正準変換

ハミルトン力学において、正準変換とは、ハミルトン方程式の形を保存する正準座標 $(q, p) \to (Q, P)$ の変更です。これは形式不変性と呼ばれることもあります。ハミルトン方程式は保存されますが、ハミルトニアン自体の明示的な形を保存する必要はありません。正準変換はそれ自体有用であり、ハミルトン・ヤコビ方程式（保存量の計算に有用な方法）やリウヴィルの定理（それ自体が古典統計力学の基礎）の基礎にもなります。

ラグランジュ力学は一般化座標に基づいているため、座標 $q \to Q$ の変換はラグランジュ方程式の形に影響を与えず、したがって、運動量が同時にルジャンドル変換によってに変更される場合、ハミルトン方程式の形にも影響を与えません。ここで、は新しい座標であり、に対する運動量と対応する位置の標準共役ペアにグループ化されます。は両方の座標系の自由度の数です。 $P_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q}}_{i}}}\ ,$ $\left\{\ (P_{1},Q_{1}),\ (P_{2},Q_{2}),\ (P_{3},Q_{3}),\ \ldots \ \right\}$ $P_{i}$ $Q_{i},$ $i=1,2,\ldots \ N,$ $N$

したがって、座標変換（点変換とも呼ばれる）は正準変換の一種です。しかし、正準変換の範疇ははるかに広く、従来の一般化座標、運動量、さらには時間さえも組み合わせて、新しい一般化座標と運動量を形成することができます。時間を明示的に含まない正準変換は、制限正準変換と呼ばれます（多くの教科書では、このタイプの変換のみを扱っています）。

標準変換の現代的な数学的記述は、余接束、外微分、シンプレクティック多様体などの高度な数学的前提条件を伴う主題をカバーする、より広範なシンプレクティック同相写像のトピックの下で考察されます。

表記

$q$ のような太字の変数は、回転の下でベクトルのように変換する必要のない $N個$ の一般化座標のリストを表し、同様に $pは$ 対応する一般化運動量を表します。例： ${\begin{aligned}\mathbf {q} &\equiv \left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N-1},q_{N}\right)\\\mathbf {p} &\equiv \left(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N-1},p_{N}\right).\end{aligned}}$

変数またはリスト上のドットは時間微分を表します。例: また、等式はすべての座標に対して満たされると解釈されます。例: ${\dot {\mathbf {q} }}\equiv {\frac {d\mathbf {q} }{dt}}$ ${\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {q} }}\quad \Longleftrightarrow \quad {\dot {p_{i}}}=-{\frac {\partial f}{\partial {q_{i}}}}\quad (i=1,\dots,N).$

同じ数の座標を持つ2つのリスト間のドット積表記は、対応する成分の積の合計を表す略記である。例えば、 $\mathbf {p} \cdot \mathbf {q} \equiv \sum _{k=1}^{N}p_{k}q_{k}.$

ドット積（「内積」とも呼ばれる）は、2つの座標リストを単一の数値を表す1つの変数に写像します。変換後の座標も同様に、変換された一般化座標には $Q 、変換された一般化運動量には$ $P$ でラベル付けされます。

制限された標準変換の条件

制限付き正準変換とは、変換された座標 $Q$ と $Pが$ 明示的な時間依存性を持たない座標変換、すなわち、およびである座標変換である。ハミルトン方程式の関数形は ${\textstyle \mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ ${\textstyle \mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$

${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {p} }}&=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\,,&{\dot {\mathbf {q} }}&={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\end{aligned}}$

一般に、変換 $(q, p) \to (Q, P)は$ ハミルトン方程式の形を保存しないが、変換に時間依存性がない場合には、いくつかの簡略化が可能である。正準変換の正式な定義に従うと、この種の変換に対して、新しいハミルトニアン（カミルトニアン^{[ 1 ]}と呼ばれることもある）は次のように表される。

$K(\mathbf {Q},\mathbf {P},t)=H(q(\mathbf {Q},\mathbf {P}),p(\mathbf {Q},\mathbf {P}),t)+{\frac {\partial G}{\partial t}}(t)$

ここで、それはジェネレーターと呼ばれる関数の部分時間微分によって異なり、これは制限された標準変換に対する時間の関数のみに還元されます。

ハミルトニアンの形を変更せずに残すことに加えて、上記の形式により、ハミルトンの運動方程式で変更されていないハミルトニアンを使用することもできます。

${\begin{alignedat}{3}{\dot {\mathbf {P} }}&=-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }}&&=-\left({\frac {\partial H}{\partial \mathbf {Q} }}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\{\dot {\mathbf {Q} }}&=\,\,\,\,{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}&&=\,\,\,\,\,\left({\frac {\partial H}{\partial \mathbf {P} }}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\end{alignedat}}$

正準変換は、ハミルトニアンのより許容度の低い変換に対応する、より一般的な位相空間の変換の集合を指しますが、より一般化可能な結果を得るためのより単純な条件を提供します。双線型不変性条件を除く以下の条件はすべて、時間依存性を含め、正準変換に対して一般化できます。

間接条件

$制限された変換は（定義により）明示的な時間依存性を持たないため、新しい一般化座標Q m$ の時間微分は

${\begin{aligned}{\dot {Q}}_{m}&={\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}\\&={\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}-{\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\\&=\lbrace Q_{m}、H\rbrace \end{aligned}}$ ここで ${\cdot, \cdot}は$ ポアソン括弧です。

同様に共役運動量P _{m の} 恒等式については、「カミルトニアン」の形式を使用して次のようになります。

${\begin{aligned}{\frac {\partial K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)}{\partial P_{m}}}&={\frac {\partial K(\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),t)}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial K(\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),t)}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\\[1ex]&={\frac {\partial H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\\[1ex]&={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\end{aligned}}$

ハミルトンの運動方程式の形により、

${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {P} }}&=-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }}\\{\dot {\mathbf {Q} }}&=\,\,\,\,{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}\end{aligned}}$

変換が標準的であれば、導出された 2 つの結果は等しくなるはずであり、次の式が成り立ちます。

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=-\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\\\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\end{aligned}}$

一般化運動量P _mに対する同様の議論から、他の2つの方程式が導かれます。

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\\\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=-\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\end{aligned}}$

これらは、特定の変換が標準的であるかどうかを確認するための 間接的な条件です。

シンプレクティック条件

ハミルトン関係は次のように表されることがあります。

${\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H$

ここで ${\textstyle J:={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}},}$

およびとする。同様にとする。 ${\textstyle \mathbf {\eta } ={\begin{bmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{n}\\p_{1}\\\vdots \\p_{n}\\\end{bmatrix}}}$ ${\textstyle \mathbf {\varepsilon } ={\begin{bmatrix}Q_{1}\\\vdots \\Q_{n}\\P_{1}\\\vdots \\P_{n}\\\end{bmatrix}}}$

偏微分の関係から、関係を新しい変数を含む偏微分で変換すると、が得られます。についても同様に、 ${\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H$ ${\dot {\eta }}=J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }H)$ ${\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}$ ${\textstyle {\dot {\varepsilon }}}$

${\dot {\varepsilon }}=M{\dot {\eta }}=MJM^{T}\nabla _{\varepsilon }H$

のハミルトン方程式の形により、 ${\textstyle {\dot {\varepsilon }}}$

${\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }K=J\nabla _{\varepsilon }H$

ここで、カミルトニアンの形式により、が使用できる。2つの式を等しくすると、シンプレクティック条件は次のようになる。^[²^] ${\textstyle \nabla _{\varepsilon }K=\nabla _{\varepsilon }H}$

$MJM^{T}=J$

上の式の左辺はのポアソン行列と呼ばれ、と表記される。同様に、のラグランジュ行列はと表すことができる。^[³^]シンプレクティック条件はの性質を用いてとも等価であることが示される。シンプレクティック条件を満たすすべての行列の集合は、シンプレクティック群を形成する。シンプレクティック条件は間接条件と等価であり、どちらもという式を導き、この式は両方の導出において用いられる。 $\varepsilon$ ${\textstyle {\mathcal {P}}(\varepsilon )=MJM^{T}}$ $\eta$ ${\textstyle {\mathcal {L}}(\eta )=M^{T}JM}$ ${\textstyle M^{T}JM=J}$ ${\textstyle J^{-1}=-J}$ ${\textstyle M}$ ${\textstyle {\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }H}$

ポアソン括弧の不変性

次のように定義されるポアソン括弧は、行列形式では次のように表すことができます。 $\{u,v\}_{\eta }:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial u}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial q_{i}}}\right)$

$\{u,v\}_{\eta }:=(\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }v)$

したがって偏微分関係とシンプレクティック条件を用いると次の式が得られる: ^{[ 4 ]} $\{u,v\}_{\eta }=(\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }v)=(M^{T}\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }v)=(\nabla _{\varepsilon }u)^{T}MJM^{T}(\nabla _{\varepsilon }v)=(\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(\nabla _{\varepsilon }v)=\{u,v\}_{\varepsilon }$

シンプレクティック条件は、とをとることでも再現でき、となる。したがって、これらの条件はシンプレクティック条件と同値である。さらに、となることが分かる。これは、行列要素を展開して明示的に計算した結果でもある。^[³^] ${\textstyle u=\varepsilon _{i}}$ ${\textstyle v=\varepsilon _{j}}$ ${\textstyle (MJM^{T})_{ij}=J_{ij}}$ ${\textstyle {\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=(MJM^{T})_{ij}}$

ラグランジュ括弧の不変性

ラグランジュ括弧は次のように定義されます。

$[u,v]_{\eta }:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\right)$

行列形式では次のように表すことができます。

$[u,v]_{\eta }:=\left({\frac {\partial \eta }{\partial u}}\right)^{T}J\left({\frac {\partial \eta }{\partial v}}\right)$

同様の導出を用いると次のようになります。

$[u,v]_{\varepsilon }=(\partial _{u}\varepsilon )^{T}\,J\,(\partial _{v}\varepsilon )=(M\,\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(M\,\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,M^{T}JM\,(\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(\partial _{v}\eta )=[u,v]_{\eta }$

シンプレクティック条件は、とをとることでも再現でき、となる。したがって、これらの条件はシンプレクティック条件と同値である。さらに、となることが分かる。これは、行列要素を展開して明示的に計算した結果でもある。^[³^] ${\textstyle u=\eta _{i}}$ ${\textstyle v=\eta _{j}}$ ${\textstyle (M^{T}JM)_{ij}=J_{ij}}$ ${\textstyle {\mathcal {L}}_{ij}(\eta )=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=(M^{T}JM)_{ij}}$

双線形不変性条件

これらの条件は、制限された正準変換または時間変数に依存しない正準変換にのみ適用されます

一般化座標とそれに対応する運動量の1組における2種類の任意の変化を考える: ^{[ 5 ]}

${\textstyle d\varepsilon =(dq_{1},dp_{1},0,0,\ldots ),\quad \delta \varepsilon =(\delta q_{1},\delta p_{1},0,0,\ldots ).}$

無限小平行四辺形の面積は次のように与えられます。

${\textstyle \delta a(12)=dq_{1}\delta p_{1}-\delta q_{1}dp_{1}={(\delta \varepsilon )}^{T}\,J\,d\varepsilon .}$

シンプレクティック条件から、無限小領域は標準変換の下で保存されることがわかります。 ${\textstyle M^{T}JM=J}$

${\textstyle \delta a(12)={(\delta \varepsilon )}^{T}\,J\,d\varepsilon ={(M\delta \eta )}^{T}\,J\,Md\eta ={(\delta \eta )}^{T}\,M^{T}JM\,d\eta ={(\delta \eta )}^{T}\,J\,d\eta =\delta A(12).}$

新しい座標は、1 つの座標運動量平面に完全に向けられる必要はないことに注意してください。

したがって、条件はより一般的には、標準変換の下での形式の不変性として述べられ、次のように拡張されます。 ${\textstyle {(d\varepsilon )}^{T}\,J\,\delta \varepsilon }$

$\sum \delta q\cdot dp-\delta p\cdot dq=\sum \delta Q\cdot dP-\delta P\cdot dQ$

上記が任意の変化に対して守られるためには、間接条件が満たされている必要がある。^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} 方程式の形はベクトルのシンプレクティック積としても知られており、双線形不変性条件はシンプレクティック積の局所的保存として述べることができる。^[⁸^] ${\textstyle {v}^{T}\,J\,w}$ ${\textstyle {v}}$ ${\textstyle w}$

リウヴィルの定理

間接条件により、位相空間における体積が標準変換の下で保存されることを述べるリウヴィルの定理を証明することができます

$\int \mathrm {d} \mathbf {q} \,\mathrm {d} \mathbf {p} =\int \mathrm {d} \mathbf {Q} \,\mathrm {d} \mathbf {P}$

微積分によれば、後者の積分は前者の積分にヤコビ行列式 $Mを掛けたものに等しくなければならない。$

$\int \mathrm {d} \mathbf {Q} \,\mathrm {d} \mathbf {P} =\int \det(M)\,\mathrm {d} \mathbf {q} \,\mathrm {d} \mathbf {p}$ ここで ${\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}$

ヤコビアンの「除算」の性質を利用すると、 $M\equiv {\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}}\left/{\frac {\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}}\right.$

重複する変数を消去すると、 $M\equiv {\frac {\partial (\mathbf {Q} )}{\partial (\mathbf {q} )}}\left/{\frac {\partial (\mathbf {p} )}{\partial (\mathbf {P} )}}\right.$

上記の間接条件を適用すると次の式が得られる。^[⁹^] $\operatorname {det} (M)=1$

母関数アプローチ

$($ $q$ $,$ $p$ $,$ $H$ $)$ と $($ $Q$ $,$ $P$ $,$ $K$ $)$ 間の有効な変換を保証するために、直接的な生成関数アプローチに頼ることができます。両方の変数セットはハミルトンの原理に従わなければなりません。つまり、それぞれのハミルトニアンから「逆」ルジャンドル変換を介して得られるラグランジアンおよび上の作用積分は、どちらの場合も定常でなければなりません（そのため、オイラー–ラグランジュ方程式を使用して、指定された形式のハミルトン運動方程式に到達できます。これは、例えばここで示されています）。 ${\mathcal {L}}_{qp}=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$ ${\mathcal {L}}_{QP}=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)$

${\begin{aligned}\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]dt&=0\\\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)\right]dt&=0\end{aligned}}$

両方の変分積分等式を満たす一つの方法は、

$\lambda \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {dG}{dt}}$

ラグランジアンは一意ではない。常に定数 $λ$ を掛けて全時間微分を加えることができる $。 dG / dt ⁠そして$ $、$ 同じ運動方程式が得られます（ Wikibooksで説明されているように）。一般に、スケーリング係数 $λは1に設定されます。λ$ $\neq1$ となる正準変換は、 $拡張$ 正準変換と呼ばれます。⁠ $dG / dt ⁠$ が保持されないと、問題は些細なものとなり、新しい標準変数が古いものと異なる自由度があまりなくなります。

ここで $G$ は、 1つの古い標準座標（ $q$ または $p$ ）、1つの新しい標準座標（ $Q$ または $P$ ）、そして（おそらく）時間 $tの$ 生成関数です。したがって、変数の選択に応じて、4つの基本的な生成関数の種類（ただし、これら4種類の混合が存在する場合もあります）が存在します。以下に示すように、生成関数は古い標準座標から新しい標準座標への変換を定義し、そのような変換 $($ $q$ $,$ $p$ $) \to ($ $Q$ $,$ $P$ $)$ はすべて標準であることが保証されます。

以下に表に示すさまざまな生成関数とその特性について詳しく説明します。

4つの基本的な正準変換の性質^{[ 10 ]}
母関数	母関数の微分		変換されたハミルトニアン	自明なケース
$G=G_{1}(q,Q,t)$	$p={\frac {\partial G_{1}}{\partial q}}$	$P=-{\frac {\partial G_{1}}{\partial Q}}$	${\textstyle K=H+{\frac {\partial G}{\partial t}}}$	$G_{1}=qQ$	$Q=p$	$P=-q$
$G=G_{2}(q,P,t)-QP$	$p={\frac {\partial G_{2}}{\partial q}}$	$Q={\frac {\partial G_{2}}{\partial P}}$		$G_{2}=qP$	$Q=q$	$P=p$
$G=G_{3}(p,Q,t)+qp$	$q=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial p}}$	$P=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial Q}}$		$G_{3}=pQ$	$Q=-q$	$P=-p$
$G=G_{4}(p,P,t)+qp-QP$	$q=-{\frac {\partial G_{4}}{\partial p}}$	$Q={\frac {\partial G_{4}}{\partial P}}$		$G_{4}=pP$	$Q=p$	$P=-q$

タイプ1の生成関数

タイプ1生成関数 $G 1 は$ 、新旧の一般化座標のみに依存する。暗黙の変換を導くために、上記の定義式を展開する。 ${\textstyle G\equiv G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)}$ $\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}$

新しい座標と古い座標はそれぞれ独立しているので、次の $2N +1$ 式が成り立つ $。$

${\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}\end{aligned}}$

これらの方程式は、変換 $(q 、 p) \to (Q 、 P)$ を次のように定義します。最初の $N$ 方程式セットは、新しい一般化座標 $Q$ と古い標準座標 $($ $q$ $、$ $p$ $)$ との関係を定義します。理想的には、これらの関係を逆転させて、古い標準座標の関数として各 $Q$ $k$ $の式を取得できます。 Q$ $座標のこれらの式をN$ 方程式の2 番目のセットに代入すると、古い標準座標 $($ $q$ $、$ $p$ $)$ の観点から新しい一般化運動量 $P$ の類似の式が得られます。次に、両方のセットの式を逆転させて、新しい標準座標 $($ $Q$ $、$ $P$ $)$ の関数として古い標準座標 $($ $q$ $、$ $p$ $)$ を取得します。逆転した式を最後の方程式に代入すると、新しい標準座標 $($ $Q$ $、$ $P$ $)の関数として$ $K$ の式が得られます。 ${\textstyle \ \mathbf {p} ={\frac {\ \partial G_{1}\ }{\partial \mathbf {q} }}\ }$ ${\textstyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}}$ ${\textstyle K=H+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}}$

実際には、この手順は思ったより簡単です。なぜなら、生成関数は通常単純だからです。例えば、とします。これは、一般化座標と運動量を入れ替え、その逆も同様に行います。 ${\textstyle G_{1}\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {Q} }$

${\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {Q} \\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}=-\mathbf {q} \end{aligned}}$

そして $K = H$ です。この例は、ハミルトン定式化において座標と運動量がいかに独立しているかを示しています。これらは同値な変数です。

タイプ2生成関数

タイプ2の生成関数は、古い一般化座標と新しい一般化運動量のみに依存します。ここで、項はルジャンドル変換を表し、以下の式の右辺を変更します。暗黙の変換を導くために、上記の定義式を展開します。 $G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$ ${\textstyle G\equiv G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)-\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} }$ $-\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P}$

$\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}$

古い座標と新しい運動量はそれぞれ独立なので、次の $2N +1$ 式が成り立つ $。$

${\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\\\mathbf {Q} &={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}\end{aligned}}$

これらの方程式は、変換 $(q 、 p) \to (Q 、 P)$ を次のように定義します。最初の $N$ 方程式セットは、新しい一般化運動量 $P$ と古い標準座標 $($ $q$ $、$ $p$ $)$ との関係を定義します。理想的には、これらの関係を逆転させて、古い標準座標の関数として各 $P$ $k$ $の式を取得できます。 P$ $座標のこれらの式をN$ 方程式の2 番目のセットに代入すると、古い標準座標 $($ $q$ $、$ $p$ $)$ に関して新しい一般化座標 $Q$ の類似の式が生成されます。次に、両方のセットの式を逆転させて、新しい標準座標 $($ $Q$ $、$ $P$ $)$ の関数として古い標準座標 $($ $q$ $、$ $p$ $)$ を取得します。逆転した式を最後の方程式に代入すると、新しい標準座標 $($ $Q$ $、$ $P$ $)の関数として$ $K$ の式が生成されます。 ${\textstyle \mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}}$ ${\textstyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}}$ ${\textstyle K=H+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}}$

実際には、この手順は思ったより簡単です。なぜなら、生成関数は通常単純だからです。例えば、 $g$ $がN$ 個の関数の集合であるとします。これは、一般化座標の点変換となります。 ${\textstyle G_{2}\equiv \mathbf {g} (\mathbf {q} ;t)\cdot \mathbf {P} }$ ${\textstyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}=\mathbf {g} (\mathbf {q} ;t)}$

タイプ3生成関数

タイプ3の生成関数は、古い一般化運動量と新しい一般化座標のみに依存します。ここで、項はルジャンドル変換を表し、以下の式の左辺を変更します。暗黙の変換を導くために、上記の定義式を展開します。 $G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)$ ${\textstyle G\equiv G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)+\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} }$ $\mathbf {q} \cdot \mathbf {p}$ $-\mathbf {q} \cdot {\dot {\mathbf {p} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}$

新しい座標と古い座標はそれぞれ独立しているので、次の $2N +1$ 式が成り立つ $。$

${\begin{aligned}\mathbf {q} &=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}\\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}\end{aligned}}$

これらの方程式は、変換 $(q 、 p) \to (Q 、 P)$ を次のように定義します。最初の $N$ 方程式セットは、新しい一般化座標 $Q$ と古い標準座標 $($ $q$ $、$ $p$ $)$ との関係を定義します。理想的には、これらの関係を逆転させて、古い標準座標の関数として各 $Q$ $k$ $の式を取得できます。 Q$ $座標のこれらの式をN$ 方程式の2 番目のセットに代入すると、古い標準座標 $($ $q$ $、$ $p$ $)$ の観点から新しい一般化運動量 $P$ の類似の式が得られます。次に、両方のセットの式を逆転させて、新しい標準座標 $($ $Q$ $、$ $P$ $)$ の関数として古い標準座標 $($ $q$ $、$ $p$ $)$ を取得します。逆転した式を最後の方程式に代入すると、新しい標準座標 $($ $Q$ $、$ $P$ $)の関数として$ $K$ の式が得られます。 ${\textstyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}}$ ${\textstyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}}$ ${\textstyle K=H+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}}$

実際には、生成関数は通常単純であるため、この手順は思ったより簡単です。

タイプ4生成関数

タイプ4の生成関数は、新旧の一般化運動量のみに依存します。ここで、項はルジャンドル変換を表し、以下の式の両辺を変化させます。暗黙の変換を導くために、上記の定義式を展開します。 $G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)$ ${\textstyle G\equiv G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)+\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} }$ $\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P}$

$-\mathbf {q} \cdot {\dot {\mathbf {p} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}$

新しい座標と古い座標はそれぞれ独立しているので、次の $2N +1$ 式が成り立つ $。$

${\begin{aligned}\mathbf {q} &=-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}\\\mathbf {Q} &={\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}\end{aligned}}$

これらの方程式は、変換 $(q 、 p) \to (Q 、 P)$ を次のように定義します。最初の $N$ 方程式セットは、新しい一般化運動量 $P$ と古い標準座標 $($ $q$ $、$ $p$ $)$ との関係を定義します。理想的には、これらの関係を逆転させて、古い標準座標の関数として各 $P$ $k$ $の式を取得できます。 P$ $座標のこれらの式をN$ 方程式の2 番目のセットに代入すると、古い標準座標 $($ $q$ $、$ $p$ $)$ に関して新しい一般化座標 $Q$ の類似の式が生成されます。次に、両方のセットの式を逆転させて、新しい標準座標 $($ $Q$ $、$ $P$ $)$ の関数として古い標準座標 $($ $q$ $、$ $p$ $)$ を取得します。逆転した式を最後の方程式に代入すると、新しい標準座標 $($ $Q$ $、$ $P$ $)の関数として$ $K$ の式が生成されます。 ${\textstyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}}$ ${\textstyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}}$ ${\textstyle K=H+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}}$

4種類の生成関数の制限

第二種生成関数およびを例に挙げると、変数、、からなる最初の方程式群は、を得るために逆変換する必要があります。この処理は、で定義される行列が非特異な場合に逆関数定理を用いて可能であり、以下の関係式として言い換えることができます。^[¹¹^] $G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$ ${\textstyle {p}_{i}={\frac {\partial G_{2}}{\partial {q}_{i}}}}$ ${\textstyle {Q}_{i}={\frac {\partial G_{2}}{\partial {P}_{i}}}}$ ${\textstyle \mathbf {p} }$ ${\textstyle \mathbf {q} }$ ${\textstyle \mathbf {P} }$ ${\textstyle \mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ ${\textstyle a_{ij}={\frac {\partial {p}_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}{\partial P_{j}}}}$

$\left|{\begin{array}{l l l}{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{1}\partial q_{1}}}}&{\cdots }&{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{1}\partial q_{n}}}}\\{\quad \vdots }&{\ddots }&{\quad \vdots }\\{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{n}\partial q_{1}}}}&{\cdots }&{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{n}\partial q_{n}}}}\end{array}}\right|{\neq 0}$

したがって、生成関数には、行列、、が非特異行列であるという制約が課される。[ 12 ] ^[¹³^]^これら^の^条件は、座標の局所可逆性にも対応している。これらの制約から、タイプ1とタイプ4の生成関数は常に非特異行列を持ち、タイプ2とタイプ3の生成関数は常に非特異行列を持つと言える。したがって、これら4つの生成関数のみから得られる正準変換は、完全に一般化されているわけではない。^[¹⁴^] ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{1}}{\partial Q_{j}\partial q_{i}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{j}\partial q_{i}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{3}}{\partial p_{j}\partial Q_{i}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{4}}{\partial p_{j}\partial P_{i}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial Q_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]}$

生成関数の一般化

言い換えれば、 $(Q, P)$ と $(q, p)$ はそれぞれ $2 N 個の$ 独立関数であるため、およびまたはおよびの形式の生成関数を持つためには、対応するヤコビ行列およびが非特異に制限され、生成関数が $2$ $N$ $+ 1 個$ の独立変数の関数であることが保証される。しかし、正準変換の特徴として、集合 $($ $q$ $,$ $p$ $)$ または $($ $Q$ $,$ $P$ $)から$ $2$ $N$ 個のそのような独立関数を選択して、時間変数を含む正準変換の生成関数表現を形成することが常に可能である。したがって、すべての有限正準変換は、与えられた 4 つの単純形式の変形である閉じた暗黙の形式として与えることができることが証明できる。^[¹⁵^] ${\textstyle G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)}$ $G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)$ $G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$ $G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial Q_{i}}{\partial p_{j}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}}{\partial p_{j}}}\right]}$

証明

一般化座標の完全な集合を取り、集合内の座標の局所的な可逆性を維持しながら、一般性を失うことなくラベル付けされた、可能な限り多くの変換された座標を集合に追加することを考えます ${\textstyle \{q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N-1},q_{N}\}}$ ${\textstyle \{Q_{1},Q_{2},\ldots ,Q_{k}\}}$

集合は局所的に独立な座標の集合であることが示されます。座標の集合の局所的可逆性の証明は、の非特異性、またはとなる非自明なヌル固有ベクトルが存在しないことを証明することによって与えられます。ここで、とです。 ${\textstyle \{q_{1},\ldots ,q_{N},Q_{1},\ldots ,Q_{k},P_{k+1},\ldots ,P_{N}\}}$ ${\textstyle {\frac {\partial (Q_{1},\ldots ,Q_{k},P_{k+1},\ldots ,P_{N})}{\partial (p_{1},\ldots ,p_{N})}}}$ ${\textstyle \sum _{a}\epsilon _{a}{\frac {\partial Q_{a}}{\partial p_{s}}}+\sum _{b}\eta _{b}{\frac {\partial P_{b}}{\partial p_{s}}}=0,\,\forall s}$ ${\textstyle a=1,\ldots ,k}$ ${\textstyle b=k+1,\ldots ,N}$

次の導出では、ヌル固有ベクトルの存在を仮定します。 ${\textstyle Q_{b}=f_{b}(q_{s},Q_{a})}$

${\textstyle \eta _{b'}=\sum _{a}\epsilon _{a}\{Q_{b'},Q_{a}\}+\sum _{b}\eta _{b}\{Q_{b'},P_{b}\}=\sum _{s}{\frac {\partial f_{b'}}{\partial q_{s}}}(\sum _{a}\epsilon _{a}{\frac {\partial Q_{a}}{\partial p_{s}}}+\sum _{b}\eta _{b}{\frac {\partial P_{b}}{\partial p_{s}}})=0}$

したがって、すべてである。局所可逆性の条件により、方程式の残りの部分に対してが成り立ち、これにより、唯一のヌル固有ベクトルは自明なベクトルであり、これは非特異行列であることを意味する。したがって、のような集合をとることが可能であることが示され、これは $2$ $N 個の$ 独立変数の性質を保持する新しい座標と古い座標の組み合わせであり、この性質を用いて、任意の座標変換をこれらの座標集合上の生成関数から生じるものとして解釈することができる。 ${\textstyle \eta _{b}=0}$ ${\textstyle \sum {\frac {\partial Q_{a}}{\partial p_{i}}}\epsilon _{i}=\delta Q_{a}(p_{1},\ldots ,p_{N})=0\implies \epsilon _{i}=0\quad \forall \,a=1,\ldots ,k}$ ${\textstyle {\frac {\partial (Q_{1},\ldots ,Q_{k},P_{k+1},\ldots ,P_{N})}{\partial (p_{1},\ldots ,p_{N})}}}$ ${\textstyle \{q_{1},\ldots ,q_{N},Q_{1},\ldots ,Q_{k},P_{k+1},\ldots ,P_{N}\}}$

正準変換条件

正準変換関係

から、計算します： $K=H+{\frac {\partial G}{\partial t}}$ ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}}$

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}\right)_{Q,P,t}&={\frac {\partial K}{\partial P}}-{\frac {\partial H}{\partial p}}{\frac {\partial p}{\partial P}}-{\frac {\partial H}{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial P}}-{\frac {\partial H}{\partial t}}\left({\frac {\partial t}{\partial P}}\right)_{Q,P,t}\\&={\dot {Q}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial P}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial P}}\\&={\frac {\partial Q}{\partial t}}+{\frac {\partial Q}{\partial q}}\cdot {\dot {q}}+{\frac {\partial Q}{\partial p}}\cdot {\dot {p}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial P}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial P}}\\&={\dot {q}}\left({\frac {\partial Q}{\partial q}}-{\frac {\partial p}{\partial P}}\right)+{\dot {p}}\left({\frac {\partial q}{\partial P}}+{\frac {\partial Q}{\partial p}}\right)+{\frac {\partial Q}{\partial t}}\end{aligned}}$ 左辺は粒子の力学とは独立であり、との係数をゼロとすることで、標準変換則が得られます。このステップは、左辺をと等しくすることと等価です。 ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial }{\partial P}}\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right){\bigg |}_{Q,P,t}}$ ${\textstyle {\dot {q}}}$ ${\textstyle {\dot {p}}}$ ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}}$

左辺は粒子の力学とは独立であり、との係数をゼロとすることで、標準変換則が得られます。このステップは、左辺をと等しくすることと等価です。 ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial }{\partial P}}\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right){\bigg |}_{Q,P,t}}$ ${\textstyle {\dot {q}}}$ ${\textstyle {\dot {p}}}$ ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}}$

同様に：

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial (K-H)}{\partial Q}}\right)_{Q,P,t}&={\frac {\partial K}{\partial Q}}-{\frac {\partial H}{\partial p}}{\frac {\partial p}{\partial Q}}-{\frac {\partial H}{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial Q}}-{\frac {\partial H}{\partial t}}\left({\frac {\partial t}{\partial Q}}\right)_{Q,P,t}\\&=-{\dot {P}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial Q}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial Q}}\\&=-{\frac {\partial P}{\partial t}}-{\frac {\partial P}{\partial q}}\cdot {\dot {q}}-{\frac {\partial P}{\partial p}}\cdot {\dot {p}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial Q}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial Q}}\\&=-\left({\dot {q}}\left({\frac {\partial P}{\partial q}}+{\frac {\partial p}{\partial Q}}\right)+{\dot {p}}\left({\frac {\partial P}{\partial p}}-{\frac {\partial q}{\partial Q}}\right)+{\frac {\partial P}{\partial t}}\right)\end{aligned}}$

同様に、標準変換規則は左辺を次のように等しくすることで得られます ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial Q}}=-{\frac {\partial P}{\partial t}}}$

上記の2つの関係は、行列形式で次のように結合できます（拡張正準変換でも同じ形式が保持されます）。ここで、結果が使用されています。したがって、この文脈では、正準変換関係はと同等であると言えます。 ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$ ${\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-H}$ ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$

標準的な変換関係は、時間依存性を含めるように言い換えることができます。

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}$

およびなので、Q と P が時間に明示的に依存しない場合 $、$ を $取る$ ことができる。したがって、制限された標準変換の解析はこの一般化と整合する。 ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}}$ ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial Q}}=-{\frac {\partial P}{\partial t}}}$ ${\textstyle K=H+{\frac {\partial G}{\partial t}}(t)}$

シンプレクティック条件

ハミルトニアン方程式のに座標変換の公式を適用すると、次のようになります $\nabla _{\eta }H=M^{T}\nabla _{\varepsilon }H$

${\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H=J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }H)$

同様に: ${\textstyle {\dot {\varepsilon }}}$

${\dot {\varepsilon }}=M{\dot {\eta }}+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}=MJM^{T}\nabla _{\varepsilon }H+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}$

または：

${\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }K=J\nabla _{\varepsilon }H+J\nabla _{\varepsilon }\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right)$

ここで、各方程式の最後の項は、正準変換の条件により打ち消されます。したがって、シンプレクティック関係式が残ります。これは条件とも等価です。上記の2つの方程式から、シンプレクティック条件は方程式を意味し、そこから間接条件を復元できます。したがって、生成関数を用いる文脈において、シンプレクティック条件と間接条件は等価であると言えます。 ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$ ${\textstyle MJM^{T}=J}$ ${\textstyle M^{T}JM=J}$ ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$

ポアソン括弧とラグランジュ括弧の不変性

とであり、最後の等式ではシンプレクティック条件が用いられている。を用いると、ポアソン括弧とラグランジュ括弧の不変性を示す等式とが得られる。 ${\textstyle {\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=(MJM^{T})_{ij}=J_{ij}}$ ${\textstyle {\mathcal {L}}_{ij}(\eta )=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=(M^{T}JM)_{ij}=J_{ij}}$ ${\textstyle \{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\eta }=J_{ij}}$ ${\textstyle \{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }}$ ${\textstyle [\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\eta }}$

拡張正準変換

正準変換関係

以下を解くことによって

$\lambda \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {dG}{dt}}$

さまざまな形式の生成関数では、K と H の関係は次のようになり、これはケースにも適用されます。 ${\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-\lambda H}$ ${\textstyle \lambda =1}$

以下に示すすべての結果は、既知の解から、およびを置き換えることによっても得ることができます。これは、ハミルトン方程式の形を保持しているためです。したがって、拡張された正準変換は、正準変換（）と、（与えられた例では、条件を満たす）を満たす自明な正準変換（）の結果であると言えます。 ^[¹⁶^] ${\textstyle q\rightarrow {\sqrt {\lambda }}q}$ ${\textstyle p\rightarrow {\sqrt {\lambda }}p}$ ${\textstyle H\rightarrow {\lambda }H}$ ${\textstyle \lambda =1}$ ${\textstyle \lambda \neq 1}$ ${\textstyle MJM^{T}=\lambda J}$ ${\textstyle M={\sqrt {\lambda }}I}$

一般的なケースでは、以前の一般化で使用したのと同じ手順を使用し、方程式を保持すると、拡張された標準変換偏微分関係は次のように得られます。 ${\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-\lambda H}$ ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial g}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\lambda \left({\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\lambda \left({\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\lambda \left({\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\lambda \left({\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}$

シンプレクティック条件

同じ手順に従ってシンプレクティック条件を導出します

${\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H=J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }H)$

そして

${\dot {\varepsilon }}=M{\dot {\eta }}+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}=MJM^{T}\nabla _{\varepsilon }H+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}$ ここで、代わりにを使用すると次のようになります。 ${\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-\lambda H}$

${\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }K=\lambda J\nabla _{\varepsilon }H+J\nabla _{\varepsilon }\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right)$

各式の2番目の部分は打ち消されます。したがって、拡張正準変換の条件は代わりに次のようになります。^[¹⁷^] ${\textstyle MJM^{T}=\lambda J}$

ポアソン括弧とラグランジュ括弧

ポアソン括弧は次のように変更されます。

$\{u,v\}_{\eta }=(\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }v)=(M^{T}\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }v)=(\nabla _{\varepsilon }u)^{T}MJM^{T}(\nabla _{\varepsilon }v)=\lambda (\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(\nabla _{\varepsilon }v)=\lambda \{u,v\}_{\varepsilon }$

一方、ラグランジュ括弧は次のように変更されます。

$[u,v]_{\varepsilon }=(\partial _{u}\varepsilon )^{T}\,J\,(\partial _{v}\varepsilon )=(M\,\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(M\,\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,M^{T}JM\,(\partial _{v}\eta )=\lambda (\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(\partial _{v}\eta )=\lambda [u,v]_{\eta }$

したがって、ポアソン括弧はの逆数でスケーリングされるのに対し、ラグランジュ括弧はの係数でスケーリングされる。^[¹⁸^] ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle \lambda }$

無限小正準変換

次のように、連続パラメータに依存する正準変換を考えます $\alpha$

${\begin{aligned}&Q(q,p,t;\alpha )\quad \quad \quad &Q(q,p,t;0)=q\\&P(q,p,t;\alpha )\quad \quad {\text{with}}\quad &P(q,p,t;0)=p\\\end{aligned}}$

の無限小値の場合、対応する変換は無限小正準変換と呼ばれ、微分正準変換とも呼ばれます。 $\alpha$

明示的な構成

次の生成関数を考えてみましょう。

$G_{2}(q,P,t)=qP+\alpha G(q,P,t)$

に対して、は結果として得られる正準変換を持ち、そしてなので、このタイプの生成関数は、無限小値に制限することで無限小正準変換に使用できます $\alpha =0$ $G_{2}=qP$ $Q=q$ $P=p$ $\alpha$

第2タイプの発電機の条件から：

${\begin{aligned}{p}&={\frac {\partial G_{2}}{\partial {q}}}=P+\alpha {\frac {\partial G}{\partial {q}}}(q,P,t)\\{Q}&={\frac {\partial G_{2}}{\partial {P}}}=q+\alpha {\frac {\partial G}{\partial {P}}}(q,P,t)\\\end{aligned}}$

なので、関数の変数をに変え、の高次の項を無視すると、次式が得られます。^[¹⁹^] $P=P(q,p,t;\alpha )$ $G$ $G(q,p,t)$ $\alpha$

${\begin{aligned}{p}&=P+\alpha {\frac {\partial G}{\partial {q}}}(q,p,t)\\{Q}&=q+\alpha {\frac {\partial G}{\partial p}}(q,p,t)\\\end{aligned}}$

無限小正準変換は、シンプレクティック条件の行列形式を用いて導くこともできる。^{[ 20 ]}この関数は無限小正準変換において非常に重要であり、無限小正準変換の生成子と呼ばれる。 $G(q,p,t)$

能動的な変換と受動的な変換

変換の能動的な見方では、物理システムは変化せずに座標系が変更されますが、変換の受動的な見方では、座標系は保持され、物理システムは変換を受けると言われます。

変革の積極的な見方

したがって、無限小の正準変換の関係を使用すると、正準変換のアクティブなビューでのシステムの状態の変化は次のようになります。

${\begin{aligned}&\delta q=\alpha {\frac {\partial G}{\partial p}}(q,p,t)\quad {\text{and}}\quad \delta p=-\alpha {\frac {\partial G}{\partial q}}(q,p,t),\\\end{aligned}}$

またはマトリックス形式として。 $\delta \eta =\alpha J\nabla _{\eta }G$

任意の関数は、変換のアクティブビューに応じて次のように変化します。 $u(\eta )$

$\delta u=u(\eta +\delta \eta )-u(\eta )=(\nabla _{\eta }u)^{T}\delta \eta =\alpha (\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }G)=\alpha \{u,G\}.$

変革に対する受動的な見方

受動的な視点、すなわち固定点におけるハミルトニアンの変化を考えると、 $K(Q=q_{0},P=p_{0},t)-H(q=q_{0},p=p_{0},t)=\left(H(q_{0}',p_{0}',t)+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}\right)-H(q_{0},p_{0},t)=-\delta H+\alpha {\frac {\partial G}{\partial t}}=\alpha \left(\{G,H\}+{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)=\alpha {\frac {dG}{dt}}$

ここで、は無限小正準変換によって点に写像され、からへの同様の変数変換はの一次までとみなされる。したがって、ハミルトニアンが無限小正準変換に対して不変であれば、その生成元は運動定数となる。 ${\textstyle (q=q_{0}',p=p_{0}')}$ ${\textstyle (Q=q_{0},P=p_{0})}$ $G(q,P,t)$ $G(q,p,t)$ $\alpha$

動的対称変換の生成器

座標の変化が一般化速度にも依存する変換を考えてみましょう。

${\begin{aligned}q^{r}\to q^{r}+\delta q^{r}\\\delta q^{r}=\epsilon \phi ^{r}(q,{\dot {q}},t)\\\end{aligned}}$

上記が動的対称性である場合、ラグランジアンは次のように変化します。

$\delta L=\epsilon {\frac {d}{dt}}F(q,{\dot {q}},t)$

そして、新しいラグランジアンは、結果として得られる運動方程式が同じであることを保証するため、古いラグランジアンと力学的に等価であると言われます。一般化された速度項と運動量項の変化は次のように導出されます。

${\begin{aligned}p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}},\quad &{\dot {q}}={\frac {dq}{dt}}\\\delta p_{r}={\frac {\partial ^{2}L}{\partial q^{s}\partial {\dot {q}}^{r}}}\delta q^{s}+{\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}^{s}\partial {\dot {q}}^{r}}}\delta {\dot {q}}^{s},\quad &\delta {\dot {q}}^{r}=\epsilon {\frac {\partial \phi ^{r}}{\partial q^{s}}}{\dot {q}}^{s}+\epsilon {\frac {\partial \phi ^{r}}{\partial {\dot {q}}^{s}}}{\ddot {q}}^{s}+\epsilon {\frac {\partial \phi ^{r}}{\partial t}}\\\end{aligned}}$

変換の生成

動的対称性のラグランジアン特性の変化を利用する：

${\frac {d}{dt}}F={\frac {\partial F}{\partial q^{r}}}{\dot {q}}^{r}+{\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}^{r}}}{\ddot {q}}^{r}+{\frac {\partial F}{\partial t}}={\frac {\delta L}{\epsilon }}=\left({\frac {\partial L}{\partial q^{r}}}\phi ^{r}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{r}}}{\frac {\partial \phi ^{r}}{\partial t}}\right)+p_{s}{\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial q^{r}}}{\dot {q}}^{r}+p_{s}{\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial {\dot {q}}^{r}}}{\ddot {q}}^{r}$

項は両辺に一度しか現れず、方程式はに関連する力学や運動方程式とは独立して成立する必要があるため、これが真であるためには係数が等しくなければならない。関係は次のようになる。これを用いて、次の関係が示される。 ${\ddot {q}}$ ${\ddot {q}}$ $(q,{\dot {q}},t)$ ${\textstyle p_{s}{\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial {\dot {q}}^{r}}}={\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}^{r}}}}$

$\{q^{r},\epsilon (p_{s}\phi ^{s}-F)\}=\delta q^{r},\quad \{p_{r},\epsilon (p_{s}\phi ^{s}-F)\}=\delta p_{r}+\epsilon \left({\frac {\partial L}{\partial q^{s}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{s}}}\right){\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial {\dot {q}}^{r}}}$

したがって、この項は、オイラー・ラグランジュ関係がゼロを与えるか、または無限小点変換であるならば、標準的な動的対称変換を生成する。点変換条件においては、オイラー・ラグランジュ方程式が満たされるかどうかに関わらず、この量は変換を生成する。また、この変換は問題の力学に依存しないため、純粋に運動学的関係であると言える。^[²¹^]^[²²^] $p\phi -F$ ${\frac {\partial \phi _{s}}{\partial {\dot {q}}^{r}}}=0\,\forall s,r$

同様の結果は古典場の理論でも得られており、例えば、対応する保存電荷、運動量密度が場の並進を生成し、ローレンツ不変性が場のローレンツ変換を生成するローレンツ不変ラグランジアン密度などである。^[²³^] $P^{\mu }$ $M^{\mu \nu }$

証明

まず、運動量の変化は次のようにより便利な形で表現できます $\delta p_{r}={\frac {\partial ^{2}L}{\partial q^{s}\partial {\dot {q}}^{r}}}\delta q^{s}+{\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}^{s}\partial {\dot {q}}^{r}}}\delta {\dot {q}}^{s}={\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}\left({\frac {\partial L}{\partial q^{s}}}\delta q^{s}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{s}}}\delta {\dot {q}}^{s}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q^{s}}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}(\delta q^{s})-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{s}}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}(\delta {\dot {q}}^{s})={\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}(\delta L)-p_{s}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}(\delta {\dot {q}}^{s})-{\frac {\partial L}{\partial q^{s}}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}(\delta q^{s})$

必要なポアソン括弧を簡素化すると、

${\begin{aligned}\{q^{r},\epsilon (p_{s}\phi ^{s}-F)\}=\epsilon \left(\phi _{r}+{\frac {\partial {\dot {q}}^{m}}{\partial p_{r}}}{\cancelto {=0}{\left(p_{s}{\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial {\dot {q}}^{m}}}-{\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}^{m}}}\right)}}\right)&=\delta q^{r}\\\{p_{r},\epsilon (p_{s}\phi ^{s}-F)\}=\epsilon \left(-p_{s}{\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial q^{r}}}+{\frac {\partial F}{\partial q^{r}}}+{\cancelto {=0}{\left({\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}^{m}}}-p_{s}{\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial {\dot {q}}^{m}}}\right)}}\left({\frac {\partial {\dot {q}}^{m}}{\partial q^{r}}}\right)_{q,p,t}\right)&=\epsilon \left(-p_{s}{\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial q^{r}}}+{\frac {\partial F}{\partial q^{r}}}\right)\\\end{aligned}}$

予備的な結果として、の任意の関数に対して、の動的動作を考慮すると、次の式が成り立ちます。 $(q,{\dot {q}},t)$ ${\ddot {q}}$

${\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}{\frac {d}{dt}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}={\frac {\partial }{\partial q^{r}}}+{\frac {\partial {\ddot {q}}^{s}}{\partial {\dot {q}}^{r}}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{s}}}$

これを使って数量を計算することができます:

${\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}\left({\frac {dF}{dt}}\right)-p_{s}\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}\left({\frac {d}{dt}}\phi ^{s}\right)\right)-{\dot {p}}_{s}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}(\phi ^{s})={\frac {d}{dt}}{\cancel {\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}F-p_{s}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}\phi ^{s}\right)}}+{\frac {\partial {\ddot {q}}^{s}}{\partial {\dot {q}}^{r}}}{\cancel {\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{s}}}F-p_{m}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{s}}}\phi ^{m}\right)}}-p_{s}{\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial q^{r}}}+{\frac {\partial F}{\partial q^{r}}}=\{p_{r},(p\phi -F)\}$

この関係は言い換えることができ、の式と組み合わせて、運動量に必要な関係を与えることができます。 $\delta p_{r}$

$\{p_{r},\epsilon (p_{s}\phi ^{s}-F)\}={\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}(\delta L)-p_{s}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}(\delta {\dot {q}}^{s})-{\dot {p}}_{s}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}(\delta q^{s})=\delta p_{r}+\epsilon \left({\frac {\partial L}{\partial q^{s}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{s}}}\right){\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial {\dot {q}}^{r}}}$

ネーター不変量

与えられたラグランジアンにオイラー・ラグランジュの関係式を用いると、運動の不変量は次のように導出できます $\delta L-\epsilon {\frac {d}{dt}}F(q,{\dot {q}},t)=\epsilon \phi {\cancelto {=0}{\left({\frac {\partial }{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}}}\right)L}}+\epsilon {\frac {d}{dt}}\left(\phi {\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}}}L-F\right)=\epsilon {\frac {d}{dt}}\left(\phi {\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}}}L-F\right)=0$

したがって、は運動定数である。したがって、導出されたノイマン不変量は、前に示したものと同じ対称変換も生成する。 $\left(\phi {\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}}}L-F\right)=p\phi -F$

ICTの例

時間発展

とをとるととなる。したがって、このような変換を連続的に適用すると、座標はに写像される。したがって、ハミルトニアンが時間変換不変、すなわち明示的な時間依存性を持たない場合、その値は運動に対して保存される。 $G(q,p,t)=H(q,p,t)$ $\alpha =dt$ $\delta \eta =(J\nabla _{\eta }H)dt={\dot {\eta }}dt=d\eta$ $\eta (\tau )$ $\eta (\tau +t)$

並進

、およびをとる。したがって、正準運動量は対応する一般座標にシフトを生成し、ハミルトニアンが並進不変であれば、運動量は運動定数となる $G(q,p,t)=p_{k}$ $\delta p_{i}=0$ $\delta q_{i}=\alpha \delta _{ik}$

回転

N粒子系の直交系を考えてみましょう。

${\begin{array}{l}{\mathbf {q} =\left(x_{1},y_{1},z_{1},\ldots ,x_{n},y_{n},z_{n}\right),}\\{\mathbf {p} =\left(p_{1x},p_{1y},p_{1z},\ldots ,p_{nx},p_{ny},p_{nz}\right).}\end{array}}$

生成元を次のように選び、無限小値をとすると、座標の変化はxについて次のように与えられます $G=L_{z}=\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}p_{iy}-y_{i}p_{ix}\right)$ $\alpha =\delta \phi$

${\begin{array}{c}{\delta x_{i}=\{x_{i},G\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}\{x_{i},x_{j}p_{jy}-y_{j}p_{jx}\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}(\underbrace {\{x_{i},x_{j}p_{jy}\}} _{=0}-{\{x_{i},y_{j}p_{jx}\}}})\delta \phi \\{=\displaystyle -\sum _{j}y_{j}\underbrace {\{x_{i},p_{jx}\}} _{=\delta _{ij}}\delta \phi =-y_{i}\delta \phi }\end{array}}$

yについても同様です。

${\begin{array}{c}\delta y_{i}=\{y_{i},G\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}\{y_{i},x_{j}p_{jy}-y_{j}p_{jx}\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}(\{y_{i},x_{j}p_{jy}\}-\underbrace {\{y_{i},y_{j}p_{jx}\}} _{=0})\delta \phi \\{=\displaystyle \sum _{j}x_{j}\underbrace {\{y_{i},p_{jy}\}} _{=\delta _{ij}}\delta \phi =x_{i}\delta \phi \,,}\end{array}}$

一方、すべての粒子のZ成分は変化しません。 ${\textstyle \delta z_{i}=\left\{z_{i},G\right\}\delta \phi =\sum _{j}\left\{z_{i},x_{j}p_{jy}-y_{j}p_{jx}\right\}\delta \phi =0}$

これらの変換は、一次近似においてZ軸周りの角度による回転に対応する。したがって、無限小正準変換を繰り返し適用すると、粒子系はZ軸周りの回転を生成する。ハミルトニアンがZ軸周りの回転に対して不変であれば、回転軸に沿った角運動量の成分である生成元は運動不変量となる。^[²⁰^] $\delta \phi$

正準変換の1パラメータ部分群

の値が次の範囲の連続した値を取ることを許可する: $\alpha$

${\begin{aligned}&Q(q,p,t;\alpha )\quad \quad \quad &Q(q,p,t;0)=q\\&P(q,p,t;\alpha )\quad \quad {\text{with}}\quad &P(q,p,t;0)=p\\\end{aligned}}$

これはと表現できます。 $\epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha )$ $\epsilon ^{\mu }(\eta ,t;0)=\eta ^{\mu }$

正準変換の 1 つのパラメータサブグループは、変換の生成子を使用してが満たされる座標を生成できるものです。つまり、パラメータおよびの 2 つの正準変換の合成は、パラメータの単一の正準変換の合成と同じです。 $\epsilon ^{\mu }(\epsilon (\eta ,t;\alpha _{1});\alpha _{2})=\epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha _{1}+\alpha _{2})$ $\alpha _{1}$ $\alpha _{2}$ $\alpha _{1}+\alpha _{2}$

1パラメータ部分群の種類の変換に関する条件は、次のように微分方程式として等価に表現できます。

$\delta \epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha )=\delta \alpha \{\epsilon ^{\nu },G\}=\delta \alpha J^{\mu \nu }{\frac {\partial G}{\partial \epsilon ^{\nu }}}(\epsilon (\eta ,t;\alpha ),t)\implies {\frac {d\epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha )}{d\alpha }}=J^{\mu \nu }{\frac {\partial G}{\partial \epsilon ^{\nu }}}(\epsilon (\eta ,t;\alpha ),t)$

生成子がに明示的に依存しないことを前提として、すべてのに対してが成り立つ。が初期値とみなされ、両辺の微分方程式が同じ形であることから、与えられた初期値を持つ解の一意性によりの関係が成り立つため、この式は自明に満たされるため、条件を復元できる。したがって、正準変換の1パラメータ部分群は、パラメータに依存しない生成子の同じ関数形を用いて、無限小正準変換をの有限値に拡張したものである。^[²⁴^] $\eta$ $\alpha$ $\epsilon ^{\mu }(\epsilon (\eta ,t;\alpha _{1});\alpha _{2})=\epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha _{1}+\alpha _{2})$ $\alpha _{2}=0$ $\alpha$ $\alpha$

ジェネレータはに明示的に依存しないため、ジェネレータはからも暗黙的に独立しています。 $\alpha$ $\alpha$

${\frac {dG(\epsilon (\eta ;\alpha ),t)}{d\alpha }}=\{G,G\}=0,\,\forall \alpha \implies G(\epsilon (\eta ;\alpha ),t)=G(\eta ,t)$

これを使って微分方程式を次のように表すことができます。

${\frac {d\epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha )}{d\alpha }}=\{\epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha ),G(\eta ,t)\}_{\eta }=:-{\tilde {G}}\epsilon ^{\mu }$

ここで線形微分演算子はと定義されます。 ${\tilde {G}}:=(\nabla _{\eta }G)^{T}J\nabla _{\eta }$

変革の積極的な見方

微分方程式を反復的に解くと、微分方程式の解は次のようになる。^{[ 24 ]}

$\epsilon (\eta ,t;\alpha )=\eta +\alpha \{\eta ,G(\eta ,t)\}+{\frac {1}{2!}}\alpha ^{2}\{\{\eta ,G(\eta ,t)\},G(\eta ,t)\}+\cdots =e^{-\alpha {\tilde {G}}}\eta$

関数値の変化を段階的に繰り返して使用することで、同様に得られる。 ${\frac {df(\epsilon (\eta ;\alpha ),t)}{d\alpha }}=\{f(\epsilon (\eta ;\alpha ),t),G(\eta ,t)\}_{\eta }=:-{\tilde {G}}f(\epsilon (\eta ;\alpha ),t)$ $\epsilon (\eta ,t;0)=\eta$

$f(e^{-\alpha {\tilde {G}}}\eta ,t)=f(\epsilon (\eta ;\alpha ),t)=f(\eta ,t)+\alpha \{f(\eta ,t),G(\eta ,t)\}+{\frac {1}{2!}}\alpha ^{2}\{\{f(\eta ,t),G(\eta ,t)\},G(\eta ,t)\}+\cdots =e^{-\alpha {\tilde {G}}}f(\eta ,t)$

変革に対する受動的な見方

関数の変化は、次のように一次まで表現できる位相空間内の同じ物理状態でその値を保存することによって呼び出すことができます。 $f(\epsilon ,t)=f(\epsilon (\eta ;\alpha ),t)=f'(\epsilon (\eta ;\alpha +\delta \alpha ),t)=f'(\epsilon ',t)$

$\delta 'f=f'(\epsilon )-f(\epsilon )=f'(\epsilon )-f'(\epsilon ')\approx f(\epsilon (\eta ;\alpha -\delta \alpha ))-f(\epsilon (\eta ;\alpha ))=-\delta \alpha \{f,G\}$

関数の変化を変換パラメータへの明示的な依存性として含めると、次のように表すことができます。ここで、関数はに明示的に依存しており、これは関数が座標による変換とは逆の変換を行うことを示し、位相空間内の物理点からそのスカラー値への明確な写像を保存します。また、関数が位相空間内の同じ物理状態における値を保存する必要なく変換することも可能です。例えば、ハミルトニアンのように、正準変換への明示的な依存性が上記の形式と異なる場合、前述の導出から次のように言い換えることができます。 $\alpha$ $f(\epsilon ,t;\alpha )$ $\alpha$ ${\frac {\partial f(\epsilon ,t;\alpha )}{\partial \alpha }}=-\{f,G\}$

${\frac {\partial H(\epsilon ,t;\alpha )}{\partial \alpha }}={\frac {dG}{dt}}$

これは前述の関係式と類似しているが、生成子の明示的な時間依存性も考慮している。したがって、ハミルトニアンが受動的な視点で無限小の標準変換に対して不変であれば、その生成子は運動定数となる。^{[ 24 ]}

標準的な変換としての運動

運動自体（あるいは、等価的に、時間原点のシフト）は標準変換である。かつならば、有効な軌道は終点に関わらず常にハミルトン原理を満たすはずなので、ハミルトン原理は自動的に満たされる。 $\mathbf {Q} (t)\equiv \mathbf {q} (t+\tau )$ $\mathbf {P} (t)\equiv \mathbf {p} (t+\tau )$ $\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)\right]dt=\delta \int _{t_{1}+\tau }^{t_{2}+\tau }\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t+\tau )\right]dt=0$ $(\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t))$

例

2つの定数ベクトルの変換は標準変換です。実際、ヤコビ行列は恒等変換であり、シンプレクティックです $\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\mathbf {q} +\mathbf {a} ,\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {b}$ $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ $I^{\text{T}}JI=J$
とを設定すると、が2次の回転行列である変換は正準です。特殊直交行列がに従うことを念頭に置くと、ヤコビ行列がシンプレクティックであることは容易にわかります。ただし、この例は次元2でのみ有効です。は、すべての行列がシンプレクティックとなる唯一の特殊直交群です。ここでの回転はとに作用しますが、とには独立に作用しないことに注意してください。したがって、これらは直交空間座標系の物理的な回転とは異なります。 $\mathbf {x} =(q,p)$ $\mathbf {X} =(Q,P)$ $\mathbf {X} (\mathbf {x} )=R\mathbf {x}$ $R\in SO(2)$ $R^{\text{T}}R=I$ $SO(2)$ $(q,p)$ $q$ $p$
変換（はの任意関数）は標準的です。ヤコビ行列はによって与えられ、これはシンプレクティックです。 $(Q(q,p),P(q,p))=(q+f(p),p)$ $f(p)$ $p$ ${\frac {\partial X}{\partial x}}={\begin{bmatrix}1&f'(p)\\0&1\end{bmatrix}}$

現代数学的記述

数学用語では、正準座標とは、系の位相空間（余接束）上の任意の座標で、全微分（厳密な形式）まで正準一形式を記述できる座標のことである。ある正準座標系と別の正準座標系との間の変数変換は、正準変換である。一般化座標の添え字 $q$ は、ここでは上付き文字（）で記述され、上記のように下付き文字（）で記述されることはない。上付き文字は、一般化座標の反変変換特性を表すものであり、座標がべき乗されることを意味するものではない。詳細は、シンプレクトモフィズムに関する記事を参照のこと。 $\sum _{i}p_{i}\,dq^{i}$ $q^{i}$ $q_{i}$

歴史

正準変換の最初の主要な応用は、1846年にシャルル・ドローネーによって地球・月・太陽系の研究において行われました。この研究は、1860年と1867年にフランス科学アカデミーによって『Mémoires』として2冊の大著として出版されました

参照

注釈

^ Goldstein, Poole & Safko 2007 , p. 370
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これら

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