三角不等式
辺の長さがx、y、zである三角形の三角不等式の3つの例。上の例は、z が他の2辺の和x + yよりもはるかに小さい場合を示しており、下の例は、辺zがx + yよりわずかに小さい場合を示しています。

数学において、三角不等式は、任意の三角形において、任意の2辺の長さの和は、残りの1辺の長さ以上でなければならないと述べている。[ 1 ] [ 2 ]この記述は退化した三角形を含めることを許容しているが、一部の著者、特に初等幾何学について書いている著者は、この可能性を排除し、等式の可能性を除外している。[ 3 ] a、b、cが三角形の辺の長さである 場合、三角不等式は、

c≤1つの+b、{\displaystyle c\leq a+b,}

面積がゼロの三角形の退化した場合にのみ等しくなります。

ユークリッド幾何学やその他の幾何学において、三角不等式はベクトルとベクトルの長さ（ノルム） に関する定理です。

‖あなた+v‖≤‖あなた‖+‖v‖、{\displaystyle \|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|\leq \|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|,}

ここで、3番目の辺の長さはベクトルの和u + vの長さに置き換えられています。uとv が実数の場合、これらは のベクトルとして見ることができ、三角不等式は絶対値間の関係を表します。 R1{\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}

ユークリッド幾何学では、直角三角形の場合、三角形の不等式はピタゴラスの定理から、一般の三角形の場合、余弦定理から得られますが、これらの定理がなくても証明できます。不等式は、 または のどちらでも直感的に考えることができます。右の図には、明らかな不等式 (上) から始まり、等式に近づく例 (下) まで、3 つの例が示されています。ユークリッドの場合、等式は、下の例に示すように、三角形が180° の角度と 2 つの0° の角度を持ち、3 つの頂点が同一線上にある場合にのみ発生します。したがって、ユークリッド幾何学では、2 点間の最短距離は直線です。 R2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}

球面幾何学では、2点間の最短距離は大円の弧であるが、球面上の2点間の距離はそれらの端点を含む短球面線分（つまり、中心角が[0, π ]にある線分）の長さであるという制限を課せば、三角不等式が成り立つ。[ 4 ] [ 5 ]

三角不等式は、ノルムと距離の尺度を定義する性質である。この性質は、特定の空間、例えば実数、ユークリッド空間、L p空間( p ≥ 1 )、内積空間などにおいて、そのような目的のために提案されるあらゆる関数の定理として確立されなければならない。

ユークリッド幾何学

平面幾何学における三角不等式を証明するためのユークリッドの構成。

三角不等式定理はユークリッドの『原論』第1巻命題20に述べられている。

[…]三角形ABCにおいて、どの2辺の和も残りの1辺よりも大きい。つまり、BAとACの和はBCよりも大きく、ABとBCの和はACよりも大きく、BCとCAの和はABよりも大きい。[ 6 ]

ユークリッドは、図に示す構成を用いて、平面幾何学における距離に関する三角不等式を証明した。 [ 7 ]三角形ABCから始めて、一辺をBCとし、もう一辺をABの延長線上に等しい辺BDとして二等辺三角形を構成する。すると、角β は角αよりも大きいため、辺AD は辺ACよりも長くなると主張される。しかし、

あD¯＝あB¯+BD¯＝あB¯+BC¯、{\displaystyle {\overline {AD}}={\overline {AB}}+{\overline {BD}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}},}

したがって、辺ABとBCの長さの和はACの長さよりも大きい。この証明はユークリッドの『原論』第1巻の命題20に示されている。 [ 6 ]

三角形の辺の制約の数学的表現

真三角形の場合、言葉で述べられている三角不等式は、文字通り 3 つの不等式に変換されます (真三角形の辺の長さa、b、cはすべて正であり、面積が 0 の退化したケースは除外されます)。

a+b>c,b+c>a,c+a>b.{\displaystyle a+b>c,\quad b+c>a,\quad c+a>b.}

この不等式をより簡潔に表すと、

|a−b|<c<a+b.{\displaystyle |a-b|<c<a+b.}

別の言い方をすれば

max(a,b,c)<a+b+c−max(a,b,c){\displaystyle \max(a,b,c)<a+b+c-\max(a,b,c)}

暗示する

2max(a,b,c)<a+b+c{\displaystyle 2\max(a,b,c)<a+b+c}

したがって、最長辺の長さは半周よりも短くなります。

数学的に同等の定式は、 a、b、cの辺を持つ三角形の面積は0より大きい実数でなければならないというものである。面積を求める ヘロンの公式は、

4⋅area=(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)=−a4−b4−c4+2a2b2+2a2c2+2b2c2.{\displaystyle {\begin{aligned}4\cdot {\text{area}}&={\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\&={\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}}}.\end{aligned}}}

どちらの面積式でも、すべての辺に課せられた三角不等式は、平方根記号の下の式が実数でゼロより大きいという条件と同等です (したがって、面積式は実数でゼロより大きいです)。

三角不等式は、 a、b、cの辺を持つ三角形に対して、さらに2つの興味深い制約を与える。ここでa≥b≥cであり、黄金比である。 ϕ{\displaystyle \phi }

1<a+cb<3{\displaystyle 1<{\frac {a+c}{b}}<3}
1≤min(ab,bc)<ϕ.{\displaystyle 1\leq \min \left({\frac {a}{b}},{\frac {b}{c}}\right)<\phi .}[ 8 ]

直角三角形

AB = ACの等しい辺を持つ二等辺三角形を、2 つの底角の 1 つから引いた高さによって 2 つの直角三角形に分割します。

直角三角形の場合、三角不等式は斜辺が2辺のいずれかよりも大きく、それらの和よりも小さいという主張に特化します。[ 9 ]

この定理の第二部は、任意の三角形の任意の辺について既に上で証明されています。第一部は下の図を用いて証明されています。図中の直角三角形ADCを考えます。二等辺三角形ABCは、 AB = ACの等しい辺で構成できます。三角形の公理から、直角三角形ADCの角は次の関係を満たします。

α+γ=π/2 .{\displaystyle \alpha +\gamma =\pi /2\ .}

同様に、二等辺三角形ABCでは、角度は次の関係を満たします。

2β+γ=π .{\displaystyle 2\beta +\gamma =\pi \ .}

したがって、

α=π/2−γ, while β=π/2−γ/2 ,{\displaystyle \alpha =\pi /2-\gamma ,\ \mathrm {while} \ \beta =\pi /2-\gamma /2\ ,}

そして、特に、

α<β .{\displaystyle \alpha <\beta \ .}

つまり、角αの反対側の辺ADは、より大きな角βの反対側の辺ABよりも短いということです。しかし、AB = ACです。したがって、

AC¯>AD¯ .{\displaystyle {\overline {AC}}>{\overline {AD}}\ .}

同様の構成でAC > DCが示され、定理が成立します。

代わりの証明（これも三角形の公理に基づく）は、点Bの 3 つの位置を検討することによって進みます。[ 10 ] (i) 図のとおり（これは証明する）、または (ii) BがDと一致する（これは二等辺三角形が 2 つの直角を底角として持ち、頂点の角γ を持つということになり、三角形の公理に違反します）、または最後に、 (iii) B が点Aと点Dの間の直角三角形の内側にある（この場合、角ABCは直角三角形BDCの外角であるためπ /2よりも大きくなり、二等辺三角形のもう一方の底角もπ /2よりも大きく、それらの合計がπ を超え、三角形の公理に違反します）。

不等式を確立するこの定理は、ピタゴラスの定理によって、斜辺の長さの二乗が他の 2 辺の二乗の合計に等しいという等式にまで明確化されます。

使用例

等差数列の辺を持つ三角形を考え、その辺をa、a + d、a + 2 dとします。三角不等式より、

0<a<2a+3d,0<a+d<2a+2d,0<a+2d<2a+d.{\displaystyle {\begin{array}{rcccl}0&<&a&<&2a+3d,\\0&<&a+d&<&2a+2d,\\0&<&a+2d&<&2a+d.\end{array}}}

これらの不等式をすべて満たすには

a>0 and −a3<d<a.{\displaystyle a>0{\text{ and }}-{\frac {a}{3}}<d<a.}[ 11 ]

d がd = a /3となるように選択されると、辺が3、4、5であるピタゴラス三角錐に常に相似な直角三角形が生成されます。

ここで、等比数列をなす三角形を考え、その辺をa、ar、ar 2とします。このとき、三角不等式は次式を要求します。

0<a<ar+ar2,0<ar<a+ar2,0<ar2<a+ar.{\displaystyle {\begin{array}{rcccl}0&<&a&<&ar+ar^{2},\\0&<&ar&<&a+ar^{2},\\0&<&\!ar^{2}&<&a+ar.\end{array}}}

最初の不等式はa > 0を必要とするため、割り切れて消去できる。a > 0の場合、真ん中の不等式はr > 0のみを必要とする。これで、最初の不等式と3番目の不等式は以下を満たす必要がある。

r2+r−1>0r2−r−1<0.{\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}+r-1&{}>0\\r^{2}-r-1&{}<0.\end{aligned}}}

これらの二次不等式の最初の条件は、rが二次方程式r 2 + r − 1 = 0の正の根の値を超える領域、すなわちr > φ − 1 （ φは黄金比）の範囲にあることを要求する。2 番目の二次不等式は、rが0と二次方程式r 2 − r − 1 = 0の正の根の間の範囲、すなわち0 < r < φの範囲にあることを要求する。これらの条件を組み合わせると、rは次の範囲に制限される。

φ−1<r<φ and a>0.{\displaystyle \varphi -1<r<\varphi \,{\text{ and }}a>0.}[ 12 ]

rの公比をr = √ φとなるように選択すると、常にケプラーの三角形に相似な直角三角形が生成されます。

任意の多角形への一般化

三角不等式は数学的帰納法によって任意の多角形パスに拡張することができ、そのようなパスの全長は、その端点間の直線の長さ以上であることが示されます。したがって、多角形のどの辺の長さも、他の辺の長さの合計よりも常に小さくなります。

四辺形に対する一般化多角形不等式の例

等比数列をなす四辺形を考え、各辺をa、ar、ar 2、ar 3とします。一般化された多角形不等式により、

0<a<ar+ar2+ar30<ar<a+ar2+ar30<ar2<a+ar+ar30<ar3<a+ar+ar2.{\displaystyle {\begin{array}{rcccl}0&<&a&<&ar+ar^{2}+ar^{3}\\0&<&ar&<&a+ar^{2}+ar^{3}\\0&<&ar^{2}&<&a+ar+ar^{3}\\0&<&ar^{3}&<&a+ar+ar^{2}.\end{array}}}

これらの不等式はa > 0の場合、次のように帰着する。

r3+r2+r−1>0{\displaystyle r^{3}+r^{2}+r-1>0}
r3−r2−r−1<0.{\displaystyle r^{3}-r^{2}-r-1<0.}[ 13 ]

これら2つの不等式の左辺の多項式は、トリボナッチ定数とその逆数を根とします。したがって、rは1/ t < r < tの範囲に制限されます（tはトリボナッチ定数）。

最短経路との関係

曲線の弧の長さは、多角形近似の長さの最小の上限として定義されます。

この一般化は、ユークリッド幾何学における 2 点間の最短曲線が直線であることを証明するために使用できます。

2点間の多角形経路は、それらの点を結ぶ直線よりも短くなることはありません。これは、曲線の弧長が端点間の距離よりも短くなることはないことを意味します。定義により、曲線の弧長は、その曲線のすべての多角形近似の長さの最小の上限です。多角形経路の結果は、端点間の直線がすべての多角形近似の長さよりも短いことを示しています。曲線の弧長はすべての多角形近似の長さ以上であるため、曲線自体は直線経路よりも短くなることはありません。[ 14 ]

コンバース

三角不等式定理の逆も真です。つまり、3 つの実数がそれぞれ他の実数の合計より小さい場合、それらの数を辺の長さとし、面積が正の三角形が存在します。また、1 つの数が他の 2 つの数の合計に等しい場合、それらの数を辺の長さとする退化した三角形 (つまり、面積がゼロの三角形) が存在します。

どちらの場合でも、辺の長さがa、b、cであれば、図に示すようにユークリッド平面上に三角形を配置することができます。この場合 、 a、b、cの値と一致する実数hが存在することを証明する必要があります。

高さがhの三角形で、底辺がcで、長さがd + ( c − d )に切断されます。

ピタゴラスの定理により、右図に示すように、b 2 = h 2 + d 2およびa 2 = h 2 + ( c − d ) 2が成り立ちます。これらを引くと、 a 2 − b 2 = c 2 − 2 cdとなります。この式により、 dを三角形の辺の長さで 表すことができます。

d=−a2+b2+c22c.{\displaystyle d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}.}

三角形の高さはh 2 = b 2 − d 2となる。dを上記の式に 置き換えると、

h2=b2−(−a2+b2+c22c)2.{\displaystyle h^{2}=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}.}

実数hがこれを満たすためには、h 2 は非負でなければなりません。

0≤b2−(−a2+b2+c22c)20≤(b−−a2+b2+c22c)(b+−a2+b2+c22c)0≤(a2−(b−c)2)((b+c)2−a2)0≤(a+b−c)(a−b+c)(b+c+a)(b+c−a)0≤(a+b−c)(a+c−b)(b+c−a){\displaystyle {\begin{aligned}0&\leq b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\[4pt]0&\leq \left(b-{\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)\left(b+{\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)\\[4pt]0&\leq \left(a^{2}-(b-c)^{2})((b+c)^{2}-a^{2}\right)\\[6pt]0&\leq (a+b-c)(a-b+c)(b+c+a)(b+c-a)\\[6pt]0&\leq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\end{aligned}}}

これは、すべての辺に対して三角不等式が成り立つ場合に成立します。したがって、辺 と一致する実数 が存在し、三角形 が存在します。各三角不等式が厳密に と成り立つ場合、三角形は非退化（正の面積を持つ）です。しかし、不等式の1つが と等式と成り立つ場合、 と成り立つ場合、三角形は退化しています。 h{\displaystyle h}a,b,c{\displaystyle a,b,c}h>0{\displaystyle h>0}h=0{\displaystyle h=0}

高次元への一般化

四面体の三角形の面の面積は、他の3つの三角形の面の面積の合計以下である。より一般的には、ユークリッド空間において、n単体の( n −1)面の超体積は、他のn面の超体積の合計以下である。[ 15 ]

三角不等式が多角形不等式に一般化されるのと同様に、任意の次元の単体の不等式は任意の次元の多面体に一般化されます。つまり、多面体の任意の面の超体積は、残りの面の超体積の合計以下になります。

場合によっては、四面体不等式は三角不等式のいくつかの応用よりも強い。例えば、三角不等式はユークリッド空間において、 距離が

AB = BC = CA = 26

そして

AZ = BZ = CZ = 14。

しかし、このような距離の点は存在できません。26–26–26の正三角形ABCの面積はであり、これは26–14–14 の二等辺三角形の面積の3 倍よりも大きいため(すべてヘロンの公式による)、この配置は四面体不等式によって禁止されています。 1693{\textstyle 169{\sqrt {3}}}393{\textstyle 39{\sqrt {3}}}

ノルムベクトル空間

ベクトルのノルムの三角不等式。

ノルムベクトル空間Vにおいて、ノルムの定義特性の1つは三角不等式である。

‖u+v‖≤‖u‖+‖v‖∀u,v∈V{\displaystyle \|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|\leq \|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|\quad \forall \,\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}

つまり、2つのベクトルの和のノルムは、最大でも2つのベクトルのノルムの和と同じ大きさである。これは劣加法性とも呼ばれる。提案された関数がノルムとして振る舞うためには、この要件を満たす必要がある。[ 16 ]

ノルム空間がユークリッド空間、あるいはより一般的には厳密に凸空間である場合、 u、v、u + vによって形成される三角形が退化している場合に限り、uとvは同一射線上にある、すなわちu = 0またはv = 0、あるいは何らかのα > 0に対してu = α vとなる。この性質は、 1 < p < ∞となるℓ p空間などの厳密に凸なノルム空間を特徴付ける。しかし、これが当てはまらないノルム空間も存在する。例えば、ℓ 1ノルム（マンハッタン距離）を持つ平面を考え、 u = (1, 0)およびv = (0, 1)と表記する。すると、 u、v、u + vによって形成される三角形は非退化だが、 ‖u+v‖=‖u‖+‖v‖{\displaystyle \|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|=\|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|}

‖u+v‖=‖(1,1)‖=|1|+|1|=2=‖u‖+‖v‖.{\displaystyle \|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|=\|(1,1)\|=|1|+|1|=2=\|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|.}

規範の例

絶対値は実数直線のノルムである。要求されるように、絶対値は任意の実数uとvに対して三角不等式を満たす。uとvが同じ符号を持つかどちらかがゼロの場合、uとvが反対の符号を持つ場合、一般性を失うことなく、次の式を仮定する。これらのケースを組み合わせると：[ 17 ]|u+v|=|u|+|v|.{\displaystyle |u+v|=|u|+|v|.}|u|>|v|.{\displaystyle |u|>|v|.}|u+v|=|u|−|v|<|u|+|v|.{\displaystyle |u+v|=|u|-|v|<|u|+|v|.}

|u+v|≤|u|+|v|.{\displaystyle |u+v|\leq |u|+|v|.}

三角不等式は、数学的解析において、2つの数の和の大きさについて、個々の数の大きさに基づいて最良の上限推定値を決定するのに役立ちます。また、任意の実数uとvに対して、逆三角不等式を用いて下限推定値を求めることもできます。|u−v|≥||u|−|v||.{\displaystyle |u-v|\geq {\bigl |}|u|-|v|{\bigr |}.}

タクシーノルムまたは1ノルムは、絶対値を高次元に一般化したものの一つです。ベクトルのノルムを求めるには、各要素の絶対値を個別に加算するだけです。v=(v1,v2,…vn),{\displaystyle v=(v_{1},v_{2},\ldots v_{n}),}‖v‖1=|v1|+|v2|+⋯+|vn|.{\displaystyle \|v\|_{1}=|v_{1}|+|v_{2}|+\dotsb +|v_{n}|.}

ユークリッドノルムまたは2-ノルムは、n次元ユークリッド空間における並進ベクトルの長さを直交座標系を用いて定義する。ベクトルの長さは、 n次元ピタゴラスの定理を用いて定義される。v=(v1,v2,…vn),{\displaystyle v=(v_{1},v_{2},\ldots v_{n}),}‖v‖2=|v1|2+|v2|2+⋯+|vn|2.{\displaystyle \|v\|_{2}={\sqrt {|v_{1}|^{2}+|v_{2}|^{2}+\dotsb +|v_{n}|^{2}}}.}

内積は、無限次元の例を含むユークリッドベクトル空間の一般化である任意の内積空間においてノルムとなる。三角不等式は、コーシー・シュワルツの不等式から次のように導かれる。ベクトル と が与えられ、内積を と表すと、次のようになる。[ 18 ]u{\displaystyle u}v{\displaystyle v}⟨u,v⟩{\displaystyle \langle u,v\rangle }

‖u+v‖2{\displaystyle \|u+v\|^{2}}=⟨u+v,u+v⟩{\displaystyle =\langle u+v,u+v\rangle }
=‖u‖2+⟨u,v⟩+⟨v,u⟩+‖v‖2{\displaystyle =\|u\|^{2}+\langle u,v\rangle +\langle v,u\rangle +\|v\|^{2}}
≤‖u‖2+2|⟨u,v⟩|+‖v‖2{\displaystyle \leq \|u\|^{2}+2|\langle u,v\rangle |+\|v\|^{2}}
≤‖u‖2+2‖u‖‖v‖+‖v‖2{\displaystyle \leq \|u\|^{2}+2\|u\|\|v\|+\|v\|^{2}}（コーシー・シュワルツの不等式により）
=(‖u‖+‖v‖)2{\displaystyle =\left(\|u\|+\|v\|\right)^{2}}。

コーシー・シュワルツの不等式は、 uとv が線型従属である場合にのみ等式になります。不等式が線型従属である場合にのみ等式になります。また 、ベクトルuまたはvの一方が他方の非負スカラーである場合にも等式になります。最終的な結果の平方根を取ると、三角不等式が得られます。 ⟨u,v⟩+⟨v,u⟩≤2|⟨u,v⟩|{\displaystyle \langle u,v\rangle +\langle v,u\rangle \leq 2\left|\left\langle u,v\right\rangle \right|}u{\displaystyle u}v{\displaystyle v}

pノルムは、任意の正の整数指数を使用して、タクシー ノルムとユークリッド ノルムを一般化したものです。ここで、v iはベクトルvの成分です。 ‖v‖p=(|v1|p+|v2|p+⋯+|vn|p)1/p,{\displaystyle \|v\|_{p}={\bigl (}|v_{1}|^{p}+|v_{2}|^{p}+\dotsb +|v_{n}|^{p}{\bigr )}^{1/p},}

p = 2 の場合を除いて、pノルムは平行四辺形則を満たさないため、内積ノルムではない。一般的なpの値に対する三角不等式はミンコフスキーの不等式と呼ばれる。[ 19 ]これは以下の形をとる。‖u+v‖p≤‖u‖p+‖v‖p .{\displaystyle \|u+v\|_{p}\leq \|u\|_{p}+\|v\|_{p}\ .}

計量空間

計量dを持つ計量空間Mでは、距離に対する三角不等式が必須である。

d(A, C)≤d(A, B)+d(B, C) ,{\displaystyle d(A,\ C)\leq d(A,\ B)+d(B,\ C)\ ,}

M内のすべての点A、B、Cについて、 AからCまでの距離は、AからBまでの距離とBからCまでの距離の合計以下になります。

三角不等式は、計量空間の興味深い構造、つまり収束の大部分を占めています。これは、計量​​に対する残りの要件が、それに比べるとかなり単純であるためです。たとえば、計量空間内の任意の収束列がコーシー列であるという事実は、三角不等式の直接的な帰結です。なぜなら、d ( x n、x ) < ε /2かつd ( x m、x ) < ε /2となるような任意のx nおよびx mを選択した場合( ε > 0は、与えられた値であり任意です (計量空間の極限の定義の場合と同様))、三角不等式により、d ( x n、x m ) ≤ d ( x n、x ) + d ( x m、x ) < ε /2 + ε /2 = εとなり、列{ x n }は定義によりコーシー列となるからです。

このバージョンの三角不等式は、 d ( u、v ) ≔ ‖ u − v ‖ （ u − vは点vから点uを指すベクトル）によって計量が誘導されるノルムベクトル空間の場合には、上記のものに簡約されます。

逆三角不等式

逆三角不等式は、三角不等式の等価な代替定式であり、上限ではなく下限を与える。平面幾何学においては、この命題は次のように表される。[ 20 ]

三角形のどの辺も、他の 2 辺の差以上です。

ノルムベクトル空間の場合、次のようになります。

|‖u‖−‖v‖|≤‖u−v‖,{\displaystyle {\big |}\|u\|-\|v\|{\big |}\leq \|u-v\|,}

または計量空間の場合は。これは、ノルムと からの距離関数がリプシッツ定数1でリプシッツ連続であり、したがって特に一様連続であることを意味します。 |d(A,C)−d(B,C)|≤d(A,B){\displaystyle |d(A,C)-d(B,C)|\leq d(A,B)}‖⋅‖{\displaystyle \|\cdot \|}z{\displaystyle z}d(z,⋅){\displaystyle d(z,\cdot )}

逆三角不等式の証明は、通常次のようにして求められます。 ‖v−u‖=‖−1(u−v)‖=|−1|⋅‖u−v‖=‖u−v‖{\displaystyle \|v-u\|=\|{-}1(u-v)\|=|{-}1|\cdot \|u-v\|=\|u-v\|}

‖u‖=‖(u−v)+v‖≤‖u−v‖+‖v‖⇒‖u‖−‖v‖≤‖u−v‖,{\displaystyle \|u\|=\|(u-v)+v\|\leq \|u-v\|+\|v\|\Rightarrow \|u\|-\|v\|\leq \|u-v\|,}
‖v‖=‖(v−u)+u‖≤‖v−u‖+‖u‖⇒‖u‖−‖v‖≥−‖u−v‖,{\displaystyle \|v\|=\|(v-u)+u\|\leq \|v-u\|+\|u\|\Rightarrow \|u\|-\|v\|\geq -\|u-v\|,}

これら 2 つのステートメントを組み合わせると次のようになります。

−‖u−v‖≤‖u‖−‖v‖≤‖u−v‖⇒|‖u‖−‖v‖|≤‖u−v‖.{\displaystyle -\|u-v\|\leq \|u\|-\|v\|\leq \|u-v\|\Rightarrow {\big |}\|u\|-\|v\|{\big |}\leq \|u-v\|.}

逆に、逆三角不等式からの三角不等式の証明は、次の 2 つの場合に当てはまります。

逆三角不等式により、 ‖u+v‖−‖u‖≥0,{\displaystyle \|u+v\|-\|u\|\geq 0,}‖u+v‖−‖u‖=|‖u+v‖−‖u‖|≤‖(u+v)−u‖=‖v‖⇒‖u+v‖≤‖u‖+‖v‖{\displaystyle \|u+v\|-\|u\|={\big |}\|u+v\|-\|u\|{\big |}\leq \|(u+v)-u\|=\|v\|\Rightarrow \|u+v\|\leq \|u\|+\|v\|}

そして、その場合、ノルムの非負性によって 自明になります。‖u+v‖−‖u‖<0,{\displaystyle \|u+v\|-\|u\|<0,}‖u‖+‖v‖≥‖u‖>‖u+v‖{\displaystyle \|u\|+\|v\|\geq \|u\|>\|u+v\|}

したがって、どちらの場合も、 であることがわかります。 ‖u‖+‖v‖≥‖u+v‖{\displaystyle \|u\|+\|v\|\geq \|u+v\|}

距離空間の場合、逆三角不等式の証明は同様に次のようにして求められます。

d(A,B)+d(B,C)≥d(A,C)⇒d(A,B)≥d(A,C)−d(B,C){\displaystyle d(A,B)+d(B,C)\geq d(A,C)\Rightarrow d(A,B)\geq d(A,C)-d(B,C)}

d(C,A)+d(A,B)≥d(C,B)⇒d(A,B)≥d(B,C)−d(A,C){\displaystyle d(C,A)+d(A,B)\geq d(C,B)\Rightarrow d(A,B)\geq d(B,C)-d(A,C)}

これらの方程式をまとめると次のようになります。

d(A,B)≥|d(A,C)−d(B,C)|{\displaystyle d(A,B)\geq |d(A,C)-d(B,C)|}

そして逆に、逆三角不等式から始めて、再び 2 つのケースを使用できます。

もしならば、 d(A,C)−d(B,C)≥0{\displaystyle d(A,C)-d(B,C)\geq 0}d(A,B)≥|d(A,C)−d(B,C)|=d(A,C)−d(B,C)⇒d(A,B)+d(B,C)≥d(A,C){\displaystyle d(A,B)\geq |d(A,C)-d(B,C)|=d(A,C)-d(B,C)\Rightarrow d(A,B)+d(B,C)\geq d(A,C)}

そして、その場合も、測定基準の非負性によって同様になります。 d(A,C)−d(B,C)<0,{\displaystyle d(A,C)-d(B,C)<0,}d(A,B)+d(B,C)≥d(B,C)>d(A,C){\displaystyle d(A,B)+d(B,C)\geq d(B,C)>d(A,C)}

したがって、どちらの場合も、 であることがわかります。 d(A,B)+d(B,C)≥d(A,C){\displaystyle d(A,B)+d(B,C)\geq d(A,C)}

コサイン類似度の三角不等式

弧の長さに対する三角不等式と逆三角不等式に余弦関数を適用し、余弦の角度の加減算公式を用いると、次の式が直ちに導かれる。[ 21 ]

sim⁡(u,w)≥sim⁡(u,v)⋅sim⁡(v,w)−(1−sim⁡(u,v)2)⋅(1−sim⁡(v,w)2){\displaystyle \operatorname {sim} (u,w)\geq \operatorname {sim} (u,v)\cdot \operatorname {sim} (v,w)-{\sqrt {\left(1-\operatorname {sim} (u,v)^{2}\right)\cdot \left(1-\operatorname {sim} (v,w)^{2}\right)}}}

そして

sim⁡(u,w)≤sim⁡(u,v)⋅sim⁡(v,w)+(1−sim⁡(u,v)2)⋅(1−sim⁡(v,w)2).{\displaystyle \operatorname {sim} (u,w)\leq \operatorname {sim} (u,v)\cdot \operatorname {sim} (v,w)+{\sqrt {\left(1-\operatorname {sim} (u,v)^{2}\right)\cdot \left(1-\operatorname {sim} (v,w)^{2}\right)}}\,.}

これらの式では、検査されるベクトル{ u、v }の各ペアに対してarccos(sim( u、v ))を実行するのではなく、検査されるベクトル{ u、v、w }の各 3 つの組に対して平方根を計算する必要があり、検査される 3 つの組の数が検査されるペアの数より少ない場合にパフォーマンスが向上する可能性があります。

ミンコフスキー空間における反転

ミンコフスキー空間計量は正定値ではないため、ベクトルuが非零であっても、 は符号を持つかゼロになる可能性がある。さらに、uとv が両方とも未来光円錐内にある時間的ベクトルである場合、三角不等式は逆になる。 ημν{\displaystyle \eta _{\mu \nu }}‖u‖2=ημνuμuν{\displaystyle \|u\|^{2}=\eta _{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }}

‖u+v‖≥‖u‖+‖v‖.{\displaystyle \|u+v\|\geq \|u\|+\|v\|.}

この不等式の物理的な例として、特殊相対論における双子のパラドックスが挙げられます。両方のベクトルが過去光円錐内にあり、かつ一方または両方がヌルベクトルである場合、同じ不等式の逆形が成り立ちます。この結果は任意の次元に対して成立します。およびによって定義される平面が空間的（したがってユークリッド部分空間）である場合、通常の三角不等式が成立します。 n+1{\displaystyle n+1}n≥1{\displaystyle n\geq 1}u{\displaystyle u}v{\displaystyle v}

参照

注記

  1. ^ Wolfram MathWorld – http://mathworld.wolfram.com/TriangleInequality.html
  2. ^ Mohamed A. Khamsi; William A. Kirk (2001). 「§1.4 R nにおける三角不等式」距離空間と不動点理論入門. Wiley-IEEE. ISBN 0-471-41825-0。
  3. ^例えば、ジェイコブス、ハロルド・R.（1974）『幾何学』 WHフリーマン＆カンパニー、p.246、ISBN 0-7167-0456-0
  4. ^オリバー・ブロック、ジェフ・トリンクル、ファビオ・ラモス (2009).ロボティクス：科学とシステムIV . MITプレス. p. 195. ISBN 978-0-262-51309-8。
  5. ^ Arlan Ramsay; Robert D. Richtmyer (1995). Introduction to Hyperbolic Geometry . Springer. p  . 17. ISBN 0-387-94339-0。
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  8. ^アメリカ数学月刊誌、pp.49-50、1954年。
  9. ^クロード・アーウィン・パーマー (1919). 『家庭学習のための実践数学：算術、幾何学、代数、三角法の基本』マグロウヒル.  422ページ.
  10. ^ Alexander Zawaira、Gavin Hitchcock (2009). 「補題1：直角三角形において、斜辺は他の2辺のいずれよりも大きい」 .数学コンテストのための入門書. オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-953988-8。
  11. ^ Wolfram|Alpha. 「入力: 0<a<2a+3d, 0<a+d<2a+2d, 0<a+2d<2a+d, を解く」Wolfram Research . 2010年9月7日閲覧。
  12. ^ Wolfram|Alpha. 「入力: solve 0<a<ar+ar 2 , 0<ar<a+ar 2 , 0<ar 2 <a+ar " . Wolfram Research . 2010年9月7日閲覧。
  13. ^ Wolfram|Alpha. 「入力: 0<a<ar+ar 2 +ar 3 , 0<ar 3 <a+ar+ar 2を解く」Wolfram Research . 2012年7月29日閲覧。
  14. ^ジョン・スティルウェル(1997). 『数と幾何学』シュプリンガー. ISBN 978-0-387-98289-2。95ページ。
  15. ^泉 修三 (2016). 「単体不等式の十分性」 .アメリカ数学会誌. 144 (3): 1299–1307 . doi : 10.1090/proc12756 . ISSN 0002-9939 . 
  16. ^ Rainer Kress (1988). 「§3.1: ノルム空間」数値解析シュプリンガー p. 26. ISBN 0-387-98408-9。
  17. ^別々のケースを必要としない証明は次の通りである: 任意の数は常にそれ自身の絶対値以下であるため、およびこれらの不等式を足し合わせると、およびの形になるしかし、これは常に を意味する。 または、展開すると、−|u|≤u≤|u|{\displaystyle -|u|\leq u\leq |u|}−|v|≤v≤|v|.{\displaystyle -|v|\leq v\leq |v|.}−(|u|+|v|)≤u+v≤|u|+|v|,{\displaystyle -{\bigl (}|u|+|v|{\bigr )}\leq u+v\leq |u|+|v|,}−a≤b≤a{\displaystyle -a\leq b\leq a}a=|u|+|v|{\displaystyle a=|u|+|v|}b=u+v.{\displaystyle b=u+v.}|b|≤a{\displaystyle |b|\leq a}|u+v|≤|u|+|v|.{\displaystyle |u+v|\leq |u|+|v|.}
    ジェームズ・スチュワート (2008). 『微積分入門』 トムソン・ブルックス/コール社. A10頁. ISBN 978-0-495-10860-3。
  18. ^ジョン・スティルウェル (2005). 『幾何学の4つの柱』シュプリンガー. p.  80. ISBN 0-387-25530-3。
  19. ^カレン・サックス(2002).関数解析入門. シュプリンガー. p. 61. ISBN 0-387-95224-1。
  20. ^匿名 (1854). 「命題XIXに対する練習問題I」 . 『大衆教育者』第4巻. ラドゲート・ヒル、ロンドン: ジョン・カッセル. 196ページ.
  21. ^ Schubert, Erich (2021).コサイン類似度のための三角形不等式. 類似度検索とその応用に関する国際会議. ドルトムント: Springer. arXiv : 2107.04071 . doi : 10.1007/978-3-030-89657-7_3 .

参考文献

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