ラマヌジャンの合同性

数学において、ラマヌジャンの合同式はシュリニヴァーサ・ラマヌジャンによって発見された分割関数p ( n )の合同式である。

${\displaystyle {\begin{aligned}p(5k+4)&\equiv 0{\pmod {5}},\\p(7k+5)&\equiv 0{\pmod {7}},\\p(11k+6)&\equiv 0{\pmod {11}}.\end{aligned}}}$

簡単に言えば、最初の合同とは、数が5の倍数より4大きい場合、つまり、数列

4、9、14、19、24、29、…

その場合、パーティションの数は 5 の倍数になります。

その後、このタイプの他の合同が、数やタウ関数に対しても発見されました。

背景

1919年の論文^{[ 1 ]}では、彼は次の恒等式（ q-ポッホハマー記号表記法を使用）を使用して最初の2つの合同性を証明しました。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{k=0}^{\infty }p(5k+4)q^{k}=5{\frac {(q^{5})_{\infty }^{5}}{(q)_{\infty }^{6}}},\\[4pt]&\sum _{k=0}^{\infty }p(7k+5)q^{k}=7{\frac {(q^{7})_{\infty }^{3}}{(q)_{\infty }^{4}}}+49q{\frac {(q^{7})_{\infty }^{7}}{(q)_{\infty }^{8}}}.\end{aligned}}}$

その後、彼は「これら以外の素数を含む係数には、同様に単純な特性は存在しないようだ」と述べた。

ラマヌジャンが1920年に亡くなった後、GHハーディはp ( n )に関するラマヌジャンの未発表原稿（Ramanujan, 1921）から、3つの合同式すべての証明を抽出した。この原稿の証明では、アイゼンシュタイン級数が用いられている。

1944 年、フリーマン ダイソンは分割のランク関数を定義し、分割の「クランク」関数の存在を推測しました。この関数は、ラマヌジャン合同式を法として 11 を計算することの組み合わせ論的証明を提供します。40年後、ジョージ アンドリュースとフランク ガーバンはそのような関数を発見し、クランクが 5、7、11 を法とする 3 つのラマヌジャン合同式を同時に「説明する」という有名な結果を証明しました。

1960年代、イリノイ大学シカゴ校のAOLアトキンは、小さな素数モジュライに対する追加の合同性を発見しました。例えば、

${\displaystyle p(11^{3}\cdot 13k+237)\equiv 0{\pmod {13}}.}$

2000年にケン・オノはA.アトキンの結果を拡張し、6と互いに素な整数を法とするラマヌジャン合同式が存在することを証明した。例えば、彼の結果は次の通りである。

${\displaystyle p(107^{4}\cdot 31k+30064597)\equiv 0{\pmod {31}}.}$

その後、小野健は、エルーシブ・クランクも全く同じ種類の一般合同性を満たすと予想しました。これは、彼の博士課程の学生であるカール・マールバーグが2005年に発表した論文「分割合同性とアンドリュース・ガーバン・ダイソン・クランク」（下記リンク）で証明されました。この論文は、第1回米国科学アカデミー紀要（Proceedings of the National Academy of Sciences）の年間最優秀論文賞を受賞しました。^{[ 2 ]}

ラマヌジャンの観察に対する概念的な説明は、2011年1月に、l進位相における次の関数のハウスドルフ次元を考慮することによって最終的に発見されました^{[ 3 ]}。 ${\displaystyle P}$

${\displaystyle P_{\ell}(b;z):=\sum _{n=0}^{\infty }p\left({\frac {\ell^{b}n+1}{24}}\right)q^{n/24}.}$

ℓ  = 5、7、または11の場合にのみ次元が0であることがわかり、分割関数はこれらの関数の線形結合として表すことができるため^{[ 4 ]、}これはラマヌジャンの観察の形式化と証明と考えることができます。

2001年にRL Weaverは分割関数の合同式を見つけるための効果的なアルゴリズムを提示し、76,065個の合同式を表にまとめた。^{[ 5 ]}これは2012年にF. Johanssonによって22,474,608,014個の合同式に拡張され、^{[ 6 ]}大きな例としては

${\displaystyle p(999959^{4}\cdot 29k+28995221336976431135321047)\equiv 0{\pmod {29}}.}$

参考文献

1. ラマヌジャン、S. (1921)。「パーティションの合同特性」。数学的ツァイシュリフト。9 ( 1–2 ): 147–153 .土井: 10.1007/bf01378341。S2CID  121753215。
2. 「コッザレリ賞」 .米国科学アカデミー. 2014年6月. 2014年8月6日閲覧。
3. Folsom, Amanda ; Kent, Zachary A. ; Ono, Ken (2012). 「分配関数のℓ進特性」 . Advances in Mathematics . 229 (3): 1586. doi : 10.1016/j.aim.2011.11.013 .
4. Bruinier, Jan Hendrik; Ono, Ken (2013). 「半積分重み調和弱マース形の係数の代数式」(PDF) . Advances in Mathematics . 246 : 198–219 . arXiv : 1104.1182 . Bibcode : 2011arXiv1104.1182H . doi : 10.1016/j.aim.2013.05.028 .
5. Weaver, Rhiannon L. (2001). 「分配関数の新たな合同性」. The Ramanujan Journal . 5 : 53–63 . doi : 10.1023/A:1011493128408 . S2CID 119699656 . 
6. Johansson, Fredrik ( 2012). 「ハーディ・ラマヌジャン・ラーデマッハ公式の効率的な実装」. LMS Journal of Computation and Mathematics . 15 : 341–359 . arXiv : 1205.5991 . doi : 10.1112/S1461157012001088 . S2CID 16580723 . 

• 小野 健(2000). 「mを法とする分配関数の分布」 . Annals of Mathematics . Second Series. 151 ( 1): 293– 307. arXiv : math/0008140 . Bibcode : 2000math......8140O . doi : 10.2307 /121118 . JSTOR  121118. S2CID  119750203. Zbl 0984.11050 . 
• 小野健(2004).モジュラリティの網：モジュラー形式とq級数の係数の算術. CBMS数学地域会議シリーズ. 第102巻. プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-3368-1. Zbl  1119.11026 .
• ラマヌジャン, S. (1919). 「p(n) のいくつかの性質、すなわち n の分割数」ケンブリッジ哲学協会紀要. 19 : 207–210 . JFM  47.0885.01 .

外部リンク

• Mahlburg, K. (2005). 「分割合同性とアンドリュース・ガーバン・ダイソン・クランク」 .米国科学アカデミー紀要. 102 (43): 15373–76 . Bibcode : 2005PNAS..10215373M . doi : 10.1073 / pnas.0506702102 . PMC  1266116. PMID  16217020 .
• ダイソンのランク、クランク、アジョイント。参考文献リスト。