正多項式

数学において、特定の集合上の正多項式（または非負多項式）とは、その集合上で値が正（または非負）である多項式のことです。正確には、実係数を持つ変数の多項式を とし、次元ユークリッド空間の部分集合を とします。次のように言います p{\displaystyle p}n{\displaystyle n}S{\displaystyle S}n{\displaystyle n}Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

  • p{\displaystyle p}の任意の に対して が正であれば、は で正です。S{\displaystyle S}p（x）＞0{\displaystyle p(x)>0}x{\displaystyle x}S{\displaystyle S}
  • p{\displaystyle p}の任意の に対して が非負である場合、 は で非負です。S{\displaystyle S}p（x）≥0{\displaystyle p(x)\geq 0}x{\displaystyle x}S{\displaystyle S}

正定理と非負定理

特定の集合 に対して、 上で正（または非負）であるすべての多項式の代数的記述が存在します。そのような記述は正定理（または非負）です。計算における正定理の重要性は、多項式最適化の問題を半正定値計画問題に変換する能力から生じます。半正定値計画問題は、凸最適化手法を用いて効率的に解くことができます。[ 1 ]エルミートの場合、プーチナールは、結果として得られる半正定値計画問題は漸近収束し、明示的に与えられた行列の最大固有値の計算に帰着し、一般的な半正定値計画問題よりも効率的に解くことができることを観察しました。[ 2 ]S{\displaystyle S}S{\displaystyle S}

例

ユークリッド空間上の正多項式

実一変数多項式が 上で非負となる場合、かつそれが実一変数多項式の2つの平方の和となる場合と同値である。[ 3 ] この同値性は多変数多項式には一般化されないが、これはもともとヒルベルトによって示された。このような多項式の明示的な例は、1967年にセオドア・モツキンがが多項式の平方の和ではなく 上で非負となることを示すまで知られていなかった。これはAM-GM不等式から従う。[ 4 ]R{\displaystyle \mathbb {R}}X4Y2＋X2Y4−3X2Y2＋1{\displaystyle X^{4}Y^{2}+X^{2}Y^{4}-3X^{2}Y^{2}+1}R2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}

高次元において、実変数多項式が で非負となるのは、それが実変数有理関数の平方和である場合に限ります。これは1900年にヒルベルトの第17問題として提起され、後にエミール・アルティンによって1927年に解決されました。 [ 5 ]n{\displaystyle n}Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}n{\displaystyle n}

同次多項式については、分母についてより多くの情報を得ることができます。 が2 k次同次であると仮定します。 が で正であれば、 が次同次多項式の平方和となるような整数が存在する。[ 6 ]p∈R[X1,…,Xn]{\displaystyle p\in \mathbb {R} [X_{1},\dots ,X_{n}]}Rn∖{0}{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}m{\displaystyle m}（X12＋⋯＋Xn2）mp{\displaystyle (X_{1}^{2}+\cdots +X_{n}^{2})^{m}p}m＋2k{\displaystyle m+2k}

多面体上の正多項式

次数の多項式については、Farkasの補題の次の変形が成り立ちます。 が次数を持ち、を満たす任意の に対して、となる非負の実数が存在します。 ≤1{\displaystyle {}\leq 1}f,g1,…,gk{\displaystyle f,g_{1},\dots,g_{k}}≤1{\displaystyle {}\leq 1}f（x）≥0{\displaystyle f(x)\geq 0}x∈Rn{\displaystyle x\in \mathbb{R}^{n}}g1（x）≥0,…,gk（x）≥0{\displaystyle g_{1}(x)\geq 0,\dots ,g_{k}(x)\geq 0}c0,c1,…,ck{\displaystyle c_{0},c_{1},\dots ,c_{k}}f＝c0＋c1g1＋⋯＋ckgk{\displaystyle f=c_{0}+c_{1}g_{1}+\cdots +c_{k}g_{k}}

ポリアは、単体上の高次多項式について、が集合上で同次かつ正であれば、非負の係数を持つ整数が存在することを示した。 [ 7 ]p∈R[X1,…,Xn]{\displaystyle p\in \mathbb {R} [X_{1},\dots ,X_{n}]}{x∈Rn∣x1≥0,…,xn≥0,x1＋⋯＋xn≠0}{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{1}\geq 0,\dots ,x_{n}\geq 0,x_{1}+\cdots +x_{n}\neq 0\}}m{\displaystyle m}（x1＋⋯＋xn）mp{\displaystyle (x_{1}+\cdots +x_{n})^{m}p}

一般的なコンパクト多面体上の高次多項式については、ハンデルマンの定理が成り立ちます。[ 8 ]がユークリッド -空間内のコンパクト多面体で、線型不等式 で定義され、が 上で正の変数の多項式である場合、 はの元の積の非負の係数を持つ線型結合として表すことができます。 K{\displaystyle K}d{\displaystyle d}gi≥0{\displaystyle g_{i}\geq 0}f{\displaystyle f}d{\displaystyle d}K{\displaystyle K}f{\displaystyle f}{gi}{\displaystyle \{g_{i}\}}

半代数集合上の正多項式

一般の半代数集合の場合、最も一般的な結果はステングルの Positivstellensatzです。

コンパクト半代数集合にはシュミュッゲンの正定理[ 9 ] [ 10 ]、 プーチナールの正定理[ 11 ] [ 12 ] 、ヴァシレスクの正定理[ 13 ]がある。特に分母は不要である。

十分に良い低次元のコンパクト半代数集合に対しては、分母を持たない無負集合が存在する。[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]

正エルミート多項式

複素変数とその共役を含む多項式がエルミートであるとは、 のすべての選択に対して実数値のみを取る場合です。変数のみを含むいくつかの多項式に対してと書ける場合、それはエルミート平方和 (HSOS) です。 Quillenによる結果は、任意の厳密に正の同次エルミート多項式は、分母が平方ノルム である有理関数のエルミート平方和であると述べています。[ 17 ]これは後に Putinar によって、すべての複素射影多様体を含むはるかに大きなクラスの空間に一般化されました。[ 2 ]エルミートの場合、エルミート平方和表現は、それが存在し、明示的に与えられたエルミート行列を対角化することで見つけることができる場合に一意であり、これは Putinar によって初めて観察されました。[ 2 ]p{\displaystyle p}z1,…,zn{\displaystyle z_{1},\dots,z_{n}}z1＊,…,zn＊{\displaystyle z_{1}^{*},\dots ,z_{n}^{*}}z{\displaystyle z}p＝∑i＝1kgi＊gi{\displaystyle p=\sum _{i=1}^{k}g_{i}^{*}g_{i}}g1,…,gk{\displaystyle g_{1},\dots ,g_{k}}z1,…,zn{\displaystyle z_{1},\dots,z_{n}}z1＊z1＋⋯＋zn＊zn{\displaystyle z_{1}^{*}z_{1}+\dots +z_{n}^{*}z_{n}}

実証的定理の一般化

実証的定理は、シグノミア​​ル[ 18 ] 、 [19] 、[ 20 ] 、[ 21 ]、 [ 22] 、 [23] 、 [24 ] 、[25]、[26]、[27]、 [ 28 ]、[29 ]、[ 30]、[31] 、 [32]、[ 33 ] 、 [ 34]、[35]、 [36] 、[38]、[ 38 ] 、[ 39 ]にも存在します

参照

注記

  1. ^半正定値最適化と凸代数幾何学。グリゴリー・ブレカーマン、パブロ・A・パリロ、レカ・R・トーマス。フィラデルフィア。2013年。ISBN 978-1-61197-228-3. OCLC  809420808 .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link) CS1 maint: others (link)
  2. ^ a b c Putinar, Mihai (2012). 「第9章：エルミート平方の和：新旧」.半正定値最適化と凸代数幾何学. ペンシルベニア州フィラデルフィア：産業応用数学協会. p. 407–446. doi : 10.1137/1.9781611972290.ch9 . ISBN 978-1-61197-228-3。
  3. ^ベノワ、オリヴィエ (2017). 「正の多項式を（少数の）平方数の和として書く」 . EMSニュースレター. 2017–9 (105): 8–13 . doi : 10.4171/NEWS/105/4 . ISSN 1027-488X 
  4. ^ TS Motzkin, 算術幾何不等式。1967 Inequalities (Proc. Sympos. Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, 1965) pp. 205–224。
  5. ^ E. Artin、Uber die Zerlegung defifer Funktionen in Quadrate, Abh.数学。セム。大学ハンブルク、5 (1927)、85–99。
  6. ^ B. レズニック「ヒルベルトの第17問題における一様分母」数学Z.220（1995）、第1号、75-97ページ。
  7. ^ G. Pólya、ユーバーポジティブ Darstellung von Polynomen Vierteljschr、Naturforsch。ゲス。 Zürich 73 (1928) 141–145、in: R. P. Boas (編)、Collected Papers Vol. 2、MIT Press、マサチューセッツ州ケンブリッジ、1974 年、309 ～ 313 ページ。
  8. ^ D. Handelman, コンパクト凸多面体上の正の線形関数による多項式の表現. Pacific J. Math. 132 (1988), no. 1, 35–62.
  9. ^ K. Schmüdgen. 「コンパクト半代数集合のKモーメント問題」. Math. Ann. 289 (1991), no. 2, 203–206.
  10. ^ T. ワーマン。 「半代数幾何学における正の正多項体」、Univ. 1998年のドルトムント。
  11. ^ M. Putinar, "Positive polynomials on compact semi-algebraic sets". Indiana Univ. Math. J. 42 (1993), no. 3, 969–984.
  12. ^ T. Jacobi, 「ある半順序可換環の表現定理」. Math. Z. 237 (2001), no. 2, 259–273.
  13. ^ Vasilescu, F.-H. 「スペクトル測定とモーメント問題」. スペクトル解析とその応用, 173–215, Theta Ser. Adv. Math. , 2, Theta, Bucharest, 2003. 定理1.3.1を参照。
  14. ^ C. Scheiderer, 「実代数多様体上の正規関数の平方和」. Trans. Amer. Math. Soc. 352 (2000), no. 3, 1039–1069.
  15. ^ C. Scheiderer, 「実代数曲線上の平方和」. Math. Z. 245 (2003), no. 4, 725–760.
  16. ^ C. Scheiderer, 「実代数面上の平方和」. Manuscripta Math. 119 (2006), no. 4, 395–410.
  17. ^ Quillen, Daniel G. (1968). 「エルミート形式の平方和による表現について」. Invent. Math . 5 (4): 237– 242. Bibcode : 1968InMat...5..237Q . doi : 10.1007/ bf01389773 . S2CID 119774934. Zbl 0198.35205 .  
  18. ^ Dressler, Mareike; Murray, Riley (2022-12-31). 「シグノミア​​ル最適化の代数的視点」 . SIAM Journal on Applied Algebra and Geometry . 6 (4): 650– 684. arXiv : 2107.00345 . doi : 10.1137/21M1462568 . ISSN 2470-6566 . S2CID 235694320 .  
  19. ^ Dumitrescu, Bogdan (2007). 「三角多項式と多次元安定性検定の実証的評価」. IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs . 54 (4): 353– 356. doi : 10.1109/TCSII.2006.890409 . ISSN 1558-3791 . S2CID 38131072 .  
  20. ^ Cimprič, J. (2011). 「スカラー制約付き行列多項式の厳密な正定理」 .線形代数とその応用. 434 (8): 1879– 1883. arXiv : 1011.4930 . doi : 10.1016/j.laa.2010.11.046 . S2CID 119169153 . 
  21. ^ Helton, J. William; Klep, Igor; McCullough, Scott (2012). 「自由代数における凸な実証的表現」 . Advances in Mathematics . 231 (1): 516– 534. arXiv : 1102.4859 . doi : 10.1016/j.aim.2012.04.028 .
  22. ^ Klep, Igor (2004-12-31). 「非可換な段階的正定理」 . Communications in Algebra . 32 (5): 2029– 2040. doi : 10.1081/AGB-120029921 . ISSN 0092-7872 . S2CID 120795025 .  
  23. ^ Acquistapace, F.; Andradas, C.; Broglia, F. (2002-07-01). 「O-極小構造上の定義可能関数の実証的考察」 . Illinois Journal of Mathematics . 46 (3). doi : 10.1215/ijm/1258130979 . ISSN 0019-2082 . S2CID 122451112 .  

さらに読む

  • ボシュナク、ヤチェク。コステ、ミシェル。ロイ、マリー＝フランソワーズ。実代数幾何学。 1987年のフランス語原著からの翻訳。著者らにより改訂されました。 Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [数学および関連分野の結果 (3)]、36。Springer-Verlag、ベルリン、1998。ISBN 3-540-64663-9。
  • マーシャル、マレー. 「正の多項式と平方和」.数学概説とモノグラフ, 146. アメリカ数学会, プロビデンス, ロードアイランド州, 2008. ISBN 978-0-8218-4402-1、ISBN 0-8218-4402-4。
「 https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Positive_polynomial&oldid=1327898789」より引用