準不変測度

数学において、測度空間Xからそれ自身への変換Tに関する準不変測度μとは、大まかに言えば、Tの数値関数を乗じた測度である。重要な例として、Xが滑らかな多様体M、TがMの微分同相写像、そしてμが局所的にユークリッド空間におけるルベーグ測度を基底とする測度である場合が挙げられる。この場合、 Tが μ に与える影響は、局所的にはTの微分（プッシュフォワード）のヤコビ行列式を乗じたものとして表現できる。

この考え方を測度論の用語でより正式に表現すると、変換された測度 μ′ のμに関するラドン・ニコディム微分はどこにでも存在するはず、あるいは2つの測度は等価であるはず（つまり互いに絶対連続であるはず）という考え方である。

${\displaystyle \mu '=T_{*}(\mu )\approx \mu .}$

つまり、言い換えれば、T は測度零集合の概念を保存するということです。測度の同値類ν （ μと同値）全体を考えると、 T は類全体を保存し、そのような測度を他の測度に写像する、とも言えます。したがって、準不変測度の概念は不変測度類と同じです。

一般に、乗算によって測度クラス内を移動する「自由」により、変換が合成されるときにコサイクルが発生します。

たとえば、ユークリッド空間R ⁿ上のガウス測度は、（ルベーグ測度のように）並進に対して不変ではありませんが、すべての並進に対して準不変です。

Eが可分なバナッハ空間であり、μがE上の局所有限ボレル測度で、 Eの元によるすべての変換に対して準不変である場合、 dim( E ) < +∞ またはμが自明な測度μ ≡ 0 であることが示されます 。

参照

• キャメロン・マーティン定理 – ヒルベルト空間上のガウス測度の変換を記述する定理
• 不変測度 – 数学における概念

参考文献