主イデアル環

数学において、主右（左）イデアル環とは、環Rにおいて、Rの何らかの元xに対して、すべての右（左）イデアルがxR ( Rx )の形をとる環のことです。（この形の右イデアルと左イデアルは、1つの元によって生成され、主イデアルと呼ばれます。） Rが可換環である場合のように、左イデアルと右イデアルの両方に対してこれが満たされる場合、Rは主イデアル環、または単に主環と呼ばれることがあります

Rの有限生成右イデアルのみが主イデアルである場合、Rは右ベズー環と呼ばれる。左ベズー環も同様に定義される。これらの条件は、ベズー域として領域において研究される。

主イデアル環が整域でもある場合、主イデアル環（PID）と呼ばれます。この記事では、必ずしも整域ではない主イデアル環というより一般的な概念に焦点を当てます。

一般的な性質

Rが主右イデアル環であるならば、すべての右イデアルは有限生成なので、R は確かに右ノイデアル環です。また、すべての有限生成右イデアルは主なので、R は右ベズー環でもあります。実際、主右イデアル環は、まさに右ベズー環かつ右ノイデアル環であることは明らかです

主右イデアル環は有限直積に関して閉じている。 ならば、 Rの各右イデアルは の形をとり、それぞれはR _iの右イデアルである。R _{i が}すべて主右イデアル環ならば、A _i = x _i R _iとなり、 であることが分かる。それほど手間をかけずに、右ベズー環も有限直積 に関して閉じていることが示される。 ${\displaystyle R=\prod _{i=1}^{n}R_{i}}$ ${\displaystyle A=\prod _{i=1}^{n}A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots,x_{n})R=A}$

主右イデアル環と右ベズー環も商に関して閉じている。すなわち、I が主右イデアル環Rの真イデアルならば、商環R/Iも主右イデアル環である。これは環の同型定理から容易に導かれる。

上記のすべてのプロパティには、左側の類似物もあります。

交換法則の例

1. 整数環：${\displaystyle \mathbb{Z}}$
2. nを法とする整数: 。${\displaystyle \mathbb{Z} /n\mathbb{Z} }$
3. を環、 とします。このとき、Rが主環となるのは、R _{i が}すべてのiに対して主環となる場合のみです。${\displaystyle R_{1},\ldots,R_{n}}$ ${\displaystyle R=\prod _{i=1}^{n}R_{i}}$
4. 主環の任意の乗法部分集合への局所化もまた主環となる。同様に、主環の任意の商もまた主環となる。
5. R をデデキント整域とし、IをRの非零イデアルとする。このとき、商R / Iは主環となる。実際、I は素数冪の積として因数分解できる：、そして中国剰余定理より、それぞれが主環であることが分かる。しかし、 は離散値環の商と同型であり、主環の商であるため、それ自体が主環となる。${\displaystyle I=\prod _{i=1}^{n}P_{i}^{a_{i}}}$ ${\displaystyle R/I\cong\prod_{i=1}^{n}R/P_{i}^{a_{i}}}$ ${\displaystyle R/P_{i}^{a_{i}}}$ ${\displaystyle R/P_{i}^{a_{i}}}$ ${\displaystyle R_{P_{i}}/P_{i}^{a_{i}}R_{P_{i}}}$ ${\displaystyle R_{P_{i}}}$
6. k を有限体とし、、とおくと、Rは主環ではない有限局所環となる。${\displaystyle A=k[x,y]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle R=A/{\mathfrak {m}}^{2}}$
7. X を有限集合とする。すると、は単位元を持つ可換主イデアル環を形成する。ここで は集合対称差を表し、 はXの冪集合を表す。Xが少なくとも2つの元を持つ場合、環の因子も零となる。Iがイデアルならば となる。一方、Xが無限の場合、環は主イデアルではない。例えば、Xの有限部分集合によって生成されるイデアルを考えてみよう。${\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\Delta ,\cap )}$ ${\displaystyle \Delta}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle I=(\bigcup I)}$
8. ガロア環は可換な局所PIRである。これは を法とする整数から、 を法とする整数の有限体拡大と本質的に同じ方法で構成され、最大イデアルは によって生成される。${\displaystyle p^{k}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

可換PIRの構造理論

上記の例5で構築された主環は常にアルティン環である。特に、主アルティン局所環の有限直積に同型である。局所アルティン主環は特殊主環と呼ばれ、極めて単純なイデアル構造を持つ。つまり、有限個のイデアルしか存在せず、各々は最大イデアルの冪である。このため、特殊主環はユニシリアル環の例である。

次の結果は、特殊主環と主イデアル領域の観点から主環の完全な分類を示しています。

ザリスキ・サミュエル定理：R を主環とする。Rは直積 として表すことができる。ここで、各R _iは主イデアル域または特殊主環のいずれかである。 ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}R_{i}}$

証明では、中国剰余定理を零イデアルの最小一次分解に適用します。

ハンガーフォードによる次の結果もあります。

定理（ハンガーフォード）：R を主環とする。すると、Rは直積 として表すことができ、各R _{i は}主イデアル整域の商となる。 ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}R_{i}}$

ハンガーフォードの定理の証明には、完全な局所環に対するコーエンの構造定理が用いられます。

上記の例 3 のように議論し、ザリスキ-サミュエルの定理を使用すると、ハンガーフォードの定理が、任意の特殊主環は離散値環の商であるという主張と同等であることは簡単に確認できます。

非可換な例

単なる体の積ではない半単純環Rはすべて、非可換な右主イデアル環および左主イデアル環です（体上の nxn 行列の例が示すように、定義域である必要はありません）。すべての右イデアルと左イデアルはRの直和項であり、したがってeRまたはReの形をとります。ここでeはRのべき等元です。この例と並行して、フォン・ノイマン正則環は右ベズー環と左ベズー環の両方であることが分かります

D が分割環であり、自己同型でない環自己準同型である場合、歪多項式環は右ノイデアルでない主左イデアル環であることが知られており、したがって主右イデアル環にはなり得ない。これは、たとえ環 に対しても、主左イデアル環と主右イデアル環は異なることを示している。^{[ 1 ]}${\displaystyle \sigma}$ ${\displaystyle D[x,\sigma]}$

参考文献

1. Lam 2001、p. 21.

• Hungerford, T. (1968)、「主イデアル環の構造について」、Pacific Journal of Mathematics、25 (3): 543– 547、doi : 10.2140/pjm.1968.25.543
• ラム, TY (2001), 『非可換環入門』 , 大学院数学テキスト, 第131巻 (第2版), ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク, pp. xx+385, ISBN 0-387-95183-0 MR  1838439
• Lang, Serge (1993)『Algebra (Third ed.)』、Reading, Mass.: Addison-Wesley、ISBN 86ページと146-155ページ 978-0-201-55540-0、Zbl  0848.13001
• ザリスキ、O.；サミュエル、P.（1975）「可換代数」、Graduate Texts in Mathematics、第28巻、第29巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク