リー代数の一般化

数学において、リー代数はいくつかの方法で一般化されています。

次数付きリー代数とリー超代数

次数付きリー代数は、次数 を持つリー代数です。次数が のとき、それはリー超代数とも呼ばれます。 Z/2{\displaystyle \mathbb {Z} /2}

リー同位体代数

リー同位体代数は、1978 年に物理学者 RM サンティリによって提案されたリー代数の一般化です。

意味

生成元と交換規則 を持つ有限次元リー代数[ 1 ]を思い出してください。L{\displaystyle L}X1、X2、。。。、Xn{\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}}

[X私Xj]＝X私Xj−XjX私＝C私jけXけ、{\displaystyle [X_{i}X_{j}]=X_{i}X_{j}-X_{j}X_{i}=C_{ij}^{k}X_{k},}

は（特に物理学において）乗法単位を持つ数値体上の結合積を備えた普遍包絡結合代数に付随する完全に反対称な代数として定義することができます。 あ（L）−{\displaystyle A(L)^{-}}あ（L）＝{X1、X2、。。。、Xn;X私Xj、私、j＝1、。。。、n;1}{\displaystyle A(L)=\{X_{1},X_{2},...,X_{n};X_{i}X_{j},i,j=1,...,n;1\}}X私×Xj{\displaystyle X_{i}\times X_{j}}F{\displaystyle F}1{\displaystyle 1}

ここで、公理を保存しながら、普遍包絡等結合代数[ 2 ]と 呼ばれる形式に持ち上げることを考える。あ（L）{\displaystyle A(L)}あ∗（L∗）＝{X1、X2、。。。、Xn;X私×Xj、私、j＝1、。。。、n;1∗}{\displaystyle A^{*}(L^{*})=\{X_{1},X_{2},...,X_{n};X_{i}\times X_{j},i,j=1,...,n;1^{*}\}}

X私×Xj＝X私T∗Xj、{\displaystyle X_{i}\times X_{j}=X_{i}T^{*}X_{j},}

等結合法則の検証

X私×（Xj×Xけ）＝X私×（Xj×Xけ）{\displaystyle X_{i}\times (X_{j}\times X_{k})=X_{i}\times (X_{j}\times X_{k})}

および乗法等単位

1∗＝1/T∗、1∗×Xけ＝Xけ×1∗＝XけたXけ私nあ∗（L∗）{\displaystyle 1^{*}=1/T*,1^{*}\times X_{k}=X_{k}\times 1^{*}=X_{k}\forall X_{k}inA^{*}(L^{*})}

ここで、同位体元と呼ばれる は、必ずしも の元ではなく、その条件によってのみ正定値に制限されますが、それ以外では局所変数に対して任意の所望の依存性を持ち、積はにおける従来の結合積です。 T∗{\displaystyle T^{*}}あ（L）{\displaystyle A(L)}T∗>0{\displaystyle T^{*}>0}X私T∗、T∗Xj、etc。{\displaystyle X_{i}T^{*},T^{*}X_{j},など}あ（L）{\displaystyle A(L)}

すると、リー同位体代数[ 3 ] は、包絡同結合代数に付随する全反対称代数として定義できる。同交換規則L∗{\displaystyle L^{*}}L∗＝あ∗（L∗）−{\displaystyle L^{*}=A^{*}(L^{*})^{-}}

[X私、Xj]∗＝X私×Xj−Xj×X私＝X私T∗Xj−XjT∗X私＝C私j∗けXけ。{\displaystyle [X_{i},X_{j}]^{*}=X_{i}\times X_{j}-X_{j}\times X_{i}=X_{i}T^{*}X_{j}-X_{j}T^{*}X_{i}=C_{ij}^{*k}X_{k}.}

次のことが明らかである。[ 4 ] [ 5 ] 1)同積および同単位は、抽象レベルで、従来の積およびと一致する。2)同交換子はリーの公理を検証する。3)数、関数、行列、演算子などの同位体が無限に可能であることを考慮すると、任意のリー代数は同位体の無限のクラスを許容する。4)リー同位体代数は、 [ 6 ] の場合は常に正則リー同位体と呼ばれ、の場合は常に不規則リー同位体と呼ばれる。5)すべての正則リー同位体は明らかに と同型である。しかし、不規則同位体と の関係は 、 現在まで（2024年1月20日）研究されていないようである。 [X私、Xj]∗{\displaystyle [X_{i},X_{j}]^{*}}T∗{\displaystyle T^{*}}L{\displaystyle L}C私j∗け＝C私jけ{\displaystyle C_{ij}^{*k}=C_{ij}^{k}}C私j∗け≠C私jけ{\displaystyle C_{ij}^{*k}\neq C_{ij}^{k}}L∗{\displaystyle L^{*}}L{\displaystyle L}L∗{\displaystyle L^{*}}L{\displaystyle L}

物理学におけるリー同位体代数の応用の一例として、スピン対称性 の同位体[ 7 ]が挙げられ、その 複素数体上のヒルベルト空間上の基本表現は、（パウリ行列） の基本再表現の非ユニタリー変換によって得られる。Sあなた∗（2）{\displaystyle SU^{*}(2)}Sあなた（2）{\displaystyle SU(2)}H{\displaystyle H}C{\displaystyle C}Sあなた（2）{\displaystyle SU(2)}

σけ∗＝あなたσけあなた†、{\displaystyle \sigma _{k}^{*}=U\sigma _{k}U^{\dagger },}
あなたあなた†＝私∗＝D私1つのグラム。（λ−1、λ）、Det1∗＝1、{\displaystyle UU^{\dagger }=I^{*}=Diag.(\lambda ^{-1},\lambda ),Det1^{*}=1,}
σ1∗=(0λλ−10),σ2∗=(0−iλiλ−10),σ3∗=(λ−100−λ),{\displaystyle \sigma _{1}^{*}=\left(\!{\begin{array}{cc}0&\lambda \\\lambda ^{-1}&0\end{array}}\!\right),\sigma _{2}^{*}=\left(\!{\begin{array}{cc}0&-i\!\lambda \\i\!\lambda ^{-1}&0\end{array}}\!\right),\sigma _{3}^{*}=\left(\!{\begin{array}{cc}\lambda ^{-1}&0\\0&-\lambda \end{array}}\!\right),}

ボームの隠れた変数[ 8 ]を明示的かつ具体的に実現する。これは抽象的な結合公理に「隠され」ており、重陽子の磁気モーメントを正確に表現することができる。[ 9 ]λ{\displaystyle \lambda }

リーn代数

準リー代数

抽象代数における準リー代数はリー代数と全く同じであるが、通常の公理に従う。

[x,x]=0{\displaystyle [x,x]=0}

置き換えられた

[x,y]=−[y,x]{\displaystyle [x,y]=-[y,x]}（反対称）。

2以外の特性では、これらは（双線型性が存在する限り）同値であるため、実リー代数や複素リー代数を考える場合にはこの区別は生じません。しかし、整数リー代数を考える場合には、この区別が重要になることがあります。

準リー代数では、

2[x,x]=0.{\displaystyle 2[x,x]=0.}

したがって、実際に消えない限り、任意の要素とそれ自身の括弧は 2 ねじれになります。

参照:ホワイトヘッド積。

参考文献

  1. ^ Trell, Erik (1998)、「マリウス・ソフス・リー博士論文の英訳」（PDF）、代数・群・幾何学、15（4）：395–446、ISSN  0741-9937
  2. ^セクション。 5.2、p. Santilli、Ruggero M. (1983)の 154 頁。理論力学の基礎(PDF)。 Vol. II.スプリンガー・フェルラーグ。ISBN 3-540-09482-2。
  3. ^セクション 5.3、p. Santilli、Ruggero M. (1983)の 163 に記載。理論力学の基礎(PDF)。 Vol. II.スプリンガー・フェルラーグ。ISBN 3-540-09482-2。
  4. ^ 5.4 項、p. Santilli、Ruggero M. (1983)の 173 に記載。理論力学の基礎(PDF)。 Vol. II.スプリンガー・フェルラーグ。ISBN 3-540-09482-2。
  5. ^ Sourlas, Dimitris S. および Tsagas, Grigorious T. (1993).リー＝サンティリ理論の数学的基礎(PDF) . ウクライナ科学アカデミー. ISBN 0-911767-69-X。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  6. ^ムクティボディ、アラム S.; Santilli、Ruggero M. (2007)、「嘘サンティリ等理論の規則的および不規則等表現の研究」(PDF)、一般化嘘理論ジャーナル、11 : 1– 7
  7. ^サンティリ、ルッジェロ・M. (1998)、「リー同位体SU(2)代数の等表現と核物理学および局所実在論への応用」( PDF)、Acta Applicandae Mathematicae、50 : 177–190、ISSN0741-9937 
  8. ^ボーム、デイヴィッド（1952）「隠れた変数による量子論の解釈」" , Phys. Rev. , 85 : 166– 182, doi : 10.1103/PhysRev.85.166
  9. ^ Sanrtilli, Ruggero M.; Sobczyk, Garret (2022)、「ボームの隠れた変数のクリフォード代数による核磁気モーメントの表現」、Scientific Reports、12 (1): 1– 10、Bibcode : 2022NatSR..1220674S、doi : 10.1038/s41598-022-24970-4、PMC 9760646、PMID 36529817  

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