通常の全音階チューニング
12音階遊ぶⓘ、72音（マネリ・シムズ表記）遊ぶⓘ、また（どちらもイーズリー・ブラックウッド記譜法では12音と同じ表記）17音遊ぶⓘと19音階遊ぶⓘ通常の全音階
さまざまな平均律のTとS（*5音律と7音律は限界であり、通常の全音階調律ではありません）プレイ53ⓘとプレイ31ⓘ

通常の全音階調律とは、「全音」（T）と「半音」（S）で構成される音階であり、TTSTTTSの順序で任意の回転で配置されます。この順序は1オクターブに相当し、すべての「T」と「S」は同じサイズで、「S」は「T」よりも小さくなります。このような調律では、音符はすべて同じサイズ（TTTSまたはその順列）の7つの5度音程の連鎖で接続され、平均律5度を生成器とする 線形音律となります。

概要

ここで説明する通常の全音階では、T -s は全音、s -s は全音の半分、またはほぼ半分の大きさの半音です。しかし、より一般的な通常の全音階調律では、2つの音程は、音楽セント（5度、p5、685.71 ¢から720 ¢の間）で、 T = 171.43 ¢（高音域でs = Tの場合）からT = 240 ¢（低音域でs = 0の場合）の範囲で任意の関係になります。通常の全音階調律は、特定の全音階の音符に限定されるわけではないことに注意してください。

次のいずれかの値を与えると、 s、T 、および 5 度 (p5)の対応するセントを決定できます。

半音 s＝ 1 2（ 1200¢−5 T ） {\displaystyle \s={\tfrac {\1\}{2}}\left(\1200{\text{¢}}-5\T\\right)\}
フルトーン T＝ 1 5（ 1200¢−2 s ） {\displaystyle \T={\tfrac {\1\}{5}}\left(\1200{\text{¢}}-2\s\\right)\}
完全五度  p5＝ 1 2（ T+1200¢）＝3 T+s {\displaystyle \{\mathsf {p5}}={\tfrac {\1\}{2}}\left(\T+1200{\text{¢}}\right)=3\T+s\}

全音階の半音sがゼロ（ T = 240 ¢ ）に減じられると、オクターブはTTTTT、つまり5音平均律となります。半音が大きくなるにつれて、最終的に音階はすべて同じ大きさになり、結果として7音平均律（s = T = 171.43 ¢）となります。これらの2つの極端な例は、「規則的な」全音階調律には含まれません。なぜなら、「規則的」であるためには、5つの大きな音階と2つの小さな音階のパターンを維持する必要があるからです。その間の音階はすべて規則的であり、半音が完全に消えることなくどれだけ小さくても、あるいは全音より確実に小さい限りどれだけ大きくても、規則的です。

ここでの「規則的」とは、ピタゴラス音階からのマッピングの意味で理解され、すべての音程関係が保持されます。[ 1 ] たとえば、すべての規則的な全音階チューニングでは、ピタゴラス音階の場合と同様に、

  • 音符は、オクターブに減じられた 6 つの 5 度音程の連鎖、またはそれと同等の上昇 5 度音程と下降 4 度音程 (例:ハ長調のFCGDAEB ) によって接続されます。
  • 等間隔の 5 度間隔で並んだ 3 つの音の連鎖 (オクターブに短縮) により、全音が生成されます (例: CGD )。
  • 4 度間隔で配置された 6 つの音のシーケンスは、同じ方法で半音を生成します (例: EADGCF )。
  • 5 度間隔で配置された 5 つの音のシーケンス (例: CGDAE ) は、2 つの全音で構成される長 3 度を生成します。
  • 4度間隔の4つの音の連鎖は短3度（ADGC）を生成します。

これらすべての例では、結果は「オクターブに下げられます」（シーケンス内の音符が開始音より 1 オクターブ高い場合は常に 1 オクターブ下げられます）。

s はTより小さくなければならないという「規則的な」音階の規則を破り、 sのサイズをさらに大きくしてTより大きくすると、2つの大きな音階と5つの小さな音階を持つ不規則な音階が得られます。そして最終的に、すべてのTが消えるとssとなり、オクターブが全音階に分割されます。ただし、これらの奇妙な音階は、ここで単にそれらを否定するために言及しただけであり、規則的な全音階チューニングで はありません。

すべての通常の全音階調律は線形音律、つまりオクターブと平均律5度の2つの生成元を持つ通常の音律でもあります。平均律4度を代替生成元として使用することもできます（例えば、 BEADGCFのように4度上昇し、オクターブまで縮減する）が、平均律5度の方がより一般的に選択されます。いずれにせよ、5度と4度はオクターブの補数であるため、完全4度ずつ上昇しても5度ずつ上昇しても結果は同じです。

すべての通常の全音階チューニングは、生成されたコレクション（対称モーメントとも呼ばれます）でもあり、5度チェーンをどちらの方向にも継続して、12音システムFCGDAEBF ＃C ＃G ＃D ＃A ＃を取得できます。ここで、間隔F ＃ - GはB ♭ - Bなどと同じで、間隔のサイズが2つある別の対称モーメントです。

半音Sは1つではなく、実際には2つあります。半音cと全音dです。dはSの別名です。半音と全音の半音で区切られた3つの音符は、最初の音と最後の音の間で全音を形成します。cd = dc = Tです。この2つの音符のピッチのわずかな差はコンマと呼ばれ、通常はそれを生成する調律法の名前が接頭辞として付きます。例えば、シントニック・コンマ（21.5  ¢）、ピタゴラス・コンマ（23.5 ¢）、53  TETコンマ（22.6 ¢）などです。

5 度間隔の 8 つの音符の連鎖は、最初と最後の音符の間のスペースとして半音cを生成します。これは、短音を長音に上げるために必要なピッチの変更です。たとえば、E ♭からEへ。どのチューニングでも、半音はフラット音とそのナチュラル音の間、またはナチュラル音とそのシャープの間、白鍵とその上の黒鍵 (シャープとしてチューニングされている場合) または白鍵の下の黒鍵 (フラットとしてチューニングされている場合) の間です。ほとんどのチューニングでは、2 つの音程は異なります。上でSと呼ばれる全音階半音d は、5 度間隔の 6 つの音符のシーケンスのピッチの変更です (たとえば、EからFまたはBからCへ) 。どのチューニングでも、全音階半音は、標準キーボード上で間に黒鍵がない 2 つの白鍵間の相対的なピッチ差です。半音階半音と全音階半音のパターンは   cd cd d cd cd d   またはそれを混ぜたバージョンです。ここで、半音階の半音がゼロに近づくにつれて、七等分システムが限界となり、全音階の半音がゼロに近づくにつれて、五音システムが限界となります。

認識範囲

通常の全音階調律には、イーズリー・ブラックウッドの「認識可能な全 音階調律の構造」 [ 2 ]の「認識可能な範囲」内のすべての線形音律が含まれます。

  • 5度は4/7から3/5オクターブの間に調律されます。
  • 長秒と短秒は両方とも正です。
  • 長二度が短二度より大きい。

しかし、彼の「認識範囲」は「通常の全音階調律」よりも限定的です。例えば、全音階の半音は少なくとも25セントの大きさである必要があります。要約については [ 3 ]を参照してください。

範囲内の重要な地域

五度が純正律よりもわずかに低い場合、それは歴史的に中全音律と呼ばれる調律の領域に属し、これはシントニック・コンマを分散または緩和します。これには以下の調律が含まれます。

  • 12平均律、実質的に区別がつかない1/11⁠コンマ・ミーントーン
  • 19平均律– ⁠に相当 1 /3⁠コンマ・ミーントーン; ほぼ純粋な⁠を達成 6 /5⁠短3度
  • 31音平均律– ⁠に相当 1 /4⁠コンマ・ミーントーン⁠に非常に近い長三度を達成します 5 /4⁠ (387.1セント); 5度は696.77セント; 増6度は1セント以内⁠ 7 /4⁠（ハーモニックセブンス）
  • 43音平均律 – ⁠に相当 1 /5⁠コンマ・ミーントーン – ほぼ正確に純正な長七度を達成します⁠15/8⁠ ; 5番目は697.67セント
  • 55音平均律 – ⁠に相当 1 /6⁠コンマ・ミーントーン[ 4 ] – 有理全音三全音を達成する⁠ 45 /32⁠ ;5番目は698.18セントです

5度がちょうど⁠ 3 /2⁠、つまり約 702 セントの場合、結果はピタゴラスの全音階チューニングになります。

⁠よりわずかに狭い5度の場合 3 /2⁠、その結果は分裂音律であり、この音律は分裂の割合で測定されます。分裂の割合とは、8つの5度を1オクターブに減らしたものが、短6度よりもどれだけ高いかを表します。 ⁠ 8 /5⁠ 。例えば、 ⁠ 1 /8⁠スキスマ気質は純粋な⁠ 8 /5⁠ 8つの5度音程の上昇チェーンで。53音平均律は、分離平均律によく近似します。

5度を702.4～705.9セントの間でわずかに高く調律すると、結果は非常にシャープな長3度となり、比率は⁠14/ 11 ⁠ (417.508セント) とその周りの非常にフラットな短3度⁠13/ 11 ⁠ (289.210セント)。これらのチューニングは「パラピタゴラス」チューニングとして知られています。

705.882セントで、5度音程を3.929セント広い方向に調整すると、17平均律の全音階になります。この点を超えると、通常の長3度と短3度は、2-3-7の素因数を持つ単純な比に近似します。例えば、⁠ 9 /7⁠または7度音程の長3度（435.084セント）と⁠ 7 /6⁠または短7度（266.871セント）。同時に、規則音は大きな⁠8/7⁠音（231.174セント）、そして通常の短7度は、 ⁠の単純な比率で「ハーモニックセブンス」です。 7 /4⁠ (968.826セント)。この7分音符の音域は「スーパーピタゴラス音域」と呼ばれ、約711.11セント、つまり27平均律まで、あるいはそれより少し広い 範囲まで広がります

そうなると、2つの極端な状況が残ります。

  • 「インフレームアントーン」または「フラットトーン」の音域は、最も平坦な極限であり、5度音程は7音平均律の通常の全音階の下限（685.71セント）と、19音平均律（694.74セント）あたりから始まる歴史的ミーントーンの音域の間に位置します。ここでは、全音階の半音が全音の大きさに近づきます。
    • 690.91セント（33音平均律の5度目、これは⁠ 1 /2⁠コンマ・ミーントーン、685.71 セントは「ディープトーン」範囲と呼ばれることもあります。
  • 「超七音律」または「超ピタゴラス音律」は、27音平均律の711.11セントから、通常の全音階の上限である720セント（5音平均律）まで、最も鋭い音域を網羅しています。5音平均律に近づくにつれて、全音階の半音はますます小さくなります。

平均律で構成された全音階では、5度の幅が通常の5度よりも広くなったり狭くなったりすることがあります。 3 /2⁠ .いくつか例を挙げます。

  • 15、17、22、27は、ちょうど5度より5度広い。 3 /2⁠
  • 12（およびその倍数）、19、31、43は、ちょうど5度よりも狭い5度を持っています。 3 /2⁠

シントニックな音律と音色

シントニック音律 とは、

  1. 平均律完全五度（P5）を生成音とし、オクターブを周期とする調律の連続体。
  2. シントニックコンマで始まるコンマシーケンス（つまり、シントニックコンマがゼロに調整され、生成された長3度が生成された長2度と同じ幅になるもの）
  3. P5調律の「調律範囲」では、生成される短二度は生成される長二度より大きくなく、ユニゾンより小さくもありません。[ 5 ]

この組み合わせは、シントニック音律の調律範囲全体にわたって不変な、音程間の関係を定義するために必要かつ十分である。したがって、これはまた、調律連続体全体にわたって、(a) これらの（疑似純正）音程における音符と、(b) 同様に生成された疑似倍音音色の対応する部分音との間の不変のマッピングを定義する。したがって、シントニック音律とその音符に整合された音色との関係は、純正律と倍音列の間の特別な関係の一般化と見ることができる。

音符と部分音の間の不変のマッピングを全調律範囲にわたって維持することで、ダイナミック・トーナリティが可能になります。ダイナミック・トーナリティは、プライムネス、円錐性、豊かさなどの音色効果や、 [ 6 ]ポリフォニック・チューニング・ベンドやダイナミック・チューニング・プログレッションなどの音色効果を含む、調性の枠組みを新たに拡張したものです。[ 7 ]

シントニック音律の調律連続体を弦とみなし、個々の調律をその弦上のビーズとみなすと、従来の微分音に関する文献の多くはビーズ間の違いに焦点を当てているのに対し、シントニック音律は弦に沿った共通性に焦点を当てていると言えます。

図1: シントニック音律の調律連続体 (Milne et al. 2007)

シントニック音律の音符は、ヴィッキ＝ヘイデン音符配置を用いて演奏するのが最適です。[ 8 ]シントニック音律とヴィッキ＝ヘイデン音符配置は同じジェネレータと周期を用いて生成されるため、互いに同型です。したがって、ヴィッキ＝ヘイデン音符配置はシントニック音律の同型キーボードです。任意の音楽構造の運指パターンは、シントニック音律の調律連続体上の任意の調律で同じです。同型キーボードと連続可変調律の組み合わせは、前述のダイナミック調性をサポートします。 [ 7 ]

右の図に示すように、シントニック音律の有効な調律範囲には、現在普及している12音均等割オクターブ（12エド調律、12音平均律とも呼ばれる）、ミーントーン調律、ピタゴラス音律など、歴史的に重要な調律が数多く含まれています。シントニック音律の調律には、均等調律（12エド、31エド）、不均等調律（ピタゴラス、ミーントーン）、循環調律、純正調律があります。[ 9 ] [ 10 ]

図2：シントニック音律の音程幅の変化（主音はD）

図2の凡例（図の右側）は、Dを中心とするP5の積み重ねを示しています。結果として得られる各音符は、Dを主音とするシントニック音律における音程を表しています。図の本体は、シントニック音律の調律連続体においてP5の幅が変化すると、これらの音程の幅（Dから）がどのように変化するかを示しています。

  • P5 ≈ 685.7セント遊ぶⓘ、音程はちょうど 7 幅に収束し (0 セントと 1200 セントのオクターブ相当と想定)、7 edo が生成されます。S/T = 0。
  • P5 ≈ 694.7遊ぶⓘ（19-edo）、これら19の音程間の間隔はすべて等しく、19-edoチューニングが生成されます。S/T = 2/3。
  • P5 ≈ 696.8遊ぶⓘ (31-edo)、このような音程を31個積み重ねると、各音程の間に等しい間隔が示され、31-edoチューニングが生成されます。S/T = 3/5。
  • P5 = 700.0遊ぶⓘ (12-edo) では、シャープ音とフラット音の比率が等しく、12-edo チューニングになります。S/T = 1/2。
  • P5 ≈ 701.9遊ぶⓘ (53-edo) は、純正な 5 度より 3/44 セントだけ短い 53 個の音程を積み重ねたもので、31 オクターブを構成し、53-edo チューニングを生成します。S/T = 4/9。
  • 等....
  • P5 = 720.0セント遊ぶⓘ、ピッチはちょうど 5 つの幅に収束し、5-edo が生成されます。S/T = 1。

シントニック音律に関する研究プロジェクト

  • 研究プログラム「Musica Facta」[ 11 ]は、シントニック音律の音楽理論を調査しています。
  • Guido 2.0研究プロジェクトの音楽理論は、シントニック音律に基づいています。Guido 2.0は、音楽のシントニック音律の不変特性（オクターブ不変性、移調不変性、調律不変性、運指不変性）を幾何学的不変性と組み合わせることで、音楽教育の効率を10倍向上させることを目指しています。Guido 2.0は、Musica Facta（上記）の音楽教育分野です。

注記

  1. ^ Denckla, Benjamin Frederick (1997).シンセサイザー演奏のためのダイナミックイントネーション（修士論文）. メディア芸術科学プログラム. Machover, Tod（指導教員）.マサチューセッツ工科大学. CiteSeerX 10.1.1.929.58 . 
  2. ^ブラックウッド、イーズリー（2014年7月）『認識可能な全音階調律の構造』プリンストン大学出版局、ISBN 9780691610887。
  3. ^セラフィニ、カルロ（2015年8月9日）「イーズリー・ブラックウッド著『認識可能な全音階調律の構造』レビュー」
  4. ^ 「1-6 シントニック・コンマ・ミーントーン」xenharmonic wiki .
  5. ^ミルン, アンドリュー; セサレス, ウィリアム; プラモンドン, ジェームズ (2007). 「同型コントローラとダイナミックチューニング：チューニング連続体における不変フィンガリング」 .コンピュータミュージックジャーナル. 31 (4): 15– 32. doi : 10.1162/comj.2007.31.4.15 . S2CID 27906745 . 
  6. ^ミルン、アンドリュー、セサレス、ウィリアム、プラモンドン、ジェームズ. 「Xシステム」(PDF) .オープン大学. 2017年3月28日閲覧。
  7. ^ a b Plamondon, J.、Milne, A.、Sethares, WA、「Dynamic Tonality: 21世紀へのTonalityの枠組みの拡張」、College Music SocietyのSouth Central Chapterの年次会議の議事録（2009年）。
  8. ^ Milne, A., Sethares, WA および Plamondon, J., Tuning Continua and Keyboard Layouts , Journal of Mathematics and Music , 2008 年春。
  9. ^ Milne, A., Sethares, WA, Tiedje, S., Prechtl, A.、および Plamondon, J.、「Spectral Tools for Dynamic Tonality and Audio Morphing」、 Computer Music Journal、印刷中。
  10. ^ミルン、アンドリュー. 「The Tone Diamond」 .ダイナミック・トーナリティ. 2017年3月28日閲覧。
  11. ^ “Musica Facta” . 2014年5月17日時点のオリジナルよりアーカイブ。2015年9月19日閲覧。
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