極座標系

極座標系における、極Oと極軸Lを持つ点。緑色は、半径座標 3 と角度座標 60 度（3, 60°）の点です 。青色は、点（4,  210°）です。

数学において、極座標系は、距離と角度を2つの座標として平面上の任意の点を指定します。これらは

• 極と呼ばれる基準点からの点の距離、および
• 極軸の方向に対する、極からの点の方向。極から引かれた光線。

極からの距離は、半径座標、半径距離、または単に半径と呼ばれ、角度は、角座標、極角、または方位角と呼ばれます。^{[ 1 ]}極は、直交座標系の原点に相当します。

極座標は、螺旋など、対象とする現象が平面の中心点からの方向と長さに本質的に結びついている状況において最も適しています。中心点の周りを物体が移動する平面的な物理システム、あるいは中心点から発生する現象は、極座標を用いた方がよりシンプルで直感的にモデル化できる場合が多いです。

極座標系は、2 つの方法で 3 次元に拡張されます。円筒座標系では2 番目の距離座標が追加され、球面座標系では2 番目の角度座標が追加されます。

グレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンとボナヴェントゥラ・カヴァリエリは17世紀半ばにそれぞれ独立してこのシステムの概念を導入しましたが、極座標という用語の実際の使用は18世紀のグレゴリオ・フォンタナに帰属しています。極座標系を導入した当初の動機は、円運動と軌道運動の研究でした。

歴史

ヒッパルコス、ギリシャの天文学者

角度と半径の概念は、紀元前1千年紀の古代の人々によって既に用いられていました。ギリシャの天文学者ヒッパルコス（紀元前190～120年）は、各角度における弦の長さを示す弦関数の表を作成し、彼が星の位置を決定する際に極座標を用いたという記述があります。^{[ 2 ]}ギリシャの数学者アルキメデスは『螺旋について』の中で、半径が角度に依存する関数である螺旋について述べています。しかし、このギリシャの研究は完全な座標系には至りませんでした。

西暦8世紀以降、天文学者たちは地球上のあらゆる場所からメッカへの方向（キブラ）と距離を概算し計算する方法を開発しました。^{[ 3 ]} 9世紀以降、天文学者たちは球面三角法と地図投影法を用いてこれらの量を正確に決定しました。この計算は基本的に、メッカの赤道極座標（すなわち経度と緯度）を、その位置と地球の極を通る大円を基準子午線とし、その位置と対蹠点を通る線を極軸とする系を基準として、その極座標（すなわちキブラと距離）に変換するものです。^{[ 4 ]}

極座標が正式な座標系の一部として導入された経緯は様々である。このテーマの全歴史は、ハーバード大学教授ジュリアン・ローウェル・クーリッジの著書『極座標の起源』に記されている。イエズス会のグレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンとイタリア人のボナヴェントゥラ・カヴァリエリの3人の数学者が、17世紀半ばにそれぞれ独立してこの概念を導入した。サン＝ヴァンサンは1625年に個人的にこのことについて書き記し、1647年に出版した。一方、カヴァリエリは1635年に出版し、修正版が1653年に登場した。カヴァリエリは初めて極座標を用いてアルキメデスの螺旋内の面積に関する問題を解いた。その後、フランスの数学者ブレーズ・パスカルが極座標を用いて放物線の長さを計算した。^{[ 5 ]}

イギリスの数学者アイザック・ニュートンは、著書『流数法』（1671年執筆、1736年出版）の中で、極座標（彼はこれを「螺旋のための第七の方法」と呼んだ）と他の9つの座標系との間の変換を考察した。^{[ 6 ]}彼は、解析的な形の極座標系と、厳密な意味での双極座標系を考案したとされている。 ^{[ 7 ]}スイスの数学者ヤコブ・ベルヌーイは、雑誌『アクタ・エルディトルム』（1691年）の中で、直線上の点（それぞれ極と極軸と呼ばれる）を用いた。座標は、極からの距離と極軸からの角度で規定された。ベルヌーイの研究は、これらの座標で表される曲線の曲率半径の計算にまで及んだ。

極座標という用語は、グレゴリオ・フォンターナに帰属し、18世紀のイタリアの著述家によって使用されました。この用語は、ジョージ・ピーコックによる1816年のラクロワの『微分積分学』の翻訳で英語に登場しました。^{[ 8 ] [ 9 ]}アレクシ・クレローは3次元における極座標を初めて考案し、レオンハルト・オイラーはそれを実際に開発した最初の人物です。^{[ 5 ]}

コンベンション

反時計回りに角度が増加し、度でラベル付けされた複数の角度を持つ極座標グリッド

ラジアル座標はしばしば（ρ）または（ロー）で表記されます。角度座標は（ファイ）で表記され、ISO規格31-11（現在は80000-2:2019）^{[ 10 ]}で規定されています。また、数学文献では（シータ）で表されることが多いです。 ^{[ 11 ]}${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \theta}$

極座標表記における角度は、一般的に度またはラジアン（2πradは360°に等しい）で表されます。度は伝統的に航海術、測量、そして多くの応用分野で使用され、ラジアンは数学や数理物理学でより一般的です。^{[ 12 ]}

角度は、基準方向から0°を起点として定義され、時計回り（↻）または反時計回り（↺）のどちらの方向への回転でも増加します。例えば、数学では、基準方向は通常、極から水平に右に伸びる光線として描かれ、極角は反時計回りの回転で正の角度に増加しますが、航海（方位、進行方向）では、0°の進行方向は垂直に上向きに描かれ、時計回りの回転で角度が増加します。極角は、それぞれ反対の方向への回転では負の値に減少します。 ${\displaystyle \varphi }$

極座標の一意性

角座標に任意の回転（360°）を加えても、対応する方向は変わりません。同様に、任意の極座標は、負のラジアル成分と反対方向（極角に180°を加えたもの）を持つ座標と同一です。したがって、同じ点は無限数の異なる極座標と（は任意の整数）で表すことができます。^{[ 13 ]}さらに、極自体は任意の角度 に対してと表すことができます。^{[ 14 ]}${\displaystyle (r,\varphi )}$ ${\displaystyle (r,\varphi +n\times 360^{\circ })}$ ${\displaystyle (-r,\varphi +180^{\circ }+n\times 360^{\circ })=(-r,\varphi +(2n+1)\times 180^{\circ })}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (0,\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi }$

極以外の点について一意の表現が必要な場合は、通常、正の数（）と区間または区間（ラジアンではまたは ）に制限します。^{[ 15 ]}逆正接関数の通常の余弦定理に関するもう1つの慣例は、ラジアル成分に任意の非ゼロの実数値を許可し、極角を に制限することです。すべての場合において、極の一意の方位角を選択する必要があります（例：）。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle [0,360^{\circ })}$ ${\displaystyle (-180^{\circ },180^{\circ }]}$ ${\displaystyle [0,2\pi )}$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle (-90^{\circ },90^{\circ }]}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle \varphi =0}$

極座標と直交座標の変換

極座標と直交座標の関係を示す図。

極座標とを三角関数の正弦と余弦を使って直交座標とに変換することができる。^{[ 11 ]}${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \varphi ,\\y&=r\sin \varphi .\end{aligned}}}$$

直交座標とを極座標とに変換することができる。この場合、区間とは次の式で表せる。^{[ 16 ]} ここで、atan2は逆正接関数 の一般的なバリエーションであり、次のように定義される。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle r\geq 0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\varphi &=\operatorname {atan2} (y,x),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{if }}x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\{\text{undefined}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}}$$

rが上記のように最初に計算された場合、 φのこの式はアークコサイン関数を使用してより簡単に表すことができます。 $${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\arccos \left({\frac {x}{r}}\right)&{\mbox{if }}y\geq 0{\mbox{ and }}r\neq 0\\-\arccos \left({\frac {x}{r}}\right)&{\mbox{if }}y<0\\{\text{undefined}}&{\mbox{if }}r=0.\end{cases}}}$$

複素数

複素数zを複素平面上にプロットした図

オイラーの公式を用いて複素平面上にプロットされた複素数の図

複素数は実数と、虚数から構成され、虚数は と表記されます。すべての複素数は複素平面上の点を表し、その点の直交座標（直交形式またはデカルト形式と呼ばれる）または極座標（極形式と呼ばれる）のいずれかを指定して表現できます。^{[ 17 ]}${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle i^{2}=-1}$ ${\displaystyle z=x+iy}$

極形式では、距離と角度の座標は、それぞれ数の絶対値と引数の大きさと呼ばれることがよくあります。 これは、直交形式で と表された複素数 を極形式に変換すると、とを代入することによって得られます。^{[ 17 ]} 最後の式はオイラーの公式から導かれます。ここではオイラー数で約 2.718、（ラジアンで表された）は に適用された複素数関数argの主値です。^{[ 18 ]}複素数の直交形式と極形式の間で変換するには、上記の変換式を使用できます。 同等のものは、cis —関数は—と角度表記を表します。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle x=r\cos \varphi }$ ${\displaystyle y=r\sin \varphi }$ $${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi }.}$$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle \cos \varphi +i\sin \varphi }$ $${\displaystyle z=r\operatorname {\mathrm {cis} } \varphi =r\angle \varphi .}$$

複素数の 乗算、除算、累乗、根号の演算では、直交座標形式よりも極座標形式で表現した方が一般的にはるかに簡単です。累乗の法則から：

• 乗算：${\displaystyle r_{0}e^{i\varphi _{0}}\,r_{1}e^{i\varphi _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i\left(\varphi _{0}+\varphi _{1}\right)}}$
• 分割：${\displaystyle {\frac {r_{0}e^{i\varphi _{0}}}{r_{1}e^{i\varphi _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\varphi _{0}-\varphi _{1})}}$
• べき乗またはド・モアブルの公式:${\displaystyle \left(re^{i\varphi }\right)^{n}=r^{n}e^{in\varphi }}$
• ルート抽出または主ルート:${\displaystyle {\sqrt[{n}]{re^{i\varphi }}}={\sqrt[{n}]{r}}e^{i\varphi \over n}}$

曲線の極方程式

デカルト平面上の曲線は極座標にマッピングできます。このアニメーションでは、が にマッピングされています。詳細については画像をクリックしてください。${\displaystyle y=\sin(6\!\cdot \!x)+2}$ ${\displaystyle r=\sin(6\!\cdot \!\theta )+2}$

極座標で表された平面曲線を定義する方程式は、極方程式と呼ばれます。多くの場合、このような方程式は、r をφの関数として定義するだけで簡単に定義できます。その結果得られる曲線は、( r ( φ ),  φ ) という形式の点で構成され、極関数rのグラフと見なすことができます。直交座標とは異なり、独立変数φは順序付きペアの2番目の要素であることに注意してください。

極関数rの方程式から、さまざまな対称形式を推測できます。

• r (− φ ) = r ( φ )の場合、曲線は水平（0°/180°）光線を中心に対称になります。
• r ( π − φ ) = r ( φ )の場合には、垂直（90°/270°）光線に関して対称になります。
• r ( φ − α) = r ( φ )の場合、極を中心に時計回りと反時計回りに α だけ回転対称になります。

極座標系の円的な性質により、多くの曲線は比較的単純な極方程式で記述できますが、直交座標系でははるかに複雑になります。これらの曲線の中で最もよく知られているものには、極ローズ、アルキメデスの螺旋、レムニスケート、リマソン、カーディオイドなどがあります。

下の円、直線、極ローズについては、曲線の定義域と値域に制限がないことがわかります。

丸

方程式r ( φ ) = 1 の円

中心がaで半径がaの円の一般的な方程式は ${\displaystyle (r_{0},\gamma )}$ $${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\gamma )+r_{0}^{2}=a^{2}.}$$

これは、極を中心とし半径aを持つ円の方程式など、より具体的なケースに合わせて様々な方法で簡略化することができます 。^{[ 19 ]}$${\displaystyle r(\varphi )=a}$$

r ₀ = aまたは原点が円上にある 場合、方程式は次のようになります。$${\displaystyle r=2a\cos(\varphi -\gamma ).}$$

一般的なケースでは、この方程式をrについて解くと、 次のようになります 。平方根の前にマイナス記号を付けた解は、同じ曲線を与えます。 $${\displaystyle r=r_{0}\cos(\varphi -\gamma )+{\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\varphi -\gamma )}}}$$

円錐曲線

楕円形、半直腸を示す

一方の焦点が極にあり、もう一方の焦点が0°光線上にある円錐曲線（円錐曲線の長軸が極軸に沿う）は、次式で与えられます。 ここで、 は離心率、は半直角（焦点における長軸から曲線への垂線距離）です。 の場合、この式は双曲線を定義します。 の場合、放物線を定義します。 の場合、この式は楕円を定義します。後者の特殊なケースでは、半径 の円になります。 $${\displaystyle r={\ell \over {1-\epsilon \cos \varphi }}}$$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \epsilon >1}$ ${\displaystyle \epsilon =1}$ ${\displaystyle \epsilon <1}$ ${\displaystyle \epsilon =0}$ ${\displaystyle \ell }$

ライン

放射状の直線（極を通る直線）は、次の式で表される。 ここで、 は直線の仰角、つまり、は直交座標系における直線の傾きである。点 で放射状の直線と垂直に交わる非放射状の直線は、次の式で表される。 $${\displaystyle \varphi =\gamma ,}$$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \varphi =\arctan m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \varphi =\gamma }$ ${\displaystyle (r_{0},\gamma )}$ $${\displaystyle r(\varphi )=r_{0}\sec(\varphi -\gamma ).}$$

言い換えれば、接線が仮想の半径の円と交差する点である。${\displaystyle (r_{0},\gamma )}$ ${\displaystyle r_{0}}$

ポーラーローズ

方程式r ( φ ) = 2 sin 4 φを持つ極性のバラ

極ローズは、花びらのある花のように見える数学的な曲線で、次の 2 つの極方程式のいずれかで表現できます。^{[ 20 ]} コサイン形式とサイン形式は同等ではありませんが、結果の曲線の回転が異なるだけです。どちらもr ( φ ) = a cos( kφ + γ )の特殊なケースで、 γによって位相が決まり、回転も決まります。kが整数で、これらの方程式から、 kが奇数の場合はk花びらのバラ、偶数の場合は 2 k花びらのバラが生成されます。 ^{[ 21 ]} kが有理数で整数でない場合は、バラのような形状になりますが、花びらが重なり合います。これらの方程式では、2、6、10、14 枚などの花びらを持つバラは定義されないことに注意してください。変数a は、バラの花びらの長さまたは振幅を直接表し、k は花びらの空間周波数に関係します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}r(\varphi )&=a\sin \left(k\varphi \right),\\r(\varphi )&=a\cos \left(k\varphi \right).\end{aligned}}}$$

アルキメデスの螺旋

方程式r ( φ ) = φ / 2 π ( 0 < φ < 6 π)を持つアルキメデス螺旋の 1 つのアーム

アルキメデスの螺旋はアルキメデスが発見した螺旋で、簡単な極方程式でも表すことができます。これは方程式で表されます。 パラメータaを変更すると螺旋が回転し、bで腕の間隔を制御します。腕の間隔は、特定の螺旋では常に一定です。アルキメデスの螺旋には 2 つの腕があり、1 つはφ > 0用、もう 1 つはφ < 0用です。2 つの腕は極で滑らかに接続されています。a = 0 の場合、 90 °/270° の線を挟んで一方の腕の鏡像を取ると、もう一方の腕が得られます。この曲線は、円錐曲線の後で数学の論文で説明された最初の曲線の 1 つとして、また極方程式によって最もよく定義される曲線の代表例として注目に値します。 $${\displaystyle r(\varphi )=a+b\varphi .}$$

四分儀

第一象限の四分円曲線とは、曲線点を通る半径で決まる四分円の半径に対する割合に等しい曲線である。この割合は^{[ 22 ]}であるので、この曲線は次のように表される。${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle y=\rho \sin \theta }$ ${\displaystyle r}$ ${\textstyle {\frac {2r\theta }{\pi }}}$ $${\displaystyle \rho (\theta )={\frac {2r\theta }{\pi \sin \theta }}.}$$

2つの極曲線の交差

2 つの極関数のグラフには、次の 3 種類の交差が可能です。 ${\displaystyle r=f(\theta )}$ ${\displaystyle r=g(\theta )}$

1. 原点において、方程式とがそれぞれ少なくとも 1 つの解を持つ場合。${\displaystyle f(\theta )=0}$ ${\displaystyle g(\theta )=0}$
2. のすべての点は、整数である方程式の解です。${\displaystyle [g(\theta _{i}),\theta _{i}]}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle f(\theta +2k\pi )=g(\theta )}$ ${\displaystyle k}$
3. のすべての点は、整数である方程式の解です。${\displaystyle [g(\theta _{i}),\theta _{i}]}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle f(\theta +(2k+1)\pi )=-g(\theta )}$ ${\displaystyle k}$

微積分

微積分は極座標で表された方程式に適用できる。^{[ 23 ] [ 24 ]}

このセクション全体では、角度座標φはラジアンで表されます。これは、微積分を行う際の通常の選択です。

微分積分

x = r cos φとy = r sin φを用いて、直交座標と極座標における微分の関係を導くことができる。与えられた関数u ( x , y ) について、（その全微分を計算することにより）または $${\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {du}{dr}}&=r{\frac {\partial u}{\partial x}}\cos \varphi +r{\frac {\partial u}{\partial y}}\sin \varphi =x{\frac {\partial u}{\partial x}}+y{\frac {\partial u}{\partial y}},\\[2pt]{\frac {du}{d\varphi }}&=-{\frac {\partial u}{\partial x}}r\sin \varphi +{\frac {\partial u}{\partial y}}r\cos \varphi =-y{\frac {\partial u}{\partial x}}+x{\frac {\partial u}{\partial y}}.\end{aligned}}}$$

したがって、次の式が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {d}{dr}}&=x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}}\\[2pt]{\frac {d}{d\varphi }}&=-y{\frac {\partial }{\partial x}}+x{\frac {\partial }{\partial y}}.\end{aligned}}}$$

逆座標変換を用いることで、導関数間にも同様の逆関係が導かれる。関数u ( r , φ )が与えられたとき、次式が成り立つ 。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du}{dx}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\\[2pt]{\frac {du}{dy}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial y}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du}{dx}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}-{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt]&=\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial \varphi }},\\[2pt]{\frac {du}{dy}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt]&=\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial \varphi }}.\end{aligned}}}$$

したがって、次の式が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}&=\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\\[2pt]{\frac {d}{dy}}&=\sin \varphi {\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}.\end{aligned}}}$$

任意の点における極曲線r ( φ )の接線の直交座標の傾きを求めるには、まず曲線を媒介変数方程式のシステムとして表現します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\varphi )\cos \varphi \\y&=r(\varphi )\sin \varphi \end{aligned}}}$$

両方の式をφについて微分すると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi \\[2pt]{\frac {dy}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi .\end{aligned}}}$$

2番目の式を1番目の式で割ると、点における曲線の接線の直交座標の傾きが得られる。^{[ 25 ]}${\displaystyle (r(\varphi ),\varphi )}$ $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}.}$$

極座標における発散、勾配、ラプラシアンなどのその他の便利な数式については、曲線座標を参照してください。

積分学（弧長）

極関数によって定義される弧長（線分の長さ）は、曲線r ( φ ) 上の積分によって求められます。点Aから点Bまでの曲線に沿った弧長をLとします。ここで、これらの点はφ = aおよびφ = bに対応し、 0 < b − a < 2 πとなります。L の長さは次の積分によって与えられます 。$${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left[r(\varphi )\right]^{2}+\left[{\tfrac {dr(\varphi )}{d\varphi }}\right]^{2}}}d\varphi }$$

積分積分（面積）

積分領域Rは曲線r ( φ )と光線φ = aおよびφ = bによって囲まれます。

曲線r ( φ ) と直線φ = aおよびφ = b（0 < b − a ≤ 2 π ）で囲まれた領域をRとします。Rの面積は $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\left[r(\varphi )\right]^{2}\,d\varphi .}$$

領域Rはn 個のセクター (ここではn = 5)で近似されます。

極積分を機械的に計算するプラニメータ

この結果は次のようにして得られる。まず、区間[ a , b ]をn 個の部分区間に分割する。ここでnは正の整数である。したがって、各部分区間の角度の尺度 Δ φ は、区間の角度の総和b − aを部分区間の数nで割った値に等しい。各部分区間i = 1, 2, ..., nについて、φ _{i を}部分区間の中点とし、中心を極、半径r ( φ _i )、中心角Δ φ、弧長r ( φ _i )Δ φとする扇形を描く。構築された各扇形の面積は、したがって 、すべての扇形の合計面積は、 $${\displaystyle \left[r(\varphi _{i})\right]^{2}\pi \cdot {\frac {\Delta \varphi }{2\pi }}={\frac {1}{2}}\left[r(\varphi _{i})\right]^{2}\Delta \varphi .}$$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\tfrac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi .}$$

部分区間の数nが増加するにつれて、面積の近似値は向上します。n → ∞とすると、和は上記の積分の リーマン和になります。

面積積分を計算する機械装置にプラニメータがあり、平面図形をトレースすることでその面積を測定します。これは、ジョイントを追加することで極座標での積分を再現し、2 要素のリンクがグリーンの定理を実現して、2 次極積分を線型積分に変換します。

一般化

直交座標系を用いると、微小面積要素はdA = dx dyとして計算できます。多重積分の置換規則によれば、他の座標系を用いる場合は、座標変換式のヤコビ行列式を考慮する必要があります。 $${\displaystyle J=\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\varphi )}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[2pt]{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{vmatrix}}=r\cos ^{2}\varphi +r\sin ^{2}\varphi =r.}$$

したがって、極座標における面積要素は次のように表される。 $${\displaystyle dA=dx\,dy\ =J\,dr\,d\varphi =r\,dr\,d\varphi .}$$

ここで、極座標で与えられた関数は次のように積分できます。 $${\displaystyle \iint _{R}f(x,y)\,dA=\int _{a}^{b}\int _{0}^{r(\varphi )}f(r,\varphi )\,r\,dr\,d\varphi .}$$

ここで、Rは上記と同じ領域、すなわち曲線r ( φ ) と直線φ = aおよびφ = bで囲まれた領域です。Rの面積の公式は、fを 1 とすること で得られます。

のグラフと、関数と- 軸の間の領域で、 に等しくなります。${\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$

この結果のさらに驚くべき応用はガウス積分をもたらす： $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}$$

ベクトル計算

ベクトル解析は極座標にも適用できます。平面運動の場合、位置ベクトルを( r cos( φ ), r sin( φ ))とします。ここで、rとφ は時間tに依存します。 ${\displaystyle \mathbf {r} }$

3つの単位ベクトル（ラジアル方向、横方向、法線方向）を持つ直交基底を定義します。ラジアル方向はを正規化することで定義されます。 ラジアル方向と速度方向は運動面 を横切ります。運動面の法線方向は で示されます。 横方向はラジアル方向と法線方向の両方に垂直です。 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=(\cos(\varphi ),\sin(\varphi ))}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}={\hat {\mathbf {v} }}\times {\hat {\mathbf {r} }}.}$$ $${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=(-\sin(\varphi ),\cos(\varphi ))={\hat {\mathbf {k} }}\times {\hat {\mathbf {r} }}\ ,}$$

それから $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=(x,\ y)=r(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )=r{\hat {\mathbf {r} }}\ ,\\[1.5ex]{\dot {\mathbf {r} }}&=\left({\dot {x}},\ {\dot {y}}\right)={\dot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+r{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\varphi }}{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\ ,\\[1.5ex]{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {x}},\ {\ddot {y}}\right)\\[1ex]&={\ddot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )+r{\ddot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )-r{\dot {\varphi }}^{2}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )\\[1ex]&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\varphi }}+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\\[1ex]&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {1}{r}}\;{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}.\end{aligned}}}$$

この方程式は、関数の微分と単位基底ベクトルの微分を取ることによって得られます。

パラメータがである2D曲線の場合、前の式は次のように簡略化されます。 ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=r(\theta ){\hat {\mathbf {e} }}_{r}\\[1ex]{\frac {d\mathbf {r} }{d\theta }}&={\frac {dr}{d\theta }}{\hat {\mathbf {e} }}_{r}+r{\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }\\[1ex]{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{d\theta ^{2}}}&=\left({\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}-r\right){\hat {\mathbf {e} }}_{r}+{\frac {dr}{d\theta }}{\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }\end{aligned}}}$$

遠心力とコリオリの用語

項は求心加速度、項はコリオリ加速度と呼ばれることもあります。例えば、Shankar を参照してください。^{[ 26 ]}加速度が極座標で表現されるときに現れるこれらの項は、微分法の数学的帰結であり、極座標が使用されるときはいつでも現れます。平面粒子動力学では、ニュートンの運動の第二法則を回転参照系で設定するときにこれらの加速度が現れます。ここで、これらの追加の項はしばしば架空の力と呼ばれます。架空の理由は、単に座標系の変更の結果であるからです。これは、これらの項が存在しないという意味ではなく、回転座標系でのみ存在するという意味です。 ${\displaystyle r{\dot {\varphi }}^{2}}$ ${\displaystyle 2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}}$

位置ベクトルrは常に原点から放射状を指します。

速度ベクトルvは常に運動の経路に接します。

加速度ベクトルa は、径方向の動きと平行ではなく、角加速度とコリオリの加速度によってオフセットされ、また、経路に接線でもなく、求心加速度と径方向の加速度によってオフセットされます。

平面極座標における運動ベクトル。設定は2次元空間に限定されず、任意の高次元平面にも適用できることに注意してください。

慣性座標系Sと、瞬間的な非慣性共回転座標系S′。共回転座標系は、特定の瞬間tにおける粒子の原点周りの回転速度に等しい角速度 Ω で回転する。粒子はベクトル位置r ( t )に位置し、原点から粒子への半径方向、および半径方向に垂直な角度ϕが増加する方向の単位ベクトルが示されている。これらの単位ベクトルは、経路の接線や法線とは必ずしも関連付けられていない。また、半径距離r は経路の曲率半径とは必ずしも関連付けられていない。

共回転フレーム

平面運動をしている粒子の場合、これらの項に物理的な意味を付与する 1 つの方法は、瞬間共回転参照フレームの概念に基づいています。^{[ 27 ]}共回転フレームを定義するには、まず原点を選択し、そこから粒子までの距離r ( t ) を定義します。粒子の運動の平面に垂直で、この原点を通る回転軸を設定します。次に、選択した瞬間tにおいて、共回転フレーム Ω の回転速度が、この軸の周りの粒子の回転速度dφ / dtと一致するようにします。次に、慣性フレームの加速度の項が、共回転フレームの項と関連付けられます。慣性フレームでの粒子の位置を ( r ( t ), φ ( t ))、共回転フレームでの粒子の位置を ( r ′(t), φ ′(t)) とします。共回転系は粒子と同じ速度で回転するため、dφ ′/ dt = 0 です。共回転系における仮想遠心力はmr Ω ²で、放射状外向きです。共回転系における粒子の速度も、dφ ′/ dt = 0であるため、放射状外向きです。したがって、仮想コリオリの力の値は -2 m ( dr / dt )Ω となり、 φが増加する方向にのみ向いています。したがって、これらの力をニュートンの第2法則に適用すると、次の式が得られます。 ここで、上の点は時間に関する微分を表し、F は（仮想的な力とは対照的な）正味の実力です。成分で表すと、このベクトル方程式は次のようになります。 これは、慣性系の方程式と比較できます。 $${\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {F} _{\text{cf}}+\mathbf {F} _{\text{Cor}}=m{\ddot {\mathbf {r} }}\,,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{r}+mr\Omega ^{2}&=m{\ddot {r}}\\F_{\varphi }-2m{\dot {r}}\Omega &=mr{\ddot {\varphi }}\ ,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{r}&=m{\ddot {r}}-mr{\dot {\varphi }}^{2}\\F_{\varphi }&=mr{\ddot {\varphi }}+2m{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\ .\end{aligned}}}$$

この比較と、時刻tにおける共回転フレームの定義により回転速度が Ω = dφ / dtであるという認識から、慣性フレームで見られる加速度 (粒子の質量を乗じたもの) の項を、瞬間的な非慣性共回転フレームで見られる遠心力とコリオリの力の負として解釈できることがわかります。

粒子の一般的な運動（単純な円運動とは対照的に）においては、粒子の座標系における遠心力とコリオリの力は、極座標上の固定された中心ではなく、粒子の運動の瞬間的な接触円を基準とするのが一般的です。詳細については、求心力を参照してください。

微分幾何学

微分幾何学の現代用語では、極座標は微分可能多様体R ² \ {(0,0)}（平面から原点を引いたもの）の座標チャートを提供します。これらの座標において、ユークリッド計量テンソルは次のように与えられます。これは、計量​​テンソルの変数変換の公式、または0次元形式x = r cos( θ )、y = r sin( θ )の外微分から微分形式dx、dyを計算し、それらをユークリッド計量テンソルds ² = dx ² + dy ²に代入することで確認できます。 $${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}.}$$

公式の初歩的な証明

、を、直交座標と極座標で与えられた平面上の2点とします。すると、 ${\displaystyle p_{1}=(x_{1},y_{1})=(r_{1},\theta _{1})}$ ${\displaystyle p_{2}=(x_{2},y_{2})=(r_{2},\theta _{2})}$ ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}.}$ 、およびなので、 ${\displaystyle dx^{2}=(r_{2}\cos \theta _{2}-r_{1}\cos \theta _{1})^{2}}$ ${\displaystyle dy^{2}=(r_{2}\sin \theta _{2}-r_{1}\sin \theta _{1})^{2}}$ ${\displaystyle ds^{2}=r_{2}^{2}\cos ^{2}\theta _{2}-2r_{1}r_{2}\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+r_{1}^{2}\cos ^{2}\theta _{1}+r_{2}^{2}\sin ^{2}\theta _{2}-2r_{1}r_{2}\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}+r_{1}^{2}\sin ^{2}\theta _{1}=}$ ${\displaystyle r_{2}^{2}(\cos ^{2}\theta _{2}+\sin ^{2}\theta _{2})+r_{1}^{2}(\cos ^{2}\theta _{1}+\sin ^{2}\theta _{1})-2r_{1}r_{2}(\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2})=}$ ${\displaystyle r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}(1-1+\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2})=}$ ${\displaystyle (r_{2}-r_{1})^{2}+2r_{1}r_{2}(1-\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}-\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}).}$ ここで三角関数の恒等式を使って次に進みます。 ${\displaystyle \cos(\theta _{2}-\theta _{1})=\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}}$ ${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+2r_{1}r_{2}(1-\cos d\theta ).}$ 半径方向の数量と角度方向の数量が互いに近く、したがって共通量とに近い場合、が成り立ちます。さらに、 の余弦は、線形項を除く余弦のテイラー級数で近似できます。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle r_{1}r_{2}\approx r^{2}}$ ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle \cos d\theta \approx 1-{\frac {d\theta ^{2}}{2}},}$ となる。したがって、任意の点の無限小領域の周囲では、 ${\displaystyle 1-\cos d\theta \approx {\frac {d\theta ^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle 2r_{1}r_{2}(1-\cos d\theta )\approx 2r^{2}{\frac {d\theta ^{2}}{2}}=r^{2}d\theta ^{2}}$ ${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2},}$ 述べたとおりです。

この計量に関する直交座標系は、双対コフレームを持つ で与えられる。この座標系とレヴィ・チヴィタ接続に対する接続形式は、 1-形式の歪対称行列で与えられ、したがって曲率形式Ω = dω + ω ∧ ωはゼロとなる。したがって、予想通り、穴あき平面は平坦多様体となる。 $${\displaystyle e_{r}={\frac {\partial }{\partial r}},\quad e_{\theta }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }},}$$ $${\displaystyle e^{r}=dr,\quad e^{\theta }=rd\theta .}$$ $${\displaystyle {\omega ^{i}}_{j}={\begin{pmatrix}0&-d\theta \\d\theta &0\end{pmatrix}}}$$

3次元空間における拡張

極座標系は、円筒座標系と球座標系という2つの異なる座標系によって3次元に拡張されます。どちらの座標系も、2次元または平面極座標をサブセットとして含みます。本質的には、円筒座標系は極座標に距離座標を追加することで拡張され、球座標系は角度座標を追加します。

円筒座標

半径、角度、高さを持つ円筒座標系。${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle z}$

円筒座標系は、本質的には2次元極座標系を拡張した座標系であり、平面上の点の高さを測定する第3の座標を追加することで拡張されます。これは、直交座標系を3次元に拡張する方法に似ています。第3の座標は と表記され、3つの円筒座標は となります。したがって、3つの円筒座標は次のように直交座標に変換できます。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\,\cos \theta \\y&=r\,\sin \theta \\z&=z.\end{aligned}}}$$

球座標

球面座標系。ISO 80000-2:2019 に準拠し、、、はそれぞれ、半径距離、極角（正の極軸に対する角度）、方位角（最初の子午面からの回転角度）を表します。${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$

極座標は、座標 (ρ, φ, θ) を用いて3次元に拡張することもできます。ここで、ρ は極からの距離、φ はZ軸からの角度（緯度または天頂と呼ばれ、0°から180°で測定されます）、θ はX軸からの角度（極座標の場合と同様）です。この座標系は球面座標系と呼ばれ、地球の緯度経度座標系に似ており、緯度 δ は φ の補角で δ = 90° − φ で決定され、経度lはl = θ − 180°で測定されます。 ^{[ 28 ]}

3つの球面座標は次のように直交座標に変換される。

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \,\sin \varphi \,\cos \theta \\y&=\rho \,\sin \varphi \,\sin \theta \\z&=\rho \,\cos \varphi .\end{aligned}}}$

アプリケーション

極座標は二次元であるため、点の位置が単一の二次元平面上にある場合にのみ使用できます。極座標は、対象とする現象が本質的に中心点からの方向と長さに結びついている状況で最も適しています。例えば、上記の例は、アルキメデスの螺旋などの曲線を定義するのに基本的な極方程式で十分であることを示しています。これらの曲線の方程式は、直交座標系でははるかに複雑になります。さらに、中心点の周りを移動する物体や中心点から発生する現象など、多くの物理システムは、極座標を用いる方がより単純で直感的にモデル化できます。極システムが導入された最初の動機は、円運動と軌道運動の研究でした。

位置とナビゲーション

極座標は、目的地または移動方向を対象物体からの角度と距離で示すことができるため、ナビゲーションでよく使用されます。たとえば、航空機はナビゲーションに極座標をわずかに修正したバージョンを使用します。このシステム（あらゆる種類のナビゲーションで一般的に使用される）では、0°の光線は通常、方位360と呼ばれ、角度は数学的システムのように反時計回りではなく時計回りに続きます。方位360は磁北に対応し、方位90、180、270はそれぞれ磁東、南、西に対応します。^{[ 29 ]}したがって、真東に5海里移動している航空機は、方位90（航空管制ではゼロ、ナイン、ゼロと読みます）で5単位移動していることになります。^{[ 30 ]}

モデリング

放射対称性を示す系は、中心点を極とする極座標系を自然に用いることができます。この用法の代表的な例としては、放射対称の井戸に適用される地下水流動方程式が挙げられます。放射状の力を持つ系も、極座標系を用いるのに適しています。このような系には、反二乗則に従う重力場や、無線アンテナなどの点源を持つ系が含まれます。

放射状非対称システムは、極座標を用いてモデル化することもできます。例えば、マイクの収音パターンは、特定の方向から入ってくる音に対する比例応答を示しており、これらのパターンは極座標曲線で表すことができます。最も一般的な単一指向性マイクである標準的なカーディオイドマイクの収音パターンは、目標設計周波数においてr = 0.5 + 0.5sin( ϕ )と表すことができます。 ^{[ 31 ]}このパターンは、低周波数では無指向性へと変化します。

参照

• 曲線座標
• 一般的な座標変換のリスト
• 対数極座標
• 極性分解
• 単位円

参考文献

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一般的な参考文献

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外部リンク

• 「極座標」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• 座標コンバーター - 極座標、直交座標、球座標を変換します
• 極座標系ダイナミックデモ