推進策

測度論において、プッシュフォワード測度（プッシュフォワード、プッシュフォワード、イメージ測度とも呼ばれる）は、測定可能な関数を使用して、ある測定可能な空間から別の測定可能な空間に測度を転送（「プッシュフォワード」）することによって得られます。

意味

測定可能な空間 と、測定可能な関数、および測度 が与えられた場合、によるの押し出しは、によって与えられる 測度であると定義されます。${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1})}$ ${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2})}$ ${\displaystyle f\colon X_{1}\to X_{2}}$ ${\displaystyle \mu \colon \Sigma _{1}\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{*}(\mu )\colon \Sigma _{2}\to [0,+\infty ]}$

${\displaystyle f_{*}(\mu )(B)=\mu \left(f^{-1}(B)\right)}$ のために${\displaystyle B\in \Sigma _{2}.}$

この定義は、符号付き測度または複素測度にも準用される。プッシュフォワード測度は、、 、、 とも表記される。 ${\displaystyle \mu \circ f^{-1}}$ ${\displaystyle f_{\sharp }\mu }$ ${\displaystyle f\sharp \mu }$ ${\displaystyle f\#\mu }$

プロパティ

変数変換式

定理: ^{[ 1 ]} X ₂上の測定可能な関数gがプッシュフォワード測度f _∗ ( μ )に関して積分可能であることと、合成が測度μに関して積分可能であることは同じである。その場合、積分は一致する。すなわち、 ${\displaystyle g\circ f}$

${\displaystyle \int _{X_{2}}g\,d(f_{*}\mu )=\int _{X_{1}}g\circ f\,d\mu .}$

前の式では であることに注意してください。 ${\displaystyle X_{1}=f^{-1}(X_{2})}$

関数性

測度のプッシュフォワードは、可測空間 間の関数から測度空間間の関数を誘導することを可能にする。多くの誘導写像と同様に、この構成は可測空間のカテゴリ上の関数の構造を持つ。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle M(X)\to M(Y)}$

確率測度の特殊なケースでは、この特性はGiry モナドの関数性に相当します。

例と応用

• が確率空間、が測定可能な空間、が- 値確率変数である場合、の確率分布はによるのプッシュフォワード測度です。${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle X:\Omega \to E}$ ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$
• 単位円S ^{1 （ここでは}複素平面Cの部分集合と考える）上の自然な「ルベーグ測度」は、押し出し構成と実数直線R上のルベーグ測度λを用いて定義できる。λ はルベーグ測度の区間 [0, 2 π ) への制限も表し、f  : [0, 2 π ) →  S ^1はf ( t ) = exp( i t )によって定義される自然一対一とする。すると、 S 1上の自然な「ルベーグ測度」は押し出し測度f _∗ ( λ ) となる。測度f _∗ ( λ ) は「弧長測度」または「角度測度」とも呼ばれる。これは、 S ¹内の弧のf _∗ ( λ ⁾測度がまさにその弧長（あるいは、円の中心における弧のなす角度）となるためである。 
• 前の例は、n次元トーラスT ⁿ上に自然な「ルベーグ測度」を与えるようにうまく拡張されます。前の例はS ¹  =  T ^{1であるため、特別なケースです。T n}上のこのルベーグ測度は、正規化を除けば、コンパクトで連結なリー群T ⁿのハール測度となります。
• 無限次元ベクトル空間上のガウス測度は、実数直線上のプッシュフォワードと標準ガウス測度を使用して定義されます。つまり、可分バナッハ空間X上のボレル測度γは、連続双対空間内の任意の非ゼロ線形関数によるγのXへのプッシュフォワードがR上のガウス測度である場合にガウス測度と呼ばれます。
• 測定可能な関数f  : X → Xとf自身をn回合成したものを考えます。

${\displaystyle f^{(n)}=\underbrace {f\circ f\circ \dots \circ f} _{n\mathrm {\,times} }:X\to X.}$

この反復関数は力学系を形成する。このような系の研究では、写像fによって変化しないX上の測度μ、いわゆる不変測度、すなわちf _∗ ( μ ) =  μとなる​​測度 μ を見つけることがしばしば興味深い。

• このような力学系に対しては、準不変測度を考えることもできる。上の測度がの下で準不変であるとは、によるの押し出しが元の測度μと単に同値であり、必ずしもそれと等しいとは限らない場合である。同じ空間上の測度のペアが のときのみ同値であり、 がの下で準不変であるとは、${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu ,\nu }$ ${\displaystyle \forall A\in \Sigma :\ \mu (A)=0\iff \nu (A)=0}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \forall A\in \Sigma :\ \mu (A)=0\iff f_{*}\mu (A)=\mu {\big (}f^{-1}(A){\big )}=0}$

• この構成により、カイ2乗分布などの多くの自然な確率分布を得ることができます。

• 確率変数はプッシュフォワード測度を誘導する。確率変数は確率空間を余域空間に写像し、その空間にプッシュフォワードによって定義される確率測度を与える。さらに、確率変数は関数（したがって全関数）であるため、余域全体の逆像は余域全体であり、余域全体の測度は1であるので、余域全体の測度も1である。これは、確率変数は無限に構成可能であり、常に確率変数であり続け、余域空間に確率測度を与えることを意味する。

一般化

一般に、任意の測定可能な関数は押し進めることができる。押し進めた関数は線型作用素となり、これは転送作用素またはフロベニウス＝ペロン作用素として知られる。有限空間において、この作用素は典型的にはフロベニウス＝ペロン定理の要件を満たし、作用素の最大固有値は不変測度に対応する。

プッシュフォワードの随伴作用素はプルバックであり、測定可能な空間上の関数の空間上の作用素としては合成作用素またはクープマン作用素である。

参照

• 測度保存力学系
• フローの正常化
• 最適な輸送

注記

1. ボガチェフ 2007の定理 3.6.1

参考文献

• Bogachev、Vladimir I. (2007)、測定理論、ベルリン: Springer Verlag、ISBN 9783540345138
• テシュル、ジェラルド（2015）「実解析と関数解析のトピックス」