ポイントセット登録

ポイントセットの登録とは、2つのポイントセットを位置合わせするプロセスです。ここでは、青い魚が赤い魚に登録されています。

コンピュータ ビジョン、パターン認識、およびロボット工学において、ポイント セット レジストレーション(ポイント クラウド レジストレーションまたはスキャン マッチングとも呼ばれる) は、2 つのポイント クラウドを位置合わせする空間変換(例:スケーリング、回転、変換)を見つけるプロセスです。このような変換を見つける目的には、複数のデータ セットを全体的に一貫性のあるモデル (または座標フレーム) にマージすることと、新しい測定値を既知のデータ セットにマッピングして特徴を識別したり姿勢を推定したりすることが含まれます。生の 3D ポイント クラウド データは、通常、LiDARおよびRGB-D カメラから取得されます。3D ポイント クラウドは、三角測量、バンドル調整、さらに最近ではディープラーニングを使用した単眼画像深度推定などのコンピュータ ビジョン アルゴリズムから生成することもできます。画像処理および特徴ベースの画像レジストレーションで使用される 2D ポイント セット レジストレーションの場合、ポイント セットは、コーナー検出など、画像からの特徴抽出によって取得された 2D ピクセル座標である場合があります。点群登録は、自動運転、^{[ 1 ]}動き推定と3D再構成、^{[ 2 ]}物体検出と姿勢推定、^{[ 3 ] [ 4 ]}ロボット操作、^{[ 5 ]}同時位置推定とマッピング（SLAM）、^{[ 6 ] [ 7 ]}パノラマスティッチング、^{[ 8 ]}仮想現実と拡張現実、^{[ 9 ]}医療画像など、幅広い分野で応用されています。^{[ 10 ]}

特殊なケースとして、3D 回転のみが異なる 2 つの点集合の登録 (つまり、スケーリングと変換がない) は、ワバ問題と呼ばれ、直交プロクラステス問題にも関連しています。

処方

同じ環境の 2 つの 3D スキャンからのデータは、ポイント セット登録を使用して位置合わせする必要があります。

上記のデータは、反復最近点のバリエーションを使用して正常に登録されました。

この問題は次のようにまとめられる。^{[ 11 ]}有限次元実ベクトル空間における2つの有限サイズの点集合 とし、それぞれ との点を含むもの とする（例えば、とが3D点集合である場合の典型的なケースを は回復する）。問題は、移動する「モデル」点集合に適用される変換を、と静的な「シーン」集合との差（典型的には点ごとのユークリッド距離の意味で定義される）が最小となるように求めることである。言い換えれば、変換された「モデル」集合と「シーン」集合の間の最良の位置合わせをもたらす から へのマッピングが求められる。このマッピングは、剛体変換または非剛体変換で構成することができる。変換モデルは と表すことができ、これを用いて変換された位置合わせされたモデル点集合は次のようになる。 ${\displaystyle \lbrace {\mathcal {M}},{\mathcal {S}}\rbrace }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle d=3}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T({\mathcal {M}})}$

1

したがって、点集合レジストレーションアルゴリズムの出力は、距離関数 の定義概念に従って、が に最もよく一致するような最適な変換 です。 ${\displaystyle T^{\star }}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \operatorname {dist} (\cdot ,\cdot )}$

${\displaystyle T^{\star }=\arg \min _{T\in {\mathcal {T}}}{\text{dist}}(T({\mathcal {M}}),{\mathcal {S}})}$

2

ここで、は最適化が探索しようとするすべての可能な変換の集合を表すために使用されます。距離関数の最も一般的な選択は、すべての点のペアについて ユークリッド距離の2乗を取ることです。${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle \operatorname {dist} (T({\mathcal {M}}),{\mathcal {S}})=\sum _{m\in T({\mathcal {M}})}\Vert m-s_{m}\Vert _{2}^{2},\quad s_{m}=\arg \min _{s\in {\mathcal {S}}}\Vert s-m\Vert _{2}^{2}}$

3

ここで、 はベクトル2-ノルムを表し、は変換後に集合内の与えられた点への最短距離を達成する集合内の対応する点である。このような関数を剛体レジストレーションにおいて最小化することは、最小二乗問題を解くことと等価である。 ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ ${\displaystyle s_{m}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

アルゴリズムの種類

対応関係（すなわち、 ）が最適化の前に、例えば特徴マッチング技術を用いて与えられている場合、最適化では変換を推定するだけで済みます。このタイプのレジストレーションは、対応関係に基づくレジストレーションと呼ばれます。一方、対応関係が未知である場合、最適化では対応関係と変換を同時に見つけ出す必要があります。このタイプのレジストレーションは、姿勢と対応関係の同時レジストレーションと呼ばれます。 ${\displaystyle s_{m}\leftrightarrow m}$

厳格な登録

2つの点集合が与えられた場合、剛体レジストレーションは、一方の点集合を他方の点集合に写像する剛体変換を生成します。剛体変換とは、任意の2点間の距離を変更しない変換と定義されます。通常、このような変換は並進と回転で構成されます。^{[ 12 ]}まれに、点集合が鏡像化されることもあります。ロボット工学とコンピュータービジョンにおいて、剛体レジストレーションは最も多くの応用例があります。

非固定登録

移動中の車に搭載されたLIDARから登録されたポイント クラウド。

2つの点集合が与えられた場合、非剛体レジストレーションは、一方の点集合を他方の点集合に写像する非剛体変換を生成する。非剛体変換には、スケーリングやシアーマッピングなどのアフィン変換が含まれる。しかし、点集合レジストレーションの文脈では、非剛体レジストレーションは通常、非線形変換を伴う。点集合の固有モードの変化が既知である場合、非線形変換は固有値によってパラメータ化することができる。^{[ 13 ]}非線形変換は、薄板スプラインとしてパラメータ化することもできる。^{[ 14 ] [ 13 ]}

その他のタイプ

点集合の位置合わせに対するいくつかのアプローチでは、より一般的なグラフマッチング問題を解くアルゴリズムが用いられます。^{[ 11 ]}しかし、このような手法は計算量が多くなる傾向があり、剛体位置合わせに限定されます。本稿では、変換に3次元の回転と平行移動（場合によっては均一なスケーリングも含む）が含まれると仮定した剛体位置合わせのアルゴリズムのみを検討します。

PCL （Point Cloud Library）は、n次元点群および3Dジオメトリ処理のためのオープンソースフレームワークです。PCLには、複数の点位置合わせアルゴリズムが含まれています。^{[ 15 ]}

通信による登録

対応に基づく手法では、すべての点に対して想定上の対応関係が与えられていると仮定します。したがって、点集合と点集合の両方に点が存在し、対応関係が与えられているという設定に到達します。 ${\displaystyle m\leftrightarrow s_{m}}$ ${\displaystyle m\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m_{i}\leftrightarrow s_{i},i=1,\dots ,N}$

外れ値のない登録

最も単純なケースでは、すべての対応が正しいと想定できます。つまり、ポイントは次のように生成されます。${\displaystyle m_{i},s_{i}\in \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle s_{i}=lRm_{i}+t+\epsilon _{i},i=1,\dots ,N}$

cb.1

ここで、 は一様なスケーリング係数（多くの場合と仮定）、は真3次元回転行列（次特殊直交群）、は3次元並進ベクトルであり、 は未知の加法ノイズ（例えば、ガウスノイズ）をモデル化します。具体的には、ノイズが標準偏差 を持つゼロ平均等方性ガウス分布に従うと仮定した場合（すなわち）、次の最適化により、未知のスケール、回転、並進の最大尤度推定値が得られます。${\displaystyle l>0}$ ${\displaystyle l=1}$ ${\displaystyle R\in {\text{SO}}(3)}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(d)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \epsilon _{i}\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \epsilon _{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle \epsilon _{i}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma _{i}^{2}I_{3})}$

${\displaystyle l^{\star },R^{\star },t^{\star }=\arg \min _{l>0,R\in {\text{SO}}(3),t\in \mathbb {R} ^{3}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}\left\Vert s_{i}-lRm_{i}-t\right\Vert _{2}^{2}}$

cb.2

スケーリング係数が1で移動ベクトルが0のとき、最適化によってWahba問題の定式化が回復されることに注意してください。集合の非凸性による最適化（cb.2 ）の非凸性にもかかわらず、 Berthold KP Hornによる独創的な研究は、スケール、回転、移動の推定を切り離すことで、（cb.2 ）が実際に閉じた形式の解を許容することを示しました。 ^{[ 16 ]}同様の結果はArunらによっても発見されました。^{[ 17 ]}さらに、一意の変換を見つけるためには、各点集合に少なくとも非共線点が必要です。 ${\displaystyle {\text{SO}}(3)}$ ${\displaystyle (l,R,t)}$ ${\displaystyle N=3}$

さらに最近では、ブリアルズとゴンザレス・ヒメネスは、モデルセットに点、線、平面などの異なる3Dプリミティブが含まれる場合（モデルが3Dメッシュの場合）に、ラグランジュ双対性を用いた半正定値緩和法を開発しました。 ^{[ 18 ]}興味深いことに、半正定値緩和法は経験的に厳密であり、つまり、半正定値緩和法の解から、 証明可能なグローバル最適解を抽出できます。${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

堅牢な登録

最小二乗法（cb.2 ）は、外れ値が存在する場合、性能が著しく低下することが知られています。外れ値対応とは、生成モデル（cb.1 ）から逸脱する測定値のペアのことです。この場合、以下のように異なる生成モデルを検討することができます。^{[ 19 ]}${\displaystyle s_{i}\leftrightarrow m_{i}}$

${\displaystyle s_{i}={\begin{cases}lRm_{i}+t+\epsilon _{i}&{\text{if }}i-{\text{th pair is an inlier}}\\o_{i}&{\text{if }}i-{\text{th pair is an outlier}}\end{cases}}}$

cb.3

ここで番目のペアがインライアであれば、アウトライアフリーモデル（cb.1）に従う。つまり、 は空間変換に小さなノイズを加えたものから得られる。しかし、番目のペアがアウトライアであれば、 は任意のベクトルになる。どの対応がアウトライアであるかは事前にわからないため、生成モデル（cb.3 ）による堅牢な登録は、現実世界で展開されるコンピュータービジョンやロボット工学にとって極めて重要である。なぜなら、現在の特徴マッチング技術では、対応の100 % 以上がアウトライアである可能性がある、非常に破損した対応を出力する傾向があるからである。 ^{[ 20 ]}${\displaystyle i-}$ ${\displaystyle s_{i}\leftrightarrow m_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle i-}$ ${\displaystyle s_{i}\leftrightarrow m_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle o_{i}}$ ${\displaystyle 95\%}$

次に、堅牢な登録のためのいくつかの一般的なパラダイムについて説明します。

最大限の合意

最大合意法は、空間変換の選択に対して、生成モデル（ cb.1 ）と整合する最大の対応関係集合を求める。正式には、最大合意法は以下の最適化問題を解く。${\displaystyle (l,R,t)}$

${\displaystyle \max _{l>0,R\in {\text{SO}}(3),t\in \mathbb {R} ^{3},{\mathcal {I}}}\vert {\mathcal {I}}\vert ,\quad {\text{subject to }}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}\Vert s_{i}-lRm_{i}-t\Vert _{2}^{2}\leq \xi ,\forall i\in {\mathcal {I}}}$

cb.4

ここで、 は集合 の濃度を表す。( cb.4 )の制約は、インライア集合内のすべての測定値のペアの残差が、事前に定義された閾値 より小さくなければならないことを強制する。残念ながら、最近の解析では、問題(cb.4)を大域的に解くことはNP困難であり、大域的アルゴリズムは通常、最悪の場合指数時間の計算量を要する分岐限定法（BnB）に頼らざるを得ないことが示されている。 ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}${\displaystyle \vert {\mathcal {I}}\vert }$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \xi }$

コンセンサス最大化を正確に解くことは困難ですが、実際には非常に優れたパフォーマンスを発揮する効率的なヒューリスティックスが存在します。最も人気のあるヒューリスティックスの 1 つは、ランダムサンプルコンセンサス (RANSAC)スキームです。^{[ 26 ]} RANSAC は、反復的な仮説検証法です。各反復で、この方法では、まず対応関係の総数から 3 つをランダムにサンプリングし、ホーン法を使用して仮説を計算します。^{[ 16 ]}次に、( cb.4 )の制約を評価して、実際にそのような仮説と一致する対応関係の数をカウントします (つまり、残差を計算し、各測定値のペアのしきい値と比較します)。アルゴリズムは、十分な対応関係を持つコンセンサスセットを見つけた後、または許容される反復の総数に達した後に終了します。 RANSAC は、各反復の主な計算がホーン法の閉形式の解を実行することであるため、非常に効率的です。しかし、RANSACは非決定論的であり、外れ値比率が低い状況（例えば、下記）でのみうまく機能します。これは、外れ値比率に応じて実行時間が指数関数的に増加するためです。^{[ 20 ]}${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (l,R,t)}$ ${\displaystyle \Vert s_{i}-lRm_{i}-t\Vert _{2}^{2}/\sigma _{i}^{2}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle 50\%}$

高速だが不正確なRANSAC方式と正確だが網羅的なBnB最適化との間のギャップを埋めるために、最近の研究ではコンセンサス最大化を解決するための決定論的な近似法が開発されている。^{[ 21 ] [ 22 ] [ 27 ] [ 23 ]}

外れ値の除去

外れ値除去法は、空間変換を推定する前に、大きく破損した対応関係の集合を前処理しようとします。外れ値除去の目的は、内在する対応関係を維持しながら外れ値対応関係の数を大幅に削減し、変換​​の最適化をより容易かつ効率的にすることです（例えば、 RANSACは外れ値比率が を超えるとうまく機能しませんが、外れ値比率が を下回ると非常に良好なパフォーマンスを発揮します）。 ${\displaystyle 95\%}$ ${\displaystyle 50\%}$

Parraらは、外れ値対応を刈り込みながら内値対応を保証する幾何学的制約を使用するGORE (Guaranteed Outlier Removal)と呼ばれる手法を提案している。^{[ 20 ]} GOREは外れ値比率を大幅に削減できることが示されており、RANSACやBnBを使用したコンセンサス最大化のパフォーマンスを大幅に向上させることができる。YangとCarlonは、元の測定値セットからペアワイズ並進および回転不変測定値(TRIM)を構築し、 3DポイントをノードとするグラフのエッジとしてTRIMを埋め込むことを提案した。内値はスケールの点でペアワイズ一貫しているため、グラフ内でクリークを形成する必要がある。したがって、グラフの最大クリークを計算する効率的なアルゴリズムを使用することで、内値を見つけて外れ値を効果的に刈り込むことができる。^{[ 4 ]}最大クリークに基づく外れ値除去法は、現実世界のポイントセットの位置合わせ問題でも非常に有用であることがわかっている。^{[ 19 ]}同様の外れ値除去のアイデアは、Parraらによっても提案されている。^{[ 28 ]}

M推定

M推定は、 ( cb.2 )の最小二乗目的関数を、外れ値の影響が少ないロバストなコスト関数に置き換えます。正式には、M推定は以下の問題を解こうとします。

${\displaystyle l^{\star },R^{\star },t^{\star }=\arg \min _{l>0,R\in {\text{SO}}(3),t\in \mathbb {R} ^{3}}\sum _{i=1}^{N}\rho \left({\frac {1}{\sigma _{i}}}\left\Vert s_{i}-lRm_{i}-t\right\Vert _{2}\right)}$

cb.5

ここで、はロバストなコスト関数の選択を表します。 を選択すると、 ( cb.2 )の最小二乗推定が回復されることに注意してください。 一般的なロバストなコスト関数には、 - ノルム損失、Huber 損失、^{[ 29 ]} Geman-McClure 損失^{[ 30 ]}および打ち切り最小二乗損失があります。^{[ 19 ] [ 8 ] [ 4 ]} M 推定は、ロボット工学やコンピューター ビジョンにおけるロバスト推定の最も一般的なパラダイムの 1 つです。^{[ 31 ] [ 32 ]}ロバストな目的関数は通常は非凸であるため (たとえば、打ち切り最小二乗損失と最小二乗損失)、非凸 M 推定を解くアルゴリズムは通常、局所最適化に基づきます。局所最適化では、最初に初期推定値が提供され、次に目的関数を減少させ続けるように変換が反復的に調整されます。ローカル最適化は、初期推定値がグローバル最小値に近い場合にうまく機能する傾向がありますが、初期化が不十分な場合はローカル最小値に陥ってしまう傾向もあります。 ${\displaystyle \rho (\cdot )}$ ${\displaystyle \rho (x)=x^{2}}$ ${\displaystyle \ell _{1}}$

段階的な非凸性

段階的非凸性（GNC）は、初期化なしで非凸最適化問題を解く汎用フレームワークです。初期の視覚および機械学習アプリケーションで成功を収めています。^{[ 33 ] [ 34 ]} GNCの背後にある重要なアイデアは、簡単な凸問題から始めて、難しい非凸問題を解決することです。具体的には、与えられたロバストなコスト関数 に対して、ハイパーパラメータ を持つ代理関数を構築し、これを調整することで、代理関数の非凸性を徐々に増加させ、ターゲット関数 に収束させることができます。^{[ 34 ] [ 35 ]}したがって、ハイパーパラメータ の各レベルで、次の最適化が解決されます。${\displaystyle \rho (\cdot )}$ ${\displaystyle \rho _{\mu }(\cdot )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \rho _{\mu }(\cdot )}$ ${\displaystyle \rho (\cdot )}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle l_{\mu }^{\star },R_{\mu }^{\star },t_{\mu }^{\star }=\arg \min _{l>0,R\in {\text{SO}}(3),t\in \mathbb {R} ^{3}}\sum _{i=1}^{N}\rho _{\mu }\left({\frac {1}{\sigma _{i}}}\left\Vert s_{i}-lRm_{i}-t\right\Vert _{2}\right)}$

cb.6

ブラックとランガラジャンは、各最適化の目的関数（cb.6 ）が、重み付き最小二乗法の和と、各測定ペアにおける最適化の信頼性を決定する重みに基づくいわゆる外れ値プロセス関数に双対化できることを証明した。^{[ 33 ]}ブラック・ランガラジャン双対性とゲマン・マクルーア関数に合わせたGNCを使用して、周らは、対応関係における外れ値に対して堅牢な高速グローバル登録アルゴリズムを開発した。 ^{[ 30 ]}最近では、ヤンらは、 GNC（ゲマン・マクルーア関数と打ち切り最小二乗関数に合わせて調整）とブラック・ランガラジャン双対性の併用により、点群やメッシュ登録などの堅牢な登録問題に対する汎用ソルバーを実現できることを示した。^{[ 35 ]}${\displaystyle 80\%}$

証明可能な堅牢な登録

上述の堅牢なレジストレーションアルゴリズムのほとんどは（最悪の場合でも指数時間で実行されるBnBアルゴリズムを除く） 、パフォーマンス保証が付いていません。つまり、これらのアルゴリズムは予告なしに完全に誤った推定値を返す可能性があります。したがって、これらのアルゴリズムは自動運転のような安全性が極めて重要なアプリケーションには適していません。

ごく最近、Yangらは、打ち切り最小二乗推定と半定値緩和（TEASER）と呼ばれる、初めて証明可能な堅牢性を備えた位置合わせアルゴリズムを開発しました。 ^{[ 19 ]}点群位置合わせにおいて、TEASERは変換の推定値を出力するだけでなく、与えられた推定値の最適性を定量化します。TEASERは、以下の打ち切り最小二乗（TLS）推定値を採用しています。

${\displaystyle l^{\star },R^{\star },t^{\star }=\arg \min _{l>0,R\in {\text{SO}}(3),t\in \mathbb {R} ^{3}}\sum _{i=1}^{N}\min \left({\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}\left\Vert s_{i}-lRm_{i}-t\right\Vert _{2}^{2},{\bar {c}}^{2}\right)}$

cb.7

これはTLSロバストコスト関数 を選択することで得られます。ここで は、インライアとみなされる最大許容残差を決定する定義済み定数です。TLS目的関数は、インライア対応（）に対して通常の最小二乗ペナルティが適用され、アウトライア対応（）に対してはペナルティは適用されず、アウトライアは破棄されるという特性を持ちます。TLS最適化（cb.7）が大域最適解に解かれる場合、それはインライア対応のみに対してホーン法を実行することと同等です。 ${\displaystyle \rho (x)=\min(x^{2},{\bar {c}}^{2})}$ ${\displaystyle {\bar {c}}^{2}}$ ${\displaystyle \Vert s_{i}-lRm_{i}-t\Vert _{2}^{2}/\sigma _{i}^{2}<{\bar {c}}^{2}}$ ${\displaystyle \Vert s_{i}-lRm_{i}-t\Vert _{2}^{2}/\sigma _{i}^{2}>{\bar {c}}^{2}}$

しかし、( cb.7 )を解くのはその組み合わせの性質上かなり困難である。 TEASERは( cb.7 )を次のように解決する: (i) スケール、回転、および移動の推定を切り離して別々に解くことができるように不変測定を構築する。これは元のホーン法にヒントを得た戦略である。 (ii) 3つのサブ問題のそれぞれに同じTLS推定が適用され、スケールTLS問題は適応投票と呼ばれるアルゴリズムを使用して正確に解くことができ、回転TLS問題は半正定値計画(SDP)に緩和することができ、緩和は実際には正確であり、^{[ 8 ]}大量の外れ値があっても正確である。移動TLS問題は、成分ごとの適応投票を使用して解決できる。GNCを活用した高速実装は、ここでオープンソース化されている。実際には、TEASERは外れ値以上の対応を許容し、数ミリ秒単位で実行される。 ${\displaystyle 99\%}$

TEASERの開発に加えて、ヤンらは、点群データに対するいくつかの穏やかな条件下では、TEASERの推定変換が真の変換からの誤差を制限していることを証明した。^{[ 19 ]}

ポーズと対応の同時登録

反復最近点

反復最近点（ICP）アルゴリズムはBeslとMcKayによって導入されました。^{[ 36 ]} このアルゴリズムは、(i) 変換が与えられた場合、内のすべての点についてにおける最近点を見つける、(ii) 対応関係が与えられた場合、最小二乗問題（cb.2）を解くことで最適な剛体変換を見つける、という処理を交互に行うことで、反復的に剛体レジストレーションを実行します。したがって、 の初期姿勢がに十分近い場合に最もよく機能します。擬似コードでは、基本的なアルゴリズムは次のように実装されています。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

アルゴリズムICP( M , S ) θ  := θ 0登録されていない場合: X  := ∅ m i ∊ T ( M , θ )の場合: ŝ i := S内のm iに 最も近い点X  := X + ⟨ m i , ŝ i ⟩ θ  := least_squares( X ) θを返す

ここで、関数はホーン^{[ 16 ]}とアラン^{[ 17 ]}による閉形式の解を使用して、各ペアの距離を最小化する最小二乗least_squares最適化を実行します。${\displaystyle \langle m_{i},{\hat {s}}_{i}\rangle }$

レジストレーションのコスト関数は、内のすべての点に最も近い 内の点を見つけることに依存するため、アルゴリズムの実行中に変化する可能性があります。 そのため、ICP が実際に局所最適値に正確に収束することを証明することは困難です。^{[ 37 ]}実際、経験的に、ICP とEM-ICP はコスト関数の局所最小値に収束しません。^{[ 37 ]}それでも、ICP は直感的に理解でき、実装が簡単なため、最も一般的に使用されている点セット レジストレーション アルゴリズムです。^{[ 37 ]} ICP の多くの変種が提案されており、点の選択とマッチングから最小化戦略まで、アルゴリズムのすべてのフェーズに影響を与えます。^{[ 13 ] [ 38 ]} たとえば、期待最大化アルゴリズムを ICP アルゴリズムに適用して EM-ICP 法を形成し、Levenberg-Marquardt アルゴリズムをICP アルゴリズムに適用してLM-ICP法を形成します。^{[ 12 ]}${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

堅牢なポイントマッチング

ロバストポイントマッチング（RPM）は、Goldらによって導入されました。^{[ 39 ]}この手法は、決定論的アニーリングと点集合間の対応のソフト割り当てを使用してレジストレーションを実行します。ICPでは最近傍ヒューリスティックによって生成される対応は2値ですが、RPMはソフト対応を使用します。この場合、任意の2点間の対応は0から1の範囲になりますが、最終的には0または1に収束します。RPMで見つかる対応は常に1対1ですが、ICPでは必ずしもそうではありません。^{[ 14 ]}を の 番目の点、をの 番目の点とします。マッチ行列は次のように定義されます。 ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle s_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \mathbf {\mu } }$

${\displaystyle \mu _{ij}={\begin{cases}1&{\text{if point }}m_{i}{\text{ corresponds to point }}s_{j}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

回転数1

問題は次のように定義されます。2つの点集合が与えられ、それらを最もよく関連付けるアフィン変換とマッチング行列を求めます。 ^{[ 39 ]}最適な変換が分かればマッチング行列の決定は容易になりますし、その逆も同様です。しかし、RPMアルゴリズムは両方を同時に決定します。変換は、並進ベクトルと変換行列に分解できます。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbf {\mu } }$

${\displaystyle T(m)=\mathbf {A} m+\mathbf {t} }$

2次元の行列は、スケール、回転、垂直および水平のせん断成分という 4つの独立したパラメータで構成されます。したがって、コスト関数は次のようになります。${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \lbrace a,\theta ,b,c\rbrace }$

${\displaystyle \operatorname {cost} =\sum _{j=1}^{N}\sum _{i=1}^{M}\mu _{ij}\lVert s_{j}-\mathbf {t} -\mathbf {A} m_{i}\rVert ^{2}+g(\mathbf {A} )-\alpha \sum _{j=1}^{N}\sum _{i=1}^{M}\mu _{ij}}$

回転数2

、、の制約を受ける。この項は、マッチ行列に1が多く含まれる場合にコストを減少させることで、目的関数の相関を強くする方向にバイアスをかける。この関数は、スケール成分とシアー成分の大きな値をペナルティとして課すことで、アフィン変換を正則化する。 ${\textstyle \forall j~\sum _{i=1}^{M}\mu _{ij}\leq 1}$ ${\textstyle \forall i~\sum _{j=1}^{N}\mu _{ij}\leq 1}$ ${\textstyle \forall ij~\mu _{ij}\in \lbrace 0,1\rbrace }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle g(\mathbf {A} )}$

${\displaystyle g(\mathbf {A} (a,\theta ,b,c))=\gamma (a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

ある正規化パラメータに対して。 ${\displaystyle \gamma }$

RPM法は、Softassignアルゴリズムを用いてコスト関数を最適化します。ここでは1次元の場合を導出します。となる変数の集合が与えられます。各変数にはとなるような変数が関連付けられます。目標はを最大化する を見つけることです。これは、制御パラメータ を導入することで連続問題として定式化できます。決定論的アニーリング法では、アルゴリズムの実行に伴って制御パラメータが徐々に増加します。 を次のようにします。 ${\displaystyle \lbrace Q_{j}\rbrace }$ ${\displaystyle Q_{j}\in \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle \mu _{j}}$ ${\displaystyle Q_{j}}$ ${\textstyle \sum _{j=1}^{J}\mu _{j}=1}$ ${\displaystyle \mathbf {\mu } }$ ${\textstyle \sum _{j=1}^{J}\mu _{j}Q_{j}}$ ${\displaystyle \beta >0}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \mathbf {\mu } }$

${\displaystyle \mu _{\hat {j}}={\frac {\exp {(\beta Q_{\hat {j}})}}{\sum _{j=1}^{J}\exp {(\beta Q_{j})}}}}$

回転数3

これはソフトマックス関数として知られています。 が増加するにつれて、式( rpm.1 )で求められる2値に近づきます。この問題は2次元の場合に一般化することができ、 を最大化する代わりに、以下を最大化します。 ${\displaystyle \beta }$ ${\textstyle \sum _{j=1}^{J}\mu _{j}Q_{j}}$

${\displaystyle E(\mu )=\sum _{j=1}^{N}\sum _{i=0}^{M}\mu _{ij}Q_{ij}}$

回転数4

どこ

${\displaystyle Q_{ij}=-(\lVert s_{j}-\mathbf {t} -\mathbf {A} m_{i}\rVert ^{2}-\alpha )=-{\frac {\partial \operatorname {cost} }{\partial \mu _{ij}}}}$

これは単純明快ですが、制約条件が二重確率行列制約条件、すなわち、およびとなる点が異なります。そのため、式( rpm.3 )の分母は2次元の場合に単純に表現することはできません。制約条件を満たすには、シンクホーン^{[ 39} ]の結果を使うことができます。シンクホーン[39 ^]によれば、すべての要素が正である正方行列から、行と列を交互に正規化する反復処理によって、二重確率行列が得られます。したがって、アルゴリズムは次のように記述されます。^{[ 39 ]}${\displaystyle \mu }$ ${\textstyle \forall j~\sum _{i=1}^{M}\mu _{ij}=1}$ ${\textstyle \forall i~\sum _{j=1}^{N}\mu _{ij}=1}$

アルゴリズム RPM2D ${\displaystyle ({\mathcal {M}},{\mathcal {S}})}$ t  := 0 a , θ b , c  := 0 β  := β 0 while β < β f : while μが収束していない間:  // ソフト割り当てによって対応パラメータを更新// シンクホーン法を適用whileが収束していない間: //すべての行にわたって正規化して更新: //すべての列にわたって正規化して更新: // 座標降下によって姿勢パラメータを更新解析解を使用してθ を 更新${\displaystyle {\hat {\mu }}_{ij}:=1+\epsilon }$ ${\displaystyle Q_{ij}:=-{\frac {\partial \operatorname {cost} }{\partial \mu _{ij}}}}$ ${\displaystyle \mu _{ij}^{0}:=\exp(\beta Q_{ij})}$ ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mu }}_{ij}^{1}:={\frac {{\hat {\mu }}_{ij}^{0}}{\sum _{i=1}^{M+1}{\hat {\mu }}_{ij}^{0}}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mu }}_{ij}^{0}:={\frac {{\hat {\mu }}_{ij}^{1}}{\sum _{j=1}^{N+1}{\hat {\mu }}_{ij}^{1}}}}$ 解析解を用いてt を更新するニュートン法を使用してa、b、c を更新し、a、b、c、θ、tを返す${\displaystyle \beta :=\beta _{r}\beta }$ ${\displaystyle \gamma :={\frac {\gamma }{\beta _{r}}}}$ 

ここで、決定論的アニーリング制御パラメータは初期値 に設定され、最大値 に達するまで係数 ずつ増加します。正規化ステップにおける和は、と ではなく と になります。これは、に対する制約が不等式であるためです。したがって、番目と番目の要素はスラック変数です。 ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta _{0}}$ ${\displaystyle \beta _{r}}$ ${\displaystyle \beta _{f}}$ ${\displaystyle M+1}$ ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle M+1}$ ${\displaystyle N+1}$

このアルゴリズムは、3次元以上の点集合にも拡張できます。対応行列に対する制約は、3次元の場合も2次元の場合も同じです。したがって、アルゴリズムの構造は変わりませんが、主な違いは回転行列と並進行列の解き方にあります。^{[ 39 ]}${\displaystyle \mathbf {\mu } }$

薄板スプラインロバストポイントマッチング

ノイズの多い外れ値によって乱れたマゼンタ色の点群と緑の点群を2D非剛体位置合わせするアニメーション。青い円の大きさは制御パラメータに反比例する。黄色の線は対応関係を示す。${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \beta }$

ChuiとRangarajanによる薄板スプラインロバストポイントマッチング（TPS-RPM）アルゴリズムは、RPM法を拡張して、変換を薄板スプラインとしてパラメータ化することで非剛体レジストレーションを実行します。^{[ 14 ]} しかし、薄板スプラインのパラメータ化は3次元でのみ存在するため、この方法は4次元以上の問題に拡張できません。

カーネル相関

点集合レジストレーションにおけるカーネル相関（KC）アプローチは、TsinとKanadeによって導入された。^{[ 37 ]} ICPと比較して、KCアルゴリズムはノイズの多いデータに対してより堅牢である。ICPではモデル点ごとに最も近いシーン点のみが考慮されるのに対し、KCではすべてのシーン点がすべてのモデル点に影響を与える。^{[ 37 ]}そのため、これは多重リンクレジストレーションアルゴリズムである。あるカーネル関数 に対して、 2点間のカーネル相関は次のように定義される。^{[ 37 ]}${\displaystyle K}$ ${\displaystyle KC}$ ${\displaystyle x_{i},x_{j}}$

${\displaystyle KC(x_{i},x_{j})=\int K(x,x_{i})\cdot K(x,x_{j})dx}$

kc.1

点集合の登録に用いられるカーネル関数は 、通常、対称かつ非負のカーネルであり、パルゼン窓密度推定で使用されるものと同様である。ガウスカーネルはその単純さから一般的に用いられるが、エパネチニコフカーネルやトライキューブカーネルなどの他のカーネル関数も代用可能である。^{[ 37 ]}点集合全体のカーネル相関は、集合内の各点と他の各点との間のカーネル相関の合計として定義される。^{[ 37 ]}${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {\chi }}}$

${\displaystyle KC({\mathcal {X}})=\sum _{i\neq j}KC(x_{i},x_{j})=2\sum _{i<j}KC(x_{i},x_{j})}$

kc.2

点集合のKCの対数は、定数倍の範囲内で情報エントロピーに比例します。KCは点集合の「コンパクトさ」を表す尺度であることに注目してください。当然のことながら、点集合内のすべての点が同じ位置にある場合、KCは大きな値になります。ある変換パラメータに対する点集合位置合わせアルゴリズムのコスト関数は、次のように定義されます。 ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cost} ({\mathcal {S}},{\mathcal {M}},\theta )=-\sum _{m\in {\mathcal {M}}}\sum _{s\in {\mathcal {S}}}KC(s,T(m,\theta ))}$

kc.3

いくつかの代数操作により次の結果が得られます。

${\displaystyle KC({\mathcal {S}}\cup T({\mathcal {M}},\theta ))=KC({\mathcal {S}})+KC(T({\mathcal {M}},\theta ))-2\operatorname {cost} ({\mathcal {S}},{\mathcal {M}},\theta )}$

kc.4

この式は、が に依存しないことを観察することで簡略化されます。さらに、剛体位置合わせを仮定すると、が変化しても は不変です。これは、剛体変換において、すべての点のペア間のユークリッド距離は一定であるためです。したがって、上記の式は次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle KC({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle KC(T({\mathcal {M}},\theta ))}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle KC({\mathcal {S}}\cup T({\mathcal {M}},\theta ))=C-2\operatorname {cost} ({\mathcal {S}},{\mathcal {M}},\theta )}$

kc.5

カーネル密度推定値は次のように定義されます。

${\displaystyle P_{\mathcal {M}}(x,\theta )={\frac {1}{M}}\sum _{m\in {\mathcal {M}}}K(x,T(m,\theta ))}$

${\displaystyle P_{\mathcal {S}}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{s\in {\mathcal {S}}}K(x,s)}$

コスト関数は、2 つのカーネル密度推定値の相関として示されます。

${\displaystyle \operatorname {cost} ({\mathcal {S}},{\mathcal {M}},\theta )=-N^{2}\int _{x}P_{\mathcal {M}}\cdot P_{\mathcal {S}}~dx}$

kc.6

コスト関数を確立した後、アルゴリズムは勾配降下法を用いて最適な変換を見つけます。反復ごとにコスト関数を最初から計算するのは計算コストが高いため、コスト関数方程式の離散バージョン ( kc.6 ) が使用されます。カーネル密度推定値はグリッドポイントで評価され、ルックアップテーブルに格納されます。ICP法や関連手法とは異なり、最近傍点を見つける必要がないため、KCアルゴリズムの実装は比較的シンプルです。 ${\displaystyle P_{\mathcal {M}},P_{\mathcal {S}}}$

ノイズの多い2Dおよび3D点集合に対するICPおよびEM-ICPと比較して、KCアルゴリズムはノイズの影響を受けにくく、より頻繁に正しい位置合わせが行われます。^{[ 37 ]}

ガウス混合モデル

カーネル密度推定値はガウス分布の和であるため、ガウス混合モデル（GMM）として表すことができます。^{[ 40 ]} JianとVemuriは、KCレジストレーションアルゴリズムのGMMバージョンを使用して、薄板スプラインによってパラメータ化された非剛体レジストレーションを実行しました。

コヒーレントポイントドリフト

コヒーレントポイントドリフトアルゴリズムを用いて、青色の点群を赤色の点群にリジッド（スケーリングも追加）で位置合わせした。どちらの点群も、削除された点やランダムな外れ値点によって破損している。${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

コヒーレント ポイント ドリフト アルゴリズムを使用して、青い点セットを赤い点セットにアフィン登録します。${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

コヒーレントポイントドリフトアルゴリズムを用いて、青色の点群を赤色の点群に非剛体位置合わせした例。どちらの点群も、削除された点やランダムな外れ値点によって破損している。${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

コヒーレントポイントドリフト（CPD）は、MyronenkoとSongによって導入されました。^{[ 13 ] [ 41 ]} このアルゴリズムは、GMM KC法に似た確率的なアプローチで点集合の位置合わせを行います。薄板スプライン変換モデルを仮定する以前の非剛体レジストレーションのアプローチとは異なり、CPDは使用する変換モデルに依存しません。点集合はガウス混合モデル（GMM）の重心を表します。2つの点集合が最適に位置合わせされると、対応は特定のデータ点に対するGMM事後確率の最大値になります。点集合の位相構造を維持するために、GMMの重心はグループとしてコヒーレントに移動するように強制されます。期待値最大化アルゴリズムを使用してコスト関数が最適化されます。^{[ 13 ]}${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

にM点、にN点があるとする。点sのGMM確率密度関数は以下の通りである。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle p(s)=\sum _{i=1}^{M+1}P(i)p(s|i)}$

cpd.1

ここで、D次元では、点 を中心とするガウス分布です。 ${\displaystyle p(s|i)}$ ${\displaystyle m_{i}\in {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle p(s|i)={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{D/2}}}\exp {\left(-{\frac {\lVert s-m_{i}\rVert ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}}$

GMMのすべての構成要素の所属確率は等しい。一様分布の重みは と表される。したがって、混合モデルは以下のようになる。 ${\displaystyle P(i)={\frac {1}{M}}}$ ${\displaystyle w\in [0,1]}$

${\displaystyle p(s)=w{\frac {1}{N}}+(1-w)\sum _{i=1}^{M}{\frac {1}{M}}p(s|i)}$

cpd.2

GMMの重心は、尤度を最大化することで推定されたパラメータ集合によって再パラメータ化されます。これは、負の対数尤度関数を最小化することと同等です。 ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle E(\theta ,\sigma ^{2})=-\sum _{j=1}^{N}\log \sum _{i=1}^{M+1}P(i)p(s|i)}$

cpd.3

ここで、データは独立かつ同一に分布していると仮定する。2点間の対応確率は、データ点が与えられた場合のGMM重心の 事後確率として定義される。${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle s_{j}}$

${\displaystyle P(i|s_{j})={\frac {P(i)p(s_{j}|i)}{p(s_{j})}}}$

期待値最大化（EM）アルゴリズムは、 と を求めるために使用されます。EMアルゴリズムは2つのステップで構成されます。まず、Eステップ（推定ステップ）では、パラメータの値（「古い」パラメータ値）を推測し、ベイズの定理を用いて混合成分の事後確率分布を計算します。次に、Mステップ（最大化ステップ）では、負の対数尤度関数（つまりコスト関数）の期待値を最小化することで、「新しい」パラメータ値を求めます。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle P^{\text{old}}(i,s_{j})}$

${\displaystyle \operatorname {cost} =-\sum _{j=1}^{N}\sum _{i=1}^{M+1}P^{\text{old}}(i|s_{j})\log(P^{\text{new}}(i)p^{\text{new}}(s_{j}|i))}$

cpd.4

およびに依存しない定数を無視すると、式( cpd.4 )は次のように表すことができます。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \operatorname {cost} (\theta ,\sigma ^{2})={\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{i=1}^{M+1}P^{\text{old}}(i|s_{j})\lVert s_{j}-T(m_{i},\theta )\rVert ^{2}+{\frac {N_{\mathbf {P} }D}{2}}\log {\sigma ^{2}}}$

cpd.5

どこ

${\displaystyle N_{\mathbf {P} }=\sum _{j=0}^{N}\sum _{i=0}^{M}P^{\text{old}}(i|s_{j})\leq N}$

の場合にのみ成り立ちます。以前のパラメータ値を用いて計算されたGMM成分の事後確率は次のようになります。 ${\displaystyle N=N_{\mathbf {P} }}$ ${\displaystyle w=0}$ ${\displaystyle P^{\text{old}}}$

${\displaystyle P^{\text{old}}(i|s_{j})={\frac {\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{{\text{old}}2}}}\lVert s_{j}-T(m_{i},\theta ^{\text{old}})\rVert ^{2}\right)}{\sum _{k=1}^{M}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{{\text{old}}2}}}\lVert s_{j}-T(m_{k},\theta ^{\text{old}})\rVert ^{2}\right)+(2\pi \sigma ^{2})^{\frac {D}{2}}{\frac {w}{1-w}}{\frac {M}{N}}}}}$

cpd.6

式（ cpd.5 ）のコスト関数を最小化すると、式（cpd.3 ）の負の対数尤度関数Eが、すでに局所最小値に達していない限り、必然的に減少する。^{[ 13 ]}したがって、このアルゴリズムは次の擬似コードを使用して表現することができ、点集合とをそれぞれ行列ととして表すことができる。^{[ 13 ]}${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle M\times D}$ ${\displaystyle N\times D}$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$

アルゴリズム CPD ${\displaystyle ({\mathcal {M}},{\mathcal {S}})}$ θ  := θ 0初期化 0 ≤ w ≤ 1登録されていない間:  // Eステップ、i ∊ [1, M ]およびj ∊ [1, N ]に対してPを計算する: // Mステップ、最適変換を解く{ θ , σ 2 } := solve ( S , M , P ) return θ${\displaystyle \sigma ^{2}:={\frac {1}{DNM}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{i=1}^{M}\lVert s_{j}-m_{i}\rVert ^{2}}$ ${\displaystyle p_{ij}:={\frac {\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\lVert s_{j}-T(m_{i},\theta )\rVert ^{2}\right)}{\sum _{k=1}^{M}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\lVert s_{j}-T(m_{k},\theta )\rVert ^{2}\right)+(2\pi \sigma ^{2})^{\frac {D}{2}}{\frac {w}{1-w}}{\frac {M}{N}}}}}$ 

ここで、ベクトルは1の列ベクトルです。関数は、実行される位置合わせの種類によって異なります。例えば、剛体位置合わせの場合、出力はスケールa、回転行列、および並進ベクトルです。パラメータは、以下のタプルとして表すことができます。 ${\displaystyle \mathbf {1} }$ solve${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {t} }$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta =\lbrace a,\mathbf {R} ,\mathbf {t} \rbrace }$

これは1に初期化され、単位行列とゼロの列ベクトルになります。

${\displaystyle \theta _{0}=\lbrace 1,\mathbf {I} ,\mathbf {0} \rbrace }$

整列されたポイント セットは次のとおりです。

${\displaystyle T(\mathbf {M} )=a\mathbf {M} \mathbf {R} ^{T}+\mathbf {1} \mathbf {t} ^{T}}$

剛体レジストレーションの関数はsolve_rigid次のように記述でき、代数の導出はミロネンコの2010年の論文で説明されている。^{[ 13 ]}

solve_rigid ( S , M , P ) N P  := 1 T P1 U , V  := svd ( A ) // Aの特異値分解= UΣV T C  := diag(1, …, 1, det( UV T )) // diag( ξ )はベクトル ξ から形成された対角行列ですR  := UCV T // trは行列のトレースですt  := μ s − a R μ m return { a , R , t }, σ 2${\displaystyle \mu _{s}:={\frac {1}{N_{\mathbf {P} }}}\mathbf {S} ^{T}\mathbf {P} ^{T}\mathbf {1} }$ ${\displaystyle \mu _{m}:={\frac {1}{N_{\mathbf {P} }}}\mathbf {M} ^{T}\mathbf {P} \mathbf {1} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {S} }}:=\mathbf {S} -\mathbf {1} \mu _{s}^{T}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {M} }}:=\mathbf {M} -\mathbf {1} \mu _{m}^{T}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} :={\hat {\mathbf {S} ^{T}}}\mathbf {P} ^{T}{\hat {\mathbf {M} }}}$ ${\displaystyle a:={\frac {\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{T}\mathbf {R} )}{\operatorname {tr} (\mathbf {{\hat {\mathbf {M} }}^{T}\operatorname {diag} (\mathbf {P} \mathbf {1} ){\hat {\mathbf {M} }}} )}}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}:={\frac {1}{N_{\mathbf {P} }D}}(\operatorname {tr} (\mathbf {{\hat {\mathbf {S} }}^{T}\operatorname {diag} (\mathbf {P} ^{T}\mathbf {1} ){\hat {\mathbf {S} }}} )-a\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{T}\mathbf {R} ))}$ 

アフィン登録の場合、目標は剛体変換ではなくアフィン変換を見つけることであり、出力はアフィン変換行列と、位置合わせされた点セットが次のようになるような変換です。 ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {t} }$

${\displaystyle T(\mathbf {M} )=\mathbf {M} \mathbf {B} ^{T}+\mathbf {1} \mathbf {t} ^{T}}$

剛体レジストレーションの関数はsolve_affine次のように記述でき、代数の導出はミロネンコの2010年の論文で説明されている。^{[ 13 ]}

solve_affine ( S , M , P ) N P  := 1 T P1 t  := μ s − B μ mを返す{ B , t }, σ 2${\displaystyle \mu _{s}:={\frac {1}{N_{\mathbf {P} }}}\mathbf {S} ^{T}\mathbf {P} ^{T}\mathbf {1} }$ ${\displaystyle \mu _{m}:={\frac {1}{N_{\mathbf {P} }}}\mathbf {M} ^{T}\mathbf {P} \mathbf {1} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {S} }}:=\mathbf {S} -\mathbf {1} \mu _{s}^{T}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {M} }}:=\mathbf {M} -\mathbf {1} \mu _{m}^{T}}$ ${\displaystyle \mathbf {B} :=({\hat {\mathbf {S} }}^{T}\mathbf {P} ^{T}{\hat {\mathbf {M} }})({\hat {\mathbf {M} }}^{T}\operatorname {diag} (\mathbf {P} \mathbf {1} ){\hat {\mathbf {M} }})^{-1}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}:={\frac {1}{N_{\mathbf {P} }D}}(\operatorname {tr} ({\hat {\mathbf {S} }}^{T}\operatorname {diag} (\mathbf {P} ^{T}\mathbf {1} ){\hat {\mathbf {S} }})-\operatorname {tr} ({\hat {\mathbf {S} }}^{T}\mathbf {P} ^{T}{\hat {\mathbf {M} }}\mathbf {B} ^{T}))}$ 

変分法を用いて導出されたパラメータ化を用いた非剛体レジストレーションでCPDを使用することも可能である。^{[ 13 ]}

ガウス分布の和は高速ガウス変換（FGT）を用いて線形時間で計算することができる。^{[ 13 ]}したがって、CPDの時間計算量は であり、漸近的には方法よりもはるかに高速である。^{[ 13 ]}${\displaystyle O(M+N)}$ ${\displaystyle O(MN)}$

ベイズコヒーレントポイントドリフト（BCPD）

コヒーレント点ドリフトの変形であるベイジアン コヒーレント点ドリフト (BCPD) は、点セットの位置合わせのベイジアン定式化によって導き出されました。 ^{[ 42 ]} BCPD は CPD に比べていくつかの利点があります。たとえば、(1) 非剛体と剛体の登録を単一のアルゴリズムで実行できます。(2) 動きのコヒーレンスを定義するグラム行列のガウス性に関係なくアルゴリズムを高速化できます。(3) 外れ値分布の定義がより合理的であるため、アルゴリズムは外れ値に対してより堅牢です。さらに、ベイジアン定式化では、動きのコヒーレンスは変位ベクトルの事前分布を通じて導入され、動きのコヒーレンスを制御するチューニング パラメータ間に明確な違いをもたらします。BCPD は、(1) 点セットのダウンサンプリング、(2) ダウンサンプリングされた点セットの位置合わせ、(3) 変形フィールドの補間からなる 3 段階の手順である BCPD++ と呼ばれる方法によってさらに高速化されました。 ^{[ 43 ]} この方法は、登録精度を維持しながら、1000万点以上の点からなる点集合を登録することができる。

局所表面形状によるコヒーレントポイントドリフト（LSG-CPD）

コヒーレントポイントドリフトの変種である局所表面幾何学的CPD（LSG-CPD）は、剛体点群レジストレーションに用いられる。^{[ 44 ]}この手法は、局所表面の平坦度に基づいて、点対点ペナルティに加えて、点対平面ペナルティを適応的に加算する。これにより、元のCPDにおける等方性共分散ではなく、異方性共分散を持つGMM成分が得られる。^{[ 13 ]}異方性共分散行列は次のようにモデル化される。

${\displaystyle \Sigma _{m}^{-1}={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\left(\alpha _{m}\mathbf {n} _{m}\mathbf {n} _{m}^{T}+\mathbf {I} \right)}$

lsg-cpd.1

どこ

${\displaystyle \alpha _{m}={\frac {1-\exp \left(\lambda \left(3-{\frac {1}{\kappa _{m}}}\right)\right)}{1+\exp \left(\lambda \left(3-{\frac {1}{\kappa _{m}}}\right)\right)}}\alpha _{max}}$

lsg-cpd.2

${\displaystyle \Sigma _{m}}$ はターゲットセットのm番目の点の異方性共分散行列です。は同じ点に対応する法線ベクトルです。は単位行列で、正規化行列として機能し、問題を不適切性から引き離します。はペナルティ係数（修正シグモイド関数）で、局所的な表面の平坦度に応じて、点対平面ペナルティのレベルを適応的に設定できます。これは、m番目のターゲット点の近傍における表面の変化^{[ 45 ]}を評価することで実現されます。はペナルティの上限です。 ${\displaystyle \mathbf {n} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle \alpha _{m}}$ ${\displaystyle \kappa _{m}}$ ${\displaystyle \alpha _{max}}$

点群の位置合わせは、最大尤度推定（MLE）問題として定式化され、期待値最大化（EM）アルゴリズムで解きます。Eステップでは、対応計算が単純な行列操作に書き直され、GPUで効率的に計算されます。Mステップでは、行列リー群上の制約なしの最適化が、位置合わせの剛体変換を効率的に更新するように設計されます。局所幾何共分散を利用することで、この手法はベースラインCPDと比較して、精度とノイズおよび外れ値に対する堅牢性において優れた性能を示します。^{[ 46 ]} GPUによる対応計算の高速化により、実行時性能の向上が期待されます。LSG-CPDの実装は、こちらでオープンソース化されています。

対応空間の​​ソート（SCS）

このアルゴリズムは、ソナー画像のレジストレーションに対応するために、2013 年に H. Assalih によって導入されました。^{[ 47 ]}この種の画像はノイズが多くなりがちなので、マッチングする点集合には多くの外れ値が含まれることが予想されます。SCS は外れ値に対して高い堅牢性を備えており、外れ値がある場合でも ICP や CPD のパフォーマンスを上回ることができます。SCS は高次元空間での反復最適化を使用せず、確率的でもスペクトル的でもありません。SCS は剛体変換と非剛体変換をマッチングでき、対象の変換が自由度3 から 6 の間である場合に最高のパフォーマンスを発揮します。

参照

• ポイントフィーチャマッチング
• 点集合三角測量
• 正規分布の変換

参考文献

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外部リンク

• 薄板スプラインロバストポイントマッチングのリファレンス実装
• カーネル相関点セット登録のリファレンス実装
• コヒーレントポイントドリフトのリファレンス実装
• ICPバリアントのリファレンス実装
• ベイズコヒーレントポイントドリフトのリファレンス実装
• LSG-CPDのリファレンス実装