多項式超弾性モデル

多項式超弾性材料モデル^[1]は、 ゴム弾性の現象論的モデルである。このモデルでは、ひずみエネルギー密度関数は、左コーシー・グリーン変形テンソルの2つの不変量に​​関する多項式の形をとる。 ${\displaystyle I_{1},I_{2}}$

多項式モデルのひずみエネルギー密度関数は^{[1]である。}

${\displaystyle W=\sum _{i,j=0}^{n}C_{ij}(I_{1}-3)^{i}(I_{2}-3)^{j}}$

ここで、は材料定数、 です。 ${\displaystyle C_{ij}}$ ${\displaystyle C_{00}=0}$

圧縮性材料の場合、体積依存性が加わる。

${\displaystyle W=\sum _{i,j=0}^{n}C_{ij}({\bar {I}}_{1}-3)^{i}({\bar {I}}_{2}-3)^{j}+\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{D_{k}}}(J-1)^{2k}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {I}}_{1}&=J^{-2/3}~I_{1}~;~~I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}~;~~J=\det({\boldsymbol {F}})\\{\bar {I}}_{2}&=J^{-4/3}~I_{2}~;~~I_{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\end{aligned}}}$

の極限では、多項式モデルは新フック固体モデルに帰着する。圧縮性ムーニー・リブリン物質とに対しては、 ${\displaystyle C_{01}=C_{11}=0}$ ${\displaystyle n=1,C_{01}=C_{2},C_{11}=0,C_{10}=C_{1},m=1}$

${\displaystyle W=C_{01}~({\bar {I}}_{2}-3)+C_{10}~({\bar {I}}_{1}-3)+{\frac {1}{D_{1}}}~(J-1)^{2}}$

参考文献

1. Rivlin, RSおよびSaunders, DW, 1951, 「等方性材料の大弾性変形 VII. ゴムの変形に関する実験」 Phi. Trans. Royal Soc. London Series A, 243(865), pp. 251-288.

参照

• ムーニー・リブリン固体
• 有限ひずみ理論
• ストレス対策