点群
香港地域の旗に描かれたバウヒニア・ブレイクアナの花はC 5対称性を持ち、各花びらの星は D 5対称性を持ちます。 陰陽のシンボルは、反転した色を持つ C 2対称の幾何学的形状を持っています。

幾何学において、点群とは、共通の固定点を持つ対称操作（ユークリッド空間における等長変換）の数学的群である。ユークリッド空間の座標原点は慣例的に固定点とされ、d次元のすべての点群は直交群O( d )の部分群となる。点群は、幾何学的図形や分子などの物理的物体の対称性を記述するために使用される。

各点群は、点x を点yにy = Mxに従って変換する直交行列Mの集合として表すことができます。点群の各要素は、回転（Mの行列式= 1）、または鏡映回転または不完全な回転（Mの行列式= −1）のいずれかです。

結晶の幾何学的対称性は空間群によって記述され、空間群は並進移動を許容し、点群を部分群として含みます。多次元以上の離散点群は無限の族を持ちますが、結晶学的制限定理とビーベルバッハの定理の一つにより、各次元数には、その次元数の格子またはグリッド上で対称な点群が有限個しか存在しません。これらが結晶学的点群です。

カイラル点群とアキラル点群、反射群

点群は、カイラル群（あるいは純粋に回転的な群）とアキラル群に分類できる。[ 1 ] カイラル群は特殊直交群SO( d )の部分群であり、方向保存直交変換、すなわち行列式+1の変換のみを含む。アキラル群は行列式-1の変換も含む。アキラル群では、方向保存変換は指数2の（カイラル）部分群を形成する。

有限コクセター群または反射群は、同一の点を通過する反射鏡の集合によってのみ生成される点群です。ランクnのコクセター群はn個の鏡を持ち、コクセター・ディンキン図によって表されます。コクセター記法は、コクセター図と等価な括弧付き記法で、回転点群やその他の部分対称点群を表すマークアップ記号を備えています。反射群は必ずアキラルです（恒等元のみを含む自明な群を除く）。

点群のリスト

1次元

1 次元の点群は恒等群と反射群の 2 つだけです。

グループ コクセターコクセター図注文 説明
C 1[ ] +1身元
D1​[ ]2反省グループ

2次元

2 次元の点群。ロゼット群と呼ばれることもあります。

それらは 2 つの無限のファミリーに分かれています:

  1. n倍回転群の巡回群C n
  2. n回転群と反射群の二面体群D n

結晶学的制限定理を適用すると、両方のファミリーに対してn の値が 1、2、3、4、6 に 制限され、10 個のグループが生成されます。

グループ 国際オービフォールドコクセター注文 説明
C nnn •[ n ] +n巡回：n回転。抽象群 Z n 、 nを法とする加法のもとでの整数の群
D nn m * n •[名詞] 2 n二面体：反射を伴う巡回群。抽象群 Dih n、二面体群
有限同型性と対応

1つまたは2つの鏡像によって定義される純粋鏡映点群の部分集合は、それらのコクセター群および関連する多角形によっても与えられます。これらには5つの結晶群が含まれます。鏡像群の対称性は同型写像によって2倍にすることができ、これは2つの鏡像を二分鏡によって互いに写像し、対称性位数を2倍にします。

反射的な 回転 関連ポリゴン
グループ コクセターグループコクセター図注文 サブグループ コクセター 注文
D1​A 1[ ]2C 1[] +1 ディゴン
D2​A 1 2[2]4C 2[2] +2 矩形
D3​A 2[3]6C 3[3] +3 正三角形
D4​紀元前2年[4]8C4​[4] +4 四角
D5​H2​[5]10C5​[5] +5 正五角形
D6​G2​[6]12C6​[6] +6 正六角形
D n私2 ( n )[名詞]2 nC n[ n ] +n正多角形
D 2 ×2A 1 2 ×2[[2]] = [4]＝8
D 3 ×2A 2 × 2[[3]] = [6]＝12
D 4 ×2紀元前2 ×2[[4]] = [8]＝16
D 5 ×2H 2 ×2[[5]] = [10]＝20
D 6 ×2G 2 ×2[[6]] = [12]＝24
D n ×2私2 ( n )×2[[ n ]] = [2 n ]＝4 n

三次元

3 次元の点群。分子の対称性を研究する際に広く使用されるため、分子点群と呼ばれることもあります。

それらは7つの無限の軸群（プリズマティック群とも呼ばれる）と7つの追加の多面体群（プラトン群とも呼ばれる）に分類される。シェーンフライ記法では、

  • 軸群: C n、 S 2 n、 C n h、 C n v、 D n、 D n d、 D n h
  • 多面体群: T、T d、T h、O、O h、I、I h

これらの群に結晶学的制限定理を適用すると、 32 個の結晶学的点群が生成されます。

反射群の偶数/奇数色基本領域
C 1v注文2 C 2vオーダー4 C 3v注文6 C 4v注文番号 8 C 5vオーダー10 C 6v注文12 ...
D 1時間注文4 D 2時間注文8 D 3時間注文12 D 4時間注文16 D 5時間注文20 D 6h注文番号 24 ...
T dオーダー 24 ああ、命令48 私は注文120
国際*ジオ[ 2 ]オービフォールドシェーンフライコクセター注文
1 11 C 1[ ] +1
122×1 C i = S 2[2 + ,2 + ] 2
2 = メートル 1 *1 C s = C 1v = C 1h[ ] 2
2 3 4 5 6ん2 3 4 5 6ん22 33 44 55 66 nnC 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C n[2] + [3] + [4] + [5] + [6] + [n] +2 3 4 5 6ん
mm2 3m 4mm 5m 6mm n mm n m 2 3 4 5 6ん*22 *33 *44 *55 *66 * nnC 2v C 3v C 4v C 5v C 6v C n v[2] [3] [4] [5] [6] [ n ] 4 6 8 10 12 2 n
2/m 6 4/m 10 6/m n /m 2 n2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 n 2 2* 3* 4* 5* 6* n * C 2時間C 3時間C 4時間C 5時間C 6時間C n時間[2,2 + ] [2,3 + ] [2,4 + ] [2,5 + ] [2,6 + ] [2,n + ] 4 6 8 10 12 2 n
4 3 8 5 12 2 n n4 2 6 2 8 2 10 2 12 2 2 n 22× 3× 4× 5× 6× n × S 4 S 6 S 8 S 10 S 12 S 2 n[2 + ,4 + ] [2 + ,6 + ] [2 + ,8 + ] [2 + ,10 + ] [2 + ,12 + ] [2 + ,2 n + ] 4 6 8 10 12 2 n
国際地理 オービフォールドシェーンフライコクセター注文
222 32 422 52 622 n 22 n 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 n 2222 223 224 225 226 22 nD 2 D 3 D 4 D 5 D 6 D n[2,2] + [2,3] + [2,4] + [2,5] + [2,6] + [2, n ] +4 6 8 10 12 2 n
mmm 6 m2 4/mmm 10 m2 6/mmm n /mmm 2 n m2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 n 2 *222 *223 *224 *225 *226 *22 nD 2h D 3h D 4h D 5h D 6h D nh​[2,2] [2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2, n ] 8 12 16 20 24 4 n
4 2m 3m 8 2m 5m 12 2m 2n 2m nm​​​​ 4 2 6 2 8 2 10 2 12 2 n 22*2 2*3 2*4 2*5 2*6 2* nD 2d D 3d D 4d D 5d D 6d D n d[2 + ,4] [2 + ,6] [2 + ,8] [2 + ,10] [2 + ,12] [2 + ,2 n ] 8 12 16 20 24 4 n
23 3 3332 T [3,3] +12
メートル34 33*2 T h[3 + ,4] 24
4 3m 3 3 *332 T d[3,3] 24
432 4 3432 お [3,4] +24
メートル3メートル 4 3 *432 おお​[3,4] 48
532 5 3532 私 [3,5] +60
5 3メートル 5 3 *532 私は[3,5] 120
(*) Intl エントリが重複している場合、最初のエントリは偶数n用、2 番目のエントリは奇数n用になります。

反射グループ

有限同型性と対応

1～3個の鏡面によって定義される反射点群は、コクセター群および関連する多面体によっても表すことができます。[3,3]群は2倍にして[[3,3]]と書き、最初の鏡面と最後の鏡面を互いに写像し、対称性を2倍にして48とし、[4,3]群と同型にします。

シェーンフライコクセターグループコクセター図注文 関連する正多面体と柱状多面体
T dA3​[3,3] 24四面体
T d ×Dih 1 = O hA 3 × 2 = BC 3[[3,3]] = [4,3] ＝48星型八面体
おお​紀元前3年[4,3]48立方体、八面体
私はH3​[5,3]120二十面体、十二面体
D 3時間A 2 × A 1[3,2] 12三角柱
D 3h × Dih 1 = D 6hA 2 ×A 1 ×2[[3],2] ＝24六角柱
D 4時間紀元前2年×紀元前1年[4,2] 16四角柱
D 4h × Dih 1 = D 8hBC 2 ×A 1 ×2[[4],2] = [8,2] ＝32八角柱
D 5時間H 2 ×A 1[5,2]20五角柱
D 6時間G 2 ×A 1[6,2]24六角柱
D n h私2 ( n )×A 1[ n ,2] 4 nn角柱プリズム
D n h ×Dih 1 = D 2 n h私2 ( n )×A 1 ×2[[ n ],2] ＝8 n
D 2時間A 1 3[2,2] 8 直方体
D 2h ×Dih 1A 1 3 ×2[[2],2] = [4,2] ＝16
D 2h × Dih 3 = O hA 1 3 ×6[3[2,2]] = [4,3] ＝48
C 3vA 2[1,3]6 細面体
C 4v紀元前2年[1,4]8
C 5VH2​[1,5]10
C 6VG2​[1,6]12
C nv私2 ( n )[1, n ] 2 n
C n v ×Dih 1 = C 2 n v私2 ( n )×2[1,[ n ]] = [ 1,2n ] ＝4 n
C 2 vA 1 2[1,2] 4
C 2v ×Dih 1A 1 2 ×2[1,[2]] ＝8
Cs​A 1[1,1]2

4次元

4次元点群（キラルとアキラル）は、ConwayとSmith [ 1 ]の第4節、表4.1～4.3に列挙されている。

有限同型性と対応

次のリストは、4 次元の反射群を示しています (部分空間を固定したままにして低次元の反射群となるものは除きます)。各群はCoxeter 群として指定され、 3D の多面体群と同様に、関連する凸正 4 次元多面体で名前を付けることができます。それぞれに対して、半分の位数を持つ関連する純粋回転群が存在し、指数に '+' を使用した括弧Coxeter 表記で表すことができます。たとえば、[3,3,3] +には 3 回の旋回点が 3 つあり、対称位数は 60 です。[3,3,3] や [3,4,3] などの前後対称群は 2 倍にすることができ、Coxeter 表記では二重括弧で示されます。たとえば、位数が 2 倍の [[3,3,3]] は 240 になります。

コクセター群/表記法コクセター図注文 関連する多面体
A4​[3,3,3]1205セル
4 × 2[[3,3,3]]2405セルデュアルコンパウンド
紀元前4年[4,3,3]38416セル/テッセラクト
D4​[3 1,1,1 ]192 デミテセラティック
D 4 × 2 = BC 4<[3,3 1,1 ]> = [4,3,3]＝384
D 4 × 6 = F 4[3[3 1,1,1 ]] = [3,4,3]＝1152
F4​[3,4,3]115224セル
F 4 ×2[[3,4,3]]230424セルデュアルコンパウンド
H4​[5,3,3]14400120セル/ 600セル
A 3 × A 1[3,3,2]48四面体プリズム
A 3 ×A 1 ×2[[3,3],2] = [4,3,2]＝96 八面体プリズム
紀元前3年×紀元後1年[4,3,2]96
H 3 ×A 1[5,3,2]240二十面体プリズム
A 2 ×A 2[3,2,3]36 デュオプリズム
A 2 ×BC 2[3,2,4]48
A 2 × H 2[3,2,5]60
A 2 × G 2[3,2,6]72
紀元前2年×紀元前2年[4,2,4]64
紀元前22年× 2[[4,2,4]]128
BC 2 × H 2[4,2,5]80
BC 2 ×G 2[4,2,6]96
H 2 ×H 2[5,2,5]100
高さ2 × 幅2[5,2,6]120
G 2 ×G 2[6,2,6]144
I 2 ( p )×I 2 ( q )[ p ,2, q ]4ポイント
I 2 (2 p )×I 2 ( q )[[ p ],2, q ] = [2 p ,2, q ]＝8ポイント
I 2 (2 p )×I 2 (2 q )[[ p ]],2,[[ q ]] = [2 p ,2,2 q ]＝16ポイント
私2 ( p ) 2 ×2[[ p ,2, p ]]8ページ2
私2 (2 p ) 2 ×2[[[ p ]],2,[ p ]]] = [[2 p ,2,2 p ]]＝32ページ2
A 2 ×A 1 ×A 1[3,2,2]24
BC 2 ×A 1 ×A 1[4,2,2]32
H 2 ×A 1 ×A 1[5,2,2]40
G 2 ×A 1 ×A 1[6,2,2]48
私2 ( p )×A 1 ×A 1[ p ,2,2]8ページ
I 2 (2 p )×A 1 ×A 1 ×2[[ p ],2,2] = [2 p ,2,2]＝16ページ
私2 ( p )×A 1 2 ×2[ p ,2,[2]] = [ p ,2,4]＝16ページ
I 2 (2 p )×A 1 2 ×4[[ p ]],2,[[2]] = [2 p ,2,4]＝32ページ
A 1 ×A 1 ×A 1 ×A 1[2,2,2]16 4-オルソトープ
A 1 2 ×A 1 ×A 1 ×2[[2],2,2] = [4,2,2]＝32
A 1 2 ×A 1 2 ×4[[2]],2,[[2]] = [4,2,4]＝64
A 1 3 ×A 1 ×6[3[2,2],2] = [4,3,2]＝96
A 1 4 ×24[3,3[2,2,2]] = [4,3,3]＝384

5次元

有限同型性と対応

以下の表は、5次元反射群（低次元反射群を除く）をコクセター群として列挙したものである。それぞれに半次元の位数を持つ関連するカイラル群が存在し、指数に「+」を付けた括弧コクセター記法で表すことができる。例えば、[3,3,3,3] +は4つの3回回転点を持ち、対称位数は360である。

コクセター群/表記法コクセター図注文 関連する正多面体と柱状多面体
A5​[3,3,3,3]7205単体
A5 × 2[[3,3,3,3]]14405単体二重化合物
紀元前5年[4,3,3,3]38405キューブ、5オルソプレックス
D5​[3 2,1,1 ]19205デミキューブ
D 5 ×2<[3,3,3 1,1 ]>＝3840
A 4 × A 1[3,3,3,2]2405セルプリズム
A 4 ×A 1 ×2[[3,3,3],2]480
紀元前4年×紀元前1年[4,3,3,2]768テッセラクトプリズム
F 4 ×A 1[3,4,3,2]2304 24セルプリズム
F 4 ×A 1 ×2[[3,4,3],2]4608
H 4 × A 1[5,3,3,2]28800600セルまたは120セルプリズム
D 4 ×A 1[3 1,1,1,2 ]384半円柱プリズム
A 3 × A 2[3,3,2,3]144 デュオプリズム
A 3 ×A 2 ×2[[3,3],2,3]288
A 3 ×BC 2[3,3,2,4]192
A 3 × H 2[3,3,2,5]240
A 3 × G 2[3,3,2,6]288
A 3 ×I 2 ( p )[3,3,2,p]48ページ
紀元前3年×紀元後2年[4,3,2,3]288
紀元前3年×紀元前2年[4,3,2,4]384
BC 3 × H 2[4,3,2,5]480
BC 3 ×G 2[4,3,2,6]576
BC 3 ×I 2 ( p )[4,3,2,p]96ページ
H 3 ×A 2[5,3,2,3]720
H 3 ×BC 2[5,3,2,4]960
高さ3 × 高さ2[5,3,2,5]1200
高さ3 × 幅2[5,3,2,6]1440
H 3 ×I 2 ( p )[5,3,2, p ]240ページ
A 3 ×A 1 2[3,3,2,2]96
紀元前3年×紀元前1年2月[4,3,2,2]192
H 3 ×A 1 2[5,3,2,2]480
A 2 2 ×A 1[3,2,3,2]72 デュオプリズムプリズム
A 2 ×BC 2 ×A 1[3,2,4,2]96
A 2 ×H 2 ×A 1[3,2,5,2]120
A 2 ×G 2 ×A 1[3,2,6,2]144
紀元前22年×紀元前1年[4,2,4,2]128
BC 2 ×H 2 ×A 1[4,2,5,2]160
BC 2 ×G 2 ×A 1[4,2,6,2]192
H 2 2 ×A 1[5,2,5,2]200
H 2 × G 2 × A 1[5,2,6,2]240
G 2 2 ×A 1[6,2,6,2]288
私2 ( p )×私2 ( q )×A 1[ p ,2, q ,2]8ポイント
A 2 ×A 1 3[3,2,2,2]48
紀元前2年×紀元前1年3月[4,2,2,2]64
H 2 ×A 1 3[5,2,2,2]80
G 2 ×A 1 3[6,2,2,2]96
私2 ( p )×A 1 3[ p ,2,2,2]16ページ
A 1 5[2,2,2,2]32 5-オルソトープ
A 1 5 ×(2 ! )[[2],2,2,2]＝64
A 1 5 ×(2!×2 ! )[[2]],2,[2],2]＝128
A 1 5 ×(3 ! )[3[2,2],2,2]＝192
A 1 5 ×(3!×2 ! )[3[2,2],2,[[2]]＝384
A 1 5 ×(4 ! )[3,3[2,2,2],2]]＝768
A 1 5 ×(5 ! )[3,3,3[2,2,2,2]]＝3840

6次元

有限同型性と対応

以下の表は、6次元反射群（低次元反射群を除く）をコクセター群として列挙したものである。それぞれに、その半分の位数を持つ関連する純粋回転群が存在し、指数に「+」を付けた括弧コクセター記法で表すことができる。例えば、[3,3,3,3,3] +は5つの3回回転点を持ち、対称位数は2520である。

コクセターグループコクセター図注文 関連する正多面体と柱状多面体
A6​[3,3,3,3,3]5040（7！）6単体
A6 × 2[[3,3,3,3,3]]10080（2×7！）6単体二重化合物
紀元前6年[4,3,3,3,3]46080（2 6 × 6！）6キューブ、6オルソプレックス
D6​[3,3,3,3 1,1 ]23040（2 5 ×6！）6デミキューブ
E 6[3,3 2,2 ]51840 (72×6!)1 22、2 21​​
A 5 × A 1[3,3,3,3,2]1440（2×6！）5単体プリズム
紀元前5年×紀元後1年[4,3,3,3,2]7680（2 6 × 5！）5キューブプリズム
D 5 ×A 1[3,3,3 1,1,2 ]3840（2 5 × 5！）5デミキューブプリズム
A 4 ×I 2 ( p )[3,3,3,2, p ]240ページデュオプリズム
紀元前4年× I2（p）[4,3,3,2, p ]768ページ
F 4 ×I 2 ( p )[3,4,3,2, p ]2304ページ
H 4 ×I 2 ( p )[5,3,3,2, p ]28800ページ
D 4 ×I 2 ( p )[3,3 1,1 ,2, p ]384ページ
A 4 ×A 1 2[3,3,3,2,2]480
紀元前4年×紀元前12年[4,3,3,2,2]1536
F 4 ×A 1 2[3,4,3,2,2]4608
H 4 ×A 1 2[5,3,3,2,2]57600
D 4 ×A 1 2[3,3 1,1 ,2,2]768
A 3 2[3,3,2,3,3]576
A 3 ×BC 3[3,3,2,4,3]1152
A 3 × H 3[3,3,2,5,3]2880
紀元前32年[4,3,2,4,3]2304
BC 3 × H 3[4,3,2,5,3]5760
H 3 2[5,3,2,5,3]14400
A 3 ×I 2 ( p )×A 1[3,3,2, p ,2]96ページデュオプリズムプリズム
BC 3 ×I 2 ( p )×A 1[4,3,2, p ,2]192ページ
H 3 ×I 2 ( p )×A 1[5,3,2, p ,2]480ページ
A 3 ×A 1 3[3、3、2、2、2]192
紀元前3年×紀元前13年[4,3,2,2,2]384
H 3 ×A 1 3[5,3,2,2,2]960
I 2 ( p )×I 2 ( q )×I 2 ( r )[ p ,2, q ,2, r ]8ポイント三角柱
私2 ( p )×私2 ( q )×A 1 2[ p ,2, q ,2,2]16ポイント
私2 ( p )×A 1 4[ p ,2,2,2,2]32ページ
A 1 6[2、2、2、2、2]646-オルソトープ

7次元

以下の表は、7次元反射群（低次元反射群を除く）をコクセター群として列挙したものである。各反射群には、偶数回の反射で定義される位数の半分の位数を持つ関連するカイラル群が存在し、指数に「+」を付けた括弧コクセター記法で表すことができる。例えば、[3,3,3,3,3,3] +は6つの3回旋点を持ち、対称位数は20160である。

コクセターグループコクセター図注文 関連する多面体
A7​[3、3、3、3、3、3]40320 (8!)7単体
A7 × 2[[3,3,3,3,3,3]]80640 (2×8!)7単体二重化合物
紀元前7年[4、3、3、3、3、3]645120 (2 7 × 7!)7キューブ、7オルソプレックス
D7​[3,3,3,3,3 1,1 ]322560 (2 6 × 7!)7デミキューブ
E 7[3,3,3,3 2,1 ]2903040 (8×9!)3 21、2 31、1 32​​​​
A 6 × A 1[3,3,3,3,3,2]10080（2×7！）
紀元前6年×紀元前1年[4,3,3,3,3,2]92160 (2 7 × 6!)
D 6 ×A 1[3,3,3,3 1,1,2 ]46080（2 6 × 6！）
E 6 ×A 1[3,3,3 2,1,2 ]103680 (144×6!)
A 5 ×I 2 ( p )[3,3,3,3,2, p ]1440ページ
紀元前5年× I 2 ( p )[4,3,3,3,2, p ]7680ページ
D 5 ×I 2 ( p )[3,3,3 1,1 ,2, p ]3840ページ
A 5 ×A 1 2[3、3、3、3、2、2]2880
紀元前5年×紀元前12年[4,3,3,3,2,2]15360
D 5 ×A 1 2[3,3,3 1,1,2,2 ]7680
A4 × A3​[3,3,3,2,3,3]2880
A 4 × BC 3[3,3,3,2,4,3]5760
A 4 × H 3[3,3,3,2,5,3]14400
紀元前4年×紀元前3年[4,3,3,2,3,3]9216
紀元前4年×紀元前3年[4,3,3,2,4,3]18432
紀元前4 ×高さ3[4,3,3,2,5,3]46080
H 4 × A 3[5,3,3,2,3,3]345600
H 4 ×BC 3[5,3,3,2,4,3]691200
高さ4 ×高さ3[5,3,3,2,5,3]1728000
F 4 ×A 3[3,4,3,2,3,3]27648
F 4 × BC 3[3,4,3,2,4,3]55296
F 4 × H 3[3,4,3,2,5,3]138240
D 4 ×A 3[3 1,1,1 ,2,3,3]4608
D 4 × BC 3[3,3 1,1 ,2,4,3]9216
奥行き4 ×高さ3[3,3 1,1 ,2,5,3]23040
A 4 ×I 2 ( p )×A 1[3,3,3,2, p ,2]480ページ
BC 4 ×I 2 ( p )×A 1[4,3,3,2, p ,2]1536ページ
D 4 ×I 2 ( p )×A 1[3,3 1,1 ,2, p ,2]768ページ
F 4 ×I 2 ( p )×A 1[3,4,3,2, p ,2]4608ページ
H 4 ×I 2 ( p )×A 1[5,3,3,2, p ,2]57600ページ
A 4 ×A 1 3[3、3、3、2、2、2]960
紀元前4年×紀元前13年[4、3、3、2、2、2]3072
F 4 ×A 1 3[3,4,3,2,2,2]9216
H 4 ×A 1 3[5,3,3,2,2,2]115200
D 4 ×A 1 3[3,3 1,1 ,2,2,2]1536
A 3 2 ×A 1[3、3、2、3、3、2]1152
A 3 ×BC 3 ×A 1[3,3,2,4,3,2]2304
A 3 ×H 3 ×A 1[3,3,2,5,3,2]5760
紀元前32年×紀元前1年[4、3、2、4、3、2]4608
BC 3 ×H 3 ×A 1[4,3,2,5,3,2]11520
H 3 2 ×A 1[5,3,2,5,3,2]28800
A 3 ×I 2 ( p )×I 2 ( q )[3,3,2, p ,2, q ]96ポイント
BC 3 ×I 2 ( p )×I 2 ( q )[4,3,2, p ,2, q ]192ポイント
H 3 ×I 2 ( p )×I 2 ( q )[5,3,2, p ,2, q ]480ポイント
A 3 ×I 2 ( p )×A 1 2[3,3,2, p ,2,2]192ページ
BC 3 ×I 2 ( p )×A 1 2[4,3,2, p ,2,2]384ページ
H 3 ×I 2 ( p )×A 1 2[5,3,2, p ,2,2]960ページ
A 3 ×A 1 4[3、3、2、2、2、2]384
紀元前3年×紀元前14年[4,3,2,2,2,2]768
H 3 ×A 1 4[5,3,2,2,2,2]1920
Ｉ２（ｐ）×Ｉ２（ｑ）×Ｉ２（ｒ）×Ａ１[ p ,2, q ,2, r ,2]16ポイント
私2 ( p )×私2 ( q )×A 1 3[ p ,2, q ,2,2,2]32ポイント
私2 ( p )×A 1 5[ p ,2,2,2,2,2]64ページ
A 1 7[2、2、2、2、2、2]128

8次元

以下の表は、8次元反射群（低次元反射群を除く）をコクセター群として列挙したものである。各反射群には、偶数回の反射で定義される位数の半分の位数を持つ関連するカイラル群が存在し、指数に「+」を付けた括弧コクセター記法で表すことができる。例えば、[3,3,3,3,3,3,3] +は7つの3回旋点を持ち、対称位数は181440である。

コクセターグループコクセター図注文 関連する多面体
A8​[3、3、3、3、3、3、3]362880 (9!)8単体
A8 × 2[[3,3,3,3,3,3,3,3]]725760 (2×9!)8単体二重化合物
紀元前8年[4、3、3、3、3、3、3]10321920 (2 8 8!)8キューブ、8オルソプレックス
D8​[3,3,3,3,3,3 1,1 ]5160960 (2 7 8!)8デミキューブ
E8​[3,3,3,3,3 2,1 ]696729600 (192×10!)4 21、2 41、1 42​​​​
A 7 × A 1[3,3,3,3,3,3,2]806407単体プリズム
紀元前7年×紀元後1年[4,3,3,3,3,3,3,2]6451207キューブプリズム
D 7 ×A 1[3,3,3,3,3 1,1,2 ]3225607デミキューブプリズム
E 7 ×A 1[3,3,3,3 2,1,2 ]58060803 21プリズム、2 31プリズム、1 42プリズム
A 6 ×I 2 ( p )[3,3,3,3,3,2, p ]10080ページデュオプリズム
紀元前6年× I2（p）[4,3,3,3,3,2, p ]92160ページ
D 6 ×I 2 ( p )[3,3,3,3 1,1,2 , p ]46080ページ
E 6 ×I 2 ( p )[3,3,3 2,1 ,2, p ]103680ページ
A 6 ×A 1 2[3、3、3、3、3、2、2]20160
紀元前6年×紀元前12年[4、3、3、3、3、2、2]184320
D 6 ×A 1 2[3 3,1,1,2,2 ]92160
E 6 ×A 1 2[3,3,3 2,1 ,2,2]207360
A 5 × A 3[3、3、3、3、2、3、3]17280
紀元前5年×紀元後3年[4、3、3、3、2、3、3]92160
D 5 ×A 3[3 2,1,1 ,2,3,3]46080
A 5 ×BC 3[3,3,3,3,2,4,3]34560
紀元前5年×紀元前3年[4、3、3、3、2、4、3]184320
D 5 × BC 3[3 2,1,1 ,2,4,3]92160
A 5 × H 3[3,3,3,3,2,5,3]
紀元前5 ×高さ3[4,3,3,3,2,5,3]
奥行き5 ×高さ3[3 2,1,1 ,2,5,3]
A 5 ×I 2 ( p )×A 1[3,3,3,3,2, p ,2]
BC 5 ×I 2 ( p )×A 1[4,3,3,3,2, p ,2]
D 5 ×I 2 ( p )×A 1[3 2,1,1 ,2, p ,2]
A 5 ×A 1 3[3、3、3、3、2、2、2]
紀元前5年×紀元前13年[4、3、3、3、2、2、2]
D 5 ×A 1 3[3 2,1,1 ,2,2,2]
A4 × A4​[3、3、3、2、3、3、3]
紀元前4年×紀元前4年[4、3、3、2、3、3、3]
D 4 ×A 4[3 1,1,1 ,2,3,3,3]
F 4 ×A 4[3,4,3,2,3,3,3]
H 4 × A 4[5,3,3,2,3,3,3]
紀元前4年×紀元前4年[4、3、3、2、4、3、3]
D 4 × BC 4[3 1,1,1 ,2,4,3,3]
F 4 × BC 4[3、4、3、2、4、3、3]
H 4 × BC 4[5,3,3,2,4,3,3]
D 4 × D 4[3 1,1,1 ,2,3 1,1,1 ]
F 4 × D 4[3,4,3,2,3 1,1,1 ]
高さ4 ×奥行き4[5,3,3,2,3 1,1,1 ]
F 4 × F 4[3、4、3、2、3、4、3]
H 4 × F 4[5,3,3,2,3,4,3]
高さ4 ×高さ4[5,3,3,2,5,3,3]
A 4 × A 3 × A 1[3、3、3、2、3、3、2]デュオプリズムプリズム
A 4 × BC 3 × A 1[3,3,3,2,4,3,2]
A 4 × H 3 × A 1[3,3,3,2,5,3,2]
BC 4 ×A 3 ×A 1[4、3、3、2、3、3、2]
紀元前4年×紀元前3年×紀元後1年[4、3、3、2、4、3、2]
紀元前4 ×高さ3 ×奥行き1[4,3,3,2,5,3,2]
H 4 ×A 3 ×A 1[5、3、3、2、3、3、2]
H 4 ×BC 3 ×A 1[5,3,3,2,4,3,2]
高さ4 ×高さ3 ×幅1[5、3、3、2、5、3、2]
F 4 ×A 3 ×A 1[3,4,3,2,3,3,2]
F 4 × BC 3 × A 1[3、4、3、2、4、3、2]
F 4 × H 3 × A 1[3,4,2,3,5,3,2]
D 4 ×A 3 ×A 1[3 1,1,1 ,2,3,3,2]
D 4 × BC 3 × A 1[3 1,1,1 ,2,4,3,2]
奥行4 × 高さ3 × 奥行1[3 1,1,1 ,2,5,3,2]
A 4 ×I 2 ( p )×I 2 ( q )[3,3,3,2, p ,2, q ]三角柱
BC 4 ×I 2 ( p )×I 2 ( q )[4,3,3,2, p ,2,q]
F 4 ×I 2 ( p )×I 2 ( q )[3,4,3,2, p ,2,q]
H 4 ×I 2 ( p )×I 2 ( q )[5,3,3,2, p ,2,q]
D 4 ×I 2 ( p )×I 2 ( q )[3 1,1,1 ,2, p ,2, q ]
A 4 ×I 2 ( p )×A 1 2[3,3,3,2, p ,2,2]
BC 4 ×I 2 ( p )×A 1 2[4,3,3,2, p ,2,2]
F 4 ×I 2 ( p )×A 1 2[3,4,3,2, p ,2,2]
H 4 ×I 2 ( p )×A 1 2[5,3,3,2, p ,2,2]
D 4 ×I 2 ( p )×A 1 2[3 1,1,1 ,2, p ,2,2]
A 4 ×A 1 4[3、3、3、2、2、2、2]
紀元前4年×紀元前14年[4、3、3、2、2、2、2]
F 4 ×A 1 4[3,4,3,2,2,2,2]
H 4 ×A 1 4[5、3、3、2、2、2、2]
D 4 ×A 1 4[3 1,1,1 ,2,2,2,2]
A 3 ×A 3 ×I 2 ( p )[3,3,2,3,3,2, p ]
BC 3 ×A 3 ×I 2 ( p )[4,3,2,3,3,2, p ]
H 3 ×A 3 ×I 2 ( p )[5,3,2,3,3,2, p ]
BC 3 ×BC 3 ×I 2 ( p )[4,3,2,4,3,2, p ]
H 3 ×BC 3 ×I 2 ( p )[5,3,2,4,3,2, p ]
H 3 ×H 3 ×I 2 ( p )[5,3,2,5,3,2, p ]
A 3 ×A 3 ×A 1 2[3、3、2、3、3、2、2]
BC 3 ×A 3 ×A 1 2[4、3、2、3、3、2、2]
H 3 ×A 3 ×A 1 2[5、3、2、3、3、2、2]
紀元前3年×紀元前3年×紀元前1年2年[4、3、2、4、3、2、2]
H 3 ×BC 3 ×A 1 2[5,3,2,4,3,2,2]
H 3 ×H 3 ×A 1 2[5、3、2、5、3、2、2]
A 3 ×I 2 ( p )×I 2 ( q )×A 1[3,3,2, p ,2, q ,2]
BC 3 ×I 2 ( p )×I 2 ( q )×A 1[4,3,2, p ,2, q ,2]
H 3 ×I 2 ( p )×I 2 ( q )×A 1[5,3,2, p ,2, q ,2]
A 3 ×I 2 ( p )×A 1 3[3,3,2, p ,2,2,2]
BC 3 ×I 2 ( p )×A 1 3[4,3,2, p ,2,2,2]
H 3 ×I 2 ( p )×A 1 3[5,3,2, p ,2,2,2]
A 3 ×A 1 5[3、3、2、2、2、2、2]
紀元前3年×紀元後15年[4、3、2、2、2、2、2]
H 3 ×A 1 5[5,3,2,2,2,2,2]
I 2 ( p )×I 2 ( q )×I 2 ( r )×I 2 ( s )[ p ,2, q ,2, r ,2, s ]16ポイント
Ｉ２（ｐ）×Ｉ２（ｑ）×Ｉ２（ｒ）×Ａ１２[ p ,2, q ,2, r ,2,2]32ペンス
私2 ( p )×私2 ( q )×A 1 4[ p ,2, q ,2,2,2,2]64ポイント
私2 ( p )×A 1 6[ p ,2,2,2,2,2,2,2]128ページ
A 1 8[2、2、2、2、2、2、2]256

参照

参考文献

  1. ^ a bコンウェイ、ジョン・H. ; スミス、デレク・A. (2003).四元数と八元数について：その幾何学、算術、対称性. AKピーターズ. ISBN 978-1-56881-134-5。
  2. ^幾何代数における結晶学的空間群、 D. HestenesとJ. Holt、Journal of Mathematical Physics. 48, 023514 (2007) (22ページ)

さらに読む

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