リチャーズの定理

数学において、リチャーズの定理は1947年にポール・I・リチャーズによって発表された結果である。この定理は、

R（s）＝けZ（s）−sZ（け）けZ（け）−sZ（s）、{\displaystyle R(s)={\frac {kZ(s)-sZ(k)}{kZ(k)-sZ(s)}},}

が正の実数関数（PRF）である場合、 はすべての実数、つまり の正の値に対してPRFである。[ 1 ]Z（s）{\displaystyle Z(s)}R（s）{\displaystyle R(s)}け{\displaystyle k}

この定理は電気回路網の合成に応用されています。インピーダンス関数のPRF特性は、そのインピーダンスを持つ受動回路網を実現できるかどうかを決定します。リチャーズの定理は、1940年代にそのような回路網を実現する新しい手法をもたらしました。

証拠

R（s）＝けZ（s）−sZ（け）けZ（け）−sZ（s）{\displaystyle R(s)={\frac {kZ(s)-sZ(k)}{kZ(k)-sZ(s)}}}

ここで、はPRF、は正の実定数、は複素周波数変数であり、次のように表される。 Z（s）{\displaystyle Z(s)}け{\displaystyle k}s＝σ+私ω{\displaystyle s=\sigma +i\omega }

R（s）＝1−W（s）1+W（s）{\displaystyle R(s)={\dfrac {1-W(s)}{1+W(s)}}}

どこ、

W（s）＝1−Z（s）Z（け）1+Z（s）Z（け）（け+sけ−s）{\displaystyle W(s)={1-{\dfrac {Z(s)}{Z(k)}} \over 1+{\dfrac {Z(s)}{Z(k)}}}\left({\frac {k+s}{ks}}\right)}

PRF なのでZ（s）{\displaystyle Z(s)}

1+Z（s）Z（け）{\displaystyle 1+{\dfrac {Z(s)}{Z(k)}}}

もPRFです。この関数の零点はの極です。PRFは右半分s平面に零点を持たないため、右半分s平面に極を持たないことになり、したがって右半分s平面において解析的になります。 W（s）{\displaystyle W(s)}W（s）{\displaystyle W(s)}

させて

Z（私ω）＝r（ω）+私×（ω）{\displaystyle Z(i\omega )=r(\omega )+ix(\omega )}

の大きさは次のように表される。 W（私ω）{\displaystyle W(i\omega )}

|W（私ω）|＝（Z（け）−r（ω））2+×（ω）2（Z（け）+r（ω））2+×（ω）2{\displaystyle \left|W(i\omega )\right|={\sqrt {\dfrac {(Z(k)-r(\omega ))^{2}+x(\omega )^{2}}{(Z(k)+r(\omega ))^{2}+x(\omega )^{2}}}}}

PRF条件は、すべての に対して が成り立つことを要求するため、すべての に対して となる。は右半分のs平面において解析的であるため、の最大の大きさは軸上で発生する。したがってに対してとなる。 r（ω）≥0{\displaystyle r(\omega )\geq 0}ω{\displaystyle \omega }|W（私ω）|≤1{\displaystyle \left|W(i\omega )\right|\leq 1}ω{\displaystyle \omega }W（s）{\displaystyle W(s)}私ω{\displaystyle i\omega }W（s）{\displaystyle W(s)}|W（s）|≤1{\displaystyle |W(s)|\leq 1}σ≥0{\displaystyle \sigma \geq 0}

とすると、 の実部は次のように与えられる。 W（s）＝あなた（σ、ω）+私v（σ、ω）{\displaystyle W(s)=u(\sigma ,\omega )+iv(\sigma ,\omega )}R（s）{\displaystyle R(s)}

ℜ（R（s））＝1−|W（s）|2（1+あなた（σ、ω））2+v2（σ、ω）{\displaystyle \Re (R(s))={\dfrac {1-|W(s)|^{2}}{(1+u(\sigma ,\omega ))^{2}+v^{2}(\sigma ,\omega )}}}

なぜなら、 の場合、の場合、したがって、 はPRF でなければならないからである。[ 2 ]W（s）≤1{\displaystyle W(s)\leq 1}σ≥0{\displaystyle \sigma \geq 0}ℜ（R（s））≥0{\displaystyle \Re (R(s))\geq 0}σ≥0{\displaystyle \sigma \geq 0}R（s）{\displaystyle R(s)}

リチャーズの定理はシュワルツの補題からも導かれる。[ 3 ]

用途

この定理は、ポール・I・リチャーズがPRFの特性に関する研究の一環として導入した。PRFという用語はオットー・ブルーヌによって考案された。ブルーヌは、 PRF特性が受動電気回路網として機能を実現するための必要十分条件であることを証明し、回路網合成における重要な成果となった。[ 4 ] リチャーズは1947年の論文でこの定理を簡略化した形で提示した。 [ 5 ]

R（s）＝Z（s）−sZ（1）Z（1）−sZ（s）{\displaystyle R(s)={\frac {Z(s)-sZ(1)}{Z(1)-sZ(s)}}}

つまり、け＝1{\displaystyle k=1}

この定理（より一般的な任意の値を取ることができる場合を含む）は、1949年にラウル・ボットとリチャード・ダフィンによって提示されたネットワーク合成技術の基礎となった。 [ 6 ] ボット・ダフィン合成において、は合成される電気ネットワークを表し、はそれに組み込まれた別の（未知の）ネットワークを表す（は単位を持たないが、インピーダンスの単位を持ち、アドミッタンスの単位を持つ）。主語を次の ようにすると、け{\displaystyle k}Z（s）{\displaystyle Z(s)}R（s）{\displaystyle R(s)}R（s）{\displaystyle R(s)}R（s）Z（け）{\displaystyle R(s)Z(k)}R（s）/Z（け）{\displaystyle R(s)/Z(k)}Z（s）{\displaystyle Z(s)}

Z（s）＝（R（s）Z（け）+けsZ（け））−1+（1Z（け）R（s）+sけZ（け））−1{\displaystyle Z(s)=\left({\frac {R(s)}{Z(k)}}+{\frac {k}{sZ(k)}}\right)^{-1}+\left({\frac {1}{Z(k)R(s)}}+{\frac {s}{kZ(k)}}\right)^{-1}}

は単なる正の実数なので、に比例する新しいネットワークとして合成できます。このネットワークは、コンデンサと並列に接続され、 の逆数に比例するネットワークとインダクタと並列に接続されています。 の値を適切に選択することで、より2次低い関数を残して共振回路を抽出できます。このプロセス全体を に繰り返し適用することで、関数の次数が直接実現可能なレベルまで低下します。[ 7 ]Z（け）{\displaystyle Z(k)}Z（s）{\displaystyle Z(s)}R（s）{\displaystyle R(s)}R（s）{\displaystyle R(s)}け{\displaystyle k}R（s）{\displaystyle R(s)}Z′（s）{\displaystyle Z'(s)}Z（s）{\displaystyle Z(s)}Z′（s）{\displaystyle Z'(s)}

ボット・ダフィン合成法の利点は、他の手法とは異なり、あらゆるPRFを合成できることです。他の手法には、単一のネットワークで2種類の要素しか扱えないなどの制限があります。ボット・ダフィン合成法の主な欠点は、ネットワーク内の要素数が最小にならないことです。要素数は反復ごとに指数関数的に増加します。最初の反復後には2つの要素と関連する要素があり、2回目の反復後には4つの要素、というように増加していきます。[ 8 ]Z′{\displaystyle Z'}Z″{\displaystyle Z''}

ハバードは、ボットとダフィンはリチャーズの定理とシュワルツの補題の関係を知らなかったようで、それを自身の発見として提示していると指摘している[ 9 ]が、リチャーズはそれを確かに知っていて、それを定理の証明に使用した[ 10 ] 。

参考文献

  1. ^ウィング、122ページ
  2. ^ウィング、122～123ページ
  3. ^ハバード、33ページ
  4. ^カウアーら、6～7ページ
  5. ^リチャーズ、779ページ
  6. ^ウィング、122ページ
  7. ^
    • ウィング、123～125ページ
    • ヒューズら、284～285ページ
  8. ^ウィング、115ページ
  9. ^ハバード、33ページ
  10. ^リチャーズ、779ページ

参考文献

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