フェルマーの多角形定理
加法数論において、フェルマーの多角数定理は、すべての正の整数は最大で n 個の n 角数の和であると述べている。つまり、すべての正の整数は、3個以下の三角数の和、4個以下の平方数の和、5個以下の五角数の和などとして表すことができる。つまり、n角数はn 位の加法基底を形成する。
例
例えば、17という数字の3つの表現を以下に示します
- 17 = 10 + 6 + 1 （三角数）
- 17 = 16 + 1 （平方数）
- 17 = 12 + 5 （五角形の数）。
歴史
この定理はピエール・ド・フェルマーにちなんで名付けられました。フェルマーは1638年にこの定理を証明なしに述べ、別の著書に書くと約束しましたが、結局出版されませんでした。[ 1 ]ジョゼフ・ルイ・ラグランジュは1770年に平方数のケースを証明しました。これは、すべての正の数は4つの平方の和、たとえば7 = 4 + 1 + 1 + 1として表すことができるというものです。[ 1 ]ガウスは1796年に三角形のケースを証明し、その記念として日記に「ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ」という行を書き、[ 2 ]証明を彼の著書「Disquisitiones Arithmeticae」に掲載しました。このため、ガウスの結果はユーレカ定理と呼ばれることもあります。[ 3 ]多角形数定理は1813年にコーシーによって最終的に証明されるまで解決されませんでした。 [ 1 ]ネイサンソン（1987）の証明は、コーシーによる次の補題に基づいています。
b 2 < 4 aかつ3 a < b 2 + 2 b + 4となるような奇数の正の整数aおよびbに対して、 a = s 2 + t 2 + u 2 + v 2かつb = s + t + u + vとなる 非負整数s、t、u、vを見つけることができます。
参照
注釈
- ^ a b c Heath (1910 )
- ^ベル、エリック・テンプル（1956年）「ガウス、数学者の王子」、ニューマン、ジェームズ・R（編）『数学の世界』第1巻、サイモン＆シュスター、 295～ 339頁 ドーバー再版、2000年、ISBN 0-486-41150-8。
- ^小野 健、ロビンズ シナイ、ウォール パトリック T. (1995)、「三角数の和としての整数の表現について」、Aequationes Mathematicae、50 ( 1–2 ): 73–94、doi : 10.1007/BF01831114、MR 1336863、S2CID 122203472 。
参考文献
- ワイスタイン、エリック・W. 「フェルマーの多角形数定理」MathWorld
- ヒース、サー・トーマス・リトル（1910年）『アレクサンドリアのディオファントス：ギリシャ代数学の歴史研究』ケンブリッジ大学出版局、188ページ。
- ネイサンソン、メルヴィン・B. (1987)、「コーシーの多角形数定理の簡潔な証明」、アメリカ数学会紀要、99 (1): 22–24、doi : 10.2307/2046263、JSTOR 2046263、MR 0866422。
- ネイサンソン、メルヴィン B. (1996)、加法数論古典基底、ベルリン：シュプリンガー、ISBN 978-0-387-94656-6ラグランジュの定理と多角形数定理の証明を掲載しています
