反発係数

反発係数
ストロボフラッシュで撮影した跳ねるボール。空気抵抗を無視すると、1回の跳ね返りの高さとその前の跳ね返りの高さの比の平方根が、ボールと表面の衝突における反発係数となる。
その他の名前
コル
一般的な記号
e
SI単位単位なし

物理学において、反発係数（COR 、 eとも表記）は、 2物体の衝突の弾性の尺度と考えることができる。これは、2物体衝突後の相対分離速度と衝突前の相対接近速度の比として定義される無次元パラメータである。現実世界の衝突のほとんどにおいて、 eの値は0と1の間であり、1は完全に弾性的な衝突（物体が速度を失うことなく反対方向に跳ね返る）を表し、0は完全に非弾性的な衝突（物体が全く跳ね返らずに最終的に接触する）を表す。ニュートンの反発方程式とも呼ばれる基本方程式は、1687年にアイザック・ニュートン卿によって開発された。[ 1 ]反発係数 （e）＝|衝突後の分離の相対速度||衝突前の接近相対速度|{\displaystyle {\text{反発係数}}(e)={\frac {\left|{\text{衝突後の相対速度}}\right|}{\left|{\text{衝突前の相対速度}}\right|}}}

導入

ペアオブジェクトのプロパティとして

CORは、衝突における2つの物体の特性であり、単一の物体の特性ではありません。ある物体が2つの異なる物体と衝突する場合、それぞれの衝突には独自のCORが存在します。ある物体が、あたかもそれが別の物体とは無関係に固有の特性であるかのように、ある特定の反発係数を持つと記述される場合、いくつかの仮定が立てられています。例えば、衝突は別の同一物体との衝突、あるいは完全に剛体な壁との衝突などです。

定数として扱われる

衝突の基礎解析では、eは一般に、2つの物体の質量や相対速度に依存しない無次元定数として扱われ、衝突は事実上瞬間的に起こるものとみなされます。教育でよく用いられる例としては、2つの理想的なビリヤードボールの衝突が挙げられます。現実世界の相互作用は、物体の内部構造を考慮する必要がある場合や、最初の接触から最終的な分離までの時間中に、より複雑な影響が生じる場合など、より複雑になることがあります。

eの値の範囲

eは通常、0から1までの 正の実数です。

  • e = 0 : これは完全に非弾性な衝突であり、物体はまったく跳ね返らずに接触してしまいます。
  • 0 < e < 1 : これは現実世界の非弾性衝突であり、運動エネルギーの一部が散逸します。物体は接近速度よりも低い速度で反発します。
  • e = 1 : これは完全に弾性的な衝突であり、運動エネルギーは消費されません。物体は接近したときと同じ相対速度で跳ね返ります。

この範囲外の値は原理的には可能ですが、実際には、 e を定数とする 基本的な解析で解析されることは通常ありません。

  • e < 0 : COR がゼロ未満の場合、物体が互いを通過する衝突（たとえば、弾丸が標的を通過するなど）を意味します。
  • e > 1 : これは、衝突中に蓄積された追加のエネルギーが放出されるため、物体が接近速度よりも大きな相対速度で跳ね返る超弾性衝突を意味します。

方程式

2つの理想化された物体AとBが関与する1次元衝突の場合、反発係数は次のように表されます。 e＝|vb−v1つの||あなた1つの−あなたb|、{\displaystyle e={\frac {\left|v_{\text{b}}-v_{\text{a}}\right|}{\left|u_{\text{a}}-u_{\text{b}}\right|}},}

  • v1つの{\displaystyle v_{\text{a}}}衝突後の物体Aの最終速度は
  • vb{\displaystyle v_{\text{b}}}衝突後の物体Bの最終速度は
  • あなた1つの{\displaystyle u_{\text{a}}}衝突前の物体Aの初速度である
  • あなたb{\displaystyle u_{\text{b}}}衝突前の物体Bの初速度である

これは反発方程式と呼ばれることもあります。完全に弾性的な衝突の場合、e = 1となり、物体は接近したときと同じ相対速度で跳ね返ります。完全に非弾性的な衝突の場合、e = 0となり、物体は全く跳ね返りません。

静止し た目標から跳ね返る物体の場合、eは衝突後の物体の跳ね返り速度と衝突前の物体の跳ね返り速度の比として定義されます。e＝vあなた、{\displaystyle e={\frac {v}{u}},}

  • あなた{\displaystyle u}衝突前の物体の速度
  • v{\displaystyle v}衝突後に跳ね返る物体の速度（反対方向）

摩擦力が無視でき、物体が静止状態から水平面上に落下する場合、これは次式 と等価である。e＝hH、{\displaystyle e={\sqrt {\frac {h}{H}}},}

  • H{\displaystyle H}落下高さは
  • h{\displaystyle h}跳ね返りの高さは

反発係数は、物体が表面から跳ね返るときにエネルギーがどの程度保存されるかを示す尺度として考えることができます。静止したターゲットから跳ね返る物体の場合、衝突の過程での重力位置エネルギーE pの変化は本質的にゼロです。したがって、 eは、衝突直前の物体の運動エネルギー E k と衝突直後の物体の運動エネルギーE kの比較です。摩擦力が無視できる場合 (この主題に関するほとんどすべての学生実験[ 2 ] )、および物体が静止状態から水平面に落下する場合、上記は、落下高さでの物体のE pと跳ね返り高さでのE pの比較に相当します。この場合、 E kの変化はゼロです (物体は衝突の過程で本質的に静止しており、跳ね返りの頂点でも静止しています)。したがって、 e＝Ek、（衝突後）Ek、（衝突前）＝12メートルv212メートルあなた2＝v2あなた2＝vあなた{\displaystyle e={\sqrt {\frac {E_{\text{k, (衝突後)}}}{E_{\text{k, (衝突前)}}}}}={\sqrt {\frac {{\frac {1}{2}}mv^{2}}{{\frac {1}{2}}mu^{2}}}}={\sqrt {\frac {v^{2}}{u^{2}}}}={\frac {v}{u}}}e＝Ep、（バウンスの高さ）Ep、（落下高さ）＝メートルグラムhメートルグラムH＝hH{\displaystyle e={\sqrt {\frac {E_{\text{p, (at bounce height)}}}{E_{\text{p, (at drop height)}}}}}={\sqrt {\frac {mgh}{mgH}}}={\sqrt {\frac {h}{H}}}}

衝突後の速度とエネルギー

速度

eは衝突する物体の質量によって変化しないが、運動量保存則により最終速度は質量に依存する。 ここ で va=maua+mbub+mbe(ub−ua)ma+mb{\displaystyle v_{\text{a}}={\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}e(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}}vb=maua+mbub+mae(ua−ub)ma+mb{\displaystyle v_{\text{b}}={\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{a}}e(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}}

  • va{\displaystyle v_{\text{a}}}衝突後のAの速度は
  • vb{\displaystyle v_{\text{b}}}衝突後のBの速度
  • ua{\displaystyle u_{\text{a}}}衝突前のAの速度
  • ub{\displaystyle u_{\text{b}}}衝突前のBの速度
  • ma{\displaystyle m_{\text{a}}}Aの質量は
  • mb{\displaystyle m_{\text{b}}}Bの質量

エネルギー

CMフレームにおける運動エネルギー損失: ΔT=−(1−e2)⋅ΔT0,CM=−(1−e2)⋅12⋅mambma+mb⋅(ua−ub)2{\displaystyle \Delta T=-(1-e^{2})\cdot \Delta T_{0,{\text{CM}}}=-(1-e^{2})\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {m_{\text{a}}m_{\text{b}}}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}\cdot (u_{\text{a}}-u_{\text{b}})^{2}}

どこ

  • ΔT{\displaystyle \Delta T}衝突中に失われた運動エネルギーは
  • e{\displaystyle e}反発係数である
  • ΔT0,CM{\displaystyle \Delta T_{0,{\text{CM}}}}質量中心座標系における初期運動エネルギーである
  • ma{\displaystyle m_{\text{a}}}物体Aの質量は
  • mb{\displaystyle m_{\text{b}}}物体Bの質量は
  • ua{\displaystyle u_{\text{a}}}衝突前のAの速度
  • ub{\displaystyle u_{\text{b}}}衝突前のBの速度

実用的な問題

測定

実際の状況では、2つの物体間の反発係数は、例えばリープ反発硬度試験などの実験的に測定する必要がある場合があります。この試験では、入手可能な最も硬い物質の一つである炭化タングステンの先端を特定の高さから試験サンプルに落下させます。

材料特性（弾性率、レオロジー）、衝突方向、摩擦係数、衝突体の接着特性に依存する反発係数の包括的な研究は、Willert（2020）に記載されています。[ 3 ]

スポーツへの応用

薄フェースのゴルフクラブドライバーは、「トランポリン効果」を利用して飛距離を伸ばします。これは、フェースがたわみ、蓄積されたエネルギーが解放されることでボールにより大きな推進力が与えられるためです。USGA （米国ゴルフ協会）はドライバーのCOR（反力抵抗）をテストし[ 4 ]、その上限を0.83と定めています。CORはクラブヘッドスピードの関数であり、クラブヘッドスピードが上昇するにつれて低下します。[ 5 ]この報告書によると、CORは時速90マイル（約145キロ）で0.845、時速130マイル（約210キロ）で0.797と低くなっています。前述の「トランポリン効果」は、衝突時間を長くすることで衝突時の応力を低減するため、この効果を示しています。ある論文（テニスラケットの反発係数について）によると、「ベンチマーク条件では、すべてのラケットの反発係数は0.85であり、反発係数に加算または減算する可能性のあるストリング張力やフレームの剛性などの変数は排除されている。」[ 6 ]

国際卓球連盟は、 30.5cmの高さから標準的な鉄のブロックにボールを落とした場合、ボールが24～26cm跳ね上がることを規定しており、[ 7 ] CORは0.887～0.923となる。

国際バスケットボール連盟（FIBA）のルールでは、1800mmの高さから落としたボールが1035～1085mmの高さまで跳ね返ることが求められており、[ 8 ] CORは0.758～0.776となる。

参照

参考文献

  1. ^ Weir, G.; McGavin, P. (2008年5月8日). 「球状ナノスケール粒子の剛体平面への理想衝突における反発係数」Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 464 (2093): 1295– 1307. Bibcode : 2008RSPSA.464.1295W . doi : 10.1098/rspa.2007.0289 . S2CID  122562612 .
  2. ^ Mohazzabi, Pirooz (2011). 「自由落下において空気抵抗が顕著になるのはいつか？」The Physics Teacher . 49 (2): 89– 90. Bibcode : 2011PhTea..49...89M . doi : 10.1119/1.3543580 .
  3. ^ウィラート、エマニュエル (2020). Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin: Grundlagen und Anwendungen (ドイツ語)。スプリンガービューeg。土井：10.1007/978-3-662-60296-6。ISBN 978-3-662-60295-9. S2CID  212954456 .
  4. ^コンフォーミングゴルフクラブusga.org 2021年6月16日アーカイブ、Wayback Machineにて
  5. ^ 「長距離打者は不公平なアドバンテージを得るのか？」 USGA 2015年2月14日. 2023年6月1日閲覧。
  6. ^ 「反発係数」 。2016年11月23日時点のオリジナルよりアーカイブ。
  7. ^ “Tennis Tech resources | ITF” . 2019年12月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。
  8. ^ "FIBAバスケットボール" . FIBA​​.basketball . 2024年10月17日閲覧。( FIBA.basketball の Equipment & Venue タブからダウンロード可能な PDF ドキュメント、およびhttps://assets.fiba.basketball/image/upload/documents-corporate-fiba-official-rules-2024-official-basketball-rules-and-basketball-equipment.pdfで入手可能な「 Official Basketball Rules 2024 - Basketball Equipment」の 12 ページを参照してください)

引用文献

  • クロス、ロッド (2006). 「ボールのバウンド」(PDF) . オーストラリア、シドニー大学物理学部. 2008年1月16日閲覧.{{cite journal}}:ジャーナルを引用するには|journal=（ヘルプ）が必要です
  • ウォーカー、ジャール (2011). 『物理学の基礎』（第9版）. デイビッド・ハリデー、ロバート・レズニック、ジャール・ウォーカー. ISBN 978-0-470-56473-8。
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