集団行動

0°、120°、240°の回転からなる巡回群 C 3_は、3つの頂点の集合に作用します。

数学において、集合への群の作用とは、大まかに言えば、 の元と の元を取って の別の元を生成する演算である。より正式には、から の自己同型群（上の全一対一集合と群演算が関数合成であるもの）への群準同型である。 がに作用 するとは、${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S.}$

多くの変換集合は、関数合成によって群を形成します。例えば、平面上の点の周りの回転などが挙げられます。この群を抽象群とみなし、抽象群の群作用は変換群の変換を実行することであると述べることは、しばしば有用です。群を変換と区別する理由は、一般に、ある構造の変換群は、関連する様々な構造にも作用するからです。例えば、上記の回転群は、三角形を三角形に変換することで、三角形にも作用します。

群が構造に作用する場合、通常はその構造から構築されるオブジェクトにも作用します。例えば、ユークリッド等長写像群はユークリッド空間とそこに描かれた図形に作用します。特に、すべての三角形の集合に作用します。同様に、多面体の対称群は、多面体の 頂点、辺、面に作用します。

ベクトル空間への群作用は、群の表現と呼ばれる。有限次元ベクトル空間の場合、これは多くの群を一般線型群（体上の次元の可逆行列の群）の部分群と同一視することを可能にする。 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K}$

対称群は、 任意の元を持つ集合に対し、その集合の元を置換することによって作用する。集合のすべての置換の群は形式的にはその集合に依存するが、群作用の概念により、単一の群を用いて、同じ濃度を持つすべての集合の置換を調べることができる。 ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle n}$

意味

左派グループの行動

が単位元を持つ群であり、が集合である場合、 の（左）群作用は関数である。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \alpha :G\times X\to X}$

それは次の2つの公理を満たす：^{[ 1 ]}

身元：	${\displaystyle \alpha (e,x)=x}$
互換性:	${\displaystyle \alpha (g,\alpha (h,x))=\alpha (gh,x)}$

すべてにおいて、そしてすべてにおいて。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

群は（左から）に作用すると言われます。の作用を伴う集合は（左）集合と呼ばれます。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

作用 をカリー化すると表記上便利な場合があり、その場合、代わりに変換の集合（各群元 に対して1つの変換）が得られます。すると、恒等関係と両立関係は となり、 となります。2 つ目の公理は、関数合成は群乗法と両立すること を述べています。これらは可換図を形成します。この公理はさらに短縮して と書くことができます。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha _{g}:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle \alpha _{g}}$ ${\displaystyle g\in G}$ $${\displaystyle \alpha _{e}(x)=x}$$ $${\displaystyle \alpha _{g}(\alpha _{h}(x))=(\alpha _{g}\circ \alpha _{h})(x)=\alpha _{gh}(x)}$$ ${\displaystyle \alpha _{g}\circ \alpha _{h}=\alpha _{gh}}$

上記の理解を踏まえると、 を全く書かずに、ドットで置き換えるか、何も書かないという方法が非常に一般的です。したがって、 は、特に文脈から動作が明らかな場合は、またはと短縮することができます。公理は次のようになります。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha (g,x)}$ ${\displaystyle g\cdot x}$ ${\displaystyle gx}$ $${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&e\cdot x=x\\&g\cdot (h\cdot x)=(gh)\cdot x\end{aligned}}\right.}$$

これら2つの公理から、における任意の固定に対して、 から自身への写像は への一対一写像となり、逆一対一写像は への対応する写像となる。したがって、への群作用を、から自身へのすべての一対一写像の対称群への からの群準同型写像として定義することは同値である。 ^{[ 2 ]}${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g\cdot x}$ ${\displaystyle g^{-1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} (X)}$ ${\displaystyle X}$

右派グループ行動

同様に、右グループアクションのonは関数である ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \alpha :X\times G\to X,}$

同様の公理を満たす：^{[ 3 ]}

身元：	${\displaystyle \alpha (x,e)=x}$
互換性:	${\displaystyle \alpha (\alpha (x,g),h)=\alpha (x,gh)}$

（α（x、g）は、文脈から明らかな場合は xgまたはx⋅gと短縮されることが多い）

身元：	${\displaystyle x{\cdot }e=x}$
互換性:	${\displaystyle (x{\cdot }g){\cdot }h=x{\cdot }(gh)}$

すべてのgとh はGに含まれ、すべてのx はXに含まれます。

左作用と右作用の違いは、積gh がxに作用する順序にあります。左作用では、h が最初に作用し、次にg が作用します。右作用では、g が最初に作用し、次にhが作用します。式( gh ) ⁻¹ = h ⁻¹ g ⁻¹により、群の逆作用と合成することで、右作用から左作用を構築できます。また、群GのXへの右作用は、その反対の群G ^opのXへの左作用と見なすことができます。したがって、単一の群作用の一般的な特性を確立するには、左作用のみを考慮すれば十分です。

アクションの注目すべき特性

集合 に作用する群とする。この作用は${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ 忠実かすべて に対して が成り立つ場合、が有効です。同様に、から作用に対応する一対一群へ準同型写像単射。 ${\displaystyle g\cdot x=x}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle g=e_{G}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

このアクションは自由（または半正則あるいは不動点自由ある に対してという文が既に であることを示唆している。言い換えれば、 の非自明な元はの点を固定しません。これは忠実性よりもはるかに強い性質です。 ${\displaystyle g\cdot x=x}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle g=e_{G}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

例えば、任意の群の左乗法による自身への作用は自由である。この観察は、任意の群が対称群（群が無限群である場合、対称群は無限群である）に埋め込むことができるというケイリーの定理を意味する。有限群は、その基数よりもはるかに小さいサイズの集合に対して忠実に作用することがある（ただし、そのような作用は自由ではない）。例えば、アーベル2群（基数）は、サイズ の集合に対して忠実に作用する。これは常に当てはまるとは限らず、例えば巡回群はより小さいサイズの集合に対して忠実に作用することはできない。 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2^{n}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2^{n}}$

一般に、忠実な作用を定義できる最小の集合は、同じサイズの群でも大きく異なります。例えば、サイズが120の3つの群は、対称群、二十面体群、巡回群です。これらの群に対して忠実な作用を定義できる最小の集合は、それぞれサイズが5、7、16です。 ${\displaystyle S_{5}}$ ${\displaystyle A_{5}\times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /120\mathbb {Z} }$

推移性の性質

オンのアクションは${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ 任意の 2 点に対して が存在する場合、推移的です。 ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle g\cdot x=y}$

アクションは単純推移的（または鋭推移的、あるいは正則）とは、 が推移的かつ自由であるとき、となる空間がただ一つだけ存在することを意味するが群によって単純推移的に作用されている場合の主同次空間または-torsorと呼ばれる。 ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle g\cdot x=y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

整数の場合、アクションは${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle n}$ が少なくとも 個の要素を持つ場合、推移的であり、互いに異なる要素を持つ組の任意（つまり、のときに対してとなる が存在する。言い換えれば、重複要素のない組の部分集合への作用は推移的である。これはしばしば二重推移性、三重推移性と呼ばれる。2推移（つまり、作用が2推移的な有限対称群の部分群）およびより一般的には多重推移群のクラスは、有限群論においてよく研究されている。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})\in X^{n}}$ ${\displaystyle x_{i}\neq x_{j}}$ ${\displaystyle y_{i}\neq y_{j}}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle g\cdot x_{i}=y_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle n=2,3}$

アクションとは${\displaystyle n}$ 重複エントリのないタプルに対するアクションが鋭く推移的である場合、鋭く推移的です。 ${\displaystyle X^{n}}$

例

Xの対称群の作用は推移的であり、実際、Xの基数以下の任意のnに対してn推移的である。Xの基数が n の場合、交代群の作用は( n − 2)推移的であるが、 ( n − 1)推移的ではない。

ベクトル空間Vの一般線型群の非零ベクトルの集合V ∖ {0}への作用は推移的であるが、2-推移的ではない（ vの次元が2以上の場合の特殊線型群の作用も同様である）。ユークリッド空間の直交群の作用は非零ベクトル上では推移的ではないが、単位球面上では推移的である。

原始的な行動

GのXへの作用は、自明な分割 (単一部分への分割とその双対、シングルトンへの分割) を除いて、 Gのすべての要素によって保存されるXの分割がない場合、原始的と呼ばれます。

位相的性質

が位相空間であり、 の作用が同相写像によってなされると仮定します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

任意の近傍が存在し、その近傍が有限個しかないとき、その動作は放浪である。^{[ 4 ]}${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle (g\cdot U)\cap U\neq \emptyset }$

より一般的には、の作用に対して、 が有限個しか存在しないような開部分集合が存在するとき、その点は不連続点と呼ばれる。作用の不連続域は、不連続点全体の成す集合である。同様に、不連続域は、 の作用が移動しているような最大の -安定開部分集合である。 [ 5 ]力学^的な文脈では、これは移動集合とも呼ばれる。 ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U\ni x}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle (g\cdot U)\cap U\neq \emptyset }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Omega \subset X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Omega }$

作用が真に不連続であるとは、任意のコンパクト部分集合に対して、となるようなものが有限個しか存在しないことを意味する。これは放浪よりも厳密に強い。例えば、が に与える作用は放浪的かつ自由であるが、真に不連続ではない。^{[ 6 ]}${\displaystyle K\subset X}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle (g\cdot K)\cap K\neq \emptyset }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\backslash \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle n\cdot (x,y)=(2^{n}x,2^{-n}y)}$

普遍被覆上の局所単連結空間の基本群へのデッキ変換による作用は、放浪的かつ自由である。このような作用は、次の性質によって特徴付けられる。任意の は、任意の に対してとなる近傍を持つ。^{[ 7 ]}この性質を持つ作用は、自由不連続と呼ばれることもあり、作用が自由不連続となる最大の部分集合は、自由正則集合と呼ばれる。^{[ 8 ]}${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (g\cdot U)\cap U=\emptyset }$ ${\displaystyle g\in G\backslash \{e_{G}\}}$

局所コンパクト空間への群の作用は、となるコンパクト部分集合が存在するとき、ココンパクトと呼ばれます。真に不連続な作用の場合、ココンパクト性は商空間のコンパクト性と等価です。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle X=G\cdot A}$ ${\displaystyle X/G}$

位相群の作用

ここで、が位相群であり、それが同相写像によって作用する位相空間であると仮定する。写像が積位相に対して連続であるとき、作用は連続であるという。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G\times X\rightarrow X}$

この行動はによって定義される写像真 であるとき、真 となる。 ^{[ 9 ]}これは、与えられたコンパクト集合となるような の集合がコンパクトであることを意味する。特に、離散群である。 ${\displaystyle G\times X\rightarrow X\times X}$ ${\displaystyle (g,x)\mapsto (x,g\cdot x)}$ ${\displaystyle K,K'}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle (g\cdot K)\cap K'\neq \emptyset }$ ${\displaystyle G}$

すべての および に対して となるようなの近傍が存在する場合、は局所的に自由であると言われます。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle e_{G}}$ ${\displaystyle g\cdot x\neq x}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle g\in U\backslash \{e_{G}\}}$

軌道写像が任意の に対して連続であるとき、作用は強連続であると言われる。名前の示すものとは反対に、これは作用の連続性よりも弱い性質である。 ${\displaystyle g\mapsto g\cdot x}$ ${\displaystyle x\in X}$

がリー群であり、かつ微分可能多様体である場合、作用 に対する滑らかな点の部分空間は、写像が滑らかとなるような点の集合である。リー群作用、すなわち空間全体にわたって滑らかな作用に関する理論はよく発達している。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle g\mapsto g\cdot x}$

線形アクション

g が可換環上の加群に線型変換を作用する場合、その作用は、真に非零のg -不変部分加群が存在しないとき、既約であると言われる。また、その作用が既約な作用の 直和として分解できるとき、半単純であると言われる。

軌道と安定装置

5 つの四面体の複合体では、対称群は位数 60 の（回転）二十面体群Iですが、選択された単一の四面体の安定化群は位数 12 の（回転）四面体群Tであり、軌道空間I / T（位数 60/12 = 5）は 5 つの四面体と自然に同一視されます。つまり、剰余類gT は、 g が選択された四面体を送る四面体に対応します。

集合Xに作用する群Gを考える。Xの元xの軌道とは、 Gの元によって x を移動できるXの元の集合である。 xの軌道はG ⋅ xで表される。 $${\displaystyle G{\cdot }x=\{g{\cdot }x:g\in G\}.}$$

群の定義特性は、 Gの作用下での（X 内の点xの）軌道の集合がXの分割を形成することを保証する。関連する同値関係は、 G内にgが存在し、 g ⋅ x = yとなる場合、かつその場合に限り、 x ~ yと定義される。したがって、軌道はこの関係における同値類となる。すなわち、2つの元xとy が同値となるのは、それらの軌道が同じである場合、かつその場合に限り、すなわちG ⋅ x = G ⋅ yとなる場合である。

群作用が推移的であるためには、ちょうど1つの軌道を持つ、つまりXにG⋅x = Xを満たすxが存在する必要がある。これは、Xに含まれるすべてのxに対してG⋅x = Xが成立する場合に限る（Xが空でないことを条件とする）。

Gの作用下にあるXのすべての軌道の集合はX / G（または、あまり一般的ではないがG \ X ）と書かれ、作用の商。幾何学的な状況では、軌道空間と呼ばれることもあるが、代数的な状況では共変量 はX _Gと表記され、 X ^Gと表記される不変量（不動点）とは対照的です。共変量は商で、不変量は部分集合群コホモロジーと群ホモロジーにおいて用いられ、上付き文字と下付き文字の表記法は同じです。

不変部分集合

YがXのサブセットである場合、G ⋅ Yは集合{ g ⋅ y  : g ∈ Gかつy ∈ Y }を表します。サブセットYがGで不変であるとは、G ⋅ Y = Y（これはG ⋅ Y ⊆ Yと同値）のときです。その場合、G はYにも作用し、その作用をYに制限します。サブセットYがGで固定であるとは、GのすべてのgとYのすべてのyに対してg ⋅ y = y が成立する場合です。 Gで固定されるすべてのサブセットはGでも不変ですが、その逆は成り立ちません。

あらゆる軌道はXの不変部分集合であり、Gはそれに対して推移的に作用する。逆に、 Xの任意の不変部分集合は軌道の和集合である。GのXへの作用が推移的であるためには、すべての要素が等価である必要がある。つまり、軌道は1つしかない 。

Xの G 不変元とは、任意のg ∈ Gに対してg ⋅ x = xとなるようなx ∈ Xのことである。そのようなx全体の集合はX ^Gと表記され、 XのG不変量と呼ばれる。X が G 加群のとき、X GはXに^係数を持つGの零次コホモロジー群であり、高次のコホモロジー群はG不変量の関数の導来関数である。

固定点と安定サブグループ

Gにg、Xにx（g ⋅ x = x ）が与えられたとき、「 xはgの不動点である」または「g はx を固定する」という。Xの任意のxに対して、Gのxに関する安定部分群（等方性群または小群^{[ 10 ]}とも呼ばれる）は、 xを固定するGのすべての元の集合である。 これはGの部分群であるが、通常は正規部分群ではない。 GのXへの作用が自由である対称群との準同型写像G → Sym( X )核Nは、 Xのすべてのxに対する安定部分群G _xの共通部分で与えられる。 Nが自明であれば、作用は忠実（または有効）であるという。 $${\displaystyle G_{x}=\{g\in G:g{\cdot }x=x\}.}$$

Xの2つの元をxとyとし、y = g ⋅ xを満たす群元をgとする。このとき、2つの安定群G _xとG _yはG _y = gG _x g ⁻¹の関係にある。

証明: 定義により、h ∈ G _yとh ⋅( g ⋅ x ) = g ⋅ xのときのみ成立する。この等式の両辺にg ⁻¹を適用すると、 ( g ⁻¹ hg )⋅ x = xとなる。つまり、g ⁻¹ hg ∈ G _xである。

逆の包含も同様に、h ∈ G _xおよびx = g ⁻¹ ⋅ yとすることで得られます。

上記は、同じ軌道にある元の安定子は互いに共役であることを示しています。したがって、各軌道には、 Gの部分群（つまり、その部分群のすべての共役子の集合）の共役類を関連付けることができます。 ( H )をHの共役類とします。すると、 Oのある/任意のxの安定子G _{x が}( H )に属する場合、軌道Oは型( H )を持ちます。最大軌道型は、しばしば主軌道型と呼ばれます。

軌道安定定理

軌道と安定化因子は密接に関連している。X内の固定されたxに対して、 g ↦ g ⋅ xで与えられる写像f  : G → Xを考えよう。定義により、この写像の像f ( G )は軌道G ⋅ xである。2 つの要素が同じ像を持つ条件は 、言い換えれば、gとhが安定化因子部分群G _xの同じ剰余類にあるときに限り、 f ( g ) = f ( h )である。したがって、G ⋅ x内の任意のy上のfのファイバーf ⁻¹ ({ y })はそのような剰余類に含まれ、そのような剰余類はすべてファイバーとしても発生する。したがって、f は安定化因子部分群の剰余類の集合G / G _xと軌道G ⋅ xの間の一対一写像を誘導し、 gG _x ↦ g ⋅ xを送信する。^{[ 11 ]}この結果は軌道安定化定理として知られている。 $${\displaystyle f(g)=f(h)\iff g{\cdot }x=h{\cdot }x\iff g^{-1}h{\cdot }x=x\iff g^{-1}h\in G_{x}\iff h\in gG_{x}.}$$

Gが有限ならば、軌道安定定理はラグランジュの定理と相まって次式を得る。 言い換えれば、xの軌道の長さとその安定定理の位数を掛け合わせたものが群の位数となる。特に、これは軌道の長さが群の位数の約数であることを意味する。 $${\displaystyle |G\cdot x|=[G\,:\,G_{x}]=|G|/|G_{x}|.}$$

例: G をk個の元を持つ集合Xに作用する素数pの群とする。各軌道は1 個またはp個の元を持つので、長さ1の軌道のうちG不変元となるものは少なくともk mod p個存在する。より具体的には、kとG不変元の数はp を法として合同である。^{[ 12 ]}

この結果は、引数を数えるために使用できるため、特に便利です (通常、 X も有限である 場合)。

頂点にラベルが付けられた立方体グラフ

例: 軌道安定化定理を使用してグラフの自己同型を数えることができます。図のような立方体グラフを考え、その自己同型群をGで表します。すると、G は頂点集合{1, 2, ..., 8}に作用し、この作用は立方体の中心の周りの回転を合成することでわかるように推移的です。したがって、軌道安定化定理により、| G | = | G ⋅ 1 | | G ₁ | = 8 | G ₁ |となります。この定理を安定化群G ₁に適用すると、 | G ₁ | = | ( G ₁ ) ⋅ 2 | | ( G ₁ ) ₂ |が得られます。 1 を固定するGのどの要素も、2 を 2、4、5 のいずれかに送る必要があります。このような自己同型の例として、 1 と 7 を通る対角軸の周りの2 π /3による回転を考えます。これにより、2、4、5 と 3、6、8 が入れ替わり、1 と 7 が固定されます。したがって、| ( G ₁ ) ⋅ 2 | = 3。この定理を 3 回目に適用すると、 | ( G ₁ ) ₂ | = | (( G ₁ ) ₂ ) ⋅ 3 | | (( G ₁ ) ₂ ) ₃ |が得られます。1 と 2 を固定するGのどの要素も、3 を 3 または 6 のいずれかに送る必要があります。1、2、7、8 を通る平面で立方体を反射することは、3 を 6 に送るこのような自己同型であり、したがって| (( G ₁ ) ₂ ) ⋅ 3 | = 2。また、 1、2、3 を固定するGの任意の元は、他のすべての頂点も固定する必要があるため、(( G ₁ ) ₂ ) _{3 は}恒等自己同型のみで構成されていることもわかります。これは、頂点が 1、2、3 に隣接しているかどうかで決まるためです。これまでの計算を組み合わせると、| G | = 8 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 48が得られます。

バーンサイドの補題

軌道安定定理に密接に関連する結果は、バーンサイドの補題である。 ここで、X ^gはgによって固定される点の集合である。この結果は、 GとX が有限である場合に主に有用であり、その場合、軌道の数は群の要素ごとに固定される点の平均数に等しいと解釈できる。 $${\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|,}$$

群Gを固定すると、有限G集合の形式的な差の集合はGのバーンサイド環と呼ばれる環を形成します。ここで、加算は分離和に、乗算は直積 に対応します。

例

• その任意の群Gの任意の集合Xへの自明な作用は、 Gに含まれるすべてのgとXに含まれるすべてのxに対してg⋅x = xで定義される。つまり、すべての群元はX上の恒等置換を。 ^{[ 13 ]}
• 任意の群Gにおいて、左乗法はGからGへの作用である：Gに属する任意のg , xに対してg ⋅ x = gx 。この作用は自由かつ推移的（正則）であり、ケーリーの定理（すべての群は集合Gの対称置換群の部分群と同型であるという定理）の迅速な証明の基礎となる。
• 部分群Hを持つ任意の群Gにおいて、左乗法はGの剰余類集合G / H : g ⋅ aH = gaHへの作用である（ Gのすべてのg , aに対して） 。特に、H がGの非自明な正規部分群を含まない場合、これはGから次数[ G  : H ]の置換群の部分群への同型性を誘導する。
• あらゆる群Gにおいて、共役はGからGへの作用である：g ⋅ x = gxg ⁻¹。右作用変種には指数表記が一般的に用いられる：x ^g = g ⁻¹ xg ；これは ( x ^g ) ^h = x ^ghを満たす。
• 部分群Hを持つすべての群Gにおいて、共役はHの共役に対するGの作用です。つまり、HのG 共役およびK共役のすべてのgに対してg ⋅ K = gKg ⁻¹です。
• 集合XへのZの作用は、 1 の作用によって与えられるXの自己同型によって一意に決定され、決定されます。同様に、 XへのZ / 2 Zの作用は、 Xの反転のデータに相当します。
• 対称群S _nとその部分群は、集合{1, ..., n }の要素を置換することによって作用する。
• 多面体の対称群は、その多面体の頂点の集合に作用します。また、多面体の面の集合や辺の集合にも作用します。
• あらゆる幾何学的オブジェクトの対称群は、そのオブジェクトの点の集合に作用します。
• 単位群F *を持つ体F上の座標空間Vに対して、 a × ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) ↦ ( ax ₁ , ax ₂ , ..., ax _n )によって与えられる写像F * × V → Vは、スカラー乗算と呼ばれる群作用である。
• ベクトル空間 (またはグラフ、グループ、リングなど) の自己同型群は、ベクトル空間 (またはグラフ、グループ、リングなどの頂点の集合) に作用します。
• 一般線型群GL( n , K )とその部分群、特にそのリー部分群（特殊線型群SL( n , K )、直交群O( n , K )、特殊直交群SO( n , K )、シンプレクティック群Sp( n , K )を含む）は、ベクトル空間K ⁿに作用するリー群である。群の演算は、これらの群の行列とK ⁿのベクトルを乗算することによって与えられる。
• 一般線型群GL( n , Z )はZ ⁿに自然行列作用を及ぼす。その作用の軌道は、Z ⁿにおけるベクトルの座標の最大公約数によって分類される。
• アフィン群はアフィン空間の点に対して推移的に作用し、アフィン群（つまりベクトル空間）の部分群Vはこれらの点に対して推移的かつ自由な（つまり正則な）作用を持つ。 ^{[ 14 ]}実際、これを使ってアフィン空間の定義を行うことができる。
• 射影線型群PGL( n + 1, K )とその部分群、特にリー部分群は、射影空間P ⁿ ( K )に作用するリー群である。これは、一般線型群の射影空間への作用の商である。特に注目すべきは、射影直線の対称性であるPGL(2, K )である。これは鋭く 3-推移的であり、複比 を保存する。特に興味深いのは、メビウス群PGL(2, C )である。
• 平面の等長写像は、壁紙のパターンなどの2次元画像やパターンの集合に作用します。画像やパターンが何を意味するかを明確にすることで、定義をより正確にすることができます。例えば、色の集合の値を持つ位置の関数などです。等長写像は、実際にはアフィン群（作用）の一例です。
• 群Gが作用する集合は、オブジェクトがG集合であり、射がG集合準同型であるG集合のカテゴリを構成します。つまり、 G内のすべてのgに対してg ⋅( f ( x )) = f ( g ⋅ x )となるような関数f  : X → Yです。
• 体拡大L / Kのガロア群は体Lに作用するが、部分体Kの元には自明な作用しか及ぼさない。ガロア群 ( L / K )の部分群は、 Kを含むLの部分体、つまりLとKの間の中間体拡大に対応する。
• 実数( R、 + )の加法群は、時間変換によって古典力学(およびより一般的な動的システム)の「行儀の良い」システムの位相空間に作用します。つまり、 tがRにあり、xが位相空間にある場合、 x はシステムの状態を表し、t + xは、 tが正の場合はt秒後、tが負の場合は- t秒前のシステムの状態として定義されます。
• 実数( R , +)の加法群は、実変数の実関数の集合に対してさまざまな方法で作用します。 ( t ⋅ f )( x )は、たとえば、f ( x + t )、f ( x ) + t 、 f ( xe ^t )、f ( ^x ) e ^{t 、 f ( x + t ) e t}、またはf ( xe t ) ⁺ tに等しくなりますが、f ( xe t + t )^には等しくなりません。
• GのXへの群作用が与えられたとき、 Xの冪集合へのGの誘導作用を、Xのすべての部分集合UとGのすべてのgに対してg ⋅ U = { g ⋅ u  : u ∈ U }と設定することで定義できます。これは、例えば、大マシュー群の24次元集合への作用の研究や、有限幾何学の特定のモデルにおける対称性の研究に役立ちます。
• ノルム1の四元数（ベルソル）は、乗法群としてR ³に作用します。任意のそのような四元数z = cos α /2 + v sin α /2に対して、写像f ( x ) = z x z ^*は、単位ベクトルvで与えられた軸を中心に角度αで反時計回りに回転します。zも同じ回転です。四元数と空間回転を参照してください。これは忠実な動作ではありません。四元数−1は四元数1と同様に、すべての点を元の状態のまま残すからです。
• 左G集合X , Yが与えられたとき、左G集合Y ^Xが存在し、その要素はG同変写像α  : X × G → Yであり、左G作用はg ⋅ α = α ∘ (id _X × – g )で与えられる（ただし「– g 」はgによる右乗法を表す）。このG集合は、その不動点が同変写像X → Yに対応するという性質を持つ。より一般的には、これはG集合のカテゴリにおける指数的対象である。

集団作用と群体

群作用の概念は、群作用に付随する作用群G ′ = G ⋉ Xによって符号化することができる。作用の安定群は群の頂点群であり、作用の軌道はその成分である。

G集合間の射と同型

XとY が2つのG集合である場合、XからYへの射とは、Gのすべてのg と X のすべての x に対してf ( g ⋅ x ) = g ⋅ f ( x )となるような関数 f : X → Yのことです。G集合の射は、同変写像またはG写像とも呼ばれます。

二つの射の合成もまた射である。射fが全単射ならば、その逆も射である。この場合、fは同型射と呼ばれ、二つのG集合XとYは同型であると呼ばれる。実用上、同型G集合は区別できない。

同型性の例:

• すべての正規のG作用は、左乗算によって与えられたGのGへの作用と同型です。
• すべての自由G作用はG × Sと同型です。ここでSは何らかの集合であり、G は最初の座標での左乗算によってG × Sに作用します。 ( S は軌道の集合X / Gと見なすことができます。)
• Gのすべての推移的作用は、 Gのある部分群Hの左剰余類の集合上のGによる左乗算と同型である。（Hは、元のG集合の任意の元の安定群とすることができる。）

この射の概念により、すべてのG集合のコレクションはカテゴリを形成します。このカテゴリはグロタンディークのトポスです(実際、古典的なメタロジック を想定すると、このトポスはブール型になります)。

変種と一般化

上記と同じ2つの公理を用いて、モノイドの集合への作用を考えることもできます。ただし、これは全単射写像と同値関係を定義しません。半群作用を参照してください。

集合への作用の代わりに、任意のカテゴリのオブジェクトへの群とモノイドの作用を定義することができます。まず、あるカテゴリのオブジェクトXを準備し、 Xへの作用を、 Xの自己準同型モノイドへのモノイド準同型として定義します。Xが基礎集合を持つ場合、上記の定義と事実はすべてそのまま適用できます。例えば、ベクトル空間のカテゴリをとれば、このようにして群表現が得られます。

群Gを、すべての射が可逆である単一のオブジェクトを持つカテゴリと見ることができます。^{[ 15 ]}このとき、(左) 群作用はGから集合のカテゴリへの(共変)関数に他ならず、群表現はGからベクトル空間のカテゴリへの関数です。^{[ 16 ]}このとき、 G集合間の射は、群作用関数間の自然変換です。 ^{[ 17 ]}同様に、群体 の作用は、群体から集合のカテゴリまたは他のカテゴリへの関数です。

位相群の位相空間への連続作用に加えて、リー群の滑らかな多様体への滑らかな作用、代数群の代数多様体への正則作用、群スキームのスキームへの作用などもしばしば考慮される。これらはすべて、それぞれのカテゴリの対象に作用する 群対象の例である。

ギャラリー

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  完全な八面体群の作用下にある基本球面三角形（赤でマーク）の軌道
• 
  完全な二十面体群の作用下にある基本球面三角形（赤でマーク）の軌道

参照

• ゲイングラフ
• 演算子によるグループ化
• 測定可能なグループ行動
• モノイド作用
• ヤング・デロイツ開発

注記

引用

1. Eie & Chang (2010).抽象代数学講座. p. 144.
2. 例えば、 Smith (2008)の「抽象代数入門」 p. 253 で同様のことが行われている。
3. 「定義:右群作用公理」。Proof Wiki 。 2021年12月19日閲覧。
4. サーストン1997、定義3.5.1(iv)。
5. カポビッチ 2009、73ページ。
6. サーストン 1980、176ページ。
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13. Eie & Chang (2010).抽象代数学講座. p. 145.
14. Reid, Miles (2005). Geometry and topology . Cambridge, UK New York: Cambridge University Press. p. 170. ISBN 9780521613255。
15. ペローネ（2024）、7～9頁
16. ペローネ (2024)、36–39 ページ
17. ペローネ (2024)、69–71 ページ

参考文献

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外部リンク

• 「多様体への群の作用」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック・W. 「グループアクション」。マスワールド。