質量エネルギー等価性
M87*ブラックホール近くの質量は、5000光年に及ぶ非常にエネルギーの高い天体ジェットに変換されます。

物理学において、質量エネルギー等価性は、系の静止系における質量とエネルギーの関係である。両者の違いは、乗法定数と測定単位のみである。[ 1 ] [ 2 ]この原理は、物理学者アルバート・アインシュタインの公式 によって説明される。[ 3 ]系が運動している基準系においては、その相対論的エネルギーと相対論的質量（静止質量の代わりに）は同じ公式に従う。 E＝メートルc2{\displaystyle E=mc^{2}}

この式は、静止系における粒子のエネルギー（E ）を、質量（ m）と光速の二乗（c 2）の積として定義しています。光速は大きな数値であり、二乗されているため、この式は、わずかな質量が膨大なエネルギーに対応することを示唆しています。

静止質量は不変質量とも呼ばれ、速度に依存しない物質の基本的な物理的性質です。光子などの質量のない粒子は不変質量がゼロですが、質量のない自由粒子は運動量とエネルギーの両方を持ちます。

等価原理とは、化学反応や核反応で質量が失われると、それに相当する量のエネルギーが放出されるという原理です。このエネルギーは、光などの放射エネルギー、あるいは熱エネルギーとして、環境（対象とする系の外部）に放出されます。この原理は、原子核物理学や素粒子物理学を含む多くの物理学分野の基礎となっています。

質量とエネルギーの等価性は、フランスの博学者アンリ・ポアンカレ（1854–1912）が述べた特殊相対性理論のパラドックスとして生じた。 [ 4 ]アインシュタインは、質量とエネルギーの等価性を一般原理として、また空間と時間の対称性の帰結として初めて提唱した。この原理は、1905年11月21日に発表された彼の驚異の年（annus mirabilis ）論文の一つである「物体の慣性はエネルギー量に依存するか？」の中で初めて登場した。[ 5 ] [ 6 ]エネルギーと運動量の関係式で表されるこの公式と運動量との関係は、後に他の物理学者によって発展させられた。

説明

質量とエネルギーの等価性は、質量を持つすべての物体、つまり質量のある物体は、静止しているときでも、対応する固有エネルギーを持っていると述べている。物体の静止系では、定義により物体は静止しており、したがって運動量はなく、質量とエネルギーは等しいか、または定数である光速の2乗（c 2）のみが異なる。[ 1 ] [ 2 ]ニュートン力学では、静止した物体には運動エネルギーがなく、力の場における位置から得られる位置エネルギーに加えて、化学エネルギーや熱エネルギーなど、内部に蓄えられた他の量のエネルギーがある場合とない場合がある。これらのエネルギーは、物体の質量にc 2を乗じた値よりもはるかに小さい傾向があり、c 2 は、質量1キログラムの場合10 17ジュールのオーダーである。この原理によれば、核反応から出てくる原子の質量は、核反応に入る原子の質量よりも小さく、質量差は、その差と同じエネルギーを持つ熱と光として現れます。これらの極端な事象を解析する際には、Eを放出（除去）されるエネルギー、mを質量変化として、アインシュタインの公式を使用することができます。  

相対性理論では、物体とともに移動するすべてのエネルギー（つまり、物体の静止系で測定されたエネルギー）は物体の全質量に寄与し、それが加速にどれだけ抵抗するかを測る。理想的な鏡でできた孤立した箱に光を入れることができれば、個々に質量のない光子は、そのエネルギーをc 2で割った量だけ箱の全質量に寄与することになる。[ 7 ]静止系にいる観測者にとって、エネルギーを除去することは質量を除去することと同じであり、式m = E / c 2はエネルギーが除去されたときにどれだけの質量が失われるかを示している。[ 8 ]同様に、孤立系にエネルギーが追加されると、質量の増加量は追加されたエネルギーをc 2で割った量に等しい。[ 9 ]

特殊相対論における質量

E = mc 2 — SI 単位では、エネルギーEはジュール、質量mはキログラム、光速はメートル毎秒で測定されます。

物体は、観測者の動きに応じて、異なる参照系で異なる速度で運動します。これは、ニュートン力学と相対性理論の両方において、運動エネルギーが「系に依存する」ことを意味し、そのため、物体が持つと測定される相対論的エネルギーの量は、観測者によって異なります。物体の相対論的質量は、相対論的エネルギーをc 2で割った値で与えられます。[ 10 ]相対論的質量は相対論的エネルギーに正確に比例するため、相対論的質量と相対論的エネルギーはほぼ同義であり、それらの唯一の違いは単位です。物体の静止質量または不変質量は、物体が観測者に対して動いていないときの静止系での質量として定義されます。静止質量は、観測者の動きとは無関係であるため、すべての慣性系で同じであり、物体の相対論的質量の最小値となります。システムの構成要素間の引力によって位置エネルギーが生じるため、静止質量が加算されることはほとんどありません。一般に、物体の質量はその構成要素の質量の合計ではありません。[ 9 ]物体の静止質量は、運動量フレームの中心から観測された運動エネルギーと位置エネルギーを含む、すべての構成要素の総エネルギーです。質量は、構成要素が静止しており（運動量フレームの中心から観測されて）、引き付けたり反発したりしない場合にのみ加算され、余分な運動エネルギーや位置エネルギーはありません。[注 1 ]質量のない粒子は静止質量のない粒子であるため、固有エネルギーを持たず、そのエネルギーは運動量のみによって生じます。

相対論的質量

相対論的質量は物体の運動に依存するため、相対運動している異なる観測者には異なる値が見える。運動している物体の相対論的質量は、静止している物体の相対論的質量よりも大きい。これは、運動している物体が運動エネルギーを持っているためである。物体がゆっくり動いている場合、相対論的質量は静止質量とほぼ等しく、両方とも古典的な慣性質量（ニュートンの運動の法則に現れるように）とほぼ等しくなる。物体が速く動いている場合、相対論的質量は静止質量よりも、物体の運動エネルギーに関連付けられた質量に等しい量だけ大きくなる。質量のない粒子にも、運動エネルギーから導かれる相対論的質量があり、相対論的エネルギーをc 2で割った値、つまりm rel = E / c 2に等しい。[ 11 ] [ 12 ]光速は、長さと時間が自然単位で測定されるシステムにおける速度であり、相対論的質量とエネルギーは値と次元が等しくなる。相対論的質量はエネルギーの別名に過ぎないため、この用語の使用は冗長であり、物理学者は通常、相対論的質量ではなく、静止質量または不変質量を指すために質量を使用します。 [ 13 ] [ 14 ]この用語の結果、特殊相対論では質量は保存されませんが、運動量保存則とエネルギー保存則はどちらも基本法則です。[ 13 ]

質量とエネルギーの保存

エネルギー保存は物理学における普遍原理であり、運動量保存とともにあらゆる相互作用に当てはまります。[ 13 ]一方、古典的な質量保存は、特定の相対論的設定では破れています。[ 14 ] [ 13 ]この概念は、原子核反応や素粒子間のその他の相互作用における質量から運動エネルギーへの変換など、さまざまな方法で実験的に証明されています。[ 14 ]現代物理学では「質量保存」という表現は使用されなくなりましたが、古い用語では、相対論的質量は運動システムのエネルギーと同等と定義することもでき、相対論的質量の保存が可能です。[ 13 ]質量保存は、粒子の質量に関連するエネルギーが運動エネルギー、熱エネルギー、放射エネルギーなど、他の形態のエネルギーに変換されるときに破綻します。[ 13 ]

質量のない粒子

質量がない粒子は静止質量がゼロです。光子のエネルギーに関するプランク・アインシュタインの関係は、式E = hfで与えられます。ここで、hはプランク定数、fは光子周波数です。この周波数、したがって相対論的エネルギーはフレームに依存します。観測者が光子が光源から移動する方向に光子から逃げ、光子が観測者に追いついた場合、観測者は光子が光源にいた時よりもエネルギーが低いと見ます。光子が追いついたときに観測者が光源に対してより速く移動しているほど、光子が持つエネルギーは少なく見えるでしょう。観測者が光源に対して光速に近づくと、相対論的ドップラー効果により、光子の赤方偏移が増加します。光子のエネルギーは減少し、波長が任意に大きくなると、光子のエネルギーはゼロに近づきます。これは、光子が質量を持たないため、いかなる固有エネルギーも許さないためです。

複合システム

原子核、惑星、恒星など、多くの部分から構成される閉鎖系の場合、相対論的エネルギーは各部分の相対論的エネルギーの合計で表されます。これは、これらの系ではエネルギーが加算されるためです。系が引力で束縛されている場合、行われた仕事を超えて得られたエネルギーが系から除去されると、この除去されたエネルギーとともに質量が失われます。原子核の質量は、それを構成する陽子と中性子の合計質量よりも小さくなります。 [ 15 ]この質量減少は、原子核を個々の陽子と中性子に分解するために必要なエネルギーに相当します。この効果は、個々の成分の位置エネルギーを見ると理解できます。個々の粒子には互いに引き合う力があり、それらを強制的に引き離すと、地球上で物体を持ち上げたときと同じように、粒子の位置エネルギーが増加します。このエネルギーは、粒子を分解するために必要な仕事に等しいです。太陽系の質量は、個々の質量の合計よりもわずかに小さくなります。

異なる方向に運動する孤立した粒子系の場合、系の不変質量は静止質量に相当し、相対的に運動している観測者も含め、すべての観測者にとって同じです。これは、運動量中心フレームの全エネルギー（ c 2で割ったもの）として定義されます。運動量中心フレームは、系の全運動量がゼロになるように定義されます。質量中心フレームという用語も使用されることがあります。質量中心フレームは、質量中心が原点に置かれた運動量中心フレームの特殊なケースです。可動部分があり全運動量がゼロの物体の簡単な例としては、ガス容器が挙げられます。この場合、容器の質量はその全エネルギー（ガス分子の運動エネルギーを含む）で与えられます。これは、系の全エネルギーと不変質量は、運動量がゼロであるどの基準フレームでも同じであり、そのような基準フレームは物体の重量を測定できる唯一のフレームでもあるためです。同様に、特殊相対性理論は、固体を含むすべての物体の熱エネルギーは、物体内の原子の運動エネルギーと位置エネルギーとして存在し、物体を構成する原子の静止質量には現れないにもかかわらず、物体全体の質量に寄与すると仮定している。[ 9 ]同様に、光子であっても、隔離された容器に閉じ込められた場合、そのエネルギーは容器の質量に寄与する。このような余分な質量は、個々の光子には静止質量がなくても、理論的には他の種類の静止質量と同じように計量できる。あらゆる形態で閉じ込められたエネルギーが、正味運動量を持たない系に計量可能な質量を付加するという性質は、相対性理論の帰結の一つである。エネルギーが計量可能な質量を示すことがない古典ニュートン物理学には、これに相当するものはない。[ 9 ]

重力との関係

物理学には質量の概念が 2 つあります。重力質量と慣性質量です。重力質量は、物体によって生成される重力場の強さ、および他の物体によって生成される重力場内に物体が置かれている場合にその物体に作用する重力の強さを決定する量です。一方、慣性質量は、所定の力が物体に加えられた場合に物体がどれだけ加速するかを定量化します。特殊相対性理論における質量とエネルギーの等価性は、慣性質量を指します。ただし、ニュートン力学の重力の文脈ではすでに、弱い等価性原理が仮定されており、すべての物体の重力質量と慣性質量は同じです。したがって、質量とエネルギーの等価性は、弱い等価性原理と組み合わされ、すべての形態のエネルギーが物体によって生成される重力場に寄与するという予測につながります。この観察は、一般相対性理論の柱の 1 つです。

あらゆる形態のエネルギーが重力で相互作用するという予測は、実験によって検証されてきました。この予測を検証する最初の観測のひとつは、エディントンの実験と呼ばれ、 1919年5月29日の日食で行われました。[ 16 ] [ 17 ]日食の間、イギリスの天文学者で物理学者のアーサー・エディントンは、太陽の近くを通過する星からの光が曲がっているのを観測しました。この効果は、太陽による光の重力によるものです。この観測によって、光によって運ばれるエネルギーは確かに重力質量に等しいことが確認されました。もうひとつの独創的な実験であるパウンド・レプカの実験は、1960年に実施されました。[ 18 ]このテストでは、光線を塔の頂上から発射し、塔の下で検出しました。検出された光の周波数は、発射された光よりも高かったです。この結果から、光子のエネルギーは地球の重力場に落ちると増加することがわかります。プランクの法則によれば、光子のエネルギー、つまり重力質量は光子の周波数に比例します。

効率

いくつかの反応では、物質粒子が破壊され、それに関連するエネルギーが光や熱などの他の形態のエネルギーとして環境に放出されます。[ 1 ]こうした変換の一例は、素粒子の相互作用で発生し、静止エネルギーが運動エネルギーに変換されます。[ 1 ]このようなエネルギータイプの変換は核兵器で発生し、原子核内の陽子と中性子は元の質量のわずかな部分を失いますが、失われた質量はより小さな構成要素の破壊によるものではありません。原子核分裂により、質量に関連するエネルギーのわずかな部分を放射線などの使用可能なエネルギーに変換できます。たとえば、ウランの崩壊では、元の原子の質量の約0.1％が失われます。[ 19 ]理論上は、物質を破壊して、物質に関連する静止エネルギーのすべてを熱と光に変換することは可能なはずですが、理論的に知られている方法はどれも実用的ではありません。質量に関連するエネルギーをすべて利用する一つの方法は、反物質を用いて物質を消滅させることです。しかしながら、反物質は宇宙では稀であり、既知の生成メカニズムでは、消滅時に放出されるエネルギーよりも多くの利用可能なエネルギーが必要です。CERNは2011年に、反物質を生成・貯蔵するには、その消滅時に放出されるエネルギーの10億倍以上のエネルギーが必要であると推定しました。[ 20 ]

通常の物体を構成する質量のほとんどは陽子と中性子であるため、通常の物質のエネルギーをすべてより有用な形に変換するには、陽子と中性子をより軽い粒子、または質量をまったく持たない粒子に変換する必要があります。素粒子物理学の標準モデルでは、陽子と中性子の数はほぼ正確に保存されます。 それにもかかわらず、ジェラルド・トホーフトは、陽子と中性子を反電子とニュートリノに変換するプロセスがあることを示しました。[ 21 ]これは、物理学者のアレクサンダー・ベラヴィン、アレクサンダー・マルコビッチ・ポリャコフ、アルバート・シュワルツ、およびユー・S・チュプキンによって提唱された弱いSU(2)インスタントンです。[ 22 ]このプロセスは、原理的には物質を破壊し、物質のエネルギーすべてをニュートリノと使用可能なエネルギーに変換できますが、通常は非常に遅いです。その後、このプロセスはビッグバン直後にしか到達できなかった極めて高い温度で急速に起こることが示されました。[ 23 ]

標準モデルの多くの拡張には磁気単極子が含まれており、大統一理論の一部のモデルでは、これらの単極子が陽子崩壊を触媒し、カラン・ルバコフ効果として知られるプロセスが引き起こされる。[ 24 ]このプロセスは常温では効率的な質量エネルギー変換となるが、単極子と反単極子を生成する必要があり、その生成は非効率的であると予想される。物質を完全に消滅させる別の方法は、ブラックホールの重力場を利用するものである。英国の理論物理学者スティーブン・ホーキングは、 [ 25 ]物質をブラックホールに投げ込み、放出される熱を利用して発電することが可能であると理論化した。しかし、ホーキング放射の理論によれば、大きなブラックホールは小さなブラックホールよりも放射が少ないため、使用可能な電力は小さなブラックホールによってのみ生成できる。

動作中のシステムの拡張

慣性系における系のエネルギーとは異なり、系の相対論的エネルギー（ ）は静止質量（）と系の全運動量の両方に依存する。アインシュタイン方程式をこれらの系に拡張すると、以下の式で表される。[ 26 ] [ 27 ] [注 2 ]Erel{\displaystyle E_{\rm {rel}}}メートル0{\displaystyle m_{0}}

Erel2−|p|2c2＝メートル02c4{\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{rel}}^{2}-|\mathbf {p} |^{2}c^{2}&=m_{0}^{2}c^{4}\\\end{aligned}}}

または

Erel2−（pc）2＝（メートル0c2）2{\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{rel}}^{2}-(pc)^{2}&=(m_{0}c^{2})^{2}\\\end{aligned}}}

または

Erel＝（メートル0c2）2+（pc）2{\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{rel}}={\sqrt {(m_{0}c^{2})^{2}+(pc)^{2}}}\,\!\end{aligned}}}

ここで、項は系内の様々な運動量ベクトルのユークリッドノルム（ベクトル長全体）の2乗を表し、単一の粒子のみを考慮すると、単純な運動量の大きさの2乗に簡約されます。この式はエネルギー・運動量関係と呼ばれ、運動量項がゼロの場合には に簡約されます。 となる光子の場合、式は に簡約されます。 （pc）2{\displaystyle (pc)^{2}}Erel＝メートルc2{\displaystyle E_{\text{rel}}=mc^{2}}メートル0＝0{\displaystyle m_{0}=0}Erel＝pc{\displaystyle E_{\text{rel}}=pc}

低速近似

ローレンツ因子γを用いると、エネルギー運動量はE = γmc 2と書き直され、べき級数として展開される。 E＝メートル0c2[1+12（vc）2+38（vc）4+516（vc）6+…]。{\displaystyle E=m_{0}c^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}+{\frac {3}{8}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{4}+{\frac {5}{16}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{6}+\ldots \right].}

光速よりもはるかに小さい速度の場合、この式の高次項はどんどん小さくなります。なぜなら、⁠v/c⁠は小さい。低速の場合、最初の2つの項以外はすべて無視できます。 E≈メートル0c2+12メートル0v2。{\displaystyle E\approx m_{0}c^{2}+{\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}.}

古典力学では、m 0 c 2項と高速補正は両方とも無視されます。エネルギーの初期値は任意です。エネルギーの変化のみが測定できるため、古典物理学ではm 0 c 2項は無視されます。高次の項は高速で重要になりますが、ニュートンの方程式は低速では非常に正確な近似値です。3 番目の項を追加すると、次のようになります。 2 つの近似値の差は で与えられ、これは日常的な物体にとっては非常に小さな数です。 2018 年に NASA はパーカー太陽探査機が時速 153,454 マイル (68,600 m/s) の速度で史上最速だったと発表しました。[ 28 ] 2018 年のパーカー太陽探査機の近似値の差は で、これは 1 億分の 4 のエネルギー補正を表します。対照的に、重力定数の標準的な相対不確かさは約です。[ 29E≈メートル0c2+12メートル0v2（1+3v24c2）。{\displaystyle E\approx m_{0}c^{2}+{\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}\left(1+{\frac {3v^{2}}{4c^{2}}}\right).}3v24c2{\displaystyle {\tfrac {3v^{2}}{4c^{2}}}}3v24c2≈3.9×10−8{\displaystyle {\tfrac {3v^{2}}{4c^{2}}}\approx 3.9\times 10^{-8}}2.2×10−5{\displaystyle 2.2\times 10^{-5}}

アプリケーション

原子核物理学への応用

世界初の原子力機動部隊、タスクフォース・ワン。エンタープライズ、ロングビーチ、ベインブリッジが1964年6月18日に地中海で編隊を組んでいる。エンタープライズの乗組員が飛行甲板でアインシュタインの質量エネルギー等価式E = mc 2を綴っている。

原子核結合エネルギーは、原子核を構成要素に分解するために必要な最小エネルギーです。[ 30 ]原子の質量は、強い核力の引力により、その構成要素の質量の合計よりも小さくなります。[ 31 ] 2つの質量の差は質量欠損と呼ばれ、アインシュタインの式を通じて結合エネルギーと関連しています。[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]この原理は、原子核分裂反応のモデル化に使用され、核兵器と原子力の両方で使用される核分裂連鎖反応によって大量のエネルギーが放出される可能性があることを意味しています。

水分子の重さは、自由水素原子2個と酸素原子1個よりわずかに軽い。このわずかな質量差は、分子を3つの原子に分解するために必要なエネルギー（c 2で割った値）であり、分子形成時に熱として放出された（この熱にも質量がある）。同様に、ダイナマイトは理論上、爆発後の破片の重さよりわずかに重い。この場合、質量差はダイナマイトが爆発したときに放出されるエネルギーと熱である。このような質量変化は、システムが開放され、エネルギーと質量が放出される場合にのみ発生する可能性がある。したがって、ダイナマイトを密閉された容器で爆発させた場合、容器と破片の質量、熱、音、光の質量は、容器とダイナマイトの元の質量と等しい。秤に載せた場合、重量と質量は変化しない。理論上は、破裂したり放射線を透過したりしない無限の強度を持つ理想的な箱に核爆弾を保管できたとしても、この現象は起こるはずである。[注3 ]したがって、21.5 キロトン（9 × 10 13 ジュール）の核爆弾は約1グラムの熱と電磁放射線を発生させますが、このエネルギーの質量は、秤の上に置かれた理想的な箱の中で爆発した爆弾では検出できません。箱の内容物は、全体の質量と重量に変化なく、数百万度に加熱されます。爆発後、このような理想的な箱に電磁放射線のみを通す透明な窓を開け、X線やその他の低エネルギー光を箱から放出すると、爆発前よりも1グラム軽くなっていることがわかります。この重量と質量の減少は、箱がこの過程で室温まで冷却される際に発生します。しかし、X線（およびその他の「熱」）を吸収した周囲の物質は、結果として生じる加熱によってこの1グラムの質量を得るため、この場合、質量の「減少」は単に質量の移動を表すことになります。

実例

アインシュタインはセンチメートル・グラム・秒単位系（cgs）を使用しましたが、その公式は単位系に依存しません。自然単位では、光速の数値は1に設定され、公式は数値の等式を表します：E = m。SI単位系（比を表す）では、⁠E/メートル⁠ジュール/キログラム（メートル/秒のcの値を使用）: [ 35 ]

⁠E/メートル⁠ = c 2 = (299 792 458  m/s ) 2 =89 875 517 873 681 764  J/kg（≈ 9.0 × 10 16ジュール/キログラム）。

つまり、1キログラムの質量に相当するエネルギーは

または、次のいずれかの燃焼によって放出されるエネルギー:

エネルギーが放出されるときはいつでも、その過程はE = mc 2の観点から評価することができます。例えば、トリニティ実験と長崎への原爆投下で使用された「ガジェット」型爆弾の爆発威力は、TNT火薬換算で21キロトンに相当しました。[ 36 ]これらの爆弾には約6.15キログラムのプルトニウムが含まれていましたが、そのうち約1キログラムが核分裂してより軽い元素に変化し、冷却後にほぼ1グラム減少しました。この爆発で放出された電磁放射と運動エネルギー（熱エネルギーと爆風エネルギー）が、失われた1グラムの質量を運びました。

システムにエネルギーが追加されるたびに、方程式を変形するとわかるように、システムの質量が増加します。

  • バネは圧縮または張力を受けると質量が増加します。質量の増加は、バネ内部の原子を繋ぐ化学結合（電子結合）の伸張によって蓄えられた位置エネルギーの増加によって生じます。
  • 物体の温度が上昇すると（熱エネルギーが増加すると）、質量が増加します。例えば、かつて世界の主要な質量基準であったキログラムは、白金とイリジウムでできていました。温度が1℃変化すると、質量は1.5ピコグラム（1ピコグラム =1 × 10 −12  g）。[注 5 ]
  • 回転するボールは、回転していないときよりも質量が大きくなります。その質量の増加は、回転エネルギーの質量と正確に等しく、回転エネルギーはボールの可動部分の運動エネルギーの合計です。例えば、地球自体も自転しているため、自転していないときよりも質量が大きくなっています。地球の自転エネルギーは10の24乗ジュール以上、つまり10の7乗kg以上です。[ 37 ]

歴史

アインシュタインは質量とエネルギーの等価性公式を正しく導き出した最初の人物であったが、エネルギーと質量を関連づけた最初の人物ではなかった。それ以前の著者のほぼ全員が、質量に寄与するエネルギーは電磁場からのみ来ると考えていた。 [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ]アインシュタインの公式は発見された後、当初は様々な表記法で書かれ、その解釈と正当性は段階的に発展していった。[ 41 ] [ 42 ]

アインシュタイン以前の発展

1717 年に出版されたアイザック・ニュートンの『光学』の改訂英語版で、ニュートンは質量と光の等価性について推測しました。

18世紀の質量とエネルギーの相関関係に関する理論には、1717年にイギリスの科学者アイザック・ニュートンが考案した理論が含まれる。彼は『光学』の「問30」で、光子と物質粒子は相互に変換可能であると推測し、「物体と光は相互に変換可能ではないか。そして、物体は、その構成に加わる光子から多くの活動を得るのではないか？」と問いかけている。 [ 43 ]スウェーデンの科学者で神学者のエマヌエル・スウェーデンボルグは、 1734年の著書『プリンキピア』の中で、すべての物質は究極的には「純粋で完全な運動」の無次元点から構成されていると理論づけた。彼はこの運動は力、方向、速度を持たないが、その内部のあらゆる場所に力、方向、速度の潜在性を持っていると説明した。[ 44 ] [ 45 ]

19 世紀の間、質量とエネルギーがさまざまなエーテル理論で比例することを示す推測的な試みがいくつかありました。[ 46 ] 1873 年にロシアの物理学者で数学者のニコライ・ウモフは、エーテルの質量とエネルギーの関係をЕ = kmc 2（0.5 ≤ k ≤ 1 ）の形で指摘しました。[ 47 ] 1875 年にイギリスの技師サミュエル・トルバー・プレストン[ 48 ]と1903 年にイタリアの実業家で地質学者のオリント・デ・プレット[ 49 ] [ 50 ]は、物理学者ジョルジュ・ルイ・ル・サージュ に従って、宇宙は常に速度cで運動している微粒子のエーテルで満たされていると想像しました。これらの粒子はそれぞれ、小さな数値係数までmc 2の運動エネルギーを持ち、質量とエネルギーの関係を与えます。

1905年、アインシュタインとは独立して、フランスの博学者ギュスターヴ・ル・ボンは、物理学の包括的な質的哲学に基づいて、原子が大量の潜在エネルギーを放出できるのではないかと推測した。[ 51 ] [ 52 ]

電磁質量

19世紀から20世紀初頭にかけて、1881年のイギリスの物理学者JJトムソン、 1889年のオリバー・ヘヴィサイド、1897年のジョージ・フレデリック・チャールズ・サール、 1900年のドイツの物理学者ヴィルヘルム・ウィーン、 1902年のマックス・エイブラハム、1904年のオランダの物理学者ヘンドリック・アントーン・ローレンツなど、帯電物体の質量が静電場にどのように依存するかを理解しようとする試みが数多く行われた。[ 53 ]この概念は電磁質量と呼ばれ、速度と方向にも依存すると考えられていた。ローレンツは1904年に縦方向と横方向の電磁質量について次の式を与えた。 メートルL＝メートル0（1−v2c2）3、メートルT＝メートル01−v2c2、{\displaystyle m_{L}={\frac {m_{0}}{\left({\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\right)^{3}}},\quad m_{T}={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},}

どこ メートル0＝43Eeメートルc2{\displaystyle m_{0}={\frac {4}{3}}{\frac {E_{em}}{c^{2}}}}

電磁質量の一種を導くもう一つの方法は、放射圧の概念に基づいていました。1900年、フランスの博学者アンリ・ポアンカレは、電磁放射エネルギーを運動量と質量を持つ「架空の流体」と関連付けました[ 4 ]。メートルeメートル＝Eeメートルc2。{\displaystyle m_{em}={\frac {E_{em}}{c^{2}}}\,.}

これによってポアンカレはローレンツ理論の質量中心定理を守ろうとしたが、その扱いは放射パラドックスを招いた。[ 40 ]

オーストリアの物理学者フリードリヒ・ハーゼンエールは1904年に、電磁空洞放射が「見かけの質量」に寄与することを 示した。メートル0＝43Eeメートルc2{\displaystyle m_{0}={\frac {4}{3}}{\frac {E_{em}}{c^{2}}}}

空洞の質量に依存する。彼は、これは質量が温度にも依存することを意味すると主張した。[ 54 ]

アインシュタイン：質量とエネルギーの等価性

1921年のアルバート・アインシュタインの写真

アインシュタインは1905年の驚異の年論文「物体の慣性はそのエネルギー含有量に依存するか？」の中で正確な式E = mc 2を書いていません。 [ 5 ]むしろ、この論文では物体が光を放出してエネルギーLを放出すると、その質量は減少すると述べられています。L/c 2この定式化は、絶対的な関係を必要とせず、質量の変化Δmとエネルギーの変化Lのみを関連付けます。この関係から、質量とエネルギーは、根底にある同一の保存物理量の2つの名前として見ることができるとアインシュタインは確信しました。[ 55 ]彼は、エネルギー保存の法則と質量保存の法則は「一体であり、同一である」と述べています。 [ 56 ]アインシュタインは1946年のエッセイで、「質量保存の原理は…特殊相対性理論の前では不十分であることが証明されました。したがって、質量保存の原理はエネルギー保存の原理と統合されました。これは、約60年前に力学的エネルギー保存の原理が熱エネルギー保存の原理と統合されたのと同じです。エネルギー保存の原理は、以前に熱保存の原理を飲み込み、今度は質量保存の原理を飲み込み、この分野を独占していると言えるでしょう。」 [ 57 ]

質量と速度の関係

1912年にアルバート・アインシュタインが手書きで書いた方程式

特殊相対性理論を開発する中で、アインシュタインは運動する物体の 運動エネルギーはEけ＝メートル0c2（γ−1）＝メートル0c2（11−v2c2−1）、{\displaystyle E_{k}=m_{0}c^{2}(\gamma -1)=m_{0}c^{2}\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right),}

ここで、vは速度、m 0 は静止質量、γ はローレンツ因子です。

彼は、小さな速度ではエネルギーが古典力学と同じになり、対応原理を満たすことを確認するために、右側の2番目の項を含めました。 Eけ＝12メートル0v2+⋯{\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}+\cdots }

この 2 番目の項がなければ、粒子が動いていないときにエネルギーに追加の寄与が生じることになります。

アインシュタインの質量に関する見解

アインシュタインはローレンツとエイブラハムに倣い、1905年の電気力学論文と1906年の別の論文で速度と方向に依存する質量の概念を用いた。[ 58 ] [ 59 ] 1905年のE = mc 2に関する最初の論文では、彼はmを現在で言う静止質量として扱った。[ 5 ]また、晩年には「相対論的質量」という考え方を好まなかったことが指摘されている。[ 60 ]

現代物理学の用語では、相対論的質量の代わりに相対論的エネルギーが用いられ、「質量」という用語は静止質量を指す。[ 13 ]歴史的に、「相対論的質量」という概念の使用と、相対論における「質量」とニュートン力学における「質量」との関連性については、かなりの議論がなされてきた。一つの見解は、静止質量のみが有効な概念であり、粒子の特性であるのに対し、相対論的質量は粒子の特性と時空の特性の集合体であるというものである。ノルウェーの物理学者ケル・ヴォイエンリに帰せられるもう一つの見解は、ニュートンの粒子特性としての質量の概念と相対論的質量の概念は、それぞれ独自の理論に埋め込まれており、明確な関連性はないと考えるというものである。[ 61 ] [ 62 ]

アインシュタインの1905年の導出

アインシュタインは相対性理論の論文「運動物体の電気力学について」の中で、粒子の運動エネルギーの正しい表現をすでに導出している。 Eけ＝メートルc2（11−v2c2−1）。{\displaystyle E_{k}=mc^{2}\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right).}

さて、静止した物体にはどの定式化が適用されるかについては未解決の問題が残っていた。この問題は、アインシュタインが「驚異の年」論文の一つである「物体の慣性はエネルギー量に依存するか？」という論文で取り組んだ。ここでアインシュタインは、真空中の光速をV 、物体が放射の形で失うエネルギーをLで表した。 [ 5 ]結果として、 E = mc 2という式は、もともと公式として書かれたのではなく、「物体が放射の形でエネルギーLを放出すると、その質量は ⁠ だけ減少する」というドイツ語の文として書かれた。L/V2​⁠ ." 」その上の注釈によると、この式は級数展開の「4次以上の大きさ」を無視することで近似されているとのことでした。 [注 6 ]アインシュタインは、静止前のエネルギーがE 0で放射後のエネルギーがE 1である、反対方向に2つの光パルスを放射する物体を使用しました。運動系から見ると、 E 0はH 0に、 E 1はH 1になります。アインシュタインは、現代の記法で次のように得ました。 （H0−E0）−（H1−E1）＝E（11−v2c2−1）。{\displaystyle \left(H_{0}-E_{0}\right)-\left(H_{1}-E_{1}\right)=E\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right).}

彼は次に、H − Eは運動エネルギーKと加算定数だけ異なると主張した。これは K0−K1＝E（11−v2c2−1）。{\displaystyle K_{0}-K_{1}=E\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right).}

3次以上の効果を無視するv/c⁠この右辺を テイラー展開すると次のようになりますK0−K1=Ec2v22.{\displaystyle K_{0}-K_{1}={\frac {E}{c^{2}}}{\frac {v^{2}}{2}}.}

アインシュタインは、放射によって物体の質量が減少すると結論付けました。E/c 2⁠、そして物体の質量はそのエネルギー含有量の尺度である。

アインシュタインが1905年に導出したE = mc 2の正しさは、 1907年にドイツの理論物理学者マックス・プランクにより批判され、プランクはそれが第一近似にしか当てはまらないと主張した。別の批判は、1952年にアメリカの物理学者ハーバート・アイブス、1961年にイスラエルの物理学者マックス・ジャマーによってなされ、アインシュタインの導出は論点先取に基づいていると主張した。[ 41 ] [ 63 ]アメリカとチリの哲学者ジョン・スタッヘルやロベルト・トレッティなどの他の学者は、アイブスの批判は間違っており、アインシュタインの導出が正しいと主張している。[ 64 ]アメリカの物理学者ハンス・オハニアンは2008年に、スタッヘルとトレッティによるアイブスの批判に同意したが、アインシュタインの導出は他の理由で間違っていると主張した。[ 65 ]

1906年の相対論的重心定理

ポアンカレと同様に、アインシュタインも1906年に、電磁エネルギーの慣性は質量中心定理が成立するための必要条件であると結論付けました。この際、アインシュタインはポアンカレの1900年の論文に言及し、「証明に必要な形式的な考察は、H.ポアンカレの著作2に既にほぼ含まれているが、明瞭性のためにその著作には依拠しない」と記しました。[ 66 ]アインシュタインの、形式的または数学的というより物理的な観点では、架空の質量は不要でした。彼は質量とエネルギーの等価性に基づいて、放射の放出と吸収に伴う慣性の移動が問題を解決することを示すことができたため、永久運動の問題を回避することができました。ポアンカレによる作用反作用の原理の否定は、質量保存則がエネルギー保存則の特別な場合として現れるため、アインシュタインのE = mc 2を通じて回避できます。

さらなる展開

20世紀の最初の10年間には、さらにいくつかの進展がありました。1907年5月、アインシュタインは、運動する質点のエネルギーεの式は、静止状態の式をε 0 = μV 2（μは質量）とした場合に最も単純な形をとると説明しました。これは「質量とエネルギーの等価性の原理」と一致しています。さらに、アインシュタインはμ = ⁠という式を用いました。E 0/V2​⁠、 E 0は質点系のエネルギーであり、異なる運動をする質点の速度が増加したときのその系のエネルギーと質量の増加を記述するために使用される。 [ 67 ]マックス・プランクはアインシュタインの質量とエネルギーの関係をM = ⁠と書き直した。E 0 + pV 0/c 2⁠ 1907年6月に、 pは圧力、 V 0は体積であり、質量、その潜在エネルギー、および物体内の熱力学的エネルギーの関係を表すために使用されました。 [ 68 ]その後、1907年10月に、これはM 0 = ⁠と書き直されましたE 0/c 2⁠そしてドイツの物理学者ヨハネス・シュタルクによって量子的解釈が与えられ、彼はその妥当性と正確性を仮定した。 [ 69 ] 1907年12月、アインシュタインはM = μ + ⁠の形で同値性を表現した。E 0/c 2⁠そして次のように結論付けた。「慣性に関して、質量μはエネルギー量μc 2と等価である。 […] すべての慣性質量をエネルギーの貯蔵庫とみなす方がはるかに自然であるように思われる。」 [ 70 ] [ 71 ]アメリカの物理化学者ギルバート・N・ルイスとリチャード・C・トルマンは1909年にこの式の2つのバリエーションを使用した。 m = ⁠E/c 2⁠そしてm 0 = ⁠E 0/c 2⁠、ここでEは相対論的エネルギー（物体が動いているときのエネルギー）、 E 0は静止エネルギー（動いていないときのエネルギー）、 mは相対論的質量（静止質量と運動によって得られる追加質量）、 m 0は静止質量です。 [ 72 ]ローレンツは 1913 年と 1914 年に同じ関係を異なる表記法で使用しましたが、エネルギーを左側に置きました。 ε = Mc 2およびε 0 = mc 2で、 εは運動する物質点の全エネルギー（静止エネルギーと運動エネルギー）、 ε 0はその静止エネルギー、 Mは相対論的質量、 m は不変質量です。 [ 73 ]

1911年、ドイツの物理学者マックス・フォン・ラウエは、M 0 = ⁠のより包括的な証明を与えた。E 0/c 2⁠応力エネルギーテンソルから派生、 [ 74 ]これは後にドイツの数学者フェリックス・クラインによって1918年に一般化されました。 [ 75 ]

アインシュタインは第二次世界大戦後、再びこの話題に戻り、今度は論文のタイトルにE = mc 2と書き、一般読者に類推で説明することを意図した[ 76 ] 。 [ 77 ]

代替バージョン

アインシュタインの思考実験の別のバージョンは、1990年にアメリカの理論物理学者フリッツ・ローラーリッヒによって提唱され、彼の推論はドップラー効果に基づいていました。[ 78 ]アインシュタインと同様に、ローラーリッヒは質量Mの静止した物体を考えました。この物体を非相対論的な速度vで運動する系で調べると、もはや静止しておらず、運動量P = Mvを持ちます。そしてローラーリッヒは、物体が左右に2つの光パルスを放射し、それぞれが等しい量のエネルギーを運んでいると仮定しました。E/2⁠。静止系では、2 つのビームの強度が等しく、反対の運動量を持っているため、物体は放射後も静止したままです。しかし、同じプロセスを速度vで左に移動する系で考えると、左に移動するパルスは赤方偏移し、右に移動するパルスは青方偏移します。青い光は赤い光よりも多くの運動量を持っているため、移動系における光の運動量はバランスが取れていません。つまり、光はいくらかの正味運動量を右に運んでいます。物体は放射の前後で速度を変えていません。しかし、この系では光に対していくらかの右方向の運動量を失っています。運動量を失う唯一の方法は、質量を失うことです。これはポアンカレの放射パラドックスも解決します。速度が小さいため、右に移動する光は非相対論的ドップラーシフト係数1 − ⁠に等しい量だけ青方偏移します。v/c光の運動量は光のエネルギーをcで割った値で、 ⁠倍に増加します。v/c⁠ . したがって、右方向に移動する光は、次式で表される追加の運動量Δ Pを運んでいます。 ΔP=vcE2c.{\displaystyle \Delta P={v \over c}{E \over 2c}.}

左方向に移動する光は、同じ量Δ Pだけ運動量がわずかに少なくなります。したがって、両方の光パルスの右方向の運動量の合計はΔ P の2倍になります。これが物体が失った右方向の運動量です。 2ΔP=vEc2.{\displaystyle 2\Delta P=v{E \over c^{2}}.}

放出後の移動フレーム内の物体の運動量は、次の量まで減少します。 P′=Mv−2ΔP=(M−Ec2)v.{\displaystyle P'=Mv-2\Delta P=\left(M-{E \over c^{2}}\right)v.}

したがって、物体の質量の変化は、失われたエネルギーの総量をc 2で割ったものに等しい。エネルギーの放出は二段階のプロセス、すなわち最初にエネルギーが光として放出され、次に光が他の形態のエネルギーに変換されるプロセスによって行われるため、エネルギーの放出には質量の損失が伴う。同様に、吸収を考慮すると、エネルギーの増加には質量の増加が伴う。

放射能と原子力

アインシュタイン、方程式E = mc 2、および原子爆弾の間の一般的なつながりは、1946 年 7 月のタイム誌の表紙に大きく示されました。

1897年の放射能の発見後、放射能過程による総エネルギーは既知の分子変化に伴うエネルギーの約100万倍にも達することがすぐに指摘され、そのエネルギーの起源はどこにあるのかという疑問が生じました。ある種のレザギアン・エーテル粒子の吸収と放出という考えを排除した後、1903年、ニュージーランドの物理学者アーネスト・ラザフォードとイギリスの放射化学者フレデリック・ソディは、物質内に蓄えられた膨大な潜在エネルギーの存在を提唱しました。ラザフォードはまた、この内部エネルギーは通常の物質内にも蓄えられていると示唆しました。彼は1904年に、「もし放射性元素の崩壊速度を自由に制御することができれば、少量の物質から莫大なエネルギーを得ることができるだろう」と推測しました。[ 79 ] [ 80 ] [ 81 ]

アインシュタインの方程式は、放射性崩壊で放出される大きなエネルギーを説明することはできませんが、そのエネルギーを定量化するために使用できます。放射性崩壊の理論的説明は、原子を結合させる核力によって与えられますが、これらの力は 1905 年当時はまだ知られていませんでした。放射性崩壊で放出される莫大なエネルギーは、それ以前にラザフォードによって測定されており、その結果生じる物質の総質量の小さな変化よりもはるかに簡単に測定できました。アインシュタインの方程式は、理論的には、反応前後の質量差を測定することでこれらのエネルギーを与えることができますが、実際には、1905 年当時のこれらの質量差はバルクで測定するにはまだ小さすぎました。これに先立ち、熱量計で放射性崩壊エネルギーを測定することの容易さから、アインシュタインの方程式自体をチェックするために、質量差の変化を測定できる可能性があると考えられていました。アインシュタインは1905年の論文の中で、質量とエネルギーの等価性は放射性崩壊によって検証できるかもしれないと述べています。当時、放射性崩壊は、系から消失した際に「計量」できるほどのエネルギーを放出することが知られていました。しかし、放射能は独自の不変の速度で進行しているように見え、陽子衝突を用いた単純な核反応が可能になった後でも、これほど大量の利用可能なエネルギーを実用的に自由に放出できるという考えは実証が困難でした。ラザフォードは1933年に、このエネルギーは効率的に利用できないと宣言したと伝えられています。「原子の変化からエネルギー源を期待する者は、空想にふけっている。」[ 82 ]

この見方は、1932年に中性子とその質量が発見され、単一の核種とその反応の質量差を直接計算し、それらを構成する粒子の質量の合計と比較できるようになり、劇的に変化しました。 1933年には、リチウム7と陽子の反応で放出されるエネルギーが2つのアルファ粒子を生成し、アインシュタインの式を±0.5%の誤差で検証できるようになりました。[ 83 ]しかし、反応粒子を加速するためのエネルギーコストのため、科学者はまだそのような反応を実用的なエネルギー源とは見なしていませんでした。 1945年の広島と長崎への原爆投下後、核分裂から放出される膨大なエネルギーが公に実証された後、式E = mc 2は、一般の人々の目に核兵器の威力と危険性と直接結び付けられるようになりました。この方程式は、1945年に米国政府が原子爆弾の開発について公式に発表したスミス報告書の2ページ目に掲載され、1946年までにはこの方程式はアインシュタインの研究と密接に結び付けられ、タイム誌の表紙には、この方程式が描かれたキノコ雲の画像の横にアインシュタインの写真が大きく掲載された。 [ 84 ]アインシュタイン自身はマンハッタン計画で小さな役割しか果たしていない。 1939年に米国大統領に宛てた、原子力エネルギー研究への資金提供を促す書簡に署名し、原子爆弾は理論的には可能だと警告していた。この書簡により、ルーズベルト大統領は戦時予算のかなりの部分を原子力研究に充てることになった。機密取扱許可がなかったため、アインシュタインの唯一の科学的貢献は、同位体分離法の理論的な分析であった。アインシュタインは問題に十分取り組むのに十分な情報を与えられなかったため、その貢献は重要ではなかった。[ 85 ]

E = mc 2 は核分裂反応で潜在的に放出されるエネルギー量を理解する上で有用である が、核分裂プロセスが解明され、そのエネルギーが 200 MeVで測定された後は（当時は定量的ガイガーカウンターを用いて直接測定可能であった）、核兵器の開発に厳密には必要ではなくなった。マンハッタン計画に参加した物理学者ロバート・サーバーは、「アインシュタインの相対性理論、特に彼の方程式E = mc 2が核分裂理論において重要な役割を果たしているという考えは、はるか昔から広く信じられていた。アインシュタインは米国政府に原子爆弾製造の可能性を警告する役割を果たしたが、彼の相対性理論は核分裂を議論する上で必須ではない。核分裂理論は物理学者が非相対論的理論と呼ぶものであり、相対論的効果は核分裂プロセスのダイナミクスに大きな影響を与えるには小さすぎることを意味する」と指摘した。[注 7 ]核反応におけるこの方程式の重要性については、他の見解もある。1938年後半、オーストリア、スウェーデン、イギリスの物理学者リーゼ・マイトナーとオットー・ロバート・フリッシュは、冬の散歩中にハーンの実験結果の意味を解明し、後に原子核分裂と呼ばれる概念を導入した際、アインシュタインの方程式を直接用いて、原子核を結合させている「表面張力のような」力を克服し、核分裂片をその電荷によってエネルギー的に強い核分裂へと導く反応の定量的なエネルギー特性を理解した。このために、彼らは充填率、つまり元素の核結合エネルギー値を用いた。これらとE = mc 2を用いることで、彼らは基本的な核分裂過程がエネルギー的に可能であることを即座に理解することができた。[ 86 ]

アインシュタインの方程式は

カリフォルニア工科大学とエルサレム・ヘブライ大学のアインシュタイン文書プロジェクトによると、アインシュタインが書いたこの方程式のコピーは、現在わずか4部しか残っていない。そのうちの1部は、ルドヴィク・シルバーシュタイン宛てにドイツ語で書かれた手紙で、シルバーシュタインのアーカイブに保管されていた。マサチューセッツ州ボストンのRRオークションは2021年5月21日、この手紙がオークションで120万ドルで落札されたと発表した。 [ 87 ]

参照

注記

  1. ^正の運動エネルギーと、完全に打ち消し合う負の位置エネルギーを持つこともできます。
  2. ^一部の著者は、この表現を と同等であると述べており、はローレンツ因子です。E=γm0c2{\displaystyle E=\gamma m_{0}c^{2}}γ{\displaystyle \gamma }
  3. ^核爆弾の爆発後、熱が逃げるまで質量は一定のままであるという議論についてはテイラーとホイーラー[ 34 ]を参照。
  4. ^ a b c使用された変換: 1956 年の国際 (蒸気) 表 (IT) の値では、1 カロリー ≡ 4.1868 J、1 BTU ≡ 1055.05585262 J。兵器設計者による 1 グラムの TNT の変換値 ≡ 1000 カロリーが使用されています。
  5. ^重量比90/10のPt/Ir合金、 PtのC p 25.9、IrのC p 25.1、Ptが優勢な平均C p 25.8、金属モル数5.134、プロトタイプの熱抵抗132 J⋅K −1と仮定する。±1.5ピコグラムの変動は、国際プロトタイプの質量の不確かさである±2マイクログラムよりもはるかに小さい。
  6. ^ドイツ語原版の最後のページ641、式 K 0 − K 1 = ⁠の上の文を参照。L/V2​⁠ ⁠v 2/2⁠ 。英語訳の最後の式の上の文も参照してください。K 0 − K 1 = ⁠1/2⁠（⁠L/c 2⁠ ) v 2 、および翻訳に続く「この版について」で使用されている記号に関するコメント
  7. ^ロバート・サーバーバー (2020-04-07).ロスアラモス入門書。カリフォルニア大学出版局。 p. 7.土井：10.2307/j.ctvw1d5pf。ISBN 978-0-520-37433-1. S2CID  91948043 .この引用はサーバー氏の1992年版からの引用であり、同名の1943年ロスアラモス入門書には載っていない。

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