QED

QEDまたはQEDは、ラテン語の「quod erat demonstrandum 」の頭文字で、「証明されるべきもの」を意味します。文字通りには「示されるべきもの」を意味します。[ 1 ]伝統的に、この略語は印刷物における数学的な証明や哲学的な議論の末尾に置かれ、証明または議論が完了したことを示します。

語源と初期の使用

「quoderat Demonstormdum」というフレーズは、ギリシャ語のὅπερ ἔδει δεῖξαι ( hoper edei deixai ; ΟΕΔと略記)をラテン語に翻訳したものです。このラテン語のフレーズの意味は、「実証されるべきだったもの」（動名詞にDemonstructumが含まれる）です。

このギリシャ語のフレーズは、ユークリッド[ 2 ]やアルキメデスを含む多くの初期のギリシャの数学者によって使用されました。

このラテン語のフレーズは、ジョルジョ・ヴァッラによる1501年のユークリッド訳で確認されている。[ 3 ]その略語qedは、1598年にヨハネス・プレトリウスによって一度使用され、[ 4 ] 1643年にアントン・デューシングによってさらに使用され、[ 5 ] 1655年にアイザック・バローによってQEDの形で広範に使用され、[ 6 ]その後、ルネサンス以降の多くの数学者や哲学者によって使用された。[ 7 ]

現代哲学

フィリップ・ファン・ランズベルジェの 1604 年のTriangulorum Geometriæでは、いくつかの証明を結論づけるためにquod Erat Demonstormum が使用されました。他のものは、 sigillatim deinceps Demonstrabitur、magnitudo Demonstranda estなどのフレーズで終わるものや、その他のバリエーションもあります。[ 8 ]

ヨーロッパルネサンス時代には、学者たちはラテン語で文章を書くことが多く、証明を締めくくる際にはQEDなどのフレーズがよく使われました。

スピノザの倫理学第 1 部QEDの原文は、右側のページの命題 IIIの実証の最後に使用されています。

哲学的議論におけるQEDの最も有名な使用例は、おそらく、1677年に死後に出版されたバルーク・スピノザの『倫理学』であろう。 [ 9 ]ラテン語で書かれたこの本は、多くの人からスピノザの最高傑作と考えられている。本書の文体と体系は、スピノザが言うように、「幾何学的な順序で論証」されており、公理と定義に続いて命題が展開される。スピノザにとって、これは日記形式をとったルネ・デカルトの『瞑想録』の文体よりもかなり進歩していると言える。[ 10 ]

QEFとの違い

意味が少し異なるラテン語のフレーズがもう1つあります。これは通常同じように短縮されますが、あまり一般的ではありません。Quod erat faciendum は、ギリシャの幾何学者の語尾のὅπερ ἔδει ποιῆσαι ( hoper edei poiēsai ) に由来し、「しなければならないこと」を意味します。[ 11 ]意味が異なるため、この2つのフレーズを混同しないように注意してください。

ユークリッドは、定理の証明ではなく幾何学的対象の構築である命題を閉じるために、ギリシア語の原文であるQuod Erat Faciendum (QEF)を使用した。[ 12 ]例えば、一辺が与えられたときに正三角形を構築する方法を示すユークリッドの最初の命題は、このように結論付けられる。 [ 13 ]

同等の形式

英語には正式な同等の表現はありませんが、証明の終わりは「このように証明された」、「これで証明は完了する」、「要求どおり」、「望まれたとおり」、「予想どおり」、「したがって証明された」、「エルゴ」、「したがって正しい」などの簡単な文や、その他類似のフレーズで宣言される場合があります。

象徴的に使用される印刷形式

数学における証明の重要性から、ユークリッドの時代以来、数学者は証明の始まりと終わりを区別する慣習を発展させてきました。英語の印刷されたテキストでは、定理、補題、命題などの正式な記述は伝統的にイタリック体で表記されます。証明の始まりは通常、その直後に続き、太字またはイタリック体の「証明」という語で示されます。一方、証明の終わりを示す記号表記の慣習もいくつか存在します。

一部の著者は今でも古典的な略語であるQEDを使用していますが、これは現代の数学のテキストでは比較的まれです。ポール・ハルモスは、証明の最後にQED記号として黒い正方形（または長方形）を使用することを初めて行ったと主張しており、[ 14 ]これは普遍的ではないものの標準となった慣例です。ハルモスは、この記号の使用を、記事の終わりを示すために単純な幾何学的形状、いわゆるエンドマークを使用していた雑誌の印刷の慣習から採用したと述べています。[ 15 ] [ 16 ]この記号は後に数学者によってトゥームストーン、ハルモス記号、またはハルモスとさえ呼ばれました。ハルモス記号は、講義中に証明の終了を示すために黒板に描かれることがよくありますが、この慣習は印刷されたテキストで使用するほど一般的ではありません。

TeXでは、墓石記号は文字（黒四角、\blacksquare）として、また時には（白抜き四角、\square、または\Box）として表示されます。[ 17 ] LaTeXのAMS定理環境では、白抜き四角がデフォルトの証明終了記号です。Unicodeは明示的に「証明終了」文字U+220E（∎）を提供しています。著者の中には、証明の終了を示すために、▮（U+25AE、黒い縦長の四角形）や‣（U+2023、三角の箇条書き）などの他のUnicode記号を使用する人もいます。また、2つのスラッシュ（//、）または4つのスラッシュ（////、）を採用している著者もいます。[ 18 ]また、著者は証明をインデントされたブロックとして表示することで、印刷的に分離することを選択しています。[ 19 ]◼{\displaystyle \blacksquare}◻{\displaystyle \square}//{\displaystyle //////{\displaystyle ////

ジョセフ・ヘラーの1961年の小説『キャッチ22』では、牧師が、自分が署名したとされる偽造手紙（本人は署名していないと知っていた）を調べるよう指示され、そこに自分の名前が実際に記載されていたことを確認した。調査官は「では、あなたが書いたのですね。QED」と答えた。牧師は自分が書いたものではなく、自分の筆跡でもないと反論したが、調査官は「では、また他人の筆跡で署名したということですね」と返答した。[ 20 ]

参照

参考文献

  1. ^ “QUOD ERAT DEMONSTRANDUM の定義” . www.merriam-webster.com 。2017 年 9 月 3 日に取得。
  2. ^ユークリッド著『Elements 2.5』（JL Heiberg編）、2005年7月16日閲覧。
  3. ^ヴァッラ、ジョルジョ。「Georgii Vallae Placentini viri clariss. De expetendis, et fugeendis rebus opus. 1」。
  4. ^プレトリウス、ヨハネス。「Ioannis Praetorii Ioachimici 問題、Quatuor の直腸線は datis quadrilaterum fieri であり、Circulo に座っています。 」
  5. ^デユージング、アントン。「Antonii Deusingii Med. ac Philos. De Vero Systemate Mundi Dissertatio Mathematica : Quâ Copernici Systema Mundi Reformatur: Sublatis interinfinitis penè orbibus, quibus in Systemate Ptolemaico humana men distrahitur」。
  6. ^バロー、アイザック。「エレメンタ ジオメトリ : libri XV」。
  7. ^ 「数学用語の最も古い使用例（Q）」jeff560.tripod.com . 2019年11月4日閲覧。
  8. ^フィリップ・ヴァン・ランズベルジェ (1604)。Triangulorum Geometriæ。アプド・ザカリアム・ローマン。1 ～5ページ 。クォッド・エラト・デモンストランドム 0-1700。
  9. ^ 「バルーク・スピノザ（1632–1677）–近代哲学」opentextbc.ca . 2019年11月4日閲覧。
  10. ^ベネディクト・デ・スピノザ主要著作集、RHMエルウィス訳、1951年。ISBN 0-486-20250-X。
  11. ^ガウス、カール・フリードリヒ;ウィリアム・C・ウォーターハウス（2018年2月7日）。算数に関する議論。スプリンガー。ISBN 9781493975600。
  12. ^ Weisstein, Eric W. "QEF" mathworld.wolfram.com . 2019年11月4日閲覧。
  13. ^ 「ユークリッド原論、第1巻、命題1」。mathcs.clarku.edu 。 2019年11月4日閲覧。
  14. ^この（一般的に受け入れられている）主張は、ハルモスの自伝『数学者になりたい』の中でなされた。証明終了記号としての黒塗りの四角形が初めて用いられたのは、ハルモスの『測度論』（1950年）であると思われる。この記号の意図された意味は序文に明確に示されている。
  15. ^ハルモス, ポール・R. (1985). 『数学者になりたい：オートマトグラフィー』 シュプリンガー. p. 403. ISBN 9781461210849。
  16. ^フェリシ、ジェームズ (2003). 「タイポグラフィ完全マニュアル：完璧な活字設定ガイド」カリフォルニア州バークレー：ピーチピット・プレス.
  17. ^詳細については、たとえば数学記号のリストを参照してください。
  18. ^ルディン、ウォルター（1987年）『実解析と複素解析』マグロウヒル社、ISBN 0-07-100276-6。
  19. ^ルディン、ウォルター（1976年）『数学解析の原理』ニューヨーク：マグロウヒル、ISBN 0-07-054235-X。
  20. ^ヘラー、ジョセフ (1971).キャッチ22.南フランス. ISBN 978-0-573-60685-4. 2011年7月15日閲覧。
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