待ち行列理論

待ち行列ネットワークは、単一の待ち行列がルーティングネットワークによって接続されたシステムです。この図では、サーバーは円、待ち行列は一連の長方形、ルーティングネットワークは矢印で表されています。待ち行列ネットワークの研究では、通常、ネットワークの平衡分布を求めようとしますが、多くの応用では過渡状態の研究が基本となります

待ち行列理論は、待ち行列の数学的研究です。^{[ 1 ]}待ち行列モデルは、待ち行列の長さと待ち時間を予測できるように構築されます。^{[ 1 ]}待ち行列理論は、サービスを提供するために必要なリソースに関するビジネス上の意思決定を行う際に結果が使用されることが多いため、 一般的にオペレーションズ・リサーチの一分野と考えられています。

待ち行列理論は、コペンハーゲン電話交換会社の着信システムを記述するモデルを作成したアグナー・クラルプ・エルランの研究に端を発しています。 ^{[ 1 ]}これらのアイデアは、電気交通工学の分野に大きな影響を与え、その後、電気通信、交通工学、コンピューティング、^{[ 2 ]}プロジェクト管理、特に産業工学の分野で応用され、工場、店舗、オフィス、病院の設計に応用されています。^{[ 3 ] [ 4 ]}

スペル

学術研究分野では、「queuing」よりも「queueing」という綴りが一般的に見られます。実際、この分野の代表的なジャーナルの一つはQueueing Systemsです

説明

待ち行列理論は、経営科学分野の主要な研究分野の1つです。経営科学を通じて、企業はさまざまな科学的および数学的アプローチを使用してさまざまな問題を解決することができます。待ち行列分析は待ち行列の確率分析であるため、動作特性とも呼ばれる結果は決定論的ではなく確率的です。^{[ 5 ]} n 人の顧客が待ち行列システムにいる確率、待ち行列システム内の顧客の平均数、待機列にいる顧客の平均数、待ち行列システム全体で顧客が費やす平均時間、待機列にいる顧客の平均時間、そして最後にサーバーがビジー状態またはアイドル状態である確率はすべて、これらの待ち行列モデルが計算するさまざまな動作特性です。^{[ 5 ]}待ち行列分析の全体的な目標は、現在のシステムについてこれらの特性を計算し、改善につながる可能性のあるいくつかの代替案をテストすることです。現在のシステムの動作特性を計算し、その値を代替システムの特性と比較することで、管理者は各潜在的なオプションの長所と短所を確認できます。これらのシステムは、コスト削減、待ち時間の短縮、効率性の向上など、最終的な意思決定プロセスを支援する。主な待ち行列モデルは、単一サーバ待ち行列システムと複数サーバ待ち行列システムであり、これらについては後述します。これらのモデルは、サービス時間が一定か不定か、待ち行列の長さが有限か、呼び出し人口が有限かなどによってさらに細分化されます。^{[ 5 ]}

単一キューイングノード

キューまたはキューイングノードは、ほぼブラックボックスと考えることができます。ジョブ（分野によっては顧客またはリクエストとも呼ばれます）はキューに到着し、しばらく待機し、処理に時間がかかり、その後キューから出ていきます

ブラックボックス。ジョブはキューに到着し、キューから出ていきます。

しかし、キューイングノードは完全なブラックボックスではありません。キューイングノードの内部に関する情報が必要となるためです。キューには1台以上のサーバーがあり、各サーバーは到着したジョブとペアリングできます。ジョブが完了してキューから出ると、そのサーバーは再び別の到着したジョブとペアリングできるようになります。

3台のサーバーを持つキューイングノード。サーバーaはアイドル状態であるため、到着したジョブは処理されます。サーバーbは現在ビジー状態であり、ジョブの処理が完了するまでにしばらく時間がかかります。サーバーcはジョブの処理を完了したばかりであるため、次に到着したジョブを受け取るサーバーになります。

よく使われる例えは、スーパーマーケットのレジ係です。顧客は到着し、レジ係による処理を経て退出します。各レジ係は一度に1人の顧客を処理するため、これは1つのサーバーのみを持つキューイングノードです。顧客が到着した際にレジ係が忙しければ、顧客はすぐに退出してしまうような設定は、バッファなし（または待合エリアなし）のキューと呼ばれます。最大n人の顧客を待たせることができる設定は、バッファサイズnのキューと呼ばれます。

誕生・消滅過程

単一のキュー（キューイングノードとも呼ばれる）の動作は、誕生・消滅過程によって記述できます。これは、キューへの到着と出発、および現在システム内にあるジョブの数を記述します。kがシステム内のジョブ数（処理中、またはキューに待機ジョブのバッファがある場合は待機中）を表す場合、到着はkを1増加させ、出発はkを1 減少させます

システムは、各ジョブの到着率と出発率で発生する「誕生」と「死滅」によってkの値の間を遷移します。キューの場合、これらの率は一般的にキュー内のジョブ数によって変化しないと考えられるため、単位時間あたりの到着率と出発率は単一の平均であると仮定します。この仮定の下では、このプロセスの到着率は、出発率はとなります。 ${\displaystyle \lambda_{i}}$ ${\displaystyle \mu_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \lambda ={\text{avg}}(\lambda_{1},\lambda_{2},\dots,\lambda_{k})}$ ${\displaystyle \mu ={\text{avg}}(\mu _{1},\mu _{2},\dots ,\mu _{k})}$

誕生と死のプロセス。円内の値はシステムの状態を表し、到着率λ _iと出発率μ _iに基づいて変化します。

1台のサーバー、到着率λ、出発率μのキュー

バランス方程式

バランス方程式として知られる、出生と死の過程の定常状態方程式は次のとおりです。ここで は状態 nにある定常状態確率を表します${\displaystyle P_{n}}$

${\displaystyle \mu _{1}P_{1}=\lambda _{0}P_{0}}$

${\displaystyle \lambda _{0}P_{0}+\mu _{2}P_{2}=(\lambda _{1}+\mu _{1})P_{1}}$

${\displaystyle \lambda _{n-1}P_{n-1}+\mu _{n+1}P_{n+1}=(\lambda _{n}+\mu _{n})P_{n}}$

最初の2つの式は

${\displaystyle P_{1}={\frac {\lambda _{0}}{\mu _{1}}}P_{0}}$

そして

${\displaystyle P_{2}={\frac {\lambda _{1}}{\mu _{2}}}P_{1}+{\frac {1}{\mu _{2}}}(\mu _{1}P_{1}-\lambda _{0}P_{0})={\frac {\lambda _{1}}{\mu _{2}}}P_{1}={\frac {\lambda _{1}\lambda _{0}}{\mu _{2}\mu _{1}}}P_{0}}$ 。

数学的帰納法によれば、

${\displaystyle P_{n}={\frac {\lambda _{n-1}\lambda _{n-2}\cdots \lambda _{0}}{\mu _{n}\mu _{n-1}\cdots \mu _{1}}}P_{0}=P_{0}\prod _{i=0}^{n-1}{\frac {\lambda _{i}}{\mu _{i+1}}}}$ 。

この条件は次のようになる ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}=P_{0}+P_{0}\sum _{n=1}^{\infty }\prod _{i=0}^{n-1}{\frac {\lambda _{i}}{\mu _{i+1}}}=1}$

${\displaystyle P_{0}={\frac {1}{1+\sum _{n=1}^{\infty }\prod _{i=0}^{n-1}{\frac {\lambda _{i}}{\mu _{i+1}}}}}}$

これは、の式と合わせて、必要な定常状態確率を完全に記述します。 ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle (n\geq 1)}$

ケンドール記法

単一のキューイングノードは通常、ケンドールの表記法 A/S/ cを使用して記述されます。ここで、A はキューへの各到着間の所要時間の分布、S はジョブのサービス時間の分布、c はノードのサーバー数です。^{[ 6 ] [ 7 ]}表記法の例として、M/M/1 キューは、単一のサーバーがポアソン過程(到着間隔が指数分布する)に従って到着し、指数分布のサービス時間 (M はマルコフ過程を示す) を持つジョブを処理する単純なモデルです。M /G/1 キューでは、G は「一般」を表し、サービス時間の任意の確率分布を示します。

M/M/1キューの分析例

1 つのサーバーと次の特性を持つキューを検討します。

• ${\displaystyle \lambda }$ : 到着率（各顧客が到着するまでの予想時間の逆数、例：1秒あたり10人の顧客）
• ${\displaystyle \mu }$ : 平均サービス時間の逆数（同じ単位時間あたり、例えば30秒あたりに連続してサービスが完了する期待回数）
• n : システム内の顧客数を特徴付けるパラメータ
• ${\displaystyle P_{n}}$ :定常状態におけるシステム内にn人の顧客が存在する確率

さらに、 はシステムが状態nに入る回数を表し、 はシステムが状態nから離脱する回数を表すものとします。すると、すべてのnに対してとなります。つまり、システムが状態から離脱する回数は、その状態に入る回数と最大で1しか違わないということです。なぜなら、システムは将来のある時点でその状態に戻るか（）、戻らないか（）のいずれかだからです。 ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle L_{n}}$ ${\displaystyle \left\vert E_{n}-L_{n}\right\vert \in \{0,1\}}$ ${\displaystyle E_{n}=L_{n}}$ ${\displaystyle \left\vert E_{n}-L_{n}\right\vert =1}$

システムが安定状態に達すると、到着率は出発率と等しくなるはずです。

したがって、バランス方程式

${\displaystyle \mu P_{1}=\lambda P_{0}}$

${\displaystyle \lambda P_{0}+\mu P_{2}=(\lambda +\mu )P_{1}}$

${\displaystyle \lambda P_{n-1}+\mu P_{n+1}=(\lambda +\mu )P_{n}}$

示唆する

${\displaystyle P_{n}={\frac {\lambda }{\mu }}P_{n-1},\ n=1,2,\ldots }$

幾何分布の式 を導く事実${\displaystyle P_{0}+P_{1}+\cdots =1}$

${\displaystyle P_{n}=(1-\rho )\rho ^{n}}$

どこ。 ${\displaystyle \rho ={\frac {\lambda }{\mu }}<1}$

単純な2方程式待ち行列

一般的な基本的な待ち行列システムはアーランに由来し、リトルの法則の修正版です。到着率λ、脱落率σ、出発率μが与えられた場合、待ち行列の長さLは次のように定義されます

${\displaystyle L={\frac {\lambda -\sigma }{\mu }}}$ 。

割合が指数分布であると仮定すると、待ち時間Wは到着者のうちサービスを受ける割合として定義できます。これは、待機期間中に脱落しない人の指数生存率に等しく、次のようになります

${\displaystyle {\frac {\mu }{\lambda }}=e^{-W{\mu }}}$

2 番目の式は通常、次のように書き直されます。

${\displaystyle W={\frac {1}{\mu }}\mathrm {ln} {\frac {\lambda }{\mu }}}$

2段階ワンボックスモデルは疫学では一般的である。^{[ 8 ]}

歴史

1909年、コペンハーゲン電話交換局で働いていたデンマーク人エンジニア、アグナー・クラルプ・エルランは、現在待ち行列理論と呼ばれる理論に関する最初の論文を発表しました。 ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}彼は交換局に到着する電話呼数をポアソン過程によってモデル化し、1917年にM/D/1待ち行列、1920年にM/D/ k待ち行列モデルを解きました。 ^{[ 12 ]}ケンドールの表記法では：

• Mは「マルコフ」または「記憶なし」の略で、到着がポアソン過程に従って発生することを意味する。
• Dは「決定論的」の略で、キューに到着するジョブは一定量のサービスを必要とすることを意味する。
• k はキューノードにあるサーバーの数を表します ( k = 1、2、3、...)

ノードにサーバーよりも多くのジョブがある場合、ジョブはキューに入れられ、サービスを待機します。

M /G/1待ち行列は1930年にフェリックス・ポラチェクによって解かれ、 ^{[ 13 ]}後にアレクサンドル・ヒンチンによって確率論的な観点から書き直され、現在ではポラチェク・ヒンチンの公式として知られています。^{[ 12 ] [ 14 ]}

1940年代以降、待ち行列理論は数学者の研究対象となりました。^{[ 14 ]} 1953年、デイビッド・ジョージ・ケンドールはGI/M/ k待ち行列を解き^{[ 15 ]} 、現在ケンドールの表記法として知られる現代的な待ち行列表記法を導入しました。1957年、ポラチェクは積分方程式を用いてGI/G/1を研究しました。^{[ 16 ]}ジョン・キングマンはG/G/1待ち行列における平均待ち時間の公式を提示し、現在キングマンの公式として知られています。^{[ 17 ]}

レナード・クラインロックは、 1960年代初頭にメッセージ交換への待ち行列理論の応用、 1970年代初頭にパケット交換への応用に取り組みました。この分野への彼の最初の貢献は、1962年にマサチューセッツ工科大学で博士論文として発表され、1964年に書籍として出版されたことです。1970年代初頭に発表された彼の理論的研究は、インターネットの前身である ARPANETにおけるパケット交換の利用の基礎となりました。

行列幾何学的方法と行列解析的方法により、位相型分布到着間隔とサービス時間分布を持つ待ち行列を考慮できるようになりました。 ^{[ 18 ]}

結合軌道を持つシステムは、無線ネットワークや信号処理への応用における待ち行列理論において重要な部分を占めています。^{[ 19 ]}

待ち行列理論の現代的応用は、とりわけ、（物質的な）製品が一定の体積と一定の持続時間を持つという意味で時空間的存在を持つ製品開発に関係している。 ^{[ 20 ]}

M/G/ kキューの性能指標などの問題は未解決のままである。^{[ 12 ] [ 14 ]}

サービス規律

キューイングノードでは、さまざまなスケジューリングポリシーを使用できます。

先入先出

先入れ先出し（FIFO）キューの例

先着順（FCFS）とも呼ばれるこの原則^{[ 21 ]}は、顧客は一度に1人ずつサービスを受け、最も長く待っている顧客が最初にサービスを受けるというものです。^{[ 22 ]}

後入先出

この原則でも、一度に1人ずつ顧客にサービスを提供しますが、待ち時間が最も短い顧客が最初にサービスされます。^{[ 22 ]}スタックとも呼ばれます。

プロセッサの共有

サービス容量は顧客間で均等に共有されます。^{[ 22 ]}

優先度

優先度の高い顧客が最初にサービスを受けます。^{[ 22 ]}優先度キューには、非プリエンプティブ（サービス中のジョブを中断できない）とプリエンプティブ（サービス中のジョブをより優先度の高いジョブによって中断できる）の2種類があります。どちらのモデルでも作業は失われません。^{[ 23 ]}

最短の仕事から

次に処理される仕事は、最も規模の小さい仕事です。^{[ 24 ]}

先制的な最短ジョブを優先

次に提供されるジョブは、元のサイズが最も小さいジョブです。^{[ 25 ]}

残り最短処理時間

次に処理すべきジョブは、残っている処理要件が最も小さいジョブです。^{[ 26 ]}

サービス施設

• シングルサーバー：お客様が列に並び、サーバーは1台のみです
• 複数の並列サーバー（シングルキュー）：お客様が列に並び、サーバーは複数あります
• 複数の並列サーバー（複数のキュー）：カウンターが多数あり、顧客はどのキューに並ぶかを決めることができます。

信頼できないサーバー

サーバー障害は確率的（ランダム）プロセス（通常はポアソン分布）に従って発生し、その後、サーバーが利用できないセットアップ期間が続きます。中断された顧客は、サーバーが復旧するまでサービスエリアに留まります。^{[ 27 ]}

顧客の待ち時間行動

• 躊躇：列が長すぎる場合、顧客は列に加わらないことを決める
• 駆け引き: 顧客は、列を切り替えた方が早くサービスを受けられると思ったら、列を切り替える。
• 契約破棄: 顧客はサービスに時間がかかりすぎると列から退出する

到着した顧客がサービスを受けられなかったこと（キューにバッファがなかった、または顧客が躊躇したりキャンセルしたりしたため）は、ドロップアウトとも呼ばれます。ドロップアウトの平均率は、キューの状態を表す重要なパラメータです。

待ち行列ネットワーク

待ち行列ネットワークは、複数の待ち行列が顧客ルーティングによって接続されたシステムです。顧客が1つのノードでサービスを受けている場合、別のノードに参加してサービス待ちの列に並ぶか、ネットワークから離脱することができます

m個のノードを持つネットワークの場合、システムの状態はm次元ベクトル ( x ₁、x ₂、 ...、x _m ) で記述できます。ここで、x _{i は}各ノードの顧客数を表します。

最も単純で非自明な待ち行列ネットワークはタンデム待ち行列と呼ばれる。^{[ 28 ]}この分野での最初の重要な結果はジャクソンネットワークであり、^{[ 29 ] [ 30 ]}効率的な積形式定常分布が存在し、平均値分析^{[ 31 ]}（スループットや滞在時間などの平均メトリックを許容する）を計算できる。^{[ 32 ]}ネットワーク内の顧客総数が一定である場合、ネットワークは閉ネットワークと呼ばれ、ゴードン・ニューウェル定理によって積形式定常分布を持つことが示された。^{[ 33 ]}この結果はBCMP ネットワークに拡張され、^{[ 34 ]}非常に一般的なサービス時間、レジーム、顧客ルーティングを持つネットワークも積形式定常分布を示すことが示された。正規化定数は1973 年に提案されたBuzen のアルゴリズムで計算できる。 ^{[ 35 ]}

ケリーネットワークなどの顧客ネットワークも研究されてきました。ケリーネットワークでは、異なるクラスの顧客は、異なるサービスノードで異なる優先レベルを経験することになります。^{[ 36 ]}別のタイプのネットワークは、 1993年にエロール・ゲレンベによって最初に提案されたGネットワ​​ークです。 ^{[ 37 ]}これらのネットワークは、古典的なジャクソンネットワークのような指数時間分布を想定していません。

ルーティングアルゴリズム

どのサービスノードがいつでもアクティブになれるかという制約がある離散時間ネットワークでは、最大重みスケジューリングアルゴリズムは、各ジョブが1人のサービスノードのみを訪問する場合に最適なスループットを与えるサービスポリシーを選択します。^{[ 21 ]}ジョブが複数のノードを訪問できるより一般的なケースでは、バックプレッシャールーティングが最適なスループットを与えます。ネットワークスケジューラは、大規模ネットワークの特性に影響を与えるキューイングアルゴリズムを選択する必要があります。^{[ 38 ]}

平均場限界

平均場モデルは、キューの数mが無限大に近づくにつれて、経験的尺度（異なる状態にあるキューの割合）の極限挙動を考慮します。ネットワーク内の任意のキューに対する他のキューの影響は、微分方程式によって近似されます。決定論的モデルは、元のモデルと同じ定常分布に収束します。^{[ 39 ]}

重交通／拡散近似

占有率の高いシステム（利用率が1に近い）では、重交通近似を使用して、反射ブラウン運動^{[ 40 ]} 、オルンシュタイン・ウーレンベック過程、またはより一般的な拡散過程^{[ 41 ]}によって待ち行列長過程を近似することができます。ブラウン過程の次元数は待ち行列ノードの数に等しく、拡散は非負のorthantに制限されます

流体限界

流体モデルは、プロセスが時間と空間的にスケールされ、異種の物体を許容する限界をとることによって得られる、待ち行列ネットワークの連続的な決定論的類似物です。このスケールされた軌道は、システムの安定性を証明できる決定論的方程式に収束します。待ち行列ネットワークは安定しているが、不安定な流体限界を持つ可能性があることが知られています。^{[ 42 ]}

キューイングアプリケーション

待ち行列理論は、コンピュータサイエンスと情報技術の分野で広く応用されています。例えば、ネットワークでは、パケットが転送待ち行列に並ぶルーターやスイッチにキューが不可欠な役割を果たしています。待ち行列理論の原理を適用することで、設計者はこれらのシステムを最適化し、応答性の高いパフォーマンスと効率的なリソース利用を実現できます。

待ち行列理論は、技術的な領域を超えて、日常生活にも深く関わっています。スーパーマーケットや公共交通機関の待ち行列など、待ち行列理論の原理を理解することで、これらのシステムを最適化し、ユーザー満足度を高めるための貴重な洞察が得られます。誰もが、いつかは待ち行列に遭遇するでしょう。不便に感じることも、実は最も効果的な方法となる可能性があります。応用数学とコンピュータサイエンスに根ざした分野である待ち行列理論は、待ち行列（キュー）の研究と分析、そして多様なアプリケーションにおけるその影響を専門とする分野です。この理論的枠組みは、待ち行列の存在を特徴とするシステムの効率性を理解し、最適化する上で役立つことが証明されています。待ち行列の研究は、交通システム、コンピュータネットワーク、電気通信、サービス運用などの分野において不可欠です。

待ち行列理論は、到着過程とサービス過程を中心に、様々な基礎概念を掘り下げます。到着過程は、エンティティが時間の経過とともに待ち行列に加わる様子を記述するもので、多くの場合、ポアソン過程などの確率過程を用いてモデル化されます。待ち行列システムの効率は、主要な性能指標によって測定されます。これには、平均待ち行列長、平均待ち時間、システムスループットなどが含まれます。これらの指標は、システムの機能性に関する洞察を提供し、性能向上と待ち時間短縮に向けた意思決定を導きます。^{[ 43 ] [ 44 ] [ 45 ]}

参照

• エーレンフェストモデル
• アーラン単位
• ラインマネジメント
• ネットワークシミュレーション
• プロジェクト生産管理
• 待ち行列エリア
• 待ち行列の遅延
• 待ち行列管理システム
• 待ち行列の経験則
• ランダム早期検出
• 更新理論
• スループット
• スケジューリング（コンピューティング）
• 交通渋滞
• トラフィック生成モデル
• フローネットワーク

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さらに詳しい参考文献

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• レナード・クラインロック、「大規模通信ネットワークにおける情報の流れ」（MIT、ケンブリッジ、1961年5月31日）博士論文提案
• レナード・クラインロック。大規模通信ネットワークにおける情報の流れ（RLE四半期進捗報告書、1961年7月）
• レナード・クラインロック著『コミュニケーション・ネット：確率的メッセージフローと遅延』（マグロウヒル、ニューヨーク、1964年）
• クラインロック、レナード（1975年1月2日）『待ち行列システム：第1巻 理論』ニューヨーク：ワイリー・インターサイエンス、  417頁、ISBN 978-0-471-49110-1。
• クラインロック、レナード（1976年4月22日）。『待ち行列システム：第2巻 コンピュータアプリケーション』。ニューヨーク：ワイリー・インターサイエンス 。576ページ。ISBN 978-0-471-49111-8。
• エドワード・D・ラゾフスカ、ジョン・ザホルジャン、G・スコット・グラハム、ケネス・C・セブシック（1984年）。『定量的システム性能：待ち行列ネットワークモデルを用いたコンピュータシステム分析』Prentice-Hall, Inc. ISBN 978-0-13-746975-8。
• ジョン・クラインバーグ、エヴァ・タルドス（2013年6月30日）『アルゴリズム設計』ピアソン出版。ISBN 978-1-292-02394-6。

外部リンク

• Teknomoの待ち行列理論のチュートリアルと計算機
• Virtamoの待ち行列理論コース
• Myron Hlynka のキュー理論ページ
• LINE: 待ち行列モデルを解くための汎用エンジン