打撃時間

ブラウン運動の 3 つのサンプルの衝突時間と停止時間。

数学における確率過程の研究において、ヒット時刻（または初ヒット時刻）とは、ある過程が状態空間の特定の部分集合に最初に「ヒット」する時刻のことである。終了時刻や復帰時刻もヒット時刻の例である。

定義

T を自然数、非負実数、[0, +∞)、またはこれらの部分集合などの順序付きインデックス集合とする。要素⁠ ⁠ は「時間」と考えることができる。確率空間(Ω, Σ, Pr)と測定可能な状態空間Sが与えられ、 を確率過程とし、Aを状態空間Sの測定可能な部分集合とする。すると、最初のヒット時刻は次のように定義される 確率変数となる。${\displaystyle \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle X:\Omega \times T\to S}$ ${\displaystyle \tau _{A}:\Omega \to [0,+\infty ]}$

${\displaystyle \tau_{A}(\omega):=\inf\{t\in T\mid X_{t}(\omega)\in A\}.}$

Aからの最初の退出時間は、 SにおけるAの補集合であるS \ Aの最初のヒット時間と定義される。紛らわしいことに、これはしばしばτ _Aと表記される。^{[ 1 ]}

最初の戻り時間は、通常、座標系の原点など、状態空間の特定の決定論的要素である シングルトンセット{ X ₀ ( ω )}の最初のヒット時間として定義されます。

例

• 適切に選択されたプロセスとターゲットセットにおいては、任意の停止時間は到達時間となる。これはデビュット定理（Fischer, 2013）の逆から導かれる。
• B を原点から始まる実数直線上の標準ブラウン運動とすると、衝突時間τ _{A は}、あらゆるボレル可測集合に対する停止時間となるための測定可能性要件を満たす。${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} .}$
• 上に示したBについて、τ _r ( r > 0 )を区間(− r , r )の最初の退出時間、すなわち、τ rの最初のヒット時間を表すとすると、τ r_の期待値と分散は次式を満たす。${\displaystyle (-\infty ,-r]\cup [r,+\infty ).}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\tau _{r}\right]&=r^{2},\\\operatorname {Var} \left[\tau _{r}\right]&={\tfrac {2}{3}}r^{4}.\end{aligned}}}$$

• 上記のBの場合、単一点（開始点0とは異なる）に当たる時間はレヴィ分布に従います。

• ナローエスケープ問題では、閉じ込められた粒子がブラウン運動をしながら小さな開口部から脱出するのにかかる時間を考慮します。

デビュット定理

集合Fの到達時間は、 Fのデビュトとも呼ばれる。デビュト定理は、右連続かつ完全な濾過に関して漸進的に測定可能な過程の測定可能な集合Fの到達時間は停止時間であると述べている。漸進的に測定可能な過程には、特に、すべての右連続および左連続の適応過程が含まれる。デビュトが測定可能であることの証明はやや複雑であり、解析集合の特性を伴う。この定理は、基礎となる確率空間が完全であるか、少なくとも普遍的に完全であることを必要とする。

デビュット定理の逆は、実数値の時間インデックス上のフィルタリングに関して定義されたすべての停止時間は、到達時間によって表すことができることを述べている。特に、本質的に任意のそのような停止時間に対して、0と1のみの値をとる、適応された非増加過程（RCLL経路）が存在し、この過程による集合{0}の到達時間が、検討対象の停止時間となる。証明は非常に単純である。^{[ 2 ]}

参照

• カバー時間、すべての状態に到達した時間
• 時間を止める

参考文献

1. Øksendal, Bernt K. (2003).確率微分方程式：応用入門（第6版）. ベルリン: Springer. ISBN 978-3-540-04758-2。
2. フィッシャー、トム (2013). 「停止時間と停止時間シグマ代数の単純な表現について」.統計と確率の手紙. 83 (1): 345– 349. arXiv : 1112.1603 . doi : 10.1016/j.spl.2012.09.024 .