群コホモロジー

数学(より具体的にはホモロジー代数)において、群コホモロジーは、代数位相幾何学からの手法であるコホモロジー理論を用いて群を研究するために使用される一連の数学的ツールです。群表現と同様に、群コホモロジーは、関連するG加群M内の群Gの群作用を調べて、群の特性を明らかにします。G加群を、 n単体を表す要素を持つ一種の位相空間として扱うことで、コホモロジー群の集合などの空間の位相特性を計算できます。次に、コホモロジー群は、群GおよびG加群M自体の構造を理解するのに役立ちます。群コホモロジーは、加群または空間内の群作用の不動点や、群作用に関する商加群または空間の調査に役立ちます。群コホモロジーは、抽象代数学、ホモロジー代数、代数的位相幾何学、代数的数論の分野、および群論そのものへの応用において用いられる。代数的位相幾何学と同様に、群ホモロジーと呼ばれる双対理論が存在する。群コホモロジーの手法は、G加群の代わりにG が非可換G群に作用する場合にも拡張できる。これは実質的に、加群を非可換係数に一般化したものである。 ${\displaystyle G^{n}}$ ${\displaystyle H^{n}(G,M)}$

これらの代数的概念は位相的概念と密接に関連している。離散群Gの群コホモロジーは、 Gを基本群とする適切な空間、すなわち対応するアイレンバーグ・マクレーン空間の特異コホモロジーである。したがって、 の群コホモロジーは円S ¹の特異コホモロジーと考えることができる。同様に、 の群コホモロジーはの特異コホモロジーである。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} ).}$

群のコホモロジーについては、低次元コホモロジーの解釈、関数性、群の変換方法など、多くのことが知られています。群のコホモロジーという研究分野は1920年代に始まり、1940年代後半に成熟し、今日でも活発な研究分野として続いています。

モチベーション

群論における一般的なパラダイムは、群Gはその群表現を介して研究されるべきであるというものである。これらの表現を少し一般化したものがG加群である。G加群とは、アーベル群MとGのMへの群作用を合わせたものであり、 Gのすべての元はMの自己同型として働く。Gを乗法的に、M を加法的に表記する。

このようなGモジュールMが与えられた場合、 G不変元のサブモジュールを考えるのが自然です。

${\displaystyle M^{G}=\lbrace x\in M\ |\ \forall g\in G:\ gx=x\rbrace .}$

さて、NがMのG部分加群（すなわち、 Gの作用によって自身に写像されるMの部分群）である場合、 の不変量はMの不変量をNの不変量で割ったものとして求められるというのは一般には真ではない。「Nを法として」不変であるという表現はより広義である。第一群コホモロジーの目的は、この差を正確に測定することである。 ${\displaystyle M/N}$ ${\displaystyle H^{1}(G,N)}$

群コホモロジー関数は一般に、不変量をとることが完全列 をどの程度尊重しないかを測定する。これは長完全列によって表現される。 ${\displaystyle H^{*}}$

定義

すべてのG加群のコレクションはカテゴリです（射は同変群準同型、つまり、GのすべてのgとMのすべてのxに対して の性質を持つ群準同型fです）。各加群Mを不変量のグループに送ると、 G加群のカテゴリからアーベル群のカテゴリAbへの関数が得られます。この関数は左厳密ですが、右厳密である必要はありません。したがって、その右導来関数を形成できます。^{[ a ]}それらの値はアーベル群であり、 、「Mに係数を持つn番目のGコホモロジー群」によって表されます。さらに、グループはと同一視される場合があります。 ${\displaystyle f(gx)=g(f(x))}$ ${\displaystyle M^{G}}$ ${\displaystyle H^{n}(G,M)}$ ${\displaystyle H^{0}(G,M)}$ ${\displaystyle M^{G}}$

コチェーン複合体

導来関手を用いたカテゴリカル定義は、標準的なコチェーン複体を用いて実現・計算することができ、一部の研究者はこれを定義として用いている。^{[ 1 ]}をからMへのすべての関数の成す群とする（ここでは はを意味する）。これはアーベル群であり、その元は（非同次） n-コチェーンと呼ばれる。コ境界準同型は次のように定義される。 ${\displaystyle n\geq 0,}$ ${\displaystyle C^{n}(G,M)}$ ${\displaystyle G^{n}}$ ${\displaystyle G^{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{G}}$

${\displaystyle {\begin{cases}d^{n+1}\colon C^{n}(G,M)\to C^{n+1}(G,M)\\\left(d^{n+1}\varphi \right)(g_{1},\ldots ,g_{n+1})=g_{1}\varphi (g_{2},\dots ,g_{n+1})+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}\varphi \left(g_{1},\ldots ,g_{i-1},g_{i}g_{i+1},\ldots ,g_{n+1}\right)+(-1)^{n+1}\varphi (g_{1},\ldots ,g_{n}).\end{cases}}}$

となることを確かめると、これはコホモロジーを計算できるコチェーン複体を定義する。上述の導来関手による群コホモロジーの定義は、この複体のコホモロジーと同型であることが示される。 ${\displaystyle d^{n+1}\circ d^{n}=0,}$

${\displaystyle H^{n}(G,M)=Z^{n}(G,M)/B^{n}(G,M).}$

ここで、 n-コサイクル群とn-コ境界群はそれぞれ次のように定義される。

${\displaystyle Z^{n}(G,M)=\ker(d^{n+1})}$

${\displaystyle B^{n}(G,M)={\begin{cases}0&n=0\\\operatorname {im} (d^{n})&n\geqslant 1\end{cases}}}$

関数Ext ⁿと群コホモロジーの形式的定義

G加群を群環 上の加群として解釈すると、次のことがわかる。 ${\displaystyle \mathbb {Z} [G],}$

${\displaystyle H^{0}(G,M)=M^{G}=\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M),}$

すなわち、 MのG不変元の部分群は、からの準同型群と同一視され、これはMへの自明なG加群（Gのすべての元が恒等関数として作用する）として扱われる。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

したがって、Ext関手はHomの導来関手なので、自然な同型性が存在する。

${\displaystyle H^{n}(G,M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{n}(\mathbb {Z} ,M).}$

これらのExt群は の射影分解によっても計算できます。この分解の利点は、Gのみに依存し、 Mには依存しないことです。この文脈では、Ext の定義をより明確に思い出してください。Fを自明な -加群の射影分解（例えば自由- 分解）とします。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \cdots \to F_{n}\to F_{n-1}\to \cdots \to F_{0}\to \mathbb {Z} \to 0.}$

例えば、群環の分解は常に射によって 行われる。${\displaystyle F_{n}=\mathbb {Z} [G^{n+1}],}$

${\displaystyle {\begin{cases}f_{n}:\mathbb {Z} [G^{n+1}]\to \mathbb {Z} [G^{n}]\\(g_{0},g_{1},\ldots ,g_{n})\mapsto \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\left(g_{0},\ldots ,{\widehat {g_{i}}},\dots ,g_{n}\right)\end{cases}}}$

加群NとMについて、 Hom _G ( N , M ) はNからMへの-準同型からなるアーベル群であることを思い出してください。は反変関手であり、矢印を反転するので、Fに項ごとに適用して削除すると、コチェーン複体が生成されます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(-,M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(-,M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(\mathbb {Z} ,M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(-,M)(F,M)}$

${\displaystyle \cdots \leftarrow \operatorname {Hom} _{G}(F_{n},M)\leftarrow \operatorname {Hom} _{G}(F_{n-1},M)\leftarrow \dots \leftarrow \operatorname {Hom} _{G}(F_{0},M)\leftarrow 0.}$

モジュールMに係数を持つGのコホモロジー群は、上記のコチェーン複体のコホモロジーとして定義されます。 ${\displaystyle H^{*}(G,M)}$

${\displaystyle H^{n}(G,M)=H^{n}({\rm {Hom}}_{G}(F,M)),\qquad n\geqslant 0.}$

この構成は、まず「同次」なコチェーンに作用する共境界作用素を導きます。これらは の元、つまり以下の式に従う 関数です。${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(F,M)}$ ${\displaystyle \phi _{n}\colon G^{n}\to M}$

${\displaystyle g\phi _{n}(g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n})=\phi _{n}(gg_{1},gg_{2},\ldots ,gg_{n}).}$

共境界演算子は、例えば次のように自然に定義される。 ${\displaystyle \delta \colon C^{n}\to C^{n+1}}$

${\displaystyle \delta \phi _{2}(g_{1},g_{2},g_{3})=\phi _{2}(g_{2},g_{3})-\phi _{2}(g_{1},g_{3})+\phi _{2}(g_{1},g_{2}).}$

前の節で定義され、「不均質な」共鎖に作用する共境界演算子dとの関係は、次のように再パラメータ化することによって与えられる。 ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{2}(g_{1},g_{2})&=\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2})\\\varphi _{3}(g_{1},g_{2},g_{3})&=\phi _{4}(1,g_{1},g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3}),\end{aligned}}}$

などなど。つまり

${\displaystyle {\begin{aligned}d\varphi _{2}(g_{1},g_{2},g_{3})&=\delta \phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})\\&=\phi _{3}(g_{1},g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})+\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2})\\&=g_{1}\phi _{3}(1,g_{2},g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})+\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2})\\&=g_{1}\varphi _{2}(g_{2},g_{3})-\varphi _{2}(g_{1}g_{2},g_{3})+\varphi _{2}(g_{1},g_{2}g_{3})-\varphi _{2}(g_{1},g_{2}),\end{aligned}}}$

前のセクションと同様です。

分類空間のコホモロジー

群コホモロジーを定義する別の方法は、位相コホモロジー理論（単体コホモロジー、特異コホモロジー、層コホモロジーなど）を使用することです。^{[ 2 ]}

より正確には、上で定義したコホモロジー群は次のようにも表現できる。

${\displaystyle H^{n}(BG,\mathbb {Z} )\cong H^{n}(G,\mathbb {Z} ).}$

ここでは の分類空間であり、その基本群が で高次ホモトピー群が消える空間（通常、アイレンバーグ・マクレーン空間と呼ばれる）^{[ b ]}。例えば、 と の分類空間は、それぞれ円、無限実射影空間、レンズ空間である。一般に、は商 として構成でき、ここで はが自由に作用する収縮可能な空間である。空間は必ずしも容易に従順な幾何学的記述を持つ必要はないが、これはグロモフ双曲群や算術群など、いくつかの重要な群のクラスでは当てはまる。 ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K(G,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,\mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} )=\cup _{n}\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle EG/G}$ ${\displaystyle EG}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle BG}$

より一般的には、任意の- 加群に局所係数系を付加することができ、上記の同型は同型^{[ 3 ]に一般化される。}${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle BG}$

${\displaystyle H^{n}(BG,M)=H^{n}(G,M).}$

グループホモロジー

群コホモロジーの構成と双対的に、群ホモロジーの次の定義がある：G加群Mが与えられたとき、DMをg · m  −  m、g  ∈  G、m  ∈  Mの形式を持つ元によって生成される部分加群 とする。Mにその共変加群を割り当てると、商

${\displaystyle M_{G}:=M/DM\,;}$

これは右完全関数を定義する。その左導来関数は定義により群ホモロジーである。

${\displaystyle H_{n}(G,M).}$

M _GをMに割り当てる共変関手は、Mをに送る関手と同型であり、この関手には自明なG -作用が備わっている。^{[ c ]}したがって、 Tor 関手を用いた群ホモロジーの表現も得られる。 ${\displaystyle \mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle H_{n}(G,M)=\operatorname {Tor} _{n}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M)}$

コホモロジー/ホモロジーの上付き/下付き表記は、群不変量/共変量の表記と一致していることに注意してください。一方、"co-" で示されるものは切り替わります。

• 上付き文字はコホモロジーH*と不変量X ^Gに対応し、
• 下付き文字はホモロジーH _∗と共変量X _G  := X / Gに対応する。

具体的には、ホモロジー群H _n ( G , M ) は以下のように計算できます。前節と同様に、自明な- 加群の射影分解Fから始めます。共変関手をFに項ごとに適用して、連鎖複体を得ます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \cdot \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M}$ ${\displaystyle F\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M}$

${\displaystyle \cdots \to F_{n}\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to F_{n-1}\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to \cdots \to F_{0}\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to \mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M.}$

このとき、H _n ( G , M ) はこの連鎖複合体のホモロジー群であり、n ≥ 0である。 ${\displaystyle H_{n}(G,M)=H_{n}(F\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M)}$

群ホモロジーおよびコホモロジーは、いくつかの群、特に有限群については、完全解決およびテイトコホモロジー群によって均一に扱うことができます。

主イデアル領域kに値を持つアーベル群Gの群ホモロジーは外積代数と密接に関係している。^{[ d ]}${\displaystyle H_{*}(G,k)}$ ${\displaystyle \wedge ^{*}(G\otimes k)}$

低次元コホモロジー群

定義により、0次コホモロジーは不変量の加群である。1次および2次コホモロジーも単純な代数的解釈を持つ。 ${\displaystyle H^{0}(G,M)=M^{G}}$

H1 ^​

第一コホモロジー群は、いわゆる交差準同型写像、すなわち、Gのすべてのa、bに対してf ( ab ) = f ( a ) + af ( b )を満たす（集合の）写像f  : G → M の商であり、いわゆる主交差準同型写像、すなわち、ある固定されたm ∈ Mに対してf ( g ) = gm − mで与えられる写像f  : G → Mを法とする。これは上記のコチェーンの定義から導かれる。

GのMへの作用が自明である場合、上記はH ¹ ( G、M ) = Hom( G、M )、つまり群準同型 群G → Mに要約されます。交差準同型は通常の準同型であり、共境界 (つまり、主要な交差準同型) は像が同一にゼロでなければならないため、ゼロ共境界のみが存在するからです。

一方、 の場合を考えてみましょう。ここでは整数の加法群上の非自明な-構造を表し、任意の に対してa を-aに写像します。また、を群 と見なします。 の像のすべての可能な場合を考慮すると、交差準同型写像は、任意の整数tに対してとを満たすすべての写像を構成することがわかります。主交差準同型写像は、さらに、ある整数mに対して を満たしている必要があります。したがって、-1 を偶数に写像するすべての交差準同型は主であり、したがって、次のようになります。 ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-}),}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{-}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \{\pm 1\}}$ ${\displaystyle \{1,-1\}}$ ${\displaystyle f_{t}:\{\pm 1\}\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f_{t}(1)=0}$ ${\displaystyle f_{t}(-1)=t}$ ${\displaystyle f_{t}(-1)=(-1)*m-m=-2m}$ ${\displaystyle f_{t}}$ ${\displaystyle t=-2m}$

${\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-})\cong \mathbb {Z} /2={\rm {\ (say)\ {\it {}}}}\langle f:f(1)=0,f(-1)=1\rangle ,}$

群演算は点ごとの加算であり、 は単位元であることに注意してください。 ${\displaystyle (f_{s}+f_{t})(x)=f_{s}(x)+f_{t}(x)=f_{s+t}(x)}$ ${\displaystyle f_{0}}$

H2 ^​

M が自明なG加群（すなわち、 GのMへの作用が自明な群）である場合、第二コホモロジー群H ² ( G , M ) は、 Mの加法群による群Gの中心拡大の集合と一対一に対応する（自然な同値関係を除き）。より一般的には、 G の Mへの作用が自明でない場合、H ² ( G , M ) は、 G の E への作用（内部自己同型による）によって M （の像）に M と同型のG加群構造が付与される、MによるGのすべての群拡大の同型類を分類する。 ${\displaystyle 0\to M\to E\to G\to 0}$

すぐ上の節の例では、与えられた非自明な作用によるによるの唯一の拡大は無限二面体群であり、これは分割拡大（半直積）であり、したがって群の内部では自明である。これは実際、 の唯一の非自明な元が群論的に持つ意味である。 ${\displaystyle H^{1}}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-})=0,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle H^{2}}$ ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-}),}$

2番目のコホモロジー群の例としては、ブラウアー群が挙げられる。これは、可分閉包の可逆元に作用する体kの絶対ガロア群のコホモロジーである。

${\displaystyle H^{2}\left(\mathrm {Gal} (k),(k^{\mathrm {sep} })^{\times }\right).}$

これはk上の除算代数を分類する。[1]も参照。

基本的な例

有限巡回群の群コホモロジー

生成元 を持つ位数の有限巡回群の場合、関連する群環の元は との積が で与え られる ため、 ゼロの約数となる。${\displaystyle G=C_{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma -1\in \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle N=1+\sigma +\sigma ^{2}+\cdots +\sigma ^{m-1}\in \mathbb {Z} [G],}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}N(1-\sigma )&=1+\sigma +\cdots +\sigma ^{m-1}\\&\quad -\sigma -\sigma ^{2}-\cdots -\sigma ^{m}\\&=1-\sigma ^{m}\\&=0.\end{aligned}}}$$

この性質は、任意の -加群 に対する群コホモロジー計算を与える複素数を介して、自明な- 加群の分解^{[ 4 ] [ 5 ]}を構成するために使用できる。増加写像は、自明な加群に - 構造 を与える。${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ $${\displaystyle \cdots \xrightarrow {\sigma -1} \mathbb {Z} [G]\xrightarrow {N} \mathbb {Z} [G]\xrightarrow {\sigma -1} \mathbb {Z} [G]\xrightarrow {\text{aug}} \mathbb {Z} \to 0}$$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ $${\displaystyle {\text{aug}}\left(\sum _{g\in G}a_{g}g\right)=\sum _{g\in G}a_{g}}$$

この解決は、コホモロジー群の同型が存在するため、群コホモロジーの計算を与える。 これは、 関数を上記の複体に適用すると（この解決は準同型であるため は削除）、 の 計算が得られることを示す。 例えば、 の場合、自明なモジュールであれば、、、 となり、したがって、 となる。$${\displaystyle H^{k}(G,A)\cong {\text{Ext}}_{\mathbb {Z} [G]}^{k}(\mathbb {Z} ,A)}$$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(-,A)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ $${\displaystyle H^{k}(G,A)={\begin{cases}A^{G}/NA&k{\text{ even}},k\geq 2\\{}_{N}A/(\sigma -1)A&k{\text{ odd}},k\geq 1\end{cases}}}$$ $${\displaystyle {}_{N}A=\{a\in A:Na=0\}}$$ ${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{G}=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle N\mathbb {Z} ={\text{aug}}(N)\mathbb {Z} =m\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {}_{N}\mathbb {Z} =0}$ $${\displaystyle H^{k}(C_{m},\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} &k{\text{ even}},k\geq 2\\0&k{\text{ odd}},k\geq 1\end{cases}}}$$

明示的なコサイクル

巡回群の群コホモロジーに対するコサイクルは、バー分解^{[ 6 ]}を用いて明示的に与えることができる。奇数 に対する-コサイクルの完全な生成元は、奇数、 、原始-乗根、- 乗根を 含む体、を超えない最大の整数を表す 有理数に対してで 与えられる写像として 得られる。また、 の生成元である という表記法も用いる。0でない偶数添字 に対しては、コホモロジー群は自明である。${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l}$ $${\displaystyle \omega _{a}:B_{l}\to k^{*}}$$ $${\displaystyle [g^{i_{1}},\ldots ,g^{i_{l}}]\mapsto \zeta _{m}^{ai_{1}\left[{\frac {i_{2}+i_{3}}{m}}\right]\cdots \left[{\frac {i_{l-1}+i_{l}}{m}}\right]}}$$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle 0\leq a\leq m-1}$ ${\displaystyle \zeta _{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle \left[{\frac {a}{b}}\right]}$$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle a/b}$ $${\displaystyle B_{l}=\bigoplus _{0\leq i_{1},\ldots ,i_{l}\leq m-1}\mathbb {Z} G\cdot [g^{i_{1}},\ldots ,g^{i_{l}}]}$$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G=C_{m}}$ ${\displaystyle l}$

自由群のコホモロジー

解像度の使用

集合 が与えられると、関連付けられた自由群には簡単に計算できる自明な加群の明示的な解決^{[ 7 ]}がある。増加写像 の核は集合 によって生成された自由部分加群 によって与えられるので、 と なる点に注意されたい。 このオブジェクトは自由であるため、これは解決を与える。 したがって、の係数を持つ の群コホモロジーは、 複素数 に関手を適用することによって計算でき、となる。 これは、双対写像 が 包含を合成することによって任意の-加群射 を 上の誘導射に 送るためである。 に送られる唯一の写像は増加写像 の倍数であり、最初のコホモロジー群を与える。2 番目は、 以外の唯一の写像が、 固定の に対してを送り、任意の に対してを送る写像 の -基底によって生成できることに注意することで見つけられる。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G={\text{Free}}(S)={\underset {s\in S}{*}}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\text{triv}}}$ $${\displaystyle {\text{aug}}:\mathbb {Z} [G]\to \mathbb {Z} _{\text{triv}}}$$ ${\displaystyle I_{S}}$ ${\displaystyle \{s-1:s\in S\}}$ $${\displaystyle I_{S}=\bigoplus _{s\in S}\mathbb {Z} [G]\cdot (s-1).}$$ $${\displaystyle 0\to I_{S}\to \mathbb {Z} [G]\to \mathbb {Z} _{\text{triv}}\to 0}$$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\text{triv}}}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(-,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle 0\to I_{S}\to \mathbb {Z} [G]\to 0}$ $${\displaystyle H^{k}(G,\mathbb {Z} _{\text{triv}})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\bigoplus _{s\in S}\mathbb {Z} &k=1\\0&k\geq 2\end{cases}}}$$ $${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} _{\text{triv}})\to {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(I_{S},\mathbb {Z} _{\text{triv}})}$$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ $${\displaystyle \phi :\mathbb {Z} [G]\to \mathbb {Z} _{\text{triv}}}$$ ${\displaystyle I_{S}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ $${\displaystyle \psi \in {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(I_{S},\mathbb {Z} _{\text{triv}})}$$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (s-1)\mapsto 1}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle (s'-1)\mapsto 0}$ ${\displaystyle s'\in S-\{s\}}$

トポロジの使用

文字によって生成される自由群の群コホモロジーは、群コホモロジーを位相幾何学におけるその解釈と比較することによって容易に計算できる。すべての群に対して、群の分類空間と呼ばれる位相空間が存在し、それが特性を持つことを思い出そう。さらに、その位相コホモロジーは群コホモロジーに同型であるという特性があり、 いくつかの群コホモロジー群を計算する方法を与える。は あるアーベル群の写像によって決定される任意 の局所系に置き換えることができることに注意されたい。文字の の場合、これは円のくさび和^{[ 8 ]}で表され、これはVan-Kampen の定理を使用して示すことができ、群コホモロジー^{[ 9 ]を与える。}${\displaystyle \mathbb {Z} *\mathbb {Z} *\cdots *\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle BG}$ $${\displaystyle \pi _{1}(BG)=G{\text{ and }}\pi _{k}(BG)=0{\text{ for }}k\geq 2}$$ $${\displaystyle H^{k}(BG,\mathbb {Z} )\cong H^{k}(G,\mathbb {Z} )}$$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ $${\displaystyle \pi _{1}(G)\to GL(V)}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B(\mathbb {Z} *\cdots *\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{1}\vee \cdots \vee S^{1}}$ $${\displaystyle H^{k}(\mathbb {Z} *\cdots *\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} ^{n}&k=1\\0&k\geq 2\end{cases}}}$$

自由アーベル群の群コホモロジー

自由アーベル群のコホモロジー群は完全に明示的に計算できます。 の分類空間は、次元トーラスによって与えられます。 の単純なセル構造を用いることで、がと同型であることを計算できます。この式を導く別の方法は、次元トーラス が円の直積であることに注目し、キュネスの式を用いることです。 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ ${\displaystyle H^{k}(\mathbb {T} ^{n},\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\binom {n}{k}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

プロパティ

以下では、M をG加群とします。

コホモロジーの長完全列

実際には、コホモロジー群は次のような事実を使って計算されることが多い。

${\displaystyle 0\to L\to M\to N\to 0}$

がG加群の短完全列である場合、長完全列が誘導される。

${\displaystyle 0\longrightarrow L^{G}\longrightarrow M^{G}\longrightarrow N^{G}{\overset {\delta ^{0}}{\longrightarrow }}H^{1}(G,L)\longrightarrow H^{1}(G,M)\longrightarrow H^{1}(G,N){\overset {\delta ^{1}}{\longrightarrow }}H^{2}(G,L)\longrightarrow \cdots }$

いわゆる接続準同型写像、

${\displaystyle \delta ^{n}:H^{n}(G,N)\to H^{n+1}(G,L)}$

は、不均質コチェーンを使って次のように記述できる。^{[ 10 ]}がnコサイクルで表される場合、はで表される。ここで、はnコチェーンの「持ち上げ」（つまり、射影写像M → Nとの合成）である。 ${\displaystyle c\in H^{n}(G,N)}$ ${\displaystyle \phi :G^{n}\to N,}$ ${\displaystyle \delta ^{n}(c)}$ ${\displaystyle d^{n}(\psi ),}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle G^{n}\to M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$

関数性

群コホモロジーは群Gに反変的に依存する。すなわち、f  : H → Gが群準同型ならば、自然に誘導される写像H ⁿ ( G , M ) → H ⁿ ( H , M )が存在する（後者では、Mはfを介してH加群として扱われる）。この写像は制限写像と呼ばれる。GにおけるHの添え字が有限ならば、逆方向の写像も存在し、転送写像と呼ばれる^{[ 11 ]}。

${\displaystyle cor_{H}^{G}:H^{n}(H,M)\to H^{n}(G,M).}$

0次では写像によって与えられる。

${\displaystyle {\begin{cases}M^{H}\to M^{G}\\m\mapsto \sum _{g\in G/H}gm\end{cases}}}$

G加群のM → Nの射が与えられると、 H ⁿ ( G , M ) → H ⁿ ( G , N )におけるコホモロジー群の射が得られる。

製品

特異コホモロジーやド・ラームコホモロジーなどの位相幾何学における他のコホモロジー理論と同様に、群コホモロジーは積構造を持ち、カップ積と呼ばれる自然な写像が存在する。

${\displaystyle H^{n}(G,N)\otimes H^{m}(G,M)\to H^{n+m}(G,M\otimes N)}$

任意の2つのG加群MとNに対して、次数付き反可換環構造が得られる。ここでRは、またはのような環である。有限群Gに対して、このコホモロジー環のp特性における偶部分は、群Gの構造に関する多くの情報を持っている。例えば、この環のクルル次元はアーベル部分群の最大階数に等しい。^{[ 12 ]}${\displaystyle \oplus _{n\geqslant 0}H^{n}(G,R),}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p.}$ ${\displaystyle \oplus _{n\geqslant 0}H^{2n}(G,\mathbb {Z} /p)}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p)^{r}}$

例えば、離散位相のもとで、 G を2つの元を持つ群とする。実射影空間はGの分類空間である。G を2つの元の体とする。すると、 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle k=\mathbb {F} _{2},}$

${\displaystyle H^{*}(G;k)\cong k[x],}$

これは単一生成子上の多項式k代数である。これは${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} ).}$

キュネス式

M = k が体である場合、 H* ( G ; k ) は次数付きk代数であり、群の積のコホモロジーは、個々の群のコホモロジーとキュネス公式によって関連付けられます。

${\displaystyle H^{*}(G_{1}\times G_{2};k)\cong H^{*}(G_{1};k)\otimes H^{*}(G_{2};k).}$

例えば、Gが階数rの基本アーベル 2 群である場合、キュネスの公式は、 GのコホモロジーがH ¹ ( G ; k ) のrクラスによって生成される多項式k代数であることを示します。 ${\displaystyle k=\mathbb {F} _{2},}$

${\displaystyle H^{*}(G;k)\cong k[x_{1},\ldots ,x_{r}].}$

ホモロジーとコホモロジー

他のコホモロジー理論、例えば特異コホモロジー、群コホモロジー、ホモロジーなどは、短い正確な列によって互いに関連している^{[ 13 ]。}

${\displaystyle 0\to \mathrm {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}\left(H_{n-1}(G,\mathbb {Z} ),A\right)\to H^{n}(G,A)\to \mathrm {Hom} \left(H_{n}(G,\mathbb {Z} ),A\right)\to 0,}$

ここで、Aには自明なG作用が備わっており、左側の項は最初のExt グループです。

合併製品

2つの群G ₁とG ₂の部分群である群Aが与えられたとき、（整数係数を持つ）併合積のホモロジーは、長い正確な列に存在する。 ${\displaystyle G:=G_{1}\star _{A}G_{2}}$

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A)\to H_{n}(G_{1})\oplus H_{n}(G_{2})\to H_{n}(G)\to H_{n-1}(A)\to \cdots }$

のホモロジーは次のように計算できます。 ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /4\star _{\mathbb {Z} /2}\mathbb {Z} /6}$

${\displaystyle H_{n}(\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ))={\begin{cases}\mathbb {Z} &n=0\\\mathbb {Z} /12&{\text{odd degrees}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

この正確な順序は、無限体kに対してと特殊線型群のホモロジーが一致することを示すのにも適用できる。^{[ 14 ]}${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(k[t])}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(k)}$

グループの変更

ホッホシルト・セールのスペクトル列は、 Gの正規部分群Nのコホモロジーと商G/Nを、（(代)有限群Gに対して）群Gのコホモロジーに関連付ける。この列から、インフレーション制限完全列が得られる。

その他の例

群の半直積

ファイブレーションの位相とアイレンバーグ・マクレーン空間の性質を用いて、群の半直積を計算する方法があります。群の半直積には、関連する群の短完全列が存在することを思い出してください。${\displaystyle G=N\rtimes H}$

${\displaystyle 1\to N\to N\rtimes H\to H\to 1}$

関連するアイレンベルグ・マクレーン空間を用いると、セールファイバが存在する。

${\displaystyle K(N,1)\to K(G,1)\to K(H,1)}$

これをセールスペクトル列に当てはめると、ページ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(K(H,1),H^{q}(K(N,1)))\Rightarrow H^{p+q}(K(G,1))}$

これは、 の群コホモロジー群から の群コホモロジーに関する情報を与えます。この形式論は、リンドン・ホックシルト・セールスペクトル列を用いて純粋に群論的な方法で適用できることに留意してください。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H,N}$

有限群のコホモロジー

高次コホモロジー群はねじれである

有限群Gのコホモロジー群H ⁿ ( G , M ) は、すべてのn ≥ 1に対して捩れ群である。実際、マシュケの定理により、有限群の表現のカテゴリは、任意の特性 0 の体 (またはより一般的には、特性が群の位数を割り切らない任意の体) 上で半単純であるため、群コホモロジーをこのアーベルカテゴリの導来関手と見なすと、それが 0 であることがわかる。もう 1 つの議論は、特性 0 の体上では、有限群の群代数は行列代数の直和 (おそらく元の体の拡張である除算代数上の直和) であるが、行列代数はその基底体に森田同値であるため、自明なコホモロジーを持つというものである。

Gの順序がG加群Mにおいて可逆である場合（例えば、Mが -ベクトル空間である場合）、転送写像を用いて、 が成り立つことを示すことができる。この事実の典型的な応用例は以下のとおりである。短完全コホモロジー列の長完全コホモロジー列（3つの群すべてが自明なG -作用を持つ） ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle H^{n}(G,M)=0}$ ${\displaystyle n\geqslant 1.}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Q} \to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \to 0}$

同型性が得られる

${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )=H^{1}(G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )\cong H^{2}(G,\mathbb {Z} ).}$

テイトコホモロジー

テイトコホモロジー群は有限群Gのホモロジーとコホモロジーの両方を組み合わせたものである。

${\displaystyle {\widehat {H}}^{n}(G,M):={\begin{cases}H^{n}(G,M)&n\geqslant 1\\\operatorname {coker} N&n=0\\\ker N&n=-1\\H_{-n-1}(G,M)&n\leqslant -2,\end{cases}}}$

ここでノルムマップによって誘導される： ${\displaystyle N:M_{G}\to M^{G}}$

${\displaystyle {\begin{cases}M\to M\\m\mapsto \sum _{g\in G}gm\end{cases}}}$

テイトコホモロジーは、長完全列、積構造といった類似の特徴を持つ。重要な応用は類体論である（類形成を参照）。

有限巡回群のテイトコホモロジーは、同型が存在するという意味で2周期的である。 ${\displaystyle G=\mathbb {Z} /n,}$

${\displaystyle {\widehat {H}}^{m}(G,M)\cong {\widehat {H}}^{m+2}(G,M)\qquad {\text{for all }}m\in \mathbb {Z} .}$

d周期コホモロジーの必要十分条件は、 Gのアーベル部分群のみが巡回的であることである。^{[ 15 ]}例えば、互いに素な整数nとmに対して、任意の半直積は この性質を持つ。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\rtimes \mathbb {Z} /m}$

アプリケーション

代数的K理論と線型群のホモロジー

代数的K理論は群コホモロジーと密接に関連している。QuillenのK理論の+構成において、環RのK理論は空間のホモトピー群として定義される。ここでは無限一般線型群である。この空間は、すなわちGL( R )の群ホモロジーと同じホモロジーを持つ。場合によっては、安定性の結果から、コホモロジー群の列が ${\displaystyle \mathrm {BGL} (R)^{+}.}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (R)=\cup _{n\geq 1}\mathrm {GL} _{n}(R)}$ ${\displaystyle \mathrm {BGL} (R)^{+}}$ ${\displaystyle \mathrm {BGL} (R),}$

${\displaystyle \dots \to H_{m}\left(\mathrm {GL} _{n}(R)\right)\to H_{m}\left(\mathrm {GL} _{n+1}(R)\right)\to \cdots }$

は十分大きなnに対して定常となり、したがって無限一般線型群のコホモロジーの計算は何らかの のコホモロジーの計算に帰着する。このような結果は、 Rが体^{[ 16 ]}の場合、あるいは数体の整数環の場合に確立されている^{[ 17 ]}。${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(R)}$

群の系列における群ホモロジーが安定化する現象は、ホモロジー安定性と呼ばれる。これは、今述べた場合に加えて、対称群や写像類群など、様々な群にも当てはまる。 ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle G_{n}=\mathrm {GL} _{n}(R)}$

射影表現と群の拡張

量子力学では対称群を持つ系がしばしばある。ユニタリ行列によるヒルベルト空間への作用が期待される。期待できるかもしれないが、量子力学のルールでは ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle U(g).}$ ${\displaystyle U(g_{1})U(g_{2})=U(g_{1}g_{2}),}$

${\displaystyle U(g_{1})U(g_{2})=\exp\{2\pi i\omega (g_{1},g_{2})\}U(g_{1}g_{2}),}$

ここでは位相である。この の射影表現は、の群拡大の、正確な列で表される 通常の表現とも考えられる。${\displaystyle \exp\{2\pi i\omega (g_{1},g_{2})\}\in {\rm {U}}(1)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (1),}$

${\displaystyle 1\to {\rm {U}}(1)\to {\tilde {G}}\to G\to 1.}$

結合性を要求する

${\displaystyle U(g_{1})[U(g_{2})U(g_{3})]=[U(g_{1})U(g_{2})]U(g_{3})}$

につながる

${\displaystyle \omega (g_{2},g_{3})-\omega (g_{1}g_{2},g_{3})+\omega (g_{1},g_{2}g_{3})-\omega (g_{1},g_{2})=0,}$

これは、すなわち、 がの値をとるコサイクルであるというステートメントとして認識されます。を再定義することで位相を除去できるかどうかを尋ねることができます。 ${\displaystyle d\omega (g_{1},g_{2},g_{3})=0,}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \simeq {\rm {U}}(1).}$

${\displaystyle U(g)\to \exp\{2\pi i\eta (g)\}U(g)}$

変化する

${\displaystyle \omega (g_{1},g_{2})\to \omega (g_{1},g_{2})+\eta (g_{2})-\eta (g_{1}g_{2})+\eta (g_{1}).}$

これを共境界によるシフトと認識する。したがって、異なる射影表現は次のように分類される。位相自体に群が作用することを許容する場合（例えば、時間反転は位相を複素共役にする）、共境界の各操作における最初の項は、前の節の共境界の一般的な定義と同様に、作用する。例えば、${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega \to \omega +d\eta .}$ ${\displaystyle H^{2}(G,\mathbb {R} /\mathbb {Z} ).}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle d\eta (g_{1},g_{2})\to g_{1}\eta (g_{2})-\eta (g_{1}g_{2})+\eta (g_{1}).}$

拡張機能

位相群のコホモロジー

位相群G、すなわち積と逆写像が連続となる位相を備えた群が与えられたとき、連続G -加群を考えることは自然である。すなわち、作用

${\displaystyle G\times M\to M}$

は連続写像である。このような加群に対して、再び の導来関手を考えることができる。代数学と数論において、 Gがprofinite である場合、例えば体の絶対ガロア群のような特殊なケースが発生する。結果として生じるコホモロジーはガロアコホモロジーと呼ばれる。 ${\displaystyle M\mapsto M^{G}}$

非可換群コホモロジー

G不変量と 1-コチェインを用いることで、非アーベル群に係数を持つ群Gの零群コホモロジーと第一群コホモロジーを構築できる。具体的には、 G群とは、（必ずしもアーベル群とは限らない）群AとGによる作用を組み合わせたものである。

Aに係数を持つGのゼロ次コホモロジーは、部分群として定義される。

${\displaystyle H^{0}(G,A)=A^{G},}$

Gによって固定されたAの要素。

A に係数を持つ G の最初のコホモロジーは、 1-コ境界ではなく、同値関係を法とする 1-コサイクルとして定義されます。写像が1-コサイクルとなる条件は、 Aに となるaが存在する場合であり、 となることです。一般に、Aが非可換な場合、 は群ではありません。代わりに、尖点集合の構造を持ちます。全く同じ状況が 0 次ホモトピー群にも生じますが、これは一般的な位相空間では群ではなく尖点集合です。群は特に尖点集合であり、単位元が区別された点であることに注意してください。 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (gh)=\varphi (g)[g\varphi (h)]}$ ${\displaystyle \ \varphi \sim \varphi '}$ ${\displaystyle \ a\varphi '(g)=\varphi (g)\cdot (ga)}$ ${\displaystyle H^{1}(G,A)}$ ${\displaystyle \ \pi _{0}(X;x)}$

明示的な計算を用いると、コホモロジーにおける切断された長完全列が得られる。具体的には、

${\displaystyle 1\to A\to B\to C\to 1\,}$

G群の短完全列ならば、尖点集合の完全列が存在する。

${\displaystyle 1\to A^{G}\to B^{G}\to C^{G}\to H^{1}(G,A)\to H^{1}(G,B)\to H^{1}(G,C).\,}$

歴史と他の分野との関係

群の低次元コホモロジーは、群コホモロジーの概念が1943-45年に定式化されるよりずっと以前から、古典的には別の形で研究されてきた。この主題の最初の定理は、 1897年のヒルベルトの定理90である。これは、ガロア理論におけるエミー・ネーターの方程式（ に対するコサイクルの出現）に書き直された。 （ と関連した）群の 拡大問題に対する因子集合の考え方は、オットー・ヘルダー（1893年）の研究、イッサイ・シューアによる1904年の射影表現の研究、オットー・シュライアーによる1926年の扱い、リヒャルト・ブラウアーによる1928年の単純代数とブラウアー群の研究で生まれた。この歴史に関するより詳しい議論は、（Weibel 1999、pp. 806-811）に記載されている。 ${\displaystyle H^{1}}$ ${\displaystyle H^{2}}$

1941 年、ハインツ ホップは、（群において特別な役割を果たす）を研究中に、現在ホップの積分ホモロジー公式（ホップ 1942）と呼ばれるものを発見しました。これは、有限で有限に提示された群の シューア乗数に対するシューアの公式と同一です。${\displaystyle H^{2}(G,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong (R\cap [F,F])/[F,R],}$

ここで、Fは自由群です。 ${\displaystyle G\cong F/R}$

ホップの結果は、1943年から1945年にかけて、複数のグループによる群コホモロジーの独立発見につながった。アメリカのサミュエル・アイレンバーグとサンダース・マクレーン（ Rotman 1995、p. 358）、スイスのホップとベノ・エックマン、オランダのハンス・フロイデンタール（ Weibel 1999、p. 807）、ソ連のドミトリー・ファデーエフ（ Arslanov 2011、p. 29、Faddeev 1947）である。第二次世界大戦中はこれらの国々間の通信が困難であったため、状況は混乱していた。

位相論的な観点から見ると、G のホモロジーとコホモロジーは、上述のように位相的分類空間BGのモデルのホモロジーとコホモロジーとして初めて定義されました。実際には、これは位相を用いて、形式的な代数的定義で使用される連鎖複体を生成することを意味していました。加群論的な観点から見ると、これは1950年代初頭にホモロジー代数のカルタン-アイレンベルク理論に統合されました。

代数的数論における類体論への応用は、一般のガロア拡大（アーベル拡大だけでなく）に有効な定理を与えた。類体論のコホモロジー的部分は類形成の理論として公理化された。次に、これはガロアコホモロジーとエタールコホモロジー（この理論に基づく）の概念につながった（Weibel 1999 、p. 822）。1960年以降、連続コサイクルやジョン・テイトの再定義など、理論にはいくつかの改良が加えられたが、基本的な概要は変わっていない。これは広大な分野であり、現在では代数群の理論の基礎となっている。

リー代数に対する類似の理論であるリー代数コホモロジーは、1940年代後半にクロード・シュヴァレー、アイレンベルグ、そしてジャン＝ルイ・コズルによって初めて提唱された（Weibel 1999 、p. 810）。これは形式的に類似しており、リー代数の作用に対する不変量の対応する定義を用いている。これは表現論において広く応用されており、理論物理学におけるBRST量子化と密接に関連している。

群コホモロジー理論は凝縮系物理学にも直接応用されています。群論が自発的対称性の破れの位相の数学的基礎となっているのと同様に、群コホモロジー理論は物質の量子状態、すなわち対称性を持つ短距離エンタングル状態の数学的基礎となっています。対称性を持つ短距離エンタングル状態は、対称性保護位相状態とも呼ばれます。^{[ 18 ] [ 19 ]}

参照

• リンドン・ホックシルト・セールスペクトル列
• N群（圏論）
• ポストニコフ塔

注記

1. これは、 G加群のカテゴリが群環上のすべての加群のカテゴリと同型であるため、十分な単射を持つことを利用している。${\displaystyle \mathbb {Z} [G].}$
2. このため、 Gは離散的であると仮定する。一般の位相群の場合、.${\displaystyle \pi _{n}(BG)=\pi _{n-1}(G)}$
3. テンソル積は、 Nが右群でMが左 -加の場合に定義されること。N が左 -加群の場合、任意のg ∈ Gと任意のa ∈ Nに対してag = g ⁻¹ aとすることで、Nを右 -加群に変換します。この規則により、 MとN の両方が左場合にもテンソル積を定義できます。${\displaystyle N\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle N\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$
4. 例えば、 Gがp -ねじれ角を持つようなすべての素数pがkに関して逆行列を持つ。正確な記述については( Knudson 2001 ) の定理 A.1.19 を参照。

参考文献

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17. この場合、係数は有理数です。ボレル、アルマンド(1974)。「算術群の安定した実コホモロジー」 .高等師範科学誌。シリーズ 4. 7 (2): 235–272 . doi : 10.24033/asens.1269。
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引用文献

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さらに読む

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