リッチモンドの表面

m=2のリッチモンド面。

微分幾何学において、リッチモンド面は、 1904年にハーバート・ウィリアム・リッチモンドによって初めて記述された極小曲面である。^{[ 1 ]}これは、1つの平面端と1つのエネパー面のような自己交差端を持つ曲面の族である。

ワイエルシュトラス・エネパーパラメータ化を 持つ。これにより、次のような複素パラメータに基づくパラメータ化が可能になる。 ${\displaystyle f(z)=1/z^{2},g(z)=z^{m}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X(z)&=\Re [(-1/2z)-z^{2m+1}/(4m+2)]\\Y(z)&=\Re [(-i/2z)+iz^{2m+1}/(4m+2)]\\Z(z)&=\Re [z^{m}/m]\end{aligned}}}$

サーフェスの関連ファミリは、Z 軸を中心に回転したサーフェスです。

m  = 2とすると、実数の媒介変数表現は次のようになる。 ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}X(u,v)&=(1/3)u^{3}-uv^{2}+{\frac {u}{u^{2}+v^{2}}}\\Y(u,v)&=-u^{2}v+(1/3)v^{3}-{\frac {v}{u^{2}+v^{2}}}\\Z(u,v)&=2u\end{aligned}}}$

参考文献

1. ジェシー・ダグラス、ティボール・ラド、「プラトーの問題：ジェシー・ダグラスとティボール・ラドへのトリビュート」、ワールド・サイエンティフィック、1992年（p. 239-240）
2. ジョン・オプレア『ソープ映画の数学：メイプルとの探究』アメリカ数学会、2000年