ポアンカレ地図

強制ダフィング方程式の2次元ポアンカレ断面

数学、特に力学系において、第一回帰写像またはポアンカレ写像（ほうかいしゃしゃぞう、英: first recurrence map ）は、連続力学系の状態空間における周期軌道と、系の流れを横切るポアンカレ断面と呼ばれる特定の低次元部分空間との交点である。より正確には、空間のあるセクション内に初期条件を持つ周期軌道を考え、その後そのセクションを離れ、この軌道が最初にそのセクションに戻る点を観測する。次に、最初の点を 2 番目の点に送る写像を作成するため、第一回帰写像と呼ばれる。ポアンカレ断面の横方向とは、部分空間から始まる周期軌道がその部分空間を通過し、それに平行にならないことを意味する。

ポアンカレ写像は、元の連続力学系よりも1次元小さい状態空間を持つ離散力学系として解釈できます。元の系の周期軌道および準周期軌道の多くの性質を維持し、状態空間の次元も低次元であるため、元の系をより簡略化して解析するためによく用いられます。しかし、実際には、ポアンカレ写像を構築する一般的な方法がないため、必ずしもこれが可能であるとは限りません。

ポアンカレ図は、点をプロットするタイミングを時間ではなく空間で決定する点で、回帰図とは異なります。例えば、地球が近日点にあるときの月の軌跡は回帰図です。一方、地球の軌道に垂直で、太陽と近日点にある地球を通過するときの月の軌跡はポアンカレ図です。ミシェル・エノンは、この図を銀河系内の星の運動を研究するために使用しました。星の軌道を平面に投影すると、絡み合ったように見えるのに対し、ポアンカレ図ではその構造がより明確に示されるためです。

意味

ポアンカレ断面Sにおいて、ポアンカレ写像Pは点xを点P ( x )に投影します。

( R , M , φ ) を大域力学系とし、R を実数、Mを位相空間、φを発展関数とする。 γ を点p を通る周期軌道とし、Sをpを通るφの局所微分可能横断断面（pを通るポアンカレ断面と呼ばれる）とする。

pの開連結近傍 が与えられたとき、関数${\displaystyle U\subset S}$

${\displaystyle P:U\to S}$

は、 点pを通るポアンカレ断面S上の軌道γのポアンカレ写像と呼ばれる。

• P ( p ) = p
• P ( U ) はpの近傍であり、P : U → P ( U ) は微分同相写像である。
• U内の任意の点xについて、xの正の半軌道はP ( x )で初めてSと交差する。

例

極座標における次の微分方程式系を考えます。 ${\displaystyle (\theta,r)\in \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R} ^{+}}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\theta }}=1\\{\dot {r}}=(1-r^{2})r\end{cases}}}$

システムの流れは、方程式を積分することで得られます。コンポーネントの場合は単純に 次の式が得られますが、コンポーネントの場合は変数を分離して積分する必要があります。 ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}+t}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{(1-r^{2})r}}dr=\int dt\Longrightarrow \log \left({\frac {r}{\sqrt {1-r^{2}}}}\right)=t+c}$

最後の式を反転すると

${\displaystyle r(t)={\sqrt {\frac {e^{2(t+c)}}{1+e^{2(t+c)}}}}}$

そして以来

${\displaystyle r(0)={\sqrt {\frac {e^{2c}}{1+e^{2c}}}}}$

私たちは見つける

${\displaystyle r(t)={\sqrt {\frac {e^{2t}r_{0}^{2}}{1+r_{0}^{2}(e^{2t}-1)}}}={\sqrt {\frac {1}{1+e^{-2t}\left({\frac {1}{r_{0}^{2}}}-1\right)}}}}$

システムの流れは

${\displaystyle \Phi_{t}(\theta,r)=\left(\theta_{0}+t,{\sqrt{\frac{1}{1+e^{-2t}\left({\frac{1}{r_{0}^{2}}}-1\right)}}}\right)}$

フローの動作は次のとおりです。

• 角度は単調かつ一定の割合で増加します。${\displaystyle \theta}$
• 半径はあらゆる値に対して平衡に近づきます。${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\bar {r}}=1}$

したがって、初期データを使用したソリューションは、半径 1 の円に向かう螺旋を描きます。 ${\displaystyle (\theta _{0},r_{0}\neq 1)}$

この流れのポアンカレ断面として、正の水平軸、すなわち をとることができます。 明らかに、断面上の座標として を使用することができます。 におけるすべての点は、ある時間後に 断面に戻ります（これは角度の変化を見れば理解できます）。 を、時点で計算された断面に制限することをポアンカレ写像とすることができます。したがって、ポアンカレ写像は次のようになります。${\displaystyle \Sigma =\{(\theta ,r)\ :\ \theta =0\}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle t=2\pi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \Phi _{2\pi }|_{\Sigma }}$ ${\displaystyle \Psi (r)={\sqrt {\frac {1}{1+e^{-4\pi }\left({\frac {1}{r^{2}}}-1\right)}}}}$

離散力学系の軌道の挙動は次のようになります。 ${\displaystyle (\Sigma ,\mathbb {Z} ,\Psi )}$

• 点は固定されているので、すべての に対して。${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle \Psi ^{n}(1)=1}$ ${\displaystyle n}$
• 他のすべての点は、単調に平衡に近づきます。${\displaystyle \Psi ^{n}(z)\to 1}$ ${\displaystyle n\to \pm \infty }$

ポアンカレ写像と安定性解析

ポアンカレ写像は離散力学系として解釈できる。元の系の周期軌道の安定性は、対応するポアンカレ写像の不動点の安定性と密接に関係している。

( R , M , φ )をpを通る周期軌道 γ を持つ微分可能な力学系とする。

${\displaystyle P:U\to S}$

pを通る対応するポアンカレ写像を次のように定義する。

${\displaystyle P^{0}:=\operatorname {id} _{U}}$

${\displaystyle P^{n+1}:=P\circ P^{n}}$

${\displaystyle P^{-n-1}:=P^{-1}\circ P^{-n}}$

そして

${\displaystyle P(n,x):=P^{n}(x)}$

すると、( Z , U , P )は状態空間Uと進化関数 を持つ離散力学系となる。

${\displaystyle P:\mathbb {Z} \times U\to U.}$

定義により、このシステムにはpの固定点があります。

連続力学系の周期軌道 γ が安定するのは、離散力学系の 固定点pが安定している場合に限ります。

連続力学系の周期軌道 γ が漸近的に安定するのは、離散力学系の 固定点p が漸近的に安定している場合に限ります。

参照

• ポアンカレ回帰
• エノン地図
• 再帰プロット
• ミロネンコ反射関数
• 不変測度

参考文献

• テシュル、ジェラルド.常微分方程式と動的システム.プロビデンス：アメリカ数学会.

外部リンク

• シヴァクマール・ジョラド「 ポアンカレ写像と「回転する磁石」問題への応用」（2005年）