31平均律

31 EDO、通常の全音階チューニング連続体p5 = 696.77 セント[ 1 ]

音楽において、31 平均律( 31 ET)は、31 TET (31 tone ET ) または31 EDO (equal division of the octave)とも略され 、トリセシモプリマルとも呼ばれ、オクターブを 31 の均等な比率のステップ (等しい周波数比) に分割することによって得られる平均律です。遊ぶⓘ各ステップは31√2、つまり 38.71 セントの周波数（遊ぶⓘ）。

31 EDOは、クォーターコンマ・ミーントーン音律の非常に正確な近似値であるとよく考えられています。より一般的には、図1に示すように、平均律の完全5度が696.77セントに相当する、規則的な全音階調律です。同型キーボードでは、音符が正しく綴られている限り、 31 EDOで作曲された楽曲の運指は、他のシントニック調律（例えば12 EDO）と全く同じです。つまり、異名同音性を前提としていません。

歴史と用途

オクターブを31音階に分割する考え方は、ルネサンス音楽理論から自然に生まれたものです。1オクターブと長3度の比率である小ディエシス（128:125、つまり41.06セント）は音、または半音の5分の2に相当します。1555年、ニコラ・ヴィチェンティーノは31音からなる拡張中全音律を提案しました。1666年、レム・ロッシは初めてこの順序の平均律を提案しました。1691年、科学者クリスティアーン・ホイヘンスもこれを独自に発見し、それについて著述しました。[ 2 ]当時の 標準的な調律法は四分音符ミーントーン（ 5度を4√5に調律する）であっ たため、この方法の魅力はすぐに明らかになった。31EDOの5度は696.77セントで、四分音符ミーントーンの5度よりわずか0.19セント広いだけである。ホイヘンスはこれに気づいただけでなく、さらに進んで、31EDOが7度音程、つまり7つの限界和音に非常によく近似していることを指摘した。

20世紀、物理学者、音楽理論家、作曲家でもあるアドリアーン・フォッカーは、ホイヘンスの著作を読んだ後、この調律法への関心を再び呼び起こし、特にオランダの作曲家による多くの作品を生み出しました。フォッカーは31音平均律オルガンであるフォッカーオルガンを設計しました。このオルガンは1951年にハールレムのテイラー博物館に設置され、2010年にハールレム音楽院に移設されました。移設以来、コンサートで頻繁に使用されています。

間隔サイズ

19の限界純正律音程を31 EDOで近似

一般的な間隔のサイズは次のとおりです。

間隔名 サイズ（ステップ）サイズ（セント）MIDIオーディオ 公正比率 ちょうど（セント）MIDIオーディオ 誤差（セント）
オクターブ31 1200 2:1 1200 0
短七度26 1006.45 9時5分 1017.60 −11.15
重音厳密な短七度26 1006.45 16:9 996.09 +10.36
和声七度、下短七度、増六度25 967.74 遊ぶⓘ7時4分 968.83 遊ぶⓘ− 1.09
長六度23 890.32 遊ぶⓘ5:3 884.39 遊ぶⓘ+ 5.93
短6度21 812.90 遊ぶⓘ8時5分 813.69 遊ぶⓘ− 0.78
増五度 20 774.19 25:16 772.63
完全五度18 696.77 遊ぶⓘ3:2 701.96 遊ぶⓘ− 5.19
大七音三全音、減五度 16 619.35 10:7 617.49 + 1.87
小七音三全音、増四度 15 580.65 遊ぶⓘ7時5分 582.51 遊ぶⓘ− 1.86
10進法三全音、半増4度、第11倍音14 541.94 遊ぶⓘ11:8 551.32 遊ぶⓘ− 9.38
完全4度13 503.23 遊ぶⓘ4:3 498.04 遊ぶⓘ+ 5.19
七分音符の狭四度、半減四度 12 464.52 遊ぶⓘ21:16 470.78 遊ぶⓘ− 6.26
31進法の増3度と長3度 12 464.52 遊ぶⓘ13時10分 454.21 遊ぶⓘ+10.31
7度音程の長3度11 425.81 遊ぶⓘ9時7分 435.08 遊ぶⓘ− 9.27
減四度11 425.81 遊ぶⓘ32:25 427.37 遊ぶⓘ− 1.56
10進法の長3度 11 425.81 遊ぶⓘ14:11 417.51 遊ぶⓘ+ 8.30
長三度10 387.10 遊ぶⓘ5:4 386.31 遊ぶⓘ+ 0.79
三十進法の中立三分の一 9 348.39 遊ぶⓘ16:13 359.47 遊ぶⓘ−11.09
小数点以下の中立3分の1 9 348.39 遊ぶⓘ11:9 347.41 遊ぶⓘ+ 0.98
短3度 8 309.68 遊ぶⓘ6時5分 315.64 遊ぶⓘ− 5.96
短7度音程 7 270.97 遊ぶⓘ7時6分 266.87 遊ぶⓘ+ 4.10
七分音全音 6 232.26 遊ぶⓘ8時7分 231.17 遊ぶⓘ+ 1.09
全音、長音 5 193.55 遊ぶⓘ9時8分 203.91 遊ぶⓘ−10.36
全音、長二度 5 193.55 遊ぶⓘ28:25 196.20 − 2.65
中音、長二度 5 193.55 √5 : 2 193.16 + 0.39
全音、短音 5 193.55 遊ぶⓘ10:9 182.40 遊ぶⓘ+11.15
より大きい小数点中立秒 4 154.84 遊ぶⓘ11時10分 165.00 −10.16
小数点以下の中立秒 4 154.84 遊ぶⓘ12時11分 150.64 遊ぶⓘ+ 4.20
七分音階半音 3 116.13 遊ぶⓘ15:14 119.44 遊ぶⓘ− 3.31
全音階の半音、短二度 3 116.13 遊ぶⓘ16時15分 111.73 遊ぶⓘ+ 4.40
七分音階半音 2 77.42 遊ぶⓘ21時20分 84.47 遊ぶⓘ− 7.05
半音階、増音階 2 77.42 遊ぶⓘ25:24 70.67 遊ぶⓘ+ 6.75
小文字 1 38.71 遊ぶⓘ128:125 41.06 遊ぶⓘ− 2.35
10進数の小数点 1 38.71 遊ぶⓘ45:44 38.91 遊ぶⓘ− 0.20
七分音節 1 38.71 遊ぶⓘ49:48 35.70 遊ぶⓘ+ 3.01

31平均律は、7:6、8:7、7:5の比率に非常に近い。これらの比率は、12平均律では近似値がなく、 19平均律では適合度が低い。作曲家のジョエル・マンデルバウム（1932年生まれ）は、特にこの調律システムを使用した。これは、倍音列の第7部分音と第11部分音との適合性が高いためである。[ 3 ]この調律は、9:8と10:9の音程（純正律の長音と短音）との適合性が低いが、2つの音程の平均 とは適合性が高い。実際には、1/4コンマ・ミーントーンに非常に近い。

この調律は、中全音律とみなすことができます。4つの5度音程の連鎖が長3度音程と等しくなるという必須の特性（シントニック・コンマ81:80は調律により除去されます）を備えており、これはまた、半音階と全音階の半音をそれぞれ1つずつ組み合わせることで、10:9と9:8の間の大きさの「中全音」を含むことを意味します。

スケール図

31平均律の五度圏

この音階の 31 の音符は次のとおりです。

間隔（セント）39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39
音符名あG 𝄪# B 𝄫A ＃ロ♭A 𝄪 C 𝄫Bハ♭B ＃CB 𝄪 D 𝄫ハ＃D ♭C 𝄪 E ♭𝄫DC 𝄪＃ E 𝄫D ＃E ♭D 𝄪 F 𝄫EF ♭E ＃FE 𝄪 G 𝄫F ＃ソ♭F 𝄪 A ♭𝄫GF 𝄪# A 𝄫G ＃A ♭G 𝄪 B ♭𝄫あ
音価（セント） 0   39 77 116 155 194 232 271 310 348 387 426 465 503 542 581 619 658 697 735 774 813 852 890 929 968 100610451084112311611200

5 つの「ダブルフラット」音符と 5 つの「ダブルシャープ」音符は、四分音階システムと同様に、ハーフシャープとハーフフラットに置き換えることができます。

間隔（セント）39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39
音符名あ あ半シャープA# ロ♭ B半分平らなB B半シャープC半分平らなC C半シャープハ＃ D♭ D半分平らなD D半シャープD# E♭ E半分平らなE E半シャープF半分平らなF F半シャープF# ソ♭ G半分平らなG G半シャープG# A♭ あ半分平らなあ
音価（セント）0 39 77 116 155 194 232 271 310 348 387 426 465 503 542 581 619 658 697 735 774 813 852 890 929 968 100610451084112311611200

スケール

サイン 規模鍵
15シャープG𝄪A𝄪B𝄪（=D𝄫）C𝄪D𝄪E𝄪 (=G𝄫)F### (=A𝄫)G𝄪メジャー、E𝄪マイナー
14シャープC𝄪D𝄪E𝄪 (=G𝄫)F𝄪G𝄪A𝄪B𝄪（=D𝄫）ハ長調、イ短調
13シャープF𝄪G𝄪A𝄪B#C𝄪D𝄪E𝄪 (=G𝄫)F𝄪メジャー、D𝄪マイナー
12シャープB#C𝄪D𝄪E#F𝄪G𝄪A𝄪B#メジャー、G#マイナー
11シャープE#F𝄪G𝄪A#B#C𝄪D𝄪E#メジャー、C#マイナー
10シャープA#B#C𝄪D#E#F𝄪G𝄪A#メジャー、F#マイナー
9シャープD#E#F𝄪G#A#B#C𝄪D#メジャー、B#マイナー
8シャープG#A#B#ハ＃D#E#F𝄪G#メジャー、E#マイナー
7シャープハ＃D#E#F#G#A#B#C#メジャー、A#マイナー
6シャープF#G#A#Bハ＃D#E#F#メジャー、D#マイナー
5シャープBハ＃D#EF#G#A#ロ長調、ト短調
4シャープEF#G#あBハ＃D#ホ長調、ハ短調
3シャープあBハ＃DEF#G#A長調、F#短調
2シャープDEF#GあBハ＃ニ長調、ロ短調
1シャープGあBCDEF#ト長調、ホ短調
—CDEFGあBハ長調、イ短調
1フラットFGあB♭CDEヘ長調、ニ短調
2つのアパートB♭CDE♭FGあロ長調、ト短調
3つのアパートE♭FGA♭B♭CDE♭メジャー、Cマイナー
4つのフラットA♭B♭CD♭E♭FGA♭メジャー、Fマイナー
5つのフラットD♭E♭Fソ♭A♭B♭CD♭メジャー、B♭マイナー
6つのフラットソ♭A♭B♭C♭D♭E♭FG♭メジャー、E♭マイナー
7つのフラットC♭D♭E♭F♭ソ♭A♭B♭C♭メジャー、A♭マイナー
8つのフラットF♭ソ♭A♭B𝄫C♭D♭E♭F♭メジャー、D♭マイナー
9つのフラットB𝄫C♭D♭E𝄫F♭ソ♭A♭B♭メジャー、G♭マイナー
10フラットE𝄫F♭ソ♭A𝄫B𝄫C♭D♭E♭メジャー、C♭マイナー
11 フラットA𝄫B𝄫C♭D𝄫E𝄫F♭ソ♭A♭メジャー、F♭マイナー
12戸のアパートD𝄫E𝄫F♭G𝄫A𝄫B𝄫C♭D𝄫メジャー、B𝄫マイナー
13戸のアパートG𝄫A𝄫B𝄫C𝄫（=A𝄪）D𝄫E𝄫F♭G𝄫メジャー、E𝄫マイナー
14戸のアパートC𝄫（=A𝄪）D𝄫E𝄫F𝄫（=D𝄪）G𝄫A𝄫B𝄫ハ長調、イ短調
15戸のアパートF𝄫（=D𝄪）G𝄫A𝄫B♭♭♭ (=G𝄪)C𝄫（=A𝄪）D𝄫E𝄫F𝄫メジャー、D𝄫マイナー
⁠の比較 1 /4⁠コンマ・ミーントーン、31 EDO（セント単位小数点第2位まで四捨五入）
C ハ＃ D♭ D D# E♭ E E# F F# ソ♭ G G# A♭ あ A# ロ♭ B C♭ C
⁠ 1 /4⁠カンマ: 0.00 76.05 117.11 193.16 269.21 310.26 386.31 462.36 503.42 579.47 620.53 696.58 772.63 813.69 889.74 965.78 1006.84 1082.89 1123.95 1200.00
31江戸: 0.00 77.42 116.13 193.55 270.97 309.68 387.10 464.52 503.23 580.65 619.35 696.77 774.19 812.90 890.32 967.74 1006.45 1083.87 1122.58 1200.00

31平均律の和音

31 EDOの多くの和音については、七分音律の記事で解説されています。そこでは解説されていない和音には、中立三度三和音（遊ぶⓘ）、これは C–E半分平らな–G、C–D𝄪–G、または C–F𝄫–G と表記されることがあります。また、オーウェル四分音階は C–E–F𝄪–B𝄫 と表記されます。

31音平均律におけるI–IV–V–Iのコード進行。 [ 1 ]12 EDOではB ♮は 11 歩ですが、31 EDOではB ♮は 28 歩です。
C サブマイナー、C マイナー、C メジャー、C スーパーメジャー（A ♭がトップ）31 EDO

31 EDOでは、メジャーコードのような一般的なコードは、3度と5度が非常によく近似されているため、非常にきれいに再現されます。また、サブマイナーコード（最初の3度がサブマイナー）やスーパーメジャーコード（最初の3度がスーパーメジャー）も演奏可能です。

ハ七度とト短調、31 EDOで2回、その後12 EDOで2回

ハーモニックセブンスコードも美しく表現できます。例えば、トニックCではC–E–G–A#となります。ここでのセブンスは、5度と短3度を重ねるのとは異なり、B ♭となってドミナントセブンスとなります。この違いは12EDOでは表現できません。

脚注

  1. ^ Keislar (1991)の雑誌記事[ 3 ] のタイトルに記載されている以下の作曲家については、Wikipedia に記事があります。
    イーズリー・ブラックウッド
    ジョン・イートン
    ルー・ハリソン
    ベン・ジョンストン
    ジョエル・マンデルバウム

参照

  • アルキチェンバロは、1 オクターブあたり 36 個のキーを持つ代替キーボード楽器で、31 EDOとして調律されることもありました。

参考文献

  1. ^ a b Milne, A.; Sethares, WA ; Plamondon, J. (2007年冬). 「同型コントローラとダイナミックチューニング：チューニング連続体における不変運指」 . Computer Music Journal . 31 (4): 15– 32 – via mitpressjournals.org.
  2. ^ Monzo, Joe (2005). 「平均律」 . Tonalsoft 微分音音楽理論百科事典. Joe Monzo / Tonalsoft . 2019年2月28日閲覧。
  3. ^ a b Keislar, Douglas (1991年冬). 「非標準的なチューニングについて語る6人のアメリカ人作曲家：イーズリー・ブラックウッド、ジョン・イートン、ルー・ハリソン、ベン・ジョンストン、ジョエル・マンデルバウム、ウィリアム・ショットシュテット」『パースペクティブス・オブ・ニュー・ミュージック』29 (1): 176–211 . JSTOR 833076 . [あ]
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