アクエンドス・フベネスの提案

中世ラテン語の写本『Propositiones ad Acuendos Juvenes 』 （英語：Propositiones ad Acuendos Juvenes ）は、娯楽数学の問題集として知られている最古のものの一つです。 [ 1 ] この写本の最も古い写本は9世紀後半のものです。このテキストはヨークのアルクイン（804年没）の作とされています。版によっては53問、56問収録されています。ジョン・ハドリーによって英訳され、ジョン・ハドリーとデイヴィッド・シングマスターによる注釈が付けられています。[ 2 ]

この原稿には、3 つの川渡り問題を含む、いくつかの種類の問題の最初の例が記載されています。

  • 問題17：嫉妬深い夫の問題。アルクインによるこの問題では、それぞれ姉妹を連れた3人の男性が、2人しか乗れない船を渡らなければならない。兄弟がいない女性が他の男性と一緒に残されることがないようにするためである（[ 2 ]、111ページ）。
  • 問題18：オオカミ、ヤギ、キャベツの問題[ 2 ]、p.112。、そして
  • 問題19：同じ体重の男性と女性、そしてそれぞれ半分の体重の子供2人が、大人1人分の体重しか運べないボートで川を渡ろうとしている。[ 2 ]、112ページ。

いわゆる「樽の共有」問題:

  • 問題12：ある父親が亡くなり、3人の息子に30個のガラス瓶を相続させました。そのうち10個は油で満たされ、10個は半分満たされ、残りの10個は空でした。油とガラス瓶を、3人の息子に均等に分配し、油とガラスの両方を均等に分配してください。[ 2 ]、109ページ。 この問題の解の数は、各種類の瓶の数nに対して、アルクインの数列の項で表されます。

ジープ問題の変種:

  • 問題52：ある家長が、自分の家から30リーグ離れた別の家へ90モディアの穀物を運ぶよう命じました。この穀物はラクダ1頭で3往復で運べ、ラクダはリーグごとに1モディアを食べるとすると、旅の終わりには何モディアが残りましたか？ [ 2 ]、124～125ページ。

3つの梱包問題：[ 3 ]

  • 問題27：四角形都市に関する命題。一辺が1100フィート、他辺が1000フィート、正面が600フィート、そして最後の辺が600フィートの四角形都市があります。私はそこに、それぞれの長さが40フィート、幅が30フィートになるように家を建てたいと思っています。希望する者はこう言え。「この都市にはいくつの家が必要でしょうか？」
  • 問題28：三角形の都市に関する命題。一辺が100フィート、もう一辺が100フィート、残りの3分の1が90フィートの三角形の都市があります。この都市の中に、各家の長さが20フィート、幅が10フィートになるように住宅を建てたいと考えています。できる人は答えてください。「何軒の家が入るでしょうか？」
  • 問題29：円形都市に関する命題。円周8000フィートの都市があるとします。「各家が長さ30フィート、幅20フィートの場合、都市にはいくつの家が建てられるべきか」と問うことができる者は答えよ。

さらにいくつかの問題があります:

  • 問題5：ある商人が豚100頭を100ペンスで買おうとしました。雄豚1頭には10ペンス、雌豚1頭には5ペンス、子豚2頭には1ペンスを支払うことになります。100頭に対してちょうど100ペンスを支払うには、雄豚、雌豚、子豚の数はそれぞれ何頭必要でしょうか？
この問題は少なくとも5世紀の中国にまで遡り、当時のインドやアラビアの文献にも登場します。 [ 2 ]、106ページ。
問題32、33、34、38、39、47 [ 4 ]は、いずれも与えられた量のお金または食料を、3種類の人または動物のそれぞれに、定められた比率に従って分配し、それぞれの種類の数を問うという点で類似しています。代数的には、これは3つの未知数を持つ2つの方程式に相当します。しかし、妥当な解は人または動物の全体からしか得られないため、ほとんどの問題には正の整数からなる解が1つしかありません。いずれの場合も、アルクインは解を提示し、その正しさを証明していますが、どのようにして解が得られたかは説明していません。
  • 問題26：長さ150フィートの野原があります。一方の端には犬が、もう一方の端には野ウサギが立っていました。犬は野ウサギを追いかけました。犬の歩幅は9フィートでしたが、野ウサギは7フィートしか進みませんでした。犬は逃げる野ウサギを追いかけて、捕まえるまでに何フィート、何回跳躍しましたか？
この種の追い越し問題は紀元前150年にまで遡りますが、これはヨーロッパで最初の既知の例です。[ 2 ]、115ページ。
  • 問題42：100段の階段があります。1段目には鳩が1羽、2段目には2羽、3段目には3羽、4段目には4羽、5段目には5羽、というように100段目まで止まっています。全部で何羽の鳩がいましたか？
この文章題は、1から100までのすべての数を足し合わせる算術問題と等価であることに注意されたい。アルクインの解法は、1段目と99段目を合わせると鳩の数は合計100羽、2段目と98段目を合わせるとさらに100羽、といった具合に、50段目と100段目を除くすべての段の組み合わせについて同様の計算が成り立つというものである。弟子のカール・フリードリヒ・ガウスは、1と100、2と99、…、50と51を組み合わせることで、この等価な算術問題を解いたと推定される。その結果、50×101＝5050となり、これは1000年前のアルクインの解法よりも簡潔なものである。[ 2 ]、121ページ。
  • 問題43：ある男が300頭の豚を飼っています。彼は3日間で豚を全て屠殺するよう命じましたが、1日あたりの屠殺頭数は奇数でした。1日あたり何頭屠殺することになりますか？
この問題は問題児を叱るために作られたようで、解答は示されていない。（3つの奇数を足しても300にならない。）[ 2 ]、121ページ。
  • 問題14: 一日中耕作を続けた牛は、最後の畝にいくつの足跡を残すでしょうか？[ 4 ]
もう一つの面白い問題は、答えは「ない」です。なぜなら、鋤が溝を作るときにそれらを破壊してしまうからです。

参考文献

  1. ^アルクイン（735-804）、デイビッド・ダーリング著『インターネット科学百科事典』。2008年2月7日にオンラインでアクセス。
  2. ^ a b c d e f g h i j若者を研ぎ澄ます問題、ジョン・ハドレーとデイヴィッド・シングマスター、「数学ガゼット」、76、#475（1992年3月）、pp.102–126。
  3. ^ニコライ・ユウ. Zolotykh、 Alcuin の Civitatibus の命題: 最も初期の梱包問題。 arXiv プレプリントarXiv : 1308.0892 (2013)
  4. ^ a b Burkholder、Peter J. 「ヨークのアルクインの『Propositiones ad Acuendos Juvenes』」（PDF） 。 2020年1月6日閲覧。
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