シリアルモジュール

抽象代数において、ユニシリアル加群Mは環R上の加群であり、その部分加群は包含によって全順序付けられている。これは、 Mの任意の2つの部分加群N ₁とN ₂について、またはが成り立つことを単に意味する。加群は、ユニシリアル加群の直和である場合にシリアル加群と呼ばれる。環Rは、それ自身の上の右加群としてユニシリアルである場合に右ユニシリアル環と呼ばれ、同様に、それ自身の上の右シリアル加群として右シリアルである場合に右シリアル環と呼ばれる。左ユニシリアル環と左シリアル環も同様に定義され、一般に、それらの右側の環とは異なる。 ${\displaystyle N_{1}\subseteq N_{2}}$ ${\displaystyle N_{2}\subseteq N_{1}}$

分かりやすい例として、任意の整数の商環 が挙げられます。この環は常に直列であり、nが素数 のべき乗のときは単直列です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n>1}$

ユニシリアルという用語は、上記の定義とは異なる意味で使用されています。説明については以下を参照してください。

連続環理論への重要な貢献者の部分的なアルファベット順リストには、数学者の浅野敬三、IS コーエン、PM コーン、ユウが含まれます。ドロズド、D. アイゼンバド、A. ファッキーニ、AW ゴールディ、フィリップ グリフィス、I. カプランスキー、VV キリチェンコ、G. ケーテ、H. クッピッシュ、I. 村瀬、中山 T.、P. プルーダ、G. プニンスキー、R. ウォーフィールド。^{[ 1 ]}

共通環論の慣例に従い、左右依存の条件が辺の指定なしに与えられた場合（例えば、ユニシリアル、シリアル、アルティン、ネーター）、その条件は左辺と右辺の両方で成立すると仮定します。特に断りのない限り、本稿における各環は単位元を持つ環であり、各加群は単位元です。

単直列環と直列環および加群の性質

ユニシリアルR加群Mにおいて、 Mと 0 を除くすべての部分加群は、同時に本質的かつ余剰であることは明らかである。M が最大部分加群を持つ場合、Mは局所加群となる。 また、Mは明らかに一様加群であり、したがって直接分解不可能である。また、 Mのすべての有限生成部分加群は単一の元によって生成できることも容易に分かる。したがって、 Mはベズー加群となる。

自己準同型環End _R Mは半局所環であることが知られており、これは End _R M が最大2つの極大右イデアルを持つという意味で局所環に非常に近い。Mがアルティン環またはノイザン環であると仮定すると、 End _R Mは局所環となる。

単位元を持つ環は常に最大右イデアルを持つので、右ユニシリアル環は必然的に局所環となる。前述のように、有限生成右イデアルは単一の元によって生成できるため、右ユニシリアル環は右ベズー環となる。右シリアル環R は、各e _iが冪等元であり、e _i Rが局所ユニシリアル加群であるような形に必ず因数分解される。これはRが半完全環でもあることを示し、これは半局所環であることよりも強い条件である。 ${\displaystyle R=\oplus _{i=1}^{n}e_{i}R}$

ケーテは、アルティン主イデアル環（直列環の特殊なケース）の加群は巡回部分加群の直和であることを示した。後にコーエンとカプランスキーは、可換環Rがその加群に対してこの性質を持つのは、 Rがアルティン主イデアル環である場合に限る と決定した。中山は、アルティン直列環がその加群に対してこの性質を持つこと、そしてその逆は成り立たないことを示した。

直列環の加群に関するおそらく最も一般的な結果は、ドロツドとウォーフィールドによるものである。それは、直列環上のすべての有限生成加群は巡回ユニ直列部分加群の直和である（したがって直列である）ことを述べている。さらに環がネーター環であると仮定すると、有限生成加群と有限生成加群は一致するので、すべての有限生成加群は直列となる。

右直列性は環と加群の直積において保たれ、また環の商においても保たれる。ユニ直列性は環と加群の商において保たれるが、積においては決して保たれない。直列加群の直和は必ずしも直列ではないことはPuninskiによって証明されているが、ユニ直列加群の有限直和の直和は直列加群である。^{[ 2 ]}

ヤコブソン予想はノイザン直列環においても成り立つことが検証されている。^{[ 3 ]}

例

任意の単純なモジュールは自明にユニシリアルであり、同様に半単純なモジュールはシリアル モジュールです。

直列環の多くの例は、上記の構造の節から得ることができます。すべての付値環は単直列環であり、すべてのアルティン主イデアル環は、半単純環で示されるように直列環です。

より珍しい例としては、分割環T _n D上の上三角行列、素特性pのある有限体の群環、巡回正規p -シロー部分群を持つ群Gなどがあります。 ${\displaystyle \mathbb {F} [G]}$

構造

この節では、主にノイザン直列環とそのサブクラスであるアルティン直列環について扱う。一般に、環はまず分解不可能な環に分解される。これらの環の構造が分かれば、分解可能な環は分解不可能な環の直積となる。また、直列環のような半完全環の場合、基本環は元の環の森田同値となる。したがって、 R が基本環Bを持つ直列環であり、 Bの構造が既知である場合、森田同値理論によれば、Pは有限生成子 B である。これが、結果を分解不可能な基本環という用語で表現する理由である。 ${\displaystyle R\cong \mathrm {End} _{B}(P)}$

1975 年、キリチェンコとウォーフィールドは独立して同時に、ネーター非アルティン直列環の構造の解析を発表しました。結果は同じでしたが、使用された方法は互いに大きく異なっていました。遺伝的、ネーター、素数環、および直列環上で定義された箙の研究は重要なツールでした。中核となる結果は、右ネーター、非アルティン、基本、分解不可能な直列環は、ヤコブソン根基J( V ) がゼロでないネーター単直列領域V上の一種の行列環として記述できることを述べています。この行列環は、あるnに対して M _n ( V )の部分環であり、対角線上および対角線上にVからの要素と J( V ) の下からの要素を持つ行列で構成されます。

アルティン直列環構造は、箙構造に応じて場合分けされます。基本的で分解不可能なアルティン直列環の箙構造は常に円または直線であることが分かっています。直線の箙の場合、環は分環上の上三角行列と同型です（前の段落のネーター直列環の構造との類似性に注意してください）。円の箙の場合の構造の完全な説明はこの記事の範囲を超えていますが、（Puninski 2002）に記載されています。そこに示されている結果を言い換えると、箙が円である基本アルティン直列環は、基本的で分解不可能な直列準フロベニウス環の「拡大」の準同型像です。

分解の一意性

二つのモジュールUとV が、単射と単射が存在するとき、それらは と表記される同一の単生類を持つという。双対概念も定義できる。すなわち、二つのモジュールが、エピモーフィズムとエピモーフィズム が存在するとき、それらは と表記される同一のエピモーフィズム類を持つという。 ${\displaystyle [U]_{m}=[V]_{m}}$ ${\displaystyle U\rightarrow V}$ ${\displaystyle V\rightarrow U}$ ${\displaystyle [U]_{e}=[V]_{e}}$ ${\displaystyle U\rightarrow V}$ ${\displaystyle V\rightarrow U}$

クルル＝シュミット定理の以下の弱形式が成り立つ。U 1 , ..., U n , V 1 , ..., V t を環 R 上の n + t 個の非零ユニシリアル右加群とする。_このとき、_直和とが_同型R加_群となるのは、n = tかつ任意のi = 1 , 2 , ..., nに対して ととなるような1, 2, ..., nの2つの順列とが存在する場合のみである。 ${\displaystyle U_{1}\oplus \dots \oplus U_{n}}$ ${\displaystyle V_{1}\oplus \dots \oplus V_{t}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle [U_{i}]_{m}=[V_{\sigma (i)}]_{m}}$ ${\displaystyle [U_{i}]_{e}=[V_{\tau (i)}]_{e}}$

この結果はFacchiniによるもので、2006年にPříhodaによってユニシリアル加群の無限直和に拡張されました。この拡張には、いわゆる準小ユニシリアル加群が含まれます。これらの加群はNguyen Viet DungとFacchiniによって定義され、Puninskiによって存在が証明されました。Krull-Schmidt定理の弱形式は、ユニシリアル加群だけでなく、他のいくつかの加群のクラス（双一様加群、直列環上の巡回的に提示される加群、直分不可能な単射加群間の射の核、共一様的に提示される加群）にも成立します。

代替用語、類似用語、関連用語に関する注記

右ユニシリアル環は、右連鎖環^{[ 4 ]}あるいは右付値環とも呼ばれる。後者の用語は、定義上可換なユニシリアル域である付値環を指す。同様に、ユニシリアル加群は連鎖加群、シリアル加群は半連鎖加群と呼ばれる。カテナリー環という概念は「連鎖」という名を持つが、一般に連鎖環とは関連がない。

1930年代、ゴットフリート・ケーテと浅野敬三は、すべての加群が巡回部分加群の直和となる環の研究の中で、アインライヒヒ（Einreihig、文字通り「一級数」の意）という用語を導入した。^{[ 5 ]}このため、1970年代という比較的最近になっても、ユニシリアルは「アルティン主イデアル環」の意味で使われていた。ケーテの論文では、ユニシリアル環には一意の合成級数を持つことが要求されており、これは右イデアルと左イデアルが線型的に順序付けられていることを強制するだけでなく、左イデアルと右イデアルの連鎖には有限個のイデアルしか存在しないことを要求する。この歴史的先例のため、一部の著者はユニシリアル加群と環の定義に アルティン条件または有限合成長条件を含めている。

ケーテの研究を拡張し、中山正はアルティン直列環を指すために一般化ユニシリアル環^{[ 6 ]}という用語を用いた。中山は、そのような環上のすべての加群が直列であることを示した。アルティン直列環は中山代数と呼ばれることもあり、よく発達した加群理論を持つ。

ウォーフィールドは、任意の2つの有限生成部分加群AとBに対して、J (-) が加群のヤコブソン根基を表すという追加の特性を持つ直列加群に対して、同質直列加群という用語を使用した。 ^{[ 7 ]}有限合成長を持つ加群では、これは合成因子が同型になるよう強制する効果があり、そのため「同質」という形容詞が使われる。直列環Rが同質直列右イデアルの有限直和となることと、R が局所直列環上の完全n × n行列環に同型となることは同じであることが分かる。このような環は、主分解直列環とも呼ばれる。^{[ 8 ] [ 9 ]}${\displaystyle A/J(A)\cong B/J(B)}$

注記

1. 各著者の参考文献はPuninski（2001a）およびHazewinkel、Gubareni、Kirichenko（2004）に記載されています。
2. Příhoda 2004 .
3. チャターズ＆ハジャルナビス 1980。
4. フェイス 1999 .
5. ケーテ 1935 .
6. 中山 1941年。
7. ウォーフィールド 1975 .
8. フェイス 1976 .
9. ヘイズヴィンケル、グバレーニ、キリチェンコ 2004。

教科書

• フランク・W・アンダーソン、ケント・R・フラー（1992）、環と加群のカテゴリー、シュプリンガー、pp.  347– 349、ISBN 0-387-97845-3
• Chatters, AW; Hajarnavis, CR (1980),連鎖条件付き環, Research Notes in Mathematics, vol. 44, Pitman, ISBN 978-0-273-08446-4
• ファッキーニ、アルベルト（1998）、自己準同型環といくつかの加群のクラスにおける直和分解、ビルクハウザー出版社、ISBN 3-7643-5908-0
• フェイス、カール (1976)、代数。 II.リング理論。、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、No. 191。Springer-Verlag
• フェイス、カール（1999）「リングと物と20世紀の連想代数の素晴らしい配列」、数学概説とモノグラフ、65。アメリカ数学会、ISBN 0-8218-0993-8
• Hazewinkel, マイケル;グバレニ、ナディヤ。キリチェンコ、VV (2004)、代数、リング、モジュール。 Vol. 1.、Kluwer Academic Publishers、ISBN 1-4020-2690-0
• Puninski, Gennadi (2001a), Serial rings , Kluwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-7187-9

一次資料

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• Facchini, Alberto (1996)、「Krull-Schmidt法は直列モジュールでは失敗する」、Trans. Amer. Math. Soc.、348 (11): 4561– 4575、doi : 10.1090/s0002-9947-96-01740-0
• Köthe、Gottfried (1935)、「Verallgemeinerte Abelsche Gruppen mit hyperkomplexem Operatorenring. (ドイツ語)」、Math。 Z.、39 : 31–44、土井: 10.1007/bf01201343
• 中山正 (1941)、「フロベニウセアン代数について。II.」、Annals of Mathematics、第 2 シリーズ、42 (1): 1–21、doi : 10.2307/1968984、hdl : 10338.dmlcz/140501、JSTOR  1968984
• Příhoda, Pavel (2004)、「弱クルル・シュミット定理と有限ゴルディ次元の直列加群の直和分解」、J. Algebra、281 : 332– 341、doi : 10.1016/j.jalgebra.2004.06.027
• Příhoda, Pavel (2006)、「ユニシリアル加群の無限直和に対する弱クルル＝シュミット定理のバージョン」、Comm. Algebra、34 (4): 1479– 1487、doi : 10.1080/00927870500455049
• Puninski, GT (2002)、「アルティニアンおよびノイザンシリアルリング」、J. Math. Sci. (ニューヨーク)、110 : 2330– 2347、doi : 10.1023/A:1014906008243
• Puninski, Gennadi (2001b)、「ほぼ単純なユニシリアル領域上のモデル理論とシリアル加群の分解」、J. Pure Appl. Algebra、163 (3): 319– 337、doi : 10.1016/s0022-4049(00)00140-7
• Puninski, Gennadi (2001c)、「例外的なユニシリアル環上のモデル理論とシリアル加群の分解」、ロンドン数学会誌、64 (2): 311– 326、doi : 10.1112/s0024610701002344
• ウォーフィールド、ロバート・B・ジュニア（1975）「直列環と有限提示加群」、代数誌、37（2）：187-222、doi：10.1016/0021-8693（75）90074-5