極曲線

青色で楕円曲線 E : 4 Y 2 Z = X 3 − XZ 2 、赤色で点 Q = (0.9, 0) におけるその極曲線 ( E ) :  4 Y ² =  2.7 ^X  2  − ² XZ − 0.9Z 2を^示す 。黒^線 は、E と^Qに関する第一極曲線がQで交わる交点におけるE の接線を示す。

代数幾何学において、点Qに関するn次代数平面曲線Cの第一極曲線（または単に極曲線）とは、 C上のすべての点のうちQを通る接線を含むn −1次代数曲線のことである。これは、例えばプルッカーの公式の導出など、曲線とその双対曲線との関係を調べるために使用される。

意味

C を同次座標でf ( x, y, z ) = 0と定義する（ここでfはn次同次多項式）。Q の同次座標を( a ,  b ,  c ) とする。演算子を定義する 。

${\displaystyle \Delta _{Q}=a{\partial \over \partial x}+b{\partial \over \partial y}+c{\partial \over \partial z}.}$

すると、Δ _Q fはn −1次同次多項式となり、Δ _Q f ( x, y, z ) = 0 はQに関するCの第一極と呼ばれるn −1次曲線を定義します。

P =( p ,  q ,  r ) が曲線C上の非特異点である場合、 Pにおける接線の方程式は

${\displaystyle x{\partial f \over \partial x}(p,q,r)+y{\partial f \over \partial y}(p,q,r)+z{\partial f \over \partial z}(p,q,r)=0.}$

特に、PがCとQに関する第一極座標の交点上にある場合と、Q がPにおけるCの接線上にある場合とで同値である。Cの二重点の場合、 fの偏微分はすべて 0 となるため、第一極座標にはこれらの点も含まれる。

曲線のクラス

Cの類は、 C上にない点からCに引ける接線の数（重複接線を数え、虚接線を含む）として定義できる。これらの接線はそれぞれ、Cと第一極線との交点のいずれかでCに接し、ベズーの定理によれば、これらの接線は最大でn ( n −1) 個存在する。これは、次数nの曲線の類にn ( n −1)の上限を課す。この類は、 C上の特異点の数と種類を数えることによって正確に計算できる（プルッカーの公式を参照）。

高次の極性

自然数pに対するCのp 次極曲線は、 Δ _Q ^p f ( x, y, z ) = 0と定義されます。これはn − p次曲線です。p が n −1 のとき、p次極曲線はQに関するCの極直線と呼ばれます。同様に、pがn −2 のとき、この曲線はCの極円錐曲線と呼ばれます。

多変数のテイラー級数と同次性を利用すると、 f (λ a +μ p , λ b +μ q , λ c +μ r )は2つの方法で展開できる。

${\displaystyle \mu^{n}f(p,q,r)+\lambda \mu^{n-1}\Delta_{Q}f(p,q,r)+{\frac{1}{2}}\lambda^{2}\mu^{n-2}\Delta_{Q}^{2}f(p,q,r)+\dots }$

そして

${\displaystyle \lambda^{n}f(a,b,c)+\mu \lambda^{n-1}\Delta_{P}f(a,b,c)+{\frac{1}{2}}\mu^{2}\lambda^{n-2}\Delta_{P}^{2}f(a,b,c)+\dots.}$

^{λ p} μ ^{n − p}の係数を比較すると、

${\displaystyle {\frac {1}{p!}}\Delta _{Q}^{p}f(p,q,r)={\frac {1}{(np)!}}\Delta _{P}^{np}f(a,b,c).}$

特に、Qに関するCのp番目の極は、Pに関するCの( n − p )番目の極がQを通るような点Pの軌跡である。^{[ 1 ]}

ポーランド人

点Qに関するCの極直線が直線Lである場合、QはLの極であるという。与えられた直線には ( n −1) ²個の極がある (重複度などを数える)。ここでnはCの次数である。これを確認するには、L上の2 点PとQを選択する。極直線がPを通る点の軌跡はPの最初の極であり、これは次数n − 1の曲線である。同様に、極直線がQを通る点の軌跡はQの最初の極であり、これも次数n − 1の曲線である。点の極直線がLであるためには、それがPとQ の両方を含む必要がある。したがって、Lの極は、最初の 2 つの極の交点とまったく同じである。ベズーの定理により、これらの曲線には ( n −1) ^{2個の交点があり、これらは}Lの極である。^{[ 2 ]}

ヘッセン人

与えられた点Q =( a ,  b ,  c ) に対して、極円錐曲線は点Pの軌跡であり、QはPの第二極上にある。言い換えれば、極円錐曲線の方程式は

${\displaystyle \Delta _{(x,y,z)}^{2}f(a,b,c)=x^{2}{\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}(a,b,c)+2xy{\partial ^{2}f \over \partial x\partial y}(a,b,c)+\dots =0.}$

円錐曲線が退化している場合、かつその場合に限り、fのヘッセ行列の行列式は、

${\displaystyle H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}}\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\,\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\,\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\end{bmatrix}},}$

は消える。したがって、方程式| H ( f )|=0は、極円錐曲線が退化した点の軌跡である、Cのヘッセ曲線と呼ばれる次数3( n − 2 )の曲線を定義する。

参照

• 極超曲面
• 極と極

参考文献

1. Salmon pp. 49-50 に倣うが、Basset pp. 16-17 では本質的に同じ議論が異なる表記で示されている。
2. バセット p. 20、サーモン p. 51

• バセット、アルフレッド・バーナード (1901). 『三次曲線と四次曲線に関する初等的論文』 デイトン・ベル社 pp. 16ff.
• サルモン、ジョージ（1879）『高次平面曲線』ホッジス、フォスター、フィギス共著、pp. 49ff.
• フルトン著『代数幾何学における交差理論入門』第 1.2 節、CBMS、AMS、1984 年。
• イワノフ、AB (2001) [1994]、「極座標」、数学百科事典、EMSプレス
• イワノフ、AB (2001) [1994]、「ヘッセ行列（代数曲線）」、数学百科事典、EMSプレス