換え公理から派生したアイデアからその基数を構築しようとするような、より大きな基数の記述が に到達できると期待するのは不合理です。ℵ1{\displaystyle \aleph _{1}}C{\displaystyle C}C{\displaystyle C}

したがって、 はより大きく、 などとなります。この見方は、一つの大胆な新しい公理によって与えられた、信じられないほど豊かな集合であり、いかなる断片的な構築プロセスでは決して近づくことができないものと考えています。おそらく後の世代は、この問題をより明確に理解し、より雄弁に表現するでしょう。C{\displaystyle C}ℵn,ℵω,ℵa{\displaystyle \aleph _{n},\aleph _{\omega },\aleph _{a}}a=ℵω{\displaystyle a=\aleph _{\omega }}C{\displaystyle C}

— コーエン（2008）

コーエンの連続体仮説に関する研究の「永続的で強力な成果」であり、「数え切れないほどの数学者」 [ 16 ]によって使用されてきたものは「強制」として知られており、与えられた仮説が真か偽かをテストするための数学モデルを構築するために使用されています。

コーエンは死の直前、2006年にウィーンで行われたゲーデル生誕100年記念会議で連続体仮説の問題に対する彼の解決策を説明する講演を行った。[ 17 ]

死

コーエンと妻クリスティーナ（旧姓カールス）には3人の息子がいた。コーエンは2007年3月23日、カリフォルニア州スタンフォードで肺疾患のため亡くなった。[ 18 ]

選定された出版物

参照

参考文献

  1. ^ a b Levy, Dawn (2007年3月28日). 「世界最高峰の数学賞受賞者ポール・コーエン氏が72歳で死去」スタンフォード・レポート. 2007年10月31日閲覧。
  2. ^ピアース、ジェレミー（2007年4月2日）「数学の先駆者ポール・J・コーエン氏が72歳で死去」ニューヨーク・タイムズ。
  3. ^ Macintyre, AJ「ポール・ジョセフ・コーエン」Wayback Machineに2010年12月25日アーカイブ、ロンドン数学協会。2011年3月3日アクセス。「コーエンの出自は貧しいものでした。彼は1934年4月2日、ニュージャージー州ロングブランチのポーランド移民家庭に生まれました。」
  4. ^ a bアルバース、ドナルド・J.;アレクサンダーソン、ジェラルド・L.;リード、コンスタンス、編 (1990)、「ポール・コーエン」、More Mathematical People、ハーコート・ブレース・ジョバノビッチ、pp.  42– 58。
  5. ^コーエン1958年。
  6. ^ 「三角級数の一意性理論に関するトピック」ProQuest。2024年11月2日閲覧。
  7. ^オコナー、ジョン・J.;ロバートソン、エドマンド・F.、「ポール・ジョセフ・コーエン」、マクチューター数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学
  8. ^ 「ポール・ジョセフ・コーエン」アメリカ芸術科学アカデミー. 2022年8月22日閲覧。
  9. ^ 「Paul J. Cohen」 . www.nasonline.org . 2022年8月22日閲覧。
  10. ^ 「APS会員履歴」 . search.amphilsoc.org . 2022年8月22日閲覧。
  11. ^ 「名誉博士号 - ウプサラ大学、スウェーデン」www.uu.se . 2018年3月21日閲覧。
  12. ^ 「大統領国家科学賞：受賞者詳細 - NSF - 国立科学財団」 www.nsf.gov . 2018年3月21日閲覧。
  13. ^コーエン1960年。
  14. ^ Davidson, Keay (2007年3月30日). 「ポール・コーエン -- スタンフォード大学教授、著名な数学者」サンフランシスコ・クロニクル. 2007年10月17日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2007年10月31日閲覧。
  15. ^ Solomon Feferman、「ゲーデル編集プロジェクト：概要」 [1] p. 11。
  16. ^ a b Pearce, Jeremy (2007年4月2日). 「数学の先駆者ポール・J・コーエン、72歳で死去」 . The New York Times . 2007年10月31日閲覧。
  17. ^ポール・コーエンの講演ビデオ、6部構成、ゲーデル生誕100周年記念、ウィーン2006年、 YouTubeにて
  18. ^ Pearce, Jeremy (2007年4月2日). 「数学の先駆者ポール・J・コーエン氏が72歳で死去」 . The New York Times . ISSN 0362-4331 . 2020年6月13日閲覧。 

さらに読む

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