肯定形

複素幾何学において、正形式という用語は、ホッジ型(p, p)の実微分形式のいくつかのクラスを指します。

(1,1)-形

複素多様体M上の実 ( p , p ) 形式は、型 ( p , p ) かつ実数である形式、つまり、交差内にある形式です。実 (1,1) 形式は、次のいずれかの条件が満たされる場合 、それぞれ半正値^[1] (単に正値^[2]と呼ばれることもある)、正値^[3] (または正定値^{[4] ) と呼ばれます。}${\displaystyle \Lambda^{p,p}(M)\cap \Lambda^{2p}(M,{\mathbb{R}}).}$ ${\displaystyle \omega }$

1. ${\displaystyle -\omega }$ は、半正定値（または正定値）エルミート形式の虚数部です。
2. (1,0)-形式の空間内の何らかの基底については、実数および非負（それぞれ正）の場合と同様に、対角的に記述することができます。${\displaystyle dz_{1},...dz_{n}}$ ${\displaystyle \Lambda^{1,0}M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega ={\sqrt {-1}}\sum _{i}\alpha _{i}dz_{i}\wedge d{\bar {z}}_{i},}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$
3. 任意の(1,0)-接ベクトル に対して、(それぞれ、)。${\displaystyle v\in T^{1,0}M}$ ${\displaystyle -{\sqrt {-1}}\omega (v,{\bar {v}})\geq 0}$ ${\displaystyle >0}$
4. 任意の実接ベクトル、（それぞれ 、）に対して、は複素構造演算子です。${\displaystyle v\in TM}$ ${\displaystyle \omega (v,I(v))\geq 0}$ ${\displaystyle >0}$ ${\displaystyle I:\;TM\mapsto TM}$

正の線束

代数幾何学において、正定値(1,1)-形式は、十分な直線束（正直線束とも呼ばれる）の曲率形式として現れる。Lを複素多様体上の正則エルミート直線束とする。

${\displaystyle {\bar {\partial }}:\;L\mapsto L\otimes \Lambda ^{0,1}(M)}$

複素構造演算子Lは、エルミート構造を保存し、

${\displaystyle \nabla ^{0,1}={\bar {\部分 }}}$ 。

この接続はチャーン接続と呼ばれます。

チャーン接続の曲率は常に純虚(1,1)-形式である。直線束Lは、 が正(1,1)-形式であるとき、正と呼ばれる。（ のド・ラーム・コホモロジー類は、 Lの最初のチャーン類の倍数であることに注意。）小平埋め込み定理は、正直線束は十分であり、逆に、任意の十分直線束は正のエルミート計量を持つと主張する。 ${\displaystyle \Theta}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\Theta }$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\Theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\Theta }$

ポジティブさ（p、p）-フォーム

M上の半正値 (1,1)-形式は凸錐 を形成する。M がコンパクト複素面 のとき、この錐はポアンカレ対 に関して自己双対である。${\displaystyle dim_{\mathbb {C} }M=2}$ ${\displaystyle \eta ,\zeta \mapsto \int _{M}\eta \wedge \zeta }$

(p, p) -形式（ただし）には、正値性について2つの異なる概念がある。^[5]ある形式が、半正値の形式の積の線形結合で、正の実係数を持つとき、その形式は強正と呼ばれる 。n次元複素多様体M上の実(p, p) -形式は、コンパクト台を持つすべての強正(np, np) -形式ζに対して が成り立つとき、弱正と呼ばれる。 ${\displaystyle 2\leq p\leq dim_{\mathbb {C} }M-2}$ ${\displaystyle \eta}$ ${\displaystyle \int _{M}\eta \wedge \zeta \geq 0}$

弱正形式と強正形式は凸錐を形成する。コンパクト多様体上では、これらの錐はポアンカレ対に関して 双対である。

注記

1. Huybrechts (2005)
2. デマイリー（1994）
3. Huybrechts (2005)
4. デマイリー（1994）
5. デマイリー（1994）

参考文献

• P.グリフィスとJ.ハリス（1978年）『代数幾何学の原理』 Wiley.ISBN 0-471-32792-1
• グリフィス、フィリップ (2020年1月3日). 「正値定理と消失定理」. hdl :20.500.12111/7881.
• J.-P. Demailly、「正直線束と随伴理論の L2 消失定理」、CIME コース「代数幾何学の超越論的手法」の講義ノート (イタリア、チェトラロ、1994 年 7 月)。
• Huybrechts、Daniel (2005)、Complex Geometry: An Introduction、Springer、ISBN 3-540-21290-6、MR  2093043
• ヴォワザン、クレア（2007）[2002]、ホッジ理論と複素代数幾何学（全2巻）、ケンブリッジ大学出版局、doi：10.1017/CBO9780511615344、ISBN 978-0-521-7180​​1-1、MR  1967689